三角形三边关系的常见应用
任意三角形三条高的长度关系及其应用
任意三角形三条高的长度关系及其应用三角形三边之问的关系是大家是非常熟悉的性质，即“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．其实任意三角形的三条高之间的长度关系也有着密切的联系．设三角形三条边分别是a 、b 、c ，对应边上的高分别为h a 、h b 、h c 不失一般性，令a ≥b ≥c ，由面积关系ah a ＝bh b ＝ch c ，知h a ≤h b ≤h c ，,c c b ah h b c a c h h ==． 再由b －c<a<b ＋c ，可得,c c c b a bh h h c c c c c h h h -<<+ 化简整理，得11111b c a b ch h h h h -<<+ 同理可得11111a c b a ch h h h h -<<+， 11111a b c a bh h h h h -<<+． 这就是：任意三角形两条高的倒数和大于第三条高的倒数，任意三角形两条高的倒数差小于第三条高的倒数．下面举例说明上述结论在解题中的应用．例1 试判断长度分别是1、2、3的三条线段能否作为一个三角形的三条高．解 根据三角形三条高的长度关系，如果长度为l 、2、3的三条线段可以作为一个三角形的三条高，那么必须有111123-<．但11111223-=>，所以长度分别为1、2、3的三条线段不能作为一个三角形的三条高．例2 （2011年全国初中数学联赛）已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解 令第三条高线长为m ，根据三角形三条高线的长度关系，得11111520520m -<<+ 化简得4<m<203．所以第三条高的最大值是6．例3 △ABC 的三边为a 、b 、c ，且a ＝2，S △ABC ＝1，h b 、h c (h b <h c )分别为b 、c 边上的高，试证明h c －h b <h c ·h b <h c ＋h b ．证明 因为2S △ABC ＝a ·h a ，将a ＝2，S △ABC ＝1代入得h a ＝1．由11111b c a b ch h h h h -<<+，得 11c b c b b ch h h h h h -<-<•．同理可得c b c b h h h h •<+， ∴h c －h b <h c ·h b <h c ＋h b ．上述结论也可理解为：有一条边上的高为单位l 的三角形中，另两边上的高的乘积大于它们的差而小于它们的和．与三角形三边关系一样，为了体现“任意”，又要快捷判断，只要用较短两条线段长相加都大于第三条线段长，那么这三条线段一定能组成三角形．同样地，只要用最短的线段长的倒数减去另外一条线段长的倒数都小于第三条线段长的倒数，那么这样的三条线段便可以作为一个三角形的三条高．。
三角形三边关系定理的应用
三角形三边关系定理的应用三角形是几何学中的基本图形之一，而三角形的性质和关系也是几何学中的重要内容。
三角形三边关系定理是指三角形三边之间的关系定理，通过这些定理可以解决与三角形三边相关的各种问题。
本文将探讨三角形三边关系定理的应用。
一、勾股定理的应用勾股定理是三角形三边关系定理中最为熟知和常用的定理之一。
它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
根据勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形，也可以计算它的边长。
例如，已知一个三角形的两条边长分别为3和4，若要求第三边的长度，可以使用勾股定理：3²+4²=5²，因此，第三边的长度为5。
二、余弦定理的应用余弦定理是三角形三边关系定理中的重要定理，它描述了三角形中一个角的余弦与三条边之间的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的三边长度，C表示夹角的度数。
通过余弦定理，我们可以解决一些与三角形的边长和角度相关的问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为3和4，而它们夹角的度数为60°，那么可以使用余弦定理来求解第三边的长度c：c² = 3² + 4² -2×3×4cos60°，计算得出c的值为2。
三、正弦定理的应用正弦定理也是三角形三边关系定理中的一项重要定理，它描述了三角形中一个角的正弦与三条边之间的关系。
正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的三边长度，A、B、C分别表示对应边的夹角。
正弦定理可以用于解决一些与三角形的边长和角度相关的问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为3和4，而它们夹角的度数为60°，那么可以使用正弦定理来求解第三边的长度c：3/sin60° = 4/sinB =c/sinC，通过计算可以得到c的值。
三角形的三边长度关系
三角形的三边长度关系一、什么是三角形的三边长度关系三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个角组成。
三角形的三边长度之间存在一定的关系，这个关系可通过不等式来描述。
在本文中，我们将探讨三角形三边长度关系的原理和性质，并给出相关的数学证明和例子。
