线性代数第五章习题

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(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为：（1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即：如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则（1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TTk k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。

线性代数第五习题答案详解

第五章n 维向量空间习题一1．解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2．解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 616a21a 1+31a 2+(-65)a 3 = a将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =21a 1+31a 2+(-65)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.习题二1．求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T 根据对分量相等可得下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====++++++1201213214321k k k k k k k k k k解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++121332223212143214321k k k k k k k k k k k k k由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相关.(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400510111220510111331621111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00021011142012601117131442111321a a a因为()32321<=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性相关.(4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=500410111320410111211301111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0，（下用两种方法解）法一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

线性代数习题集第五章

线性代数习题集第五章1．设三维线性空间V内的⼀个线性变换σ在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为A=a b ca1b1c1a2b2c2，则σ在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为（）（1）a2b2c2a1b1c1a b c（2）c2b2a2c1b1a1c b a（3）a b ca1b1c1a2b2c2（4）a b ca1b1c1a2b2c22．设a,b,c是线性空间R3中的任意向量，下列对应法则哪⼀个是R3中的线性变换（）（1）σa,b,c=(a2,0,0)（2）τa,b,c=a,b（3）υa,b,c=0,0,a b（3）φa,b,c=0,b,03.线性空间R3的两个线性变换σ,τ为σx1,x2,x3=x1?x2,x2,x3?x1;τx1,x2,x3=x1,0,0，并且α=1,0,1∈R3则σ+τα为（）（1）2,0,0（2）2,0,1（3）1,0,0（4）1,0,14.R2的两个线性变换σ,τ为σx1,x2=x1,x2300?1；τx1,x2=x1,?x2，则σ?τx1,x2为（）（1）2x1,0（2）3x1,0（3）x1+x2，0（4）x1+x2，x25.R3的两个线性变换σ,τ为σx1,x2,x3=0,x1,x2;τx1,x2,x3=x1,0,x2;则στ?L x1,x2,x3为（）（1）1,1,x22（2）?x1,x1?x2,?x3（3） ?1，x1?x2,?1（4）?x1,?x2,x1?x36.已知R2的线性变换σx1,x2=x1+x2,2x1+x2，则σ2x1,x2为（）（1）（x1+x2）2,（2x1+x2）2（2）x12+x22，4x12+x22（3）x1+x2，2x1+x2（4）3x1+2x2，4x1+3x2 7.“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。

（1）充分（2）必要（3）充分必要（4）既不充分也不必要8.在线性空间R3中，线性变换σx,y,z=z,x,y,则σ在基ε1=1,0,0,ε2= 0,1,0，ε3=0,0,1下的矩阵为（1）010001100（2）001010100（3） 100010001（4） 001100010 9.矩阵 2202的特征值为（）（1）λ1=λ2=2 （2）λ1=λ2=4 （3）λ1=2,λ2=4 （4）λ1=0,λ2=110.令 a b c d,则f A (x)的表达式为（）（1）x 2?T r A x + A （2）x 2+T r A x + A（3）x 2?T r A x ? A （4）x 2?T r A x11.对f A x = x ?2 2(x +3)时矩阵A 的特征值为（）（1）λ1=2 （2）λ1=?3,λ2=2（⼆重根）（3）λ1=3 （4）λ1=3,λ2=-212.以线性空间V 的任何⾮零向量作为特征值的线性变换只能是（）（1）变换（2）位似（数乘）变换（3）单位变换（4）零变换13.n 维线性空间V 的线性变换σ可逆的充分必要条件是（）（1）σ的特征多项式的常数项不等于零（2）σ的特征多项式不等于零（3）σ有n 个互异的特征值（4）σ有n 个线性⽆关的特征向量14.设λ是矩阵A 的特征值，且A 2=A ，则λ只能是（）（1）0 （2）1 （3）正实数（4）0或115.实对称矩阵的特征值为（）（1）都是实数（2）都不是实数（3）都是⾮负的实数（4）有实数也有⾮实数16.设线性空间V 的线性变换σ在基ε1,ε2,…,ε3下的矩阵是A ，在基ξ1,ξ2,…,ξn 下的矩阵是B ，并且从ε1,ε2,…,εn 到基ξ1,ξ2,…,ξn 的过度矩阵T ，则A,B,T 之间的关系是（）（1）T=AB （2）TB=AT （3）TA=BT （4）B=T ’AT17.设数域K 上的n 维线性空间V 的线性变换σ关于V 的⼀个基的矩阵是A=（a ij ），σ的特征多项式f(x)=x n +a 1x n?1+?+a n? 1x +a n ,则a n 等于（1） A （2）（?1）nA （3） a ij n i =1 （4） a ij n i=1 18.设B=T ?1AT ，λ是A ，B 的⼀个特征值，ξ是A 的关于λ的特征向量，则B 的关于λ的特征向量是（）（1）ξ（2）T ξ（3）T ?1ξ（4）T ’ ξ19.矩阵A=? a 11?a 1n a n 1?a nn的迹T r A 为（）（1） a i 1n i=1 （2）（?1）n a 1j （3）? a i 1n i=1 （4）（?1）na 1i n i=1 20.设σ是⼀线性变换，若Ker （σ）={0}，则下⾯说法正确的是（）（1）σ⽆特征值零（2）σ有特征值零（3）σ有特征值1 （4）σ有特征值-121.设λ=2是⾮奇异矩阵A的特征值，则矩阵（1/3A2）?1的特征值等于（）（1）4/3 （2）3/4 （3）1/2 （4）1/422.设A为N阶可逆矩阵，λ是A的⼀个特征值，则A?的特征值等于（）（1）λ?1A n（2）λA n（3）λA（4）λ?1A23.n阶⽅阵A具有n个不同的特征值是A与对⾓矩阵相似的（）（1）充分必要条件（2）必要⾮充分条件（3）充分⾮必要条件（4）⾮充分⾮必要条件24.⼆维平⾯上的旋转变换σ，（）⾮平凡的不变⼦空间（1）有（2）有⼀个（3）有⽆限多个（4）没有25.对于数域K上的线性空间V的数乘变换来说，（）不变⼦空间（1）每个⼦空间都是（2）有⼀个（3）有两个（4）不存在26.线性变换σ的多项式f(σ)的像与核都是σ的不变⼦空间，因为（）（1）f(σ)仍是⼀个线性变换（2）σ是⼀个线性变换（3）σ的不变⼦空间也是f(σ)的（4）f(σ)与σ可交换II．填空题1.设σ是线性空间V的线性变换，若满⾜；则称σ是可逆变换，并且σ的逆变换是。

