椭圆和双曲线练习题及答案

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高二数学椭圆双曲线专项练习含答案

高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线 x2－ay2＝ 1 的焦点坐标是（）A ．( 1 a , 0) , ( －1 a , 0)B． ( 1 a , 0), (－1 a , 0)C．（－a1a1D． (－a1,0),(a 1a, 0）,（a, 0）a, 0)a2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1）x ,则该双曲线的离心率为（2A ．5B ．5/2C．5D．5/43．椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，则| PF2|= 4（）A． 3 /2B．3C． 4了D． 7/24．过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点，若FA 2 FB ，则椭圆的离心率等于（）A 2B2C1D2 3223 x2y2x 2y 25．已知椭圆3m25n2 和双曲线2m23n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ． x＝±15 y B． y＝±15 x C． x＝± 3 y D． y＝± 3 x22446．设 F1和 F2为双曲线x2y2＝ 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且知足∠F1PF2＝90°，则△ F1PF2的面积4是（） A．1 B ．5C． 2D．5 27．已知 F1、 F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且PF1⊥PF2，e1和e 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）2A ．e1e22B ．e12e224C．e1e2 2 2D．112 e12e228．已知方程x 2+y 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）| m | 2 m1A ． m<2B ．1<m<2C． m< － 1 或 1<m<2 D ． m< － 1 或 1<m<32x 2y 2 x 2 y 29．已知双曲线 a 2－b 2=1和椭圆m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形x 2 y 2 1 上有 n 个不一样的点 :P 1 2 n n1 的10．椭圆3 , P , , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列｛ |P F|｝是公差大于1004等差数列 , 则 n 的最大值是（） A ． 198 B ．199C ． 200D ．201一、填空题：11．对于曲线 C ∶x 2 y 2 C 不行能表示椭圆；②4 k=1 ，给出下边四个命题：①由线k 1当 1＜k ＜ 4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则 k ＜ 1 或 k ＞ 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜ k ＜5此中全部正确命题的序号为_______ ______212．设圆过双曲线x 2 y 2 =1 的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__916x 2 y 2 1 21 213．双曲线＝ 1 的两焦点为、，点 P 在双曲线上，若 PF ⊥ PF，则点 P 到 x 轴的距离 ____9 1614．若 A （ 1， 1），又 F 1 是 5x 2＋ 9y 2=45 椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则 |PA|＋|P F 1|的最小值 _______15、已知 B(-5 ， 0) ， C(5 ， 0) 是△ ABC 的两个极点，且 sinB-sinC= 3sinA, 则极点 A 的轨迹方程是5二、解答题：16、设椭圆方程为x 2 y 2 =1，求点 M （0，1）的直线l 交椭圆于点 A 、 B ， O 为坐标原点，点P 知足41 OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .OP(OA217、已知 F1、 F2为双曲线x 2y21（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直a 2b2于 x 轴的直线交双曲线于点P，且∠ PF1F2＝ 30°．求双曲线的渐近线方程．图18、已知椭圆x2y21( a b 0) 的长、短轴端点分别为A、B，此后椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰巧a2b2经过椭圆的左焦点F1，向量 AB 与 OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上随意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右极点为( 3,0)。

椭圆与双曲线练习

椭圆和双曲线练习1 1、设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 A.22 B.2－12 C ．2－2D.2－1 2、已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝32，且过点P (2,3)，求此椭圆的标准方程。

3、椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( ) A.12 B.13 C.14 D.22 4、椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)5、已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3] C ．[4－22，4＋22] D ．[4－2，4＋2]7、椭圆过(3,0)点，离心率e ＝，求椭圆的标准方程．8、椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )A.22 B.32 C.53D.639、以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于( )A.12B.22 C.32 D.25510、中心在原点、焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 11、焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1D.y 26＋x 24＝ 12、若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.3213、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.1214、若椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是( )A.x 236＋y 220＝1 B.x 228＋y 212＝ 1C.x 225＋y 29＝1 D.x 220＋y 24＝1 15、如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝___ .16、椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为________ 17、经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________． 18、已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，求椭圆的方程19、已知椭圆x 2100＋y236＝1上有一点P ，到其左、右两焦点距离之比为，求点P 到两焦点的距离及点P 的坐标．20、若F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小21、△PF 1F 2的顶点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝θ.求△P 的面积S .22、求与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点M (－3,23)的双曲线方程．23、以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1椭圆与双曲线练习21、椭圆焦点在x 轴上，O 为坐标原点，A是一个顶点，F 是一个焦点，椭圆长轴长为6，且cos ∠OFA ＝32，求椭圆的标准方程．2、 F 1、F 2为椭圆的两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PF 1⊥PQ 且|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率.3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A.22 B.2－12C ．2－ 2 D.2－14、，点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．5、已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝32，且过点P (2,3)，求此椭圆标准方程．6、已知P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作对称轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．7、已知椭圆的两个焦点为F 1(－22，0)，F 2(22，0)，过F 1且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点．如果△MNF 2的周长等于12，求椭圆的方程为________．8、如图所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆1922=+y x 的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为（） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为（）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