二、三边长度关系的基本定理在三角形中，三条边的长度分别为a、b、c，根据三条边的关系，可以得到以下的三个定理。
1. 任意两边之和大于第三边三角形的基本性质之一是，任意两边之和大于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b > cb +c > aa + c > b这个定理可以直观地理解为，在一个平面上，无法通过两条较短的线段连接起来构成一条较长的线段。
2. 两边之差小于第三边三角形的第二个定理是，两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a -b | < cb -c | < aa - c | < b这个定理可以通过反证法来证明。
假设存在一个三角形ABC，使得|a - b| >= c，那么可以推出a >= b + c，与第一个定理矛盾，所以这个不等式成立。
3. 两边之和大于第三边的充要条件三角形的第三个定理是，两边之和大于第三边是构成三角形的充要条件。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b >c 且 b + c > a 且 a + c > b证明：假设存在一个三角形ABC，使得a + b > c 且 b + c > a 且 a + c > b不成立。
不失一般性，我们假设a + b <= c。
由于a和b的长度是正数，所以这个不等式不成立。
因此，两边之和大于第三边是构成三角形的必要条件。
三、三边长度关系的数学证明下面我们给出三边长度关系的数学证明，以深入理解这个定理的原理。
1. 任意两边之和大于第三边的证明假设有一个三角形ABC，其中三边分别为a、b、c。
直角三角形三边关系345
直角三角形三边关系345直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间存在一定的关系，其中最为著名的就是3-4-5关系。
3-4-5关系是指在一个直角三角形中，一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，而斜边的长度为5。
这个关系可以用勾股定理来证明。
根据勾股定理，直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，3的平方加上4的平方等于5的平方，即3^2 + 4^2 = 5^2，计算结果为9 + 16 = 25，两边相等，关系成立。
这个关系在数学中有很多应用。
首先，它可以用来计算直角三角形中未知边的长度。
如果已知一个直角三角形的一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，我们可以利用3-4-5关系求出斜边的长度为5。
同样地，如果已知斜边的长度为5，可以利用3-4-5关系求出其他两条边的长度。
3-4-5关系还可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边的长度符合3-4-5关系，那么这个三角形就是一个直角三角形。
除了3-4-5关系外，还存在其他的直角三角形边长关系。
比如5-12-13关系，其中一条直角边的长度为5，另一条直角边的长度为12，而斜边的长度为13。
同样地，这个关系也可以用勾股定理进行证明。
直角三角形的边长关系在实际应用中有广泛的运用。
例如在建筑工程中，设计师可以利用这些关系来计算建筑物的尺寸。
在地理测量中，测量员可以利用这些关系来计算地理位置的坐标。
总结起来，直角三角形中的边长关系是数学中的一个重要概念。
其中最为著名的就是3-4-5关系，它可以用来计算直角三角形中未知边的长度，判断一个三角形是否为直角三角形，并在实际应用中发挥重要作用。
熟练掌握这些关系对于数学学习和实际问题解决都有很大的帮助。
三角形三边关系定理及其推论的应用
三角形的三边关系三角形三边的关系，是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，从中我们不仅能够了解三角形三边之间的大小关系，也提供了判断三条线段能否组成三角形的标准。
三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，两边之差小于第三边。
常见应用类型类型一：判断三条线段能否组成三角形根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析。
判断能否组成三角形的简便方法是：看较小的两个数的和是否大于第三个数。
下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．5，4，2 C．2，2，4 D．4，6，11【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【解答】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故A错误；B、2+4＞5，能够组成三角形；故B正确；C、2+2＝4，不能组成三角形；故C错误；D、6+4＜11，不能组成三角形，故D错误．故选：B。
类型二：求三角形第三边的长或取值范围根据三边关系确定某一边的取值范围，一般题目中会给出其他两边的大小，需要注意的是结合实际问题的运用，比如：人数组成三角形中的隐含条件，数字必须是正整数。