《线性代数》第5章习题解答(r)new2_1

习题五（P213－215）1．写出下列二次型的矩阵：.)(),,,().4(;),,,().3(;),,,().2(;8223),,().1(211221111122142314321222∑∑∑∑==-=+=-=+=-=++-+-=ni i n i in n i i ini in x xn x x x f x xxx x x f x x x x x x x x f yz xz xy z y x z y x f解:（1）12123111442-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）12121212000000000000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（3）1211221122111211111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4） 111111111n n n ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦。

2.若二次型123(,,)T f x x x X AX =对任意向量123(,,)T x x x 恒有0),,(321=x x x f ,试证明:A 是零矩阵.解:取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T TX X X ===等三个向量代入0,TX AX =则二次型的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A 的所有元素),3,2,1,3,2,1(0===j i a ij 从而有A =0. 3.设B A ,是ｎ阶实对称矩阵，且对任意的ｎ维向量x 有BX X AX X ''=成立，试证明：.B A = 证：设,21][,][,)',,,(n n ij n n ij n b B a A x x x X ⨯⨯=== 则AX X '中的j i x x 的系数BX X a a a ij ji ij ',2=+中j i x x 的系数为,2ij ji ij b b b =+比较j i x x 的系数知),,,2,1,(n j i b a ij ij ==所以.B A = 4．试证明：不可能有实数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a C 使1010,0101TC C ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不合同的. 证:用反证法.若,10011001'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a d c b a 则推得,122-=+d b 这是不可能的.所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不.5. 设D C B A ,,,均为ｎ阶对称矩阵,且B A ,是合同的,D C ,是合同的,试证明:⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00也是合同的.证: 设,','D CQ Q B AP P ==则.00000000'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D BQ P C A Q P 所以矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00是合同的. 6. 用正交变换法,把下列二次型化为标准形:.32414321242322213231212322212222).2(;4844).1(x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f --+++++=---++=解:(1).正交变换矩阵为,032622231322326222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Q 标准形为;455232221y y y f -+= (2) 正交变换矩阵为,0000212121212121212121212121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=Q 标准形为.324232221y y y y f +-+=7. 用配方法,把下列二次型化为标准形:2212121323121323(1).3226;(2).422.f x x x x x x x x f x x x x x x =--+-=-++解:(1).由已知2322321)2()(x x x x x f +-+-=，令,2333223211⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=x y x x y x x x y 则,33321221232322111⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=y x y y x y y y x 可逆线性变换矩阵为,1000121212321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C 所以标准形为;2221y y f -=(2).先令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=,33212211yx y y x y y x 则,4)(4232223211y y y y f ++--=再令⎪⎩⎪⎨⎧==-=,33223111yz y z y y z 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,33321212321211z x z z z x z z z x 可逆线性变换矩阵为,10011112121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C 所以标准形为.44232221z z z f ++-= 8. 用初等变换法, 把下列二次型化为标准形:.22).2(;6422).1(3221232132********x x x x x x f x x x x x x x x f ++-=+-+-=解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101100030001100010001032321211).1(531313E A ，令,10010113531Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= 则;3233132221y y y f +-= (2).令,110110111Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= 则.2221y y f -= 9．已知二次型),0(233232232221>+++=a x ax x x x f 通过正交替换QY X =化为标准形,52232221y y y f ++=求参数a 及正交矩阵Q .解: 给定二次型及其标准形的矩阵分别为：,521,3030002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B a a A 由,4,10218,22==-=a a B A 得2=a （去舍2-=a ），与特征值 5,2,1321=λ=λ=λ 对应的特征向量分别为,)'1,1,0(,)'0,0,1(,)'1,1,0(321=α=α-=α 因特征向量321,,ααα是相互正交的，将它们单位化后得所求的正交巨阵.0001022222222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Q10．求二次型11222121121(,,,)22n n n ini i i i f x x x x xx x x --+===+++∑∑ 的标准形，并指出该二次型的秩和正惯性指数。

线性代数第五版第五章常见试题及解答

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B2．若A 相似于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ1001，则|A-E|=（） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B3．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B4．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B5．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式|A 2|=（） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 答案：C6．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（） A ．121 B ．71 C ．7 D ．12 答案：A7．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（） A ．23- B ．32- C ．32 D ．23答案：B8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（） A.B A =B.秩（A ）=秩（B ）C.存在可逆阵P ，使P -1AP=BD.λE-A =λE-B答案：D9.与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（）A.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001 B.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011 C.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001 D.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101答案：A10．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A ．E-AB ．-E-AC ．2E-AD ．-2E-A 答案：D11．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（）A ．41B ．21C ．2D ．4 答案：A12.若A 与B 相似，则（） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量 C.A -λE =B -λE D.|A |=|B | 答案：D13.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）答案：D14．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4101B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4201答案：C15.下列矩阵是正交矩阵的是（） A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cosD.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--336102233660336122 答案：A16．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 答案：D17．已知矩阵A 与对角矩阵D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001相似，则A 2=（） A ．A B ．D C ．E D ．-E答案：C18．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100，则A 的特征值为（）A ．1，1，0B ．-1，1，1C ．1，1，1D ．1，-1，-1答案：B19．设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2=E ，则必有（） A ．A 的行列式等于1 B ．A 的逆矩阵等于E C ．A 的秩等于n D ．A 的特征值均为1答案：C20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4 答案：C21．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（） A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 答案：B22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（） A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T答案：A23.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 = （）A.4B.5C.6D.7答案：B24.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（） A.A T B.A 2 C.A -1 D.A*答案：A7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.249.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2B.0C.2D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数第五章（答案）

线性代数第五章（答案）第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ )2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ )3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ )4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ )5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ )6．若112=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × )7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × )8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × )9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ )10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ )11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ )13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ )15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ )16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ )17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ )18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ )19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。