椭圆双曲线抛物线大题及答案

椭圆双曲线抛物线大题及答案近年来，越来越多的数学考试和竞赛中出现了椭圆、双曲线和抛物线的大题。

这些大题考查的是对于这些曲线的了解和掌握，以及运用其性质解决数学问题的能力。

下面，我们来一起探讨一下椭圆、双曲线和抛物线的大题及其答案。

一、椭圆的大题及答案椭圆的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

1.已知椭圆的焦点为$(\pm c,0)$，准线为$x=\pm a$，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

证明：由于椭圆的准线为$x=\pm a$，则$a$为椭圆的半长轴，$b=\sqrt{a^2-c^2}$为椭圆的半短轴。

又由于椭圆的焦点为$(\pmc,0)$，则$c=\sqrt{a^2-b^2}$为椭圆的焦距。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

2.已知椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，其中一个焦点为$(4,0)$，则椭圆的方程为$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

证明：由于椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆的半长轴为$a=9$，焦距为$c=\frac{a}{3}=3$，半短轴为$b=\sqrt{a^2-c^2}=6$。

又由于一个焦点为$(4,0)$，则另一个焦点为$(-4,0)$。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

二、双曲线的大题及答案双曲线的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>0$，$b>0$。

1.已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点为$(5,0)$，则双曲线的方程为$\frac{(x-5)^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1$。