一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（）A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cmC．4 cm D．2 cm或6 cm【分析】可先求出第三边的取值范围．再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数（偶数+偶数=偶数），从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长．【解答】解：设第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．又x为偶数，因此x＝4或6，故选：B。
类型三：解答等腰三角形相关问题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，一般没有明确腰和底边的题目，一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键。
三角形三边关系的应用
三角形三边关系的应用三角形三边关系是指，在三角形中，如果有一边的长度大于另外两边的和，则这三边无法构成三角形。
否则，这三边可以构成三角形。
这种关系通常被称为三角不等式，并且在数学和几何中有许多应用。
例如，可以使用三角不等式来判断是否可以在平面内绘制一个三角形。
如果给出三条线段的长度，可以使用三角不等式来确定这三条线段是否可以构成三角形。
三角形三边关系还可以用于解决几何问题，例如确定两个三角形是否具有相似的形状。
如果两个三角形的所有边的长度之比相同，则这两个三角形是相似的。
可以使用三角不等式来证明两个三角形是否相似。
在工程学中，三角形三边关系也很重要。
例如，在建造桥梁时，工程师可能会使用三角不等式来确定建造桥梁所需的最小梁宽。
我来给你详细举例说明三角形三边关系的应用。
判断是否可以在平面内绘制三角形假设我们给出了三条线段的长度a、b 和c，我们可以使用三角不等式来判断是否可以在平面内绘制三角形：如果a + b > c，则可以在平面内绘制三角形，因为a 和b 的长度之和大于c，c 足以成为这个三角形的最长边。
如果b + c > a，则可以在平面内绘制三角形，因为b 和c 的长度之和大于a，a 足以成为这个三角形的最长边。
如果a + c > b，则可以在平面内绘制三角形，因为a 和c 的长度之和大于b，b 足以成为这个三角形的最长边。
如果任何一个不等式都不成立，则无法在平面内绘制三角形。
例如，假设我们有三条线段，分别为3、4 和5。
我们可以使用三角不等式来判断是否可以在平面内绘制三角形：a +b = 3 + 4 = 7 >c = 5b +c = 4 + 5 = 9 > a = 3a + c = 3 + 5 = 8 >b = 4由于所有不等式都成立，所以可以在平面内绘制三角形。
确定两个三角形是否具有相似的形状假设我们有两个三角形，称为三角形A 和三角形B。
如果两个三角形的所有边的长度之比相同，则这两个三角形是相似的。
「初中数学」三角形三边关系的六种应用
三角形的三边关系为:三角形，任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.由于是线段的不等量关系，我们在遇到求边或周长的范围以及一些不等量的习题时，就要想到利用这一性质，常见的应用如下:一.判断三条线段能否组成三角形(最直接的方法是，若两条短线段的和大于最长的线段，则此三线段可构成三角形)1.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(____)A.2，3，4.B.5，6，7.C.5，6，12.D.6，8，10.2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是(____)A.5，5，10.B.4，5，6.C.4，4，4.D.3，4，5.二.求三角形第三边的长或取值范围3.若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a2一9|+(b一2)2=0，则第三边长a的取值范围是______.4.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(______).A.14.B.10.C.3.D.2.5.若三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是(_____).A.6<L<15.B.6<L<16.C.11<L<13.D.10<L<166.一个三角形的两边长分别为5㎝和3㎝，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(_____).A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝.三.求等腰三角形的边长及周长7.已知实数x，y满足|x一4|+(y一8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(____).A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不对.8.