线性代数第五章练习及解答

对应于同一特征值的不同特征向量的非零线性组合是 A 的特征向量。证明由本节第 3 题可知属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量，而属于同一特征值的不同特征向量满足
Aξ1 = λξ1 , Aξ2 = λξ2 , 于是 A(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) = k1 Aξ1 + k2 Aξ2 = λ(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) 由定义命题得证 11.λ ̸= 0 是矩阵 A 的特征值，求 A−1 , A⋆ 的特征值。
证明：因为 A + E = A + AAT = A(A + E )T ，那么 |A + E |(1 − |A|) = 0，于是 |A + E | = 0, 即 λ = −1 是 A 的一个特征值
5. 设 A1 , A2 , A3 是 3 个非零的 n 阶矩阵 n ≥ 3 , 满足 A2 i = Ai (i = 1, 2, 3), 且 Ai Aj = O (i ̸= j ; j = 1, 2, 3)
1
若 Ai 有非零和 1 的特征值 λ，由于 λ2 − λ = 0, 故有且仅有 0 和 1 为特征值
(2) 若 Aj ξ = ξ, 那么 Ai (Aj ξ ) = Ai ξi , 即 Ai ξ = 0ξ (3) 反证，若三个向量线性相关不妨设 α3 = k1 α1 + k2 α2
那么 A3 α3 = k1 A3 α1 + k2 A3 α2 , 由 (2) 知 A3 αj = 0(j = 1, 2) 那么 α3 = 0 与特征向量的定义矛盾 2 0 0 2 0 0 与 B = 6. 已知矩阵 A = 0 0 y 0 0 1 0 0 −1 0 1 x P −1 AP = B

线性代数第五章习题课

习题课
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量. 求下列矩阵的特征值与特征向量.
0 2 2 (1) A = 2 4 2 ; 2 2 0
解
4 10 0 (2) A = 1 3 0 . 3 6 1
解
2. 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 若判定下列矩阵是否相似于对角矩阵, 相似, 相似, 则求出可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵. 是对角矩阵.
解
(2) x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 2 12 x3 +
12 x1 x2 24 x1 x3 + 8 x2 x3 .
13. 判断下列二次型是否正定. 判断下列二次型是否正定.
二次型的正定性的常用判定法
2 2 (1) 3 x12 + 4 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 4 x2 x3 ;
解
5. 设三阶方阵 A 的特征值为
λ1 =1, λ2 = 2, λ3 = 3,
对应的特征向量依次为
1 1 1 p1 = 1, p2 = 2, p3 = 3 , 1 4 9
又向量 b= (1 , 1 , 3)T . (1) 求 A; (2) 将 b 用 p1, p2, p3 线性表示; 线性表示; (3) 求 Anb;(4)求 A100 . ;(4
�
解
0 0 1 3. 设 A = x 1 y 相似于对角矩阵, 相似于对角矩阵, 1 0 0
求 x 与 y 应满足的条件. 应满足的条件.
解
4. 已知矩阵
2 0 0 A = 0 0 1 0 1 x
与矩阵
2 0 0 相似. B = 0 y 0 相似 0 0 1

线代习题答案第五章

习题51.写出下列二次型f 的矩阵A 和矩阵表示式，并求二次型的秩。

（1）2212313121323(,,)35224f x x x x x x x x x x x =+−+−（2）2221231231323(,,)26f x x x x x x x x x x =+−++（3）2221234123121323(,,,)2f x x x x x x x x x x x x x =−++−+（4）123121323(,,)43f x x x x x x x x x =−+1.解：（1）f 的矩阵表示为311102125−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠=A 其矩阵表示式为()112312323311(,,)102125x f x x x x x x x x −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。

（2）f 的矩阵表示为10310221312⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠A =其矩阵表示式为()1123123231031(,,)0221312x f x x x x x x x x ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟−⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。

（3）f 的矩阵表示为1110221110211102000⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A =其矩阵表示式为()1212341234341110221110(,,,)211102000x x f x x x x x x x x x x ⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。

（4）f 的矩阵表示为3022120231022⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠A =其矩阵表示式为()11231232330221(,,)20231022x f x x x x x x x x ⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟−⎜⎟⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。

线性代数第五章习题答案

0 1 0 0 1 0 1 1 , 0
72 −1
第五章相似矩阵及二次型
得基础解系 p = −1 . 所以 k p (k = 0) 是对应于 λ1 = λ2 = λ3 = −1 的全部特征值向量. 1 (2) 由 1−λ 2 3 |A − λE | = 2 1−λ 3 = −λ(λ + 1)(λ − 9), 3 3 6−λ
1

b3 = a3 −
[b1 , a3 ] [b2 , a3 ] 1 b1 − b2 = [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] 5
−1

3 . 3 4
故正交化后得

0 −1 (b1 , b2 , b3 ) = −1 2 3 1 1 3 70
H T = (E − 2xxT )T = E T − 2(xxT )T = E − 2(xT )T (xT ) = E − 2xxT = H.
所以 H 是对称的. 又
H T H = (E − 2xxT )(E − 2xxT ) = E − 2xxT − 2xxT + 4xxT xxT = E. (xT x = 1)
得 A 的特征值为 λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 9. 当 λ1 = 0 时, 解方程 Ax = 0, 由 1 2 3 1 2 3 1 −1 0 r2 − 2r1 r +r 0 −3 −3 1 2 0 A= 1 1 2 1 3 , r3 − r1 − r2 r2 ÷ (−3) 3 3 6 0 0 0 0 0 0
0 p3 = 0 , 1
1

1 p4 = 1 . 0

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12．会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −

《线性代数》线性代数习题第五章

2 2 2
112xzy
整理课件
2 2
2
1
1 3 5
3
5
7
5 7 9
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
整理课件
正定矩阵都与单位矩阵合同
2
A
P
1
P
T
4
2
2
P
1
1
P
T
2
2
PQQTPT
(P Q )(P Q )T
U TU
整理课件
作业：
2 5 1
A
1
3
0
,
求
A
全
部
特
征
值
和
特
征
向
量
2 3 2
将二次型化成标准型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x12 3 x22 x32 2 x2 x3 4 x1 x3
判定矩阵的正定性：
6 0 0
A
0
3
4
0 4 3
整理课件
Ax
B
x
0是 0
否
有
非
零
解
？
A
B
x
0
0
是
否
有
非
零
解
？
由
于
R
A B
R (A)+R (B)
n
系数矩阵不是列满秩的，必然有非零解。
即 0对应有相同的公共特征向量。
整理课件
证明：