双曲线、椭圆、圆专题训练与答案

圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

高中数学圆锥曲线系统讲解第8讲《椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式》练习及答案

第8讲椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式知识与方法1．椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，P 为椭圆上任意一点，设PFO α∠=，则椭圆的焦半径2cos b PF a c α=−，若延长PF 交椭圆于另一点Q ，则椭圆的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−. 2．双曲线()222210,0x y a b a b −=>>的一个焦点为F ，P 为双曲线上任意一点，设PFO α∠=，则双曲线的焦半径2cos b PF c aα=±，若直线PF 交双曲线于另一点Q ，则双曲线的焦点弦22222cos ab PQ a c α=−.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P 和F 是否位于y 轴同侧决定，同正异负）典型例题【例1】已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______；若AF BF >，则:AF BF =______. 【解析】如图，设AFO α∠=，则45α=︒由焦点弦公式，2222222228cos 42cos 453ab AB a c α︒⨯⨯===−−⨯，由焦半径公式，22cos b AF a c α===−，23BF ==，所以:3:1AF BF =.【答案】83，3:1变式1 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=，所以cos α=，由焦点弦公式，22222222220cos 942ab AB a c α⨯⨯===−−⨯⎝⎭. 【答案】209变式2 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则由焦半径公式，23cos b AF a c α===−，解得：cos 3α=，由焦点弦公式，2222218cos 5ab AB a c α==−. 【答案】185变式3 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若AF BF AF BF λ+=⋅，则λ=________.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−，由焦半径公式，2cos b AF a c α==−，()2cos b BF a c πα==−−，所以112AF BF +==，从而2AF BF AF BF +=⋅，即2λ=.【反思】一般地，设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，则2112aAF BF b +=.变式4 已知椭圆222:14x y C b+=()02b <<的右焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若167AB =，则椭圆C 的离心率为________. 【解析】由焦点弦公式，()222222222216cos 744cos 60ab b AB a c b α⨯⨯===−−−⨯︒，解得：22b =，所以e =.变式5 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若2AF 、AB 、2BF 成等差数列，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】直线l 的斜率为1l ⇒的倾斜角45α=︒，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，2AF 、AB 、2BF 成等差数列222223AB AF BF AB AF BF AB ⇒=+⇒=++，如图，由椭圆定义可得224AF BF AB a ++=，所以34AB a =，故222264cos 45ab a a c =−︒，化简得：22232b a c =−，所以2222332a c a c −=−，从而224a c =，故椭圆C 的离心率12c e a ==.【答案】12【例2】过双曲线22:142x y C −=的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为【解析】k =⇒直线的倾斜角60α=︒，由焦点弦公式，222222222165cos 46cos 60ab AB a c α⨯⨯===−−︒. 【答案】165变式1 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若8AB =，则直线l 的方程为_______.【解析】由题意，2a =，b =，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222248cos 23cos ab AB a c αα===−−，解得：25cos 6α=或12，若25cos 6α=，则21sin 6α=，所以21tan 5α=，从而直线l 的斜率tan 5k α==，故直线l 的方程为y x =−；若21cos 2α=，则21sin 2α=，所以2tan 1α=，从而直线l 的斜率tan 1k α==±，故直线l 的方程为(y x =±；综上所述，直线l 的方程为5y x =或(y x =±【答案】5y x =±−或(y x =± 变式2 过双曲线22:142x y C −=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若23AF =，则BF =______.【解析】设AFO α∠=，因为23AF =，所以点A 必在双曲线右支上，由焦半径公式，22cos 3b AF c a α===+，解得：cos α=，所以sin α=，从而tan αC 的渐近线的斜率为2±，2>，所以点B 也在双曲线的右支上，如图，由图可知，BFO AFO ππα∠=−∠=− 所以()22cos b BF c a πα==−+.【答案】2强化训练1.（★★）已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =_______.【解析】由焦点弦公式，22222222316cos 51412ab AB a c α⨯⨯===−⎛⎫−⨯ ⎪⎝⎭. 【答案】1652.（★★）已知椭圆22:193x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AB =，则直线l 的方程为________.【解析】设直线l 的倾斜角为α，由焦点弦公式，2222222333cos 96cos ab AB a c αα⨯⨯===−−⨯，从而cos 2α=，所以45α=︒或135°，从而直线l 的斜率为1±，显然()F ，故直线l的方程为y x =+或y x =−.【答案】y x =+或y x =−−3.（★★★）已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则2ABF 的面积为________. 【解析】如图，由焦点弦公式，222228cos 3ab AB a c α==−，所以21218sin 4523ABF SF F AB =⋅⋅︒=.【答案】834.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>一个焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若34AB a =，则椭圆C 的离心率为________.【解析】由题意，直线l 的倾斜角为45°，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =−︒，因为34AB a =，所以222264cos 45ab a a c =−︒，结合222b a c =−化简得：222a c =，故离心率2c e a ==.【答案】25.（★★★）已知F 是椭圆22:142x y C +=的左焦点，过F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点M ，则AB FM=________.【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A 在x 轴下方，则22222442cos 2cos AB αα⨯⨯==−−，AF ==，所以21222cos FN AN AF AB AF α=−=−==−，从而cos FN FM α==AB FM=解法2（特值法）：考虑AB y ⊥的情形，此时4AB =，M与原点重合，所以FM =AB FM=【答案】6.（★★★）如图，椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 的面积的取值范围是________.【解析】设AFO α=，不妨假设02πα≤≤，则2EFO πα∠=+，由焦点弦公式，AB =22cos 2DE α=−+ ⎪⎝⎭，所以四边形ADBE 的面积()()2222114222cos 2sin 2cos 2sin S AB DE αααα=⋅=⨯⨯=−−−− 2222241642sin 2cos sin cos 8sin 2ααααα==−−++，显然20sin 21α≤≤，所以1629S ≤≤，即四边形ADBE 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.（★★★）双曲线22:1C x y −=的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则直线l 的方程为________. 【解析】由题意，1a b ==，c =)F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222224cos 12cos ab AB a c αα===−−，解得：23cos 4α=或14，若23cos 4α=，则21sin 4α=，所以21tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==，故直线l的方程为y x =；若21cos 4α=，则23sin 4α=，所以2tan 3α=，从而直线l的斜率tan k α==故直线l的方程为y x =，综上所述，直线l的方程为y x =或3y x =±【答案】y x =−或3y x = 8.（★★★）双曲线22:163x y C −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若213AF AF =，则2BF =________.【解析】由题意，21213AF AF AF AF ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，所以1AF =1AFO α∠=，则21cos b AF c a α==+，所以=，解得：cos α=，从而sin α==sin tan cos ααα==C的渐近线斜率为，因为<，所以点B 也在左支上，且1BFO πα∠=−，故()22cos b BF c aπα===−+【答案】39.（★★★）双曲线22:13y C x −=的左焦点为F ，点P 在双曲线C 的右支上，且5PF =，则PFO 的面积为________.【解析】解法1：由题意，1a =，b =2c =，设PFO α∠=，由焦半径公式，23cos 2cos 1b PF c a αα==−−，又5PF =，所以352cos 1α=−，解得：4cos 5α=，所以3sin 5α=，如图，显然113sin 523225PFOS PF OF α=⋅⋅=⨯⨯⨯=. 解法2：由题意，1a =，2c =，离心率2e =，设()00,P x y ，由焦半径公式，0125PF x =+=，又5PF =，所以0125x +=，解得：02x =或3−，因为P 在右支上，所以02x =，代入双曲线方程可求得03y =±，所以01123322PFOSOF y =⋅=⨯⨯±=. 解法3：如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，由双曲线定义，12PF PF −=，又5PF =，所以13PF =，易求得14FF =，所以22211PF FF PF +=，故11PF FF ⊥，所以1111143622PFF SFF PF =⋅=⨯⨯=，显然O 是1FF 的中点，所以1132PFOPFF SS ==.【答案】3。