若等腰三角形的周长为10㎝，其中一边长为2㎝，则该等腰三角形的底边长为(_)A.2㎝，B.4㎝.，C.6㎝，D.8㎝.9.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数.(1)求△ABC的周长;(2)判断△ABC的形状.解:(1)∵AB=5，BC=2，∴3<AC<7，又∵AC的长为奇数，∴AC=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12.(2)∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形四.化简含绝对值的式子10.已知a，b，c为三角形的三边长，化简:|b+c一a|+|b一c一a|一|c一a一b|一|a 一b+c|.【分析】化简绝对值，关键判断绝对值里边的代数式是正数、负数还是零.是正数或零，去掉绝对值，代数式保持不变;是负数，去掉绝对值后，代数式变为原来的相反数，之后，能合并的再合并同类项.本题通过三角形三边关系判断绝对值里边代数式的正、负情况.解:∵a，b，c为三角形的三边长，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴b+c一a>0，b一c一a<0，c一a一b<0，a一b+c>0，∴原式=(b+c一a)一(b一c一a)+(c一a一b)一(a一b+c)=2c 一2a.五.证明线段不等关系10.如图，已知P是△ABC内一点，求证:PA+PB+PC>(AB+BC+AC)【分析】AP，BP，CP把△ABC分为三个三角形，每个三角形两边和大于第三边，AP，BP，CP正好各用两次，也即2PA+2PB+2PC>AB+BC+AC，也即得证.证明:在△ABP中，PA+PB>AB，在△ACP中，PA+PC>AC，在△BPC中，PB+PC>BC，∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2.11.如图，P是正方形ABCD的边DC延长线上的一点，连结PA交BC于点E，求证:AP>AC.【分析】证明线段不等关系，想到三角形三边关系，可AC，AP，PC是在一个三角形中，但又引进了PC，那么就想到把AP折成两条线段和AC围成一个三角形，那么又怎样把AP分成两段呢？从图看∠ECP=90°，想到直角三角形斜边的中线，如图取PE的中点F，连结CF，则PF=CF，这样成功的把AP段分成AF，PF两段，CF等量代换PF，在△ACF中利用三边关系可证.证明:取PE的中点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥DP，∴CF=FP=PE/2，在△AFC中，有AF十FC>AC，∴AF十FP>AC，即AP>AC.12.如图，已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分线上的一点.求证:DB+DC>AB+AC.【分析】要证DB+DC>AB+AC，可用三角形三边关系定理，但必须把BD、DC、AB+AC移到一个三角形中，可以从构造AB+AC入手，由于AD平分∠EAC，利用角平分线的对称性，将AC，AB移在一条线上，同时能将CD边进行转换，如图，在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN则可构造出△DAN≌△DCA，则AC=AN，DC=DN，达到了所要的目的在△BDN中，BD+DN(DC)>AN(AB+AC).证明:在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，AD=AD，AN=AC，∴△ADN≌△ADC，∴DN=DC，在△BDN中，BD+DN>BN，∴BD+DC>AB+AC.13.如图，P为△ABC内一点，求证:AB+AC>PB+PC.【分析】直接运用图中的△ABC和△PBC得到的AB+AC>BC，PB+PC>BC，不能解决问题，为使PB和CP同时出现在大于号右侧，则应构造新的三角形，可延长BP交AC于点D，或过点P作一直线.证明:(一)如图，延长BP交AC于点D，在△ABD中，AB+AD>BD，即AB+AD>BP+PD，在△CDP中CD+PD>PC，∴AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC，∴AB+AD+CD>BP+PC，即AB+AC>BP+PC.证明:(二)如图，过点P任作一直线交AB于E交AC于F在△AEF中，AE+AF>EP+PF，在△BEP中，BE+EP>PB，在△PFC中，FC+PF>PC，∴(AE+BE)十(AF+FC)十EP+PF>PB+PC+EP+PF，∴AB+AC>PB+PC.六.利用三角形三边关系求最值13.如图∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，在运动过程中，点D 到点O的最大距离是多少？【分析】动点问题，总的方法是，以静制动，取AB的中点H，OH=AB/2不变，由勾股定理得AD2+AH2=DH2，∴DH=√2，也不变，在△DOH中，OH在变，有OH+DH≥DO，则点D、H、O 三点共线时取等号，所以点D到点O的最大距离为OH+DH=√2+1，如图.前八题答案如下:1.C，2.A，3.1<c<5，4.B，5.D，6.B，7.B，8.A.。