线性代数第五章课后习题与解答

第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：2 3(1);3 12 3 2解：I A3 7 0,313373 37 ,12221I A 37 2 3 1 1 3 372 1 0 1 37 6, T所以， ( 1I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .T因此， A 的属于 1 的所有特征向量为： k 1( 6,1 37) (k 1 0).2I A1 337 211 3731 6372,T所以， ( 2 I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .T A的属于 2 的所有特征向量为：k2 (6,1 37) (k2 0).因此，3 1 1(2) 2 0 1 ;1 1 23 1 1解：I A 2 1 ( 1)( 22)1 1 2所以，特征值为： 1 1(单根)， 2 2 (二重根)2 1 1 1 0 01I A 2 1 1 0 1 11 1 1 0 0 0T 所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 0,1,1) .TA的属于 1 的所有特征向量为：k1( 0,1,1) (k1 0).因此，1 1 1 1 1 02 I A 2 2 1 0 0 11 1 0 0 0 0T 所以，( ) 02 I A x 的基础解系为：(1,1,0 ).T 因此，A的属于 2 的所有特征向量为：k2(1,1,0) (k2 0).20 0 (3) 111 ;1 1 320 0 解： IA 1 1 1 (32)113所以，特征值为：12 (三重根 )0 0 1 1 11I A 1 1 1 0 0 0 1 11T T所以， ( 1I A)x 0 的基础解系为： (1,1, 0) ,( 1,0 ,1) .因此， A 的属于 1 的所有特征向量为：Tk Tk 1(1,1, 0 )2( 1,0,1) ( k 1, k 2 为不全为零的任意常数 )。

1 2 3 4 0 1 2 3 (4);0 0 1 2 0 0 0 112 3 4解： I A0 0 0 1 2 1 3 2 ( 1)40 0 0 1所以，特征值为：11(四重根 )0 2 3 41I A 02320 0 0 0T所以，( 1I A) x 0的基础解系为：(1, 0, 0,0) .因此，A的属于1的所有特征向量为：Tk1(1, 0, 0,0 )( k1 0 ) 4 5 2(5) 2 2 1 ;1 1 14 5 2解：I A 2 2 1 ( 31)1 1 1所以，特征值为： 1 1(三重根)3 5 2 1 0 11I A 2 3 1 0 1 11 1 0 0 0 0T 所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 1,1,1) .因此，A的属于 1 的所有特征向量为：Tk1( 1,1,1) ( k1 0 )2 2 0 (6) 2 1 2 ;0 2 02 2 0解：( 1)( 4)( 2)I A 2 1 20 2所以，特征值为： 1 1(单根), 2 4 (单根), 3 2(单根),1 2 0 1 0 11I A 20 2 0 2 10 2 1 0 0 0T所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 2, 1,2 ).因此，A的属于 1 的所有特征向量为：Tk1( 2, 1,2) ( k1 0 )2 2 0 1 0 22I A 2 3 2 0 1 20 2 4 0 0 0T 所以，( 2 I A)x 0的基础解系为：(2, 2 ,1) .因此，A的属于 2 的所有特征向量为：Tk2(2, 2,1) ( k2 0 )4 2 0 2 0 12 3 2 0 1 13 I A0 2 2 0 0 0T 所以，( 3I A) x 0的基础解系为：(1,2,2) .因此，A的属于 3 的所有特征向量为：Tk3(1,2,2) ( k3 0 )7 4 12. 已知矩阵A 4 7 1的特征值 1 3 (二重)， 2 12 , 求x的值，并求其特征4 4 x向量。

线性代数第五章练习题

第五章练习题一、填空题1. 设A 是n 阶矩阵，0A a =≠，*A 是A 的伴随矩阵，E 是n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值 .2. 设A 是3阶矩阵，它的特征值为2，-2，1，则224A A E +-的特征值为， 224A A E +-= . 3. 设 10102001,100,010*******A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，与A 相似的矩阵是 . 4. 设A ，B 都是3阶矩阵，满足E B AB +=，且A 的特征值为2，3，0，则B 的特征值是 .5. 设A 是3阶矩阵, 且||A =0, 111,A =222A =, 334A =-, 则*A 的特征值是*1λ= , *2λ= , *3λ= . 6. 设A 是元素全为2的n 阶矩阵, 则A 的特征值是 .二、计算与证明题1. 已知三阶矩阵231303132A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵，并写出此对角矩阵.2. 设A 为4阶实对称矩阵，()2r A =，特征值122λλ==是A 的2重特征值，123(1,1,0,0),(1,1,2,0),(2,2,2,0)T T Tααα===-是A 的属于特征值122λλ==的特征向量.(1) 求矩阵A 的另外两个特征值和特征向量；(2) 求矩阵A .3. 设3阶实对称矩阵100032023A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量；(2) 求正交矩阵Q ，使得1Q AQ -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ；(3) 多项式87()21G x x x =-+，求矩阵()G A .4. 设A 是3阶实对称矩阵, 它的特征值是1, -1, -1, 且属于特征值1的特征向量是(1,0,1)T β=-1) 求属于特征值-1的所有特征向量;2) 求矩阵A ;3) 求10A .5. 设(1,2,3)T α=，11(1,,)23β=，A αβ=，求A 的特征值和特征向量.6. 设A 是3阶实对称矩阵，特征值1232,6λλλ===，属于特征值122λλ==的特征向量为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=-，求1）属于特征值36λ=的特征向量；2）矩阵A.7. 设,A B 都是3阶实可逆矩阵, A 的特征值是123111,,,λλλ 这里123,,λλλ是互不相同的正数, 若B 的特征值是-5, 1, 7, 12()6B A A -=-, 求123,,λλλ, 并写出与1,,A A B -相似的对角矩阵.8. 设A 是3阶实对称矩阵且38A E =，求232A A E +-的值.9. 设A 是3阶实对称矩阵，特征值是2，2，3，属于特征值3的特征向量是1(1,1,1)T α=，求矩阵A .10. 证明：若n 阶矩阵A 满足22E A A =+，则A 与对角矩阵相似.11. 证明：设A 为n 阶矩阵，则2A E =的充要条件是()()r A E r A E n ++-=.12. 设矩阵A 与对角矩阵100020004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, ()(2)(4)B A E A E A E =---, 求证 0B =. 13. 设矩阵1()T T A E X X X X -=-，其中E 是n 阶单位矩阵，X 是n m ⨯实矩阵，且()()r X m m n =≤，求证存在正交矩阵Q ，使得10n m m E Q AQ --⎛⎫= ⎪⎝⎭，这里n m E -是n m -阶单位矩阵，0m 是m 阶零矩阵. 14. A 是n 阶矩阵且32A E =，若222B A A E =-+，试证明：B 可逆，并求出1B -.。

线性代数(含全部课后题详细答案)5第五章线性方程组习题解答.docx

习题五1・填空题(1)当方程的个数等于未知数的个数时，Ax = b有惟一解的充分必要条件是解因为R(A) = R(A \b) = n是4x = b有惟一解的充要条件.故由R(A) = n可得\A\^0.(2)线性方程组X)+兀2 =Q|，兀2 + 兀3 = °2，可+兀4 =。