椭圆和双曲线练习题及答案解析

第二章圆锥曲线与方程一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D.2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：选D 由a 2＞a ＋6＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以⎩⎨⎧a ＜－2或a ＞3，a ＞－6，，所以a ＞3或－6＜a ＜－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3. 又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22 C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.10．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：选B 法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P －c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ，又在Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a ，根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33.法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c .所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝33.11．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24. 12．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12B.32C.72D ．5 解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.14．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D. 15．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 16．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．17．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8 D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.18．(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜5 ，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线 x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等 B. 虚半轴长相等C ．离心率相等 D. 焦距相等解析：选D 由0＜k ＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k ＋5，所以两曲线的焦距相等．19．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k4. 又e ∈(1,2)，∴1＜1－k4＜4，∴－12＜k ＜0.20．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 解析：选A 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝bax 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a ＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题21．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5. 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 答案：3或522．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝123．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝124．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝125．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m ＝12⇒m ＝163.综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或16326．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝127．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：1628．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝129．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a .两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝130．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7，又焦点在x 轴上，则焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0)31．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：232．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：3215.三、解答题33．设F 1，F 到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．34．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2||F 1F 2＝||PF 1＋||PF 2. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)由已知得||F 1F 2＝2，∴||PF 1＋||PF 2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22－2||PF 1||PF 2cos 120°，即4＝()||PF 1＋||PF 22－||PF 1||PF 2，∴4＝(2a )2－||PF 1||PF 2＝16－||PF 1||PF 2，∴||PF 1||PF 2＝12，∴S △PF 1F 2＝12||PF 1||PF 2sin 120°＝12×12×32＝3 3.35．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12.由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a22，所以y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 37．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在双曲线上，∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a2＝1.化简，得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 38．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)． 39.已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)．因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.40．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。

椭圆与双曲线含答案

1椭圆与双曲线1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.14B.12C ．2D ．42．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．53．(2013·石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1C.x 212＋y 24＝1D.x 28＋y 24＝1 4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若1PF ·2PF ＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C. 13D.53 5．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的 ( )A ．必要但不充分条件B ．充分但不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为 ( )A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 24＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－4y 23＝1 7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( )A. 2B. 3 C ． 2 D ．38．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA · 2PF 的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．09．设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值为( )A.14B.13C.23D ．－1310．已知双曲线mx 2－y 2＝1(m >0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B 、C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为 ( )A.12B ．1C ．2D ． 311．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．12. (2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.13．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．已知双曲线kx 2－y 2＝1(k >0)的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．15．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．216. (2014·长春调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y ＋6＝0的距离为2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，且满足NA ＝－75NB，求直线l的方程．17．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP ＝2PB.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．18．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．19．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．3周末练习椭圆与双曲线参考答案1．选D 由题意可得，1m ＝12，所以m ＝4，选D. 2．选A 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.3．选D 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.4．选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF，∴|PF 1|＋|PF 2|＝655c ＝2a ，∴e ＝c a ＝53.5．解析：若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a＋y 2c b＝1表示双曲线，则c2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件．答案：A 6．解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a 3＋9＝1，解得a ＝2.又b a ＝33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 24－3y 24＝1.答案：A7．解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝ca＝ 3.答案：B8．解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)、F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)， 1PA · 2PF ＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时， 1PA · 2PF取得最小值－2.答案：A9．解析：由题意可知m －2＝3＋1，解得m ＝6.法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)，F 2(0,2)，联立x 22＋y 26＝1与y 23－x 2＝1组成方程组，解得P (22，322)．所以由两点距离公式计算得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－ 3.又|F 1F 2|＝4，所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝13.法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 为第一象限内的点，F 1(0，－2)．F 2(0,2)，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，|F 1F 2|＝4，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，同上由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝13.答案：B10．解析：由题意可得，点A 的坐标为(1m ，0)，设直线AB 的方程为y ＝tan 45°(x －1m )，即x＝y ＋1m，与双曲线方程联立可得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋1m mx 2－y 2＝1，则(m －1)y 2＋2my ＝0，解得y ＝0或y ＝2m1－m.由题意知y ＝2m 1－m 为B 点的纵坐标，且满足2m1－m>0，即0<m <1，根据选项知．答案：A 11．解析：因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |－1＞a ＋3＞0，解得－3＜a＜－2.答案： (－3，－2)12．解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.13．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.答案：214．解析：双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx .∵双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴k ＝12，k ＝14，∴双曲线的离心率为 e ＝1k ＋11k＝52，渐近线方程为12x ±y ＝0.答案：52 12x ±y ＝0415．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2， |PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：516．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c ＞0)，则|c ＋6|2＝23，c ＋6＝±26， c ＝6或c ＝－36(舍去)．又离心率c a ＝32，6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA ＝－75NB，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.①易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，于是设直线l 的方程为y ＝kx －1 (k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8.消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，② 因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1，③ y 1y 2＝1－8k 24k 2＋1， ④ 由①③得，y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1，代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，k 2＝1，k ＝±1，所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.17．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k2. [又由AP ＝2PB，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，解得49＜m 2＜4，此时Δ＞0，解不等式49＜m 2＜4得23＜m ＜2或－2＜m ＜－23，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 10．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1.11．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －1a 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴e 的取值范围是[52，5]．。