三角形的三边关系与不等式
三角形的三边关系与不等式在初中数学中，我们学习了很多关于三角形的知识，其中包括三边关系与不等式。
三角形是由三条边所围成的多边形，它具有很多特点和性质，其中三边关系与不等式是我们研究三角形特性的重要内容。
1. 三边关系在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
这是三角形的基本性质之一。
假设一个三角形的边长分别为a、b、c，那么有以下三边关系：a +b > ca + c > bb +c > a这个不等式告诉我们，如果三个数满足三边关系，那么它们可能构成一个三角形。
但是如果三个数不满足其中任意一个不等式，那么它们就无法构成一个三角形。
2. 三边长度的不等式在三角形中，三边的长度也存在一些特定的不等式关系。
最常见的是三角形的最大边长与其他两边之和的关系。
假设一个三角形的三边长度分别为a、b、c，其中c为最大边长，那么有以下不等式关系：c < a + b这个不等式表明，三角形的最大边长小于其他两边的和。
如果一个三角形的最大边长大于等于其他两边之和，那么这个三角形就无法存在。
3. 三边长度的应用三边关系与不等式是我们在解三角形问题时的重要依据。
通过这些关系，我们可以判断一个给定的三边长度是否能够构成一个三角形，并且可以进一步确定三角形的类型。
根据三边关系与不等式，我们可以得出以下结论：- 当三边长度满足 a + b > c，a + c > b，b + c > a时，可以构成一个三角形。
- 当三边长度满足 a = b = c 时，这个三角形是等边三角形，即三边相等。
- 当三边长度满足 a = b 或 a = c 或 b = c 时，这个三角形是等腰三角形，即两边相等。
- 当三边长度满足 a² + b² = c²或 a² + c² = b²或 b² + c² = a²时，这个三角形是直角三角形。
三角形三边关系的典型应用
三角形三边关系的典型应用
三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.
知识点一：三角形成立的条件
例1．下列各组线段能组成一个三角形的是（）
A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，12cm D．4cm，7cm，11cm
例2．现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）
A．0.85m长的木条B．0.15m长的木条C．1m长的木条D．0.5m长的木条
知识点二：三角形成立的条件
例4．若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是（）
A．6＜l＜15B．6＜l＜16C．11＜l＜13D．10＜l＜16
例5．若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．
知识点三：三角形三边关系与等腰三角形结合
例8．已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．
例9．有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．
知识点四：利用三边关系证明不等关系
例12．已知：如图，P 是△ABC 内一点，请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．
例13．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC
知识点五：三边关系的实际应用
例15．现在有3、4、7、9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那怕么可以组成的三角形的个数是_______．
B
M
N P A。
923三角形的三边关系课件2024新版
06
复杂图形中三角形三边关系应 用
Chapter
多边形内划分为多个三角形策略
多边形内划分三角形的基本方法
通过多边形的顶点和对边中点连线，将多边形划分为多个三角形。
三角形三边关系在多边形中的应用
利用三角形两边之和大于第三边的性质，可以判断多边形内划分出的三角形的合法性，进而求解多边形相关问题 。
圆内接和外切三角形性质探讨
三角形外角性质
一个三角形的外角等于与它不相邻的 两个内角的和。
推论
三角形的外角大于任何一个与它不相 邻的内角；一个三角形的三个外角之 和等于360°。
三角形稳定性原理
三角形稳定性原理
当三角形的三条边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了，即三角形的稳定 性。
应用
在建筑、桥梁等工程中，经常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性。例如， 在建筑物的屋顶或桥梁的支撑结构中，常常采用三角形的构造方式。
射影定理的逆定理
如果三角形的一边上的射影满足 射影定理，则这个三角形是直角
三角形。
应用举例
利用射影定理求直角三角形的未 知边长、证明相关几何问题等。
05
等腰和等边三角形三边关系特 例
Chapter
等腰三角形性质及判定方法
性质
等腰三角形的两腰相等，两底角相等，是轴对称图形，对称 轴是底边的垂直平分线。