3, x4 + %)=a4有解的充分必要条件是______ .解对方程组的增广矩阵施行初等行变换所以方程组有解的充要条件是R(A) = R(B),(3)设川阶方阵力的各行元素之和均为零，且-1,则线性方程组Ax = 0的通解为_____________________解令1x =.■■丄显然x满足方程组，又因为R(A) = n-l f所以2?(/) = 1,即方程组的基础解系中有一个向量，通解为⑴1 T x = k . =£(1,1,・・・，1)T, £为任意常数.■■(4)设/为〃阶方阵，|力|=0，且伽的代数余子式4,工0 (其屮，\<k<n,丿= 1,2, •••/),则Ax = O 的通解 ______ •解因为同=0,又九・工0,所以R(4)F — 1,并且有f0, i 壬 k;认+。

皿+・・・+绻仆仏|=0,匚=匕所以(血|,心2,…，血)丁是方程组的解，又因为R(A) = n-h 可知方程组的通解为TX = c(4】，42,…，4J ，其中c 为任意常数.(5)设Q 】A= a;■ ■其中,a 严J (i 韭j; i,j = \,2,…，n),则非齐次线性方程组A Jx = b 的解是x = _________解 x = (l,0,0,・・・，0)T.解 ci — —2 .2.单项选择题(1) _______________________________ 齐次线性方程组4x5^5xl = 〃解的情况是 •(A)无解；(B)仅有零解；(C)必有非零解； (D)可能有非零解，也可能没有非零解.答(C).(2) 设〃元齐次线性方程组的系数矩阵的秩/?(/) = 〃-3,且垃，$为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是 ______ .1a 29Cl；■ ■"a 1(6)设方程1 a1、1有无穷多个解,(A) -6, 2§, 3§3+§] - 2§2；(B) §1+§2, §2 - §3,刍+厶；答(A).(3)要使§=(l,0,2)T, ：=(0,1,—1)T都是线性方程组Ax = O的解，只要/为(A) (-2 1)；(B)1)(C)1-1) '-1 0 2、；(D)4-2-2、0 1 -L\ / <011/答(A).(4)已知屈，良是Ax = h的两个不同的解, a n a2是相应的齐次方程组Ax = 0的基础解系，k^k2为任意常数，则Ax = b的通解是______(A) kg + k2 a +~~~—(c)kg +他(屈-角)+ " 2"(B) kg + k2a -a2) + 卩'；几(D) k0\ + k2 (0] - 02)+ 卩'答(B).(5)设斤阶矩阵/的伴随矩阵A^O则对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系是_______ .(A)不存在；(B)仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量.答(B).(6)设有齐次线性方程组Ax =〃和Bx = 0，其屮〃均为mxn矩阵，现有4个命题:①若Ax = 0的解均是Bx = 0的解，则R(A)>R(B)；②若R(A) > R(B),则Ax = 0的解均是Bx = 0的解；③若Ax = 0与Bx = 0同解，则R⑷二R(B)；④若R(A) = R(B),则Ax = 0 与 Bx = 0同解.以上命题正确的是—(A)①，②；答(B). (B)①，③;若:是非齐次线性方程组Ax = b的互不相等的解,(C)②，④; (D)③，④.(7)设/是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则线性方程组(AB)x = 0(A)当n>m时仅有零解；(C)当m > n时仅有零解；答(D). (B)当n>m时必有非零解;(D)当m > n时必有非零解.(8)设力是〃阶矩阵，a是〃维列向量. 若秩(B) A a "0>Ax = a必有惟一解;=秩(昇)，则线性方程组.(C)A a'A么、=0仅有零解；(D)& °丿& °丿J丿(A) Ax = a必有无穷多解;〃必有非零解. 答(D).3.求下列齐次线性方程组的一个基础解系X { + X 2+ 2兀3 -兀4 = 0,(1) { 2兀]+ *2 + 兀3 一兀4 = °，2X] + 2X 2 + X3 + 2兀=°；解对系数矩阵施行初等行变换，有与原方程组同解的方程组为4X3~~X4 =0,或写为4其中为任意常数•所以,基础解系为4、X )+ 2X 2 + X3 — X4 = 0, (2) < 3旺 + 6X 2 -x 3 - 3X 4 = 0,5x } +10x 2 +呂-5X 4 =0; 解<12 1 -0<1 2 0 -1] A = 3 6 -1 -3 T 0 0 1 0<5 \ 10 1 _5丿<0 0 0°丿与原方程组同解的方程组为(42 -1、1 0 0 ~31 -1 T 0 1 0 3 1 24 70 0 1~3>A= 21 ,2 2或写为£ =-2x 2兀3 = 0,其中，X 2, x 4可取任意常数你伦，故所以，基础解系为"-2、 1 0 <0,2x, + 3X 2 -兀3 +5兀4 = 0, 3X| + x 2 + 2*3 — 7兀4 = 0, 4兀]+x 2 - 3X 3 + 6兀=0,X] —2X 2 + 4X 3 -7X 4 = 0; 解7?（力）=4 = 〃，方程组组只有零解.3%] + 4X 2 一 5X 3 + 7X 4 = 0,2%j 一 3X 2 + 3X 3 一 2X 4 = 0, 4x, +1 lx 2 -13X 3 +I6X4 = 0, 7xj - 2X 2 + X3 + 3X 4 = 0.V3 -1 5、(\-2 4 7、3 1 2 -7 0 -3 1 21 -264 1 -3 6 0 0 1 5J -2 4 一7丿〔0 0 0 327丿A =x } +2XX =4. 求解下列非齐次线性方程组.4旺 + 2X 2 一 x 3 = 2,(1) < 3兀]—x 2 +2X 3 =10,11 兀I + 3 兀2 = &解对增广矩阵施行初等行变换<42 -1 * 2、<13 -3 '-8、B = 3 -1 2 10T-10 11 343 0 1 8丿<0 0 0 -6y« 7$ 与原方程组同解的方程组为或写为所以皐础解系为<32 -3 11 3丿3 V 13 4. 17 3 17' 19 20 ---- X173 ]73—13 * — A 17 3 17 19 — 20■ _17~ J 173 17 19 17 131720 17X = 兀2兀3<3> 1917 + k. 厂-13、-20J 丿」7丿=0, x 4,所以 /?(/) = 2, R(B) = 3.无解.2兀 + 3尹+ z = 4, x — 2y + 4z = -5, 3x + 8尹一 2z = 13,4x- j? + 9z = -6；R(A) = R(B) = 2,所以原方程组有解.与原方程组同解的方程组为x = —2z — 1, y= z + 2, z =2x+ y- z+w=l,4x+2尹一 2z+w=Z 2x+ y- z-w=l ；<2 4 2R(A) = R(B) = 2.原方程组有解.与原方程组同解的方程组为1 1 1x =——y+ —z + —,2 2 2 y= y ， z =所以原方程组的通解为厂2 31 ・4<1 0 2・ -1)1 -2 4 -5T0 1 -1 2 3 8 -2 130 0 0 0 <4 -1 9<0 00 •°丿 B =/ 、"-2、r-ny =k 1 + 2 工丿k b<-1 -2z,z .5. 问九取何值时，非齐次线性方程组九X] + x 2 + x 3 = L2x+ y- z+ w=l, 3x-2y+ z-3w=4, x+4p-3z+5w=-2・[1]<r~222 1+ Z+10 0\ 丿< )＜1、rp2 + & 0 02 < 0>o20 01 -24 -1 1 1 -3-351 4 -2£ 7 5 7£ 7 9 76 7 5 7= = 原方程组有解. 