专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用(优秀经典专题及答案详解)

A． 2
B． 2 2
C．2 3
D．4
【答案】C
【解析】∵ OF 2 ，由抛物线的定义可得 P 点的坐标 3 2, 2 6 ，∴POF 的面
为
1 OF 2
yP
1 2
22
62
3．
【答案】D
【解析】设 P x,
y, A1 1,0, A2 1,0
，则 kPA1
y x 1 , kPA2
y ，则 x 1
kPA1
kPA2
y2 1 ， x2 1
又 kPA1
tan , kPA2
tan
，所以 tantan
1 ，则
2
，即 6
2
，所以
12
，
故选 D.
5.设 F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点，过点 P1,0 的直线l 交抛物线C 于 A, B 两点，点Q
为线段 AB 的中点，若 FQ 2 3 ，则 AB （）
PQ
2 k 2
2
2 k2
2
2
3 ，整理化简
1 可得： k 2
1
1 k2
2
0,
1 k2
2 .利用韦达定理有： x1 x2
42 1 2
1
6, x1x21 ， Nhomakorabea2
则 x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 32 ，
1 k2
3 ，由弦长公式可得 2
AB 1 k 2 x1 x2 4 3 .
连接 PF1，PF2，F1M，F2N，
可得 |PM |2﹣|PN| 2＝（| PF 1| 2﹣r12）﹣（| PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF 1|2 ﹣|PF 2| 2﹣3 ＝（|PF 1| ﹣|PF 2| ）（|PF 1|+|PF 2|）﹣3 ＝2a（| PF1|+| PF2 | ﹣3＝2（|PF 1|+| PF 2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13 ．当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，即最小值 13．故选：D．

