线性代数第五章习题

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( )

3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )

4.若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 不一定等价.( )

5.若n 阶矩阵A 有n 不同的特征值，则A 相似于对角矩阵.( )

6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( )

7. 相似矩阵的行列式必相同.( )

8.若n 阶矩阵A 和B 相似，则它们一定有相同的特征值.( )

9．n 阶实对称矩阵A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( )

10. 若A 是正定矩阵，则A 的特征值全为正.( )

二、单项选择题

1. 设,则001010100A ⎛⎞⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎝⎠

A 的特征值是( ).

(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是1122k x k x +A 的特征向量的充分条件是( ).

(A) (B) (C) 120k k ==且00120k k ≠≠且120k k = (D) 1200k k ≠=且

3. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( ).

(A) A B = (B) ||||A B = (C) A 与B 相似 (D) A 与B 合同

4. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则的特征根之一是( ).

*A (A) (B) (C) 1||n A λ−1|A λ−|||A λ (D)

||n A λ5. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）.

(A)线性相关 (B)线性无关

(C)两两相交 (D)其和仍是特征向量

6. ||||A B =是阶矩阵n A 与B 相似的( ).

(A)充要条件 (B)充分而非必要条件

(C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则( ).

(A) (B) ()r A n =A 有个不同的特征值

n (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称阵

8.n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是（ ）. (A) 0A > (B)存在阶阵C ，使T A C C =

(C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正

9．设A 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ）.

(A)A 必与一对角阵合同

(B)若A 的所有顺序主子式为正，则A 正定

(C)若A 与正定阵B 合同，则A 正定

(D) 若A 与一对角阵相似，则A 必与一对角阵合同

10．设A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.

(A)A 可逆 (B)1A −正定

(C)A 的所有元素为正 (D)任给

12(,,,)0,T n X x x x =≠ 均有0T X AX >二、填空题

1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______.

2. 若，则A A =2A 的全部特征值为_______.

3. 设三阶矩阵A 的特征值分别为-1,0,2,则行列式2A A I ++= .

4. 特征值全为1的正交阵必是 阵.

5. 若，则22311234A B y x ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

∼=x = ，= y . 6.二次型212312233(,,,)2f x x x x x x x x =++的秩为 .

7.若2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是 .

8.设是正定矩阵，则满足条件 21101000A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠

⎟a .

9．二次型1212(,)f x x x x =的负惯性指数是__________.

10．二次型112213(,)12x x x x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

的矩阵为 . 三、计算与证明题

1. 试用施密特法把下列向量组正交化:

(1)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ; (2). ⎟⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=011101110111) , ,(321a a a 2. 下列矩阵是不是正交阵:

(1)⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−121312112131211;

(2)⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−979494949198949891. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E −2xx T , 证明H 是对称的正交阵.

4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵.

5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−−−−201335212; (2)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛633312321; (3). ⎟⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎜⎝⎛0001001001001000

6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.

7. 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )+R (B )

8. 设A 2−3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2.

9. 设A 为正交阵, 且|A |=−1, 证明λ=−1是A 的特征值.

10. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ×n B n ×m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.

11. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3−5A 2+7A |.

12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −3, 求|A *+3A +2E |.

13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相 似.

14. 设矩阵⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x . 15. 已知p =(1, 1, −1)T

是矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=2135212b a A 的一个特征向量. (1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;

(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.

16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

(1)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−−−−020212022; (2)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−−−−542452222. 17. 设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−=12422421x A 与相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=Λy 45−1AP =Λ.