与原方程组同解的方程组为1 1 6 X = —z + —w + —,7 7 7 5 9 5 2 y = — z -- w —,7 7 7 z = z,故通解为6\z \ X「1、< ny5-9 =k 、 7 + k"0 zo< 7>7 _5 ~7 0y z严« X] +心2 +兀3 =入，£ +勺+ Z =九'(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解? 解系数行列式2 1 1D= 1 几 1 =(久一1)2(2 + 2)・1 1A当2工1且2工-2时D H O,方程组有惟一解.当2 = 1时，对增广矩阵施行初等行变换则R(4) = R(B) = 1<3,故原方程组有解且有无穷多解.当A = -2时，对增广矩阵施行初等行变换<-21 1r'11 -2 4、B =1 -21-2 T 1 -2 1 -2< 11 -2 4><-2 1 1<1 1 -2 4、<1 1 -2 4、 T0 -3 3 -6 T 0 -3 3 -6 ,<0 3 -3 9丿<0 0 0 3丿/?(/) = 2, R(B) = 3.所以方程组无解.6. 非齐次线性方程组—2%| ++ 兀3 = —ZX { 一2兀2 + 兀3 =儿兀1 + X 2 - 2X 3 =九2当入取何值时有解？并求出它的全部解.解对增广矩阵施行初等行变换，得<-2 1 1 -2)<11 -2B = 1 -21T0 -3 3 A(1 —兄)< J1-2 才丿0 0 (久一1)仇+ 2)丿当Q H I 且2^-2时，R(4) = 2, R(B) = 3方程组无解. 当2 = 1时,有Q o -1 r0 1 —1 o o o o ?R(4) = R(B) = 2,方程组有解，且与原方程组同解的方程组为<1 1 1r—> 0 0 0 0<0 0 0 0.故原方程组的解为当2 = -2时,有10—12、1 -12 (0 0 0 0丿与原方程组同解的方程组为故方程组的解为(2—九)X] +2x, —2兀3 = 1，7.设｛2旺+(5-九)吃- 化=2, 问九为何值吋，此方程组有惟一解、无解或有无穷—2^| —4七 + (5 —九)七=一入一1，多解？并在有无穷多解时求出其通解.解系数行列式2-2 2 -2D= 25-2 -4 =-(2-1)2(2-10). -2-45 —久当2工1且2工10时，方程组有惟一解. 当2 = 1时，有< 12-2<1 2 -2B =2 4 -42 T0 0 0 0<-2 -44_2丿<0 00 0丿R(4) = R(B) = 1,方程组有无穷多解，此时兀2 二 k\1 + 0卫3丿<1>x =X] + 2兀2 一2兀3 = 1 通解为/ 、兀2，-2、 1+嘉0 + ⑴0 "丿< °丿<1>\ / x =当2 = 10时，有厂-8 2 -2r(2 -5 -4 2B =2 -5 -42 T 01 1 1「2 -4 -5 —11丿,00 -3/?(/) = 2, R(B) = 3,故方程组无解.8•问为何值时，非齐次线性方程组(1) 有惟一解，求出惟一解; 解方程组的增广矩阵兀[+兀2X?_ *2 +(Q _ 3)兀3 _ 2X 4 =b. 3X[ + 2X 2 + X3 + ax 4 =-l有无穷多解，并写出通解.+ X3 + X4 = 0,+ 2X + 2X = 1,1 1 1 0、1 1 1 0) 0 12 21T0 1221 0 -1 67-3 -2 b0 0 a-\ 0 b + l<3 21a j 丿<0 00 a-\o>当GH1时，R(A) = R(B) = 4,方程组有惟一解.B Trr. —a + b — 2 a — 2b + 3所以，£ = ----------- ,也= ---------- ,兀3a-\ 'a-1 B T(0a-ia —2b —a-\b + la-1=0.b+1所以，当Q = 1且b^-\时，/?(/!) = 2, R(B) = 3,方程组无解.(2)无解；(3) B此时V 、[1、24 ，”2七％ =364求该方程组的通解.解斤=4,尸=/?(/)二3,所以川一尸=1,令则§为基础解系，故方程组的通解为<0厂3、624835 J0丿<4>、6丿©=2小-(小+吃)而当G = 1且/? = 一1时，有1 o -1 -r —1、0 12 2 1 B T0 0 0R(A) = R(B) = 2,方程组有解，且与原方程组同解的方程组为x 4 = _1,x 2 +2兀3 +2 兀4 = h或写为故原方程组的通解为其中心为任意实数9.设四元非齐次线性力程组的系数矩阵的秩为3,已知％ ,弘，〃3是它的三个解向量，且其中R 可取任意常数.10. 设4〃都是〃阶方阵，且AB = O .证明R(A) + R(B)S ・证明设B = ®,筠,…，仇)，则有Ab. =0 (丿=1, 2,…，n)・可见每个曾都是Ax = O 的解向量.因R(A) = r,可知/lx 二〃的解空间的维数是n-r ,所以向量组叽 X ，…，叽的秩小于等于 m ,从而— i 于是R(4) + R(B)— + (m) = n.11. 己知非齐次线性方程组X )+吃 +兀3 +兀4 = _] 4%j + 3X 2 + 5X 3 —X 4 = —1 ax } + x? + 3X 3 + hx 4 = 1有3个线性无关的解.(1) 证明方程组的系数矩阵Z 的秩R(A) = 2； (2) 求的值及方程组的通解.解(1)设a p a 2,a 3是方程组Ax =0的3个线性无关的解，其中<111 1、r-rA = 4 3 5 -14 -i1 3 b)则有A©、_a?) = 0、A(a 、_aj = 0 ,即a } -a 2,a }-a y 是对应齐次线性方程组Ax = O 的解，且线性无关.(否则，易推出a,,a 2,a 3线性相关，矛盾).所以n-R(A)>2,即4 — R(/)n2nR(/)52.又矩阵/中有一个2阶子式】1 =-1^0,所以7?(/1)>2.因此R(A) =2.(2) 因为<1 1 1 1 ><1 1 1 1、<1 1 11 ) A = 4 3 5 -1 T 0 -11-5T0 -11-5W 13 b 丿(0 \-a3-a b_a 丿<0 0 4 —2Q b + 4a — 5丿又7?(力)=2,贝ijJ4-2d = 0, J G = 2, 爲+ 4a-5 = 0 戶爲二-3.对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，x = kg\+TJ\ = k<1 1 1 1 -1、<1 0 2 -4 2、 B = 4 3 5 -1 -1 —> 0 1 -1 5 -3<2 1 3 -3 /<0 0 0 0 0>故原方稈组与下面的方程组同解Xj — —2 兀3 + 4 兀4 + 2x 2= x 3 - 5X 4 _ 3选兀3,兀为自由变量，则故所求通解为1a,b,c 不全为零，矩阵〃 =2 .3且AB = O,求线性方程组Ax = O 的通解.解由于AB = O ,故&/) + 7?(〃)53,又由a,b,c 不全为零，可知R(A) > 1. 当&H9 时，R(B) = 2 ,于是R(A) = 1；当 k = 9 时，)= 1,于是 R(4) = 1 或 7?(/) = 2.①对于殳工9,由AB = O 可得由于7=(l,2,3)T,%=(3,6,k)T 线性无关，故弘，弘为Ax = O 的一个基础解系，于是Ax = O 的通解为x =C X TJ { + c 2r]2,其中q,C2为任意常数.②对于k = 9,分别就R(A) = 2和/?(/) = 1进行讨论.如果R(4) = 2 ,则Ax = 〃的基础解系由一个向量构成.又因为/ 2 = 0 ,所以Ax = O 的通解为X = C 1(1,2,3)T ,其中q 为任意常数.如果7?(/) = 1,则Ax = O 的基础解系由两个向量构成.又因为力的第1行是(a,b,c),且a,b,c 不全为零，所以Ax = 0 等价于 ax } + bx 2 += 0 .不妨设 a 工0 , “】=(一/>,。