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。

2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。

3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。

4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。

5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。

6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。

椭圆与双曲线有答案

椭圆与双曲线1．若直线 x － 2y ＋ 2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()22 2222A ． x＋ y 2＝ 1B ． x ＋y＝ 1C ． x＋ y 2＝ 1 或 x＋y＝ 1D ．以上答案都不对54 55452 22.设F， F分别是椭圆 C ： x2 y 2P 在椭圆 C 上，若线段 PF 1 的中点在 y12a ＋b ＝ 1(a ＞b ＞ 0)的左、右焦点，点轴上，∠ PF 1F 2＝ 30°，则椭圆的离心率为 ()A ． 3B ． 3C ．1D ． 1 3636x 2y 23. 设 P 是双曲线 16－ 20＝ 1 上一点， F 1，F 2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝ 9，则 |PF 2|等于 ()A ．1B ．17C ．1 或 17D ．以上答案均不对22xy4. 设椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△ PF 1F 2 是直角三角形，则△ PF 1F 2的面积为 ()A ．33C ．3D ．6或 3B ．3 或2 2x 2y25．已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1 与直线 y ＝ 2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A ．(1，5)B ． (1，5]C ．( 5，＋∞ )D ． [ 5，＋∞ )6. 已知 F 1， F 2 为椭圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 的左、右焦点，点 E 是椭圆 C 上的动点， EF 1 ·EF 2 的最大值、最小9 8值分别为 ()A ．9,7B ． 8,7C ． 9,8D ． 17,87. 已知两定点 A(－ 2,0)和 B(2,0)，动点 P(x ，y)在直线 l ：y ＝ x ＋3 上移动，椭圆 C 以 A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆 C 的离心率的最大值为() A ．2B ．4C ．2D ．42626 13138．已知 F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且∠πF 1PF 2＝，则椭圆和双曲线的3离心率的倒数之和的最大值为 ()4 32 3 C ． 3D ． 2A . 3B. 39．点 P 是椭圆x 2＋ y 2 ＝ 1 上一点， F 1， F 2 是椭圆的两个焦点，且△ PF 1F 2 的内切圆半径为 1，当 P 在第一25 16象限时， P 点的纵坐标为 ______．答案： 8322210. 过双曲线x2－ y2＝ 1 (a>0 ，b>0) 的左焦点 F 作圆 x2＋y 2＝ a的切线，切点为 E ，延长 FE 交双曲线的右支a b 41于点 P ，若 E 为 PF 的中点，则双曲线的离心率为 ________．答案1022 211. 已知椭圆 C ： x＋ y＝ 1，点 M 与 C 的焦点不重合．若M 关于 C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段9 4MN 的中点在 C 上，则 |AN|＋ |BN|＝ ________.答案122212.已知 F 1，F 2 为双曲线 x a 2－ yb 2＝ 1(a ＞0，b ＞ 0 且 a ≠ b)的两个焦点， P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点．给出下面四个命题：①△ PF 1F 2 的内切圆的圆心必在直线 x ＝ a 上； ②△ PF 1F 2 的内切圆的圆心必在直线 x ＝ b 上； ③△ PF 1F 2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上；④△ PF 1F 2 的内切圆必通过点 (a,0)．其中所有真命题的序号是 ______．答案： ①④13. 如图，已知椭圆x 2 y 22 10 在椭圆上．2 ＋ 2＝ 1(a>b>0)的右焦点为 F 2(1,0) ，点 H 2,3ab(1) 求椭圆的方程；(2) 点 M 在圆 x 2＋ y 2＝ b 2 上，且 M 在第一象限，过 M 作圆 x 2＋ y 2＝ b 2 的切线交椭圆于 P ， Q 两点，求证：△ PF 2Q 的周长是定值．解： (1) 设椭圆的左焦点为 F 1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－ 1,0)， F 2(1,0)， c ＝ 1，∵ H 2， 210在椭圆上，3∴ 2a ＝ |HF 1|＋ |HF 2|＝2＋12＋2 10 2 ＋2－ 1 2＋ 210 2＝ 6，∴ a ＝ 3， b ＝2 2，332 2故椭圆的方程是x＋y＝ 1.982 2x 1y 1(2)证明：设 P(x 1， y 1)，Q(x 2， y 2)，则 9 ＋ 8 ＝ 1，22x 1－ 12x 12＝x 1 2，|PF 2|＝ x 1 － 1 ＋ y 1＝＋8 1－9 － 331∵ 0<x 1<3，∴ |PF 2|＝3－ 3x 1，在圆中， M 是切点，2 12 2 22 2x 1∴ |PM |＝ |OP| －|OM | ＝ x 1＋ y 1－ 8＝x 1＋ 8 1－ 9 － 8＝ 3x 1，1 1∴ |PF 2|＋ |PM|＝ 3－ 3x 1＋ 3x 1＝ 3，同理： |QF 2|＋ |QM |＝ 3，∴ |F 2P|＋ |F 2Q|＋ |PQ |＝3＋ 3＝ 6，2因此△ PF 2Q 的周长是定值 6.214. 已知椭圆 C 1的方程为x＋ y 2＝ 1，双曲线 C 2 的左、右焦点分别是 C 1 的左、右顶点，而C 2 的左、右顶4点分别是 C 1 的左、右焦点， O 为坐标原点．(1) 求双曲线 C 2 的方程；(2) 若直线 l ： y ＝ kx ＋ 2与双曲线 C 2 恒有两个不同的交点 A 和B ，且· ＞ 2，求 k 的取值范围．OA OB2 2解： (1) 设双曲线 C 2 的方程为 xya 2－b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，则 a 2＝ 4－1＝ 3， c 2＝ 4，再由 a 2＋b 2＝c 2，得 b 2＝ 1，2x2故双曲线 C 2 的方程为－y ＝ 1.(2)将 y ＝ kx ＋ 2代入 x 22222kx － 9＝ 0. 3 －y ＝1，得 (1－ 3k )x － 6由直线 l 与双曲线 C 2 交于不同的两点，1－3k 2≠0，2 ＜121 得2＋36 1－ 3k 2 ＝ 36 1－ k 2＞ 0， ∴k 且 k ≠ .①＝－ 6 2k3设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1＋ x 2＝ 6 2k2， x 1x 2＝－ 92.1－ 3k 1－ 3k∴ x 1x 2＋ y 1y 2 ＝x 1 x 2＋ (kx 1＋ 2)(kx 2＋ 2)23k 2＋ 7＝ (k ＋ 1)x 1x 2＋ 2k(x 1＋ x 2)＋ 2＝3k 2.－ 1又∵· ＞ 2，即 x＋ y＞ 2，∴3k2＋ 7－ 3k 2＋ 9＞ 2，即＞ 0，OA OB1x 21y 23k 2－ 13k 2－ 11212解得 3＜ k ＜ 3.② 由①②得 3＜ k ＜ 1，故 k 的取值范围为－ 1，－3 ∪3，1 .33x 2 y 2＝1(a>b>0) 的一个顶点， C 1 的长轴是圆2 2＝ 4 的直径． l 1， 15．如图，点 P(0，－1)是椭圆 C 1： 2＋2C 2：x ＋ ya bl 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l 1 交圆 C 2 于 A ， B 两点， l 2 交椭圆 C 1 于另一点 D.(1) 求椭圆 C 1 的方程；(2) 求△ ABD 面积取最大值时直线 l 1 的方程．2解(1) 由题意得b ＝1，所以椭圆 C 的方程为 x＋ y 2＝1.14a ＝ 2.(2) 设 A( x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， D( x 0，y 0 )．由题意知直线 l 1 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线 l 1 的方程为 y ＝ kx －1. 又圆 C 2： x 2＋ y 2＝ 4，3培优课堂故点 O 到直线 l1的距离 d＝1，所以 |AB|＝ 24－ d2＝ 2k2＋1又 l 2⊥ l1，故直线 l 2的方程为x＋ ky＋ k＝ 0.x＋ ky＋ k＝0，由x2＋4y2＝4.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故 x0＝－8k2.所以|PD|＝8 k2＋ 14＋ k2 . 4＋ k设△ ABD 的面积为S，则184k2＋ 3 S＝·|AB| |PD· |＝ 2 ，24＋ k所以 S＝3213≤32＝ 1613，4k 224k2＋ 3·1313＋ 3＋24k ＋ 34k2＋ 34k2＋ 32.k ＋ 1当且仅当 k＝±10时取等号．所以所求直线l 1的方程为 y＝±10x－ 1. 224。