线性代数第五章习题

线性代数第五章习题第五章相似矩阵及二次型一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( ) 5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n阶矩阵A和B 相似，则它们一定有相同的特征值.( ) 9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ). ?100???(A) -1,1,1(B) 0,1,1(C) -1,1,2(D) 1,1,2 2.若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( ).(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( ). (A) A?B (B) |A|?|B|(C) A与B相似(D) A与B合同4. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*的特征根之一是( ). (A) ??1|A|n (B) ??1|A| (C) ?|A|(D) ?|A|n 5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量. (A)线性相关(B)线性无关(C)两两相交(D)其和仍是特征向量 6. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( ).(A)充要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既不充分也不必要条件7. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( ). (A) r(A)?n(B) A有n个不同的特征值(C) A有n个线性无关的特征向量(D) A必为对称阵阶对称矩阵A正定的充分必要条件是. (A) A?0 (B)存在矩阵C，使A?CTC (C)负惯性指数为零(D)各阶顺序主子式为正9．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是. (A)A必与一对角阵合同(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定(C)若A与正定阵B合同，则A正定(D) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是. (A)A可逆(B)A?1正定(C)A的所有元素为正(D)任给X?(x1,x2,?,xn)T?0,均有XTAX?0 二、填空题 1. n阶零矩阵的全部特征值为_______. 2. 若A2?A，则A的全部特征值为_______. 3. 设三阶矩阵A 的特征值分别为-1,0,2,则行列式A2?A?I?. 4. 特征值全为1的正交阵必是阵. ?2231??12?5. 若A??相似与????B，则x?，y=. yx34????26.二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为. 227.若f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是. ?110???8.设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件. ?00a2???9．二次型f(x1,x2)?x1x2的负惯性指数是__________. ?13??x1?10．二次型(x1,x2)???x?的矩阵为. ?12??2?三、计算与证明题1? 试用施密特法把下列向量组正交化? ?111?(1)(a1, a2, a3)??124?? ?139????11?1??0?11?(2)(a1, a2, a3)??? ?101??110???2? 下列矩阵是不是正交阵: ?1?11??23??1?1(1)??1?; 2??211?1???32??1?8?4??999??8 14?(2)????? 99??9447????999??3? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵? 4? 设A与B都是n阶正交阵? 证明AB也是正交阵? 5? 求下列矩阵的特征值和特征向量: ?2?12?(1)?5?33?; ??10?2????123?(2)?213?; ?336????0?0(3)?0?1?001001001?0?. 0?0??6? 设A为n 阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同? 7? 设n阶矩阵A、B满足R(A)?R(B)?n? 证明A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量? 8? 设A2?3A?2E?O? 证明A的特征值只能取1或2? 9? 设A 为正交阵? 且|A|??1? 证明???1是A的特征值? 10? 设??0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值? 证明?也是n阶矩阵BA的特征值? 11? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? 3? 求|A3?5A2?7A|? 12? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? ?3? 求|A*?3A?2E|? 13? 设A、B都是n阶矩阵? 且A可逆? 证明AB与BA相似? ?201?14? 设矩阵A??31x?可相似对角化? 求x? ?405????2?12?15? 已知p?(1? 1? ?1)是矩阵A??5a3?的一个特征向量? ??1b?2???T(1)求参数a? b 及特征向量p所对应的特征值?(2)问A能不能相似对角化？并说明理? 16? 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: ?2?20?(1)??21?2?; ?0?20????22?2?(2)?25?4?? ??2?45????5??1?2?4??1 7? 设矩阵A???2x?2?与???4?相似? 求x? y? 并求一??4?21???y????个正交阵P? 使P?1AP??? 18? 设3阶方阵A 的特征值为?1?2? ?2??2? ?3?1? 对应的特征向量依次为p1?(0? 1? 1)T? p2?(1? 1?1)T? p3?(1? 1? 0)T? 求A. 19? 设3阶对称阵A的特征值为?1?1? ?2??1? ?3?0? 对应?1、?2的特征向量依次为p1?(1? 2? 2)T? p2?(2? 1? ?2)T? 求A? 20? 设3阶对称矩阵A的特征值?1?6? ?2?3? ?3?3? 与特征值?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1?1)T? 求A. 21? 设a?(a1? a2? ???? an)T ? a1?0? A?aaT?(1)证明??0是A的n?1重特征值? (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量? ?142?22? 设A??0?34??求A100? ?043???23? 在某国? 每年有比例为p的农村居民移居城镇? 有比例为q的城镇居民移居农村? 假设该国总人口数不变? 且上述人口迁移的规律也不变? 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn?yn?1)? xn?1??xn?(1)求关系式??y??A?y?中的矩阵A? ?n?1??n?x0???(2)设目前农村人口与城镇人口相等? 即??y????? 求?0????xn?? ?y??n?3?2? 求?(A)?A10?5A9? 24? (1)设A????23?????212? (2)设A??122?, 求?(A)?A10?6A9?5A8??221??? 25? 用矩阵记号表示下列二次型:(1) f?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz?(2) f?x2?y2?7z2?2xy?4xz?4yz? (3) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4 ?6x2x3?4x2x4? 26? 写出下列二次型的矩阵? 2(1)f(x)?xT??3?1?x?1???123?(2)f(x)?xT?456?x? ?789???27? 求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1) f?2x12?3x22?3x33?4x2x3?(2)f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3 ?2x3x4? 28? 求一个正交变换把二次曲面的方程3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1 化成标准方程? 29? 明? 二次型f?xTAx在||x||?1时的最大值为矩阵A的最大特征值. 30? 用配方法化下列二次形成规范形? 并写出所用变换的矩阵(1) f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3?(2) f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3?(3) f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3?31? 设f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型? 求a? 32? 判别下列二次型的正定性?(1)f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3? (2)f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2 x1x4?6x2x4?12x3x4? 33? 证明对称阵A为正定的充分必要条件是? 存在可逆矩阵U? 使A?U TU? 即A与单位阵E 合同?。