椭圆、双曲线测试含答案

椭圆、双曲线测试（含答案）一、单选题1．已知双曲线C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线 C 的标准方程为 A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=．设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =，则虚半轴长224223n -= ∴双曲线的方程是221412y x -=．故选C ．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 2．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（） A ．3B 10C 152D 51【答案】A 【解析】【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得. 【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点），故选：A.3．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线2211x y t t+=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件. 故选：B4．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】【分析】根据12PF F △的面积以及该三角形为直角三角形可得1218PF PF ⋅=，22212||||4PF PF c +=，然后结合12||||2PF PF a +=，简单计算即可.【详解】依题意有12||||2PF PF a +=，所以2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=又12PF PF ⊥，1212192PF F S PF PF =⋅=△，所以1218PF PF ⋅=，又22212||||4PF PF c +=，可得224364c a +=，即229a c -=，则3b =，故选：B.5．如图，椭圆的中心在坐标原点,O 顶点分别是1212,,,A A B B ，焦点分别为12,F F ，延长12B F 与22A B 交于Р点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意，12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，从而有22210B A F B ⋅<，结合222b a c =-即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则22(,)B A a b =-，21(,)F B c b =--，因为12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，所以22210B A F B ⋅<，即20ac b -+<，又222b a c =-，所以220a ac c --<，两边同时除以2a ，得210e e --<，即210e e +->，解得e e >，又01e <<，1e <<，所以椭圆离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭，故选：D ．二、填空题6．与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为_________.【答案】22133y x -=【解析】【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设双曲线方程为：22(0)x y λλ-=≠，于是得22123λ=-=-，则有223x y -=-，所以双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=7．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则12F PF ∆的面积是________.【答案】【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出12cos F PF ∠，最后由面积公式计算可得；【详解】解：由椭圆的定义得12||||220PF PF a +==，18PF =，∴212PF =，22222212121212||||812161cos 281242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⨯⨯⋅，∴21n si F PF ∠==1218122PF F S =⨯⨯=△.故答案为：8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为________．【答案】9 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF +=，结合基本不等式即可求得12MF MF ⋅的最大值. 【详解】 ∴M 在椭圆C 上 ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤，当且仅当123MF MF ==时取等号.故答案为：9.9．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-= 【解析】【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故答案为：220x y +-=．三、解答题10．已知定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过(1,2)Q 的直线1l ，2l 分别与点P 的轨迹相交于点M ，N （均异于点Q ），记直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，若120k k +=，求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1||1x =+，整理即可得轨迹方程.（2）根据题设令11(,)M x y 、22(,)N x y ，1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，联立抛物线方程求,M N 的坐标，再应用两点式求MN k 即可证结论. (1)||1x =+，则22(||)y x x =+，又0x ≥， ∴24y x =，故动点P 的轨迹方程为24y x =. (2)由题设，令1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，1l 联立抛物线，可得：22222(22)(2)0k x k k x k --++-=，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，∴212()k x k -=，则142y k =-，同理可得222()k x k +=，则242y k=--，∴2121818MNy yk k x x k--===--，为定值.11．已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F且离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=，1234x x ⋅=，∴||MN ==12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆.(1)求C 的轨迹方程；(2)动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(4)16x y -+= (2)22464()39x y -+=【解析】【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.（2）求解轨迹方程求谁设谁，设(,)M x y ，00)(P x y ，用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案. (1)由已知得212a =，24b=，故4c =，所以1(4,0)F -､2(4,0)F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4，所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=； (2)设动点(,)M x y ，00)(P x y ，，则1(4,)F M x y =+，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -，即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=，代入得22343(4)()1622x y+-+=，化简得22464()39x y -+=.13．已知双曲线2214x y -=，P 是双曲线上一点.(1)求证：点P 到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.(2)已知点(3,0)A ，求PA 的最小值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =2d =得到22112154d d x y -⋅=，结合双曲线的定义，即可求解.（2）设P 的坐标为(,)x y ，求得2225124(3)()455PA x y x =-+=-+，结合2x ≥，即可求解. (1)证明：设11(,)P x y 是双曲线2214x y -=上的任意一点，则221144x y -=，该双曲线的两条渐近线方程分别为20x y -=和20x y +=，点11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =和2d =则2211124554y x d d -⋅===，所以点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)解：设P 的坐标为(,)x y ，则()()22222251243314455x PA x y x x ⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x ≥，所以当125x =时，2PA 的最小值为45，即PA。