线性代数同步练习册第五章(19题,10页)

第五章特征值与特征向量1、求下列矩阵的特征值以及特征向量.(1)310 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)100110232⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭.(3)222254245-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎝⎭.(4)212533102-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎝⎭.２、已知矩阵 74147144A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征值为3（二重）和12，求a 的值及矩阵A 的特征向量.3、已知矩阵2253102x A y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的特征值为-1（三重），求,x y 的值及矩阵A 的特征向量.4、已知矩阵 111A a bc d e f ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 向量123(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)T T Tααα==-=-是A 的特征向量，求,,,,,a b c d e f 的值..5、已知矩阵15310ac A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭.其行列式1A =-. 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征向量0λ，且属于0λ的特征向量为(1,1,1)T α=--，求0,,,a b c λ的值.6、设,A E 分别是三阶方阵和单位矩阵，且满足0E A -=，0E A +=以及20E A +=，求行列式2E A A ++的值..7、设123,,x x x 分别是1232210318x x x -+-=--的根，求123x x x ++的值.8、若n 阶方阵A 满足2A A =，则称A 是幂等矩阵. 证明幂等矩阵的特征值只能是0或1.9、若n 阶方阵A 满足0mA =，则称A 是幂零矩阵. 证明幂零矩阵的特征值只能是0.10、设向量(1,1,1)T α=-是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量.（1）求参数,a b 及特征向量α所对应的特征值；（2）判断A 是否可以相似对角化，并说明理由.11、设矩阵,A B 相似，其中11124233A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，20002000B b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求参数,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=.12、设矩阵3513A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求100A .13、设矩阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求mA （其中m 为正整数）.14、设矩阵320222021A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.求正交矩阵T ，使得1T AT -为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵.15、设3阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3，且属于特征值1，2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1).T T αα=--=-- （1）求A 的属于特征值3的一个特征向量；（2）根据（1）中的结果试求矩阵A .16、试证：若A是n阶实对称矩阵，且A是幂零矩阵，则0A=. 17、试证：若A是奇数阶实正交矩阵，且1A=，则1是A的一个特征值.18、试证：若A是n阶实正交矩阵，且1A=-，则-1是A的一个特征值. 19、设矩阵A是n阶矩阵，且满足2A A=. 证明存在可逆矩阵T，使得1(1,1,,1,0,,0)T AT diag-=.第五章特征值与特征向量自测题一、选择题1、设n 阶方阵A 满足2230A A E --= ，则下面选项错误的是 ( ). (A) 3是A 的特征值 (B) A 是可逆矩阵(C)A 可以相似对角化 (D) -1不是TA 的特征值2、已知矩阵A 与对角矩阵100010001D ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则2A =（）.(A) A (B)D (C) E (D) E -3、矩阵311131113--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 和100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的关系是（）. (A) 既合同又相似（B ）相似但不合同(C) 合同但不相似 (D) 既不合同又不相似4、设n 阶实方阵A 满足120A =，则（）.(A)A E +可逆，但A E -不可逆（B ）A E +、A E -都可逆 (C)A E +不可逆，但A E -可逆 (D) A E +、A E -都不可逆5、已知Q 是n 阶可逆方阵，T A Q Q =，λ为A 的特征值，则（）. (A) 0λ>； (B) 0λ=； (C)0λ< (D)前三个选项都有可能.二、填空题1、设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，*A 为A 的伴随矩阵，则*2A E += .2、设123,,x x x 分别是1113110911x x x ---+-=---的根，则123x x x 的值= . 3、设126,2λλ==是实对称矩阵A 的特征值，向量(2,1,1),Tt α=-+(,1,2)T t β=-为分别属于6,2的特征向量，则t = .4、若矩阵01ac b c ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵，222)a b c ++= . 5、设,A E 分别是三阶方阵和单位阵，且E A -，,E A +2E A +均不可逆，则行列式2E A += .三、利用特征值、特征向量以及相似对角化等知识，计算100011210121103---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.四、设A 为三阶方阵，123,,ααα为线性无关的三维向量组，且满足1123,A αααα=++2232,A ααα=+32323A ααα=+.（1）求矩阵B ，使得123123(,,)(,,)A B αααααα=；（2）由（1）中结果，利用相似矩阵的性质，求矩阵A 的特征值；（3）由（1）、（2）中结果，利用相似矩阵的性质，求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.五、当b为任意实数时，矩阵b bb bAb b⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭是否可以相似对角化？为什么？若能对角化，写出与矩阵A相似的对角形矩阵. 六、已知n阶实方阵1000010000010000Aλλλλ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，求证A不能相似对角化.。

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