椭圆、双曲线测试题(含答案)

椭圆、双曲线测试题(含答案)章末综合测评(二)：圆锥曲线与方程本次测评共分为一、二两大题，时间为120分钟，满分150分。

一、选择题1.椭圆 $x^2+my^2=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值是（）A。

1.B。

2.C。

4.D。

11/4解析：由题意可得 $2=2\times2$，解得 $m=11/4$。

故选D。

2.下列双曲线中，渐近线方程为 $y=\pm2x$ 的是（）A。

$x^2-4y=1$。

B。

$4x^2-y=1$。

C。

$x^2-2y=1$。

D。

$2x^2-y=1$解析：由渐近线方程为 $y=\pm2x$，可得 $2=\pm x$，所以双曲线的标准方程可以为 $x^2/4-y^2/1=1$ 或 $-x^2/4+y^2/1=1$，舍去 C。

故选 A。

3.若双曲线 $a^2-b^2=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$，则此双曲线的离心率为（）A。

$\sqrt{3}/5$。

B。

$4/3$。

C。

$\sqrt{5}/3$。

D。

$3/2\sqrt{2}$解析：由双曲线的渐近线过点 $(3,-4)$，知 $a=3$，又$b^2=c^2-a^2=16-9=7$，故$e=\sqrt{1+b^2/a^2}=\sqrt{16/9+7/9}=\sqrt{23}/3$，故选 D。

4.平面内有定点 $A$、$B$ 及动点 $P$，设命题甲是“$|PA|+|PB|$ 是定值”，命题乙是“点 $P$ 的轨迹是以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（）A。

充分不必要条件。

B。

必要不充分条件。

C。

充要条件。

D。

既不充分也不必要条件解析：点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$|PA|+|PB|$ 是定值，但点 $P$ 的轨迹不一定是椭圆，反之成立，故选 B。

5.已知动圆 $E$ 与圆 $A$：$(x+4)^2+y^2=2$ 外切，与圆$B$：$(x-4)^2+y^2=2$ 内切，则动圆圆心 $E$ 的轨迹方程是（）A。

椭圆、双曲线、抛物线习题(有答案)

1．双曲线222x y -=的焦距为（）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-，、()20，，并且过点(233，，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==，双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2．【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8．【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得：令，得到故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0，则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。

椭圆及双曲线练习题(含详解)

椭圆练习题一、选择题1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( D ) A ．x －2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x ＋3y ＋4＝0 D ．x ＋2y －8＝02.(2014²福州高二检测)椭圆+=1上一点A 到焦点F 的距离为2,B 为AF 的中点,O 为坐标原点,则|OB |的值为( B )A.8B.4C.2D. 3.已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且²=0,则点M 到x 轴的距离为( C ) A. B. C. D. 4.(2014²衡水高二检测)如果AB 是椭圆+=1的任意一条与x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为AB 的中点,则k AB ²k OM 的值为( C )A.e-1B.1-eC.e 2-1D.1-e 25.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A.2B.3C.6D.8二、填空题 6．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．答案：2 120°7．(2011²浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．答案：(0，±1)8．(2010·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程________．答案：x 24＋y 2＝1. 三、解答题9.设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F 1的直线l 与E 相交于A,B 两点,且|AF 2|,|AB|,|BF 2|成等差数列.(1)求|AB|.(2)若直线l 的斜率为1,求b 的值.双曲线练习题一、选择题1．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( C )A.365B.566C.65D.562．(2013·岳阳质检)等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( D ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 3．(2012·高考湖南卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( A )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( D ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 5．(2010²新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( B )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 6．(2011²课标全国高考)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( B ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．37．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( C )A.12B.22C.62D.328．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( A ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x 9．焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( B ) A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( C )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题 11.已知F 是双曲线的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为__________． 12．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．答案：x 29－y 2＝1 13．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__________．答案：4814．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 以直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．答案：2三、解答题15．经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点． (1)求直线l 的方程；(2)求线段AB 的长．16. 已知曲线C x 2-y 2=1及直线l ：y=kx-1．（1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为，求实数k 的值．。