三角形分类
按边可分为等边三角形、等腰三 角形和不属于以上两种的其他三 角形；按角可分为锐角三角形、 直角三角形和钝角三角形。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
推论
直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至少有两个锐角；一个三角形中最 多有一个直角或钝角。
直角三角形的三边关系与计算
直角三角形的三边关系与计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在直角三角形中，三条边之间存在着一定的关系，可以通过已知条件计算出未知边的长度。
本文将详细介绍直角三角形的三边关系与常见的计算方法。
1. 三边关系在直角三角形中，三条边分别称为斜边、邻边和对边。
根据三边关系，我们可以得出以下结论：1.1 斜边与邻边的关系斜边是直角三角形中最长的一条边，通常用字母c表示。
邻边是直角三角形中与直角相邻的边，通常用字母a表示。
根据勾股定理，斜边的长度c可以通过邻边的长度a和对边的长度b计算得出，即c^2 = a^2 + b^2。
1.2 对边与邻边的关系对边是直角三角形中与直角相对的边，通常用字母b表示。
根据三角函数定义，正弦函数（sin）可以用对边与斜边的比值来表示，即sin(A) = b / c，其中A为直角对边所对的角。
1.3 对边与斜边的关系根据三角函数定义，正切函数（tan）可以用对边与邻边的比值来表示，即tan(A) = b / a。
2. 计算方法在已知直角三角形的一些条件下，可以使用上述三边关系来计算未知边的长度。
2.1 已知斜边和一边如果已知斜边c的长度和邻边a（或对边b）的长度，可以使用勾股定理来计算未知的边。
例如，已知斜边c = 5，邻边a = 3，可以使用勾股定理计算对边b 的长度：b = √(c^2 - a^2) = √(5^2 - 3^2) = √(25 - 9) = √16 = 42.2 已知对边和邻边如果已知对边b和邻边a的长度，可以使用正切函数来计算斜边c 的长度。
例如，已知对边b = 4，邻边a = 3，可以使用正切函数计算斜边c 的长度：tan(A) = b / ac = √(a^2 + b^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 52.3 已知斜边和对边如果已知斜边c和对边b的长度，可以使用正弦函数来计算邻边a 的长度。
中考数学复习指导：任意三角形三条高的长度关系及其应用
任意三角形三条高的长度关系及其应用三角形三边之问的关系是大家是非常熟悉的性质，即“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．其实任意三角形的三条高之间的长度关系也有着密切的联系．设三角形三条边分别是a 、b 、c ，对应边上的高分别为h a 、h b 、h c 不失一般性，令a ≥b ≥c ，由面积关系ah a ＝bh b ＝ch c ，知h a ≤h b ≤h c ，,c c b ah h b c a c h h ==． 再由b －c<a<b ＋c ，可得,c c c b a bh h h c c c c c h h h -<<+ 化简整理，得11111b c a b ch h h h h -<<+ 同理可得11111a c b a ch h h h h -<<+， 11111a b c a bh h h h h -<<+． 这就是：任意三角形两条高的倒数和大于第三条高的倒数，任意三角形两条高的倒数差小于第三条高的倒数．下面举例说明上述结论在解题中的应用．例1 试判断长度分别是1、2、3的三条线段能否作为一个三角形的三条高．解 根据三角形三条高的长度关系，如果长度为l 、2、3的三条线段可以作为一个三角形的三条高，那么必须有111123-<．但11111223-=>，所以长度分别为1、2、3的三条线段不能作为一个三角形的三条高．例2已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解 令第三条高线长为m ，根据三角形三条高线的长度关系，得11111520520m -<<+ 化简得4<m<203． 所以第三条高的最大值是6．例3 △ABC 的三边为a 、b 、c ，且a ＝2，S △ABC ＝1，h b 、h c (h b <h c )分别为b 、c 边上的高，试证明h c －h b <h c ·h b <h c ＋h b ．证明 因为2S △ABC ＝a ·h a ，将a ＝2，S △ABC ＝1代入得h a ＝1． 由11111b c a b ch h h h h -<<+，得 11c b c b b ch h h h h h -<-<•． 同理可得c b c b h h h h •<+，∴h c －h b <h c ·h b <h c ＋h b ． 上述结论也可理解为：有一条边上的高为单位l 的三角形中，另两边上的高的乘积大于它们的差而小于它们的和．与三角形三边关系一样，为了体现“任意”，又要快捷判断，只要用较短两条线段长相加都大于第三条线段长，那么这三条线段一定能组成三角形．同样地，只要用最短的线段长的倒数减去另外一条线段长的倒数都小于第三条线段长的倒数，那么这样的三条线段便可以作为一个三角形的三条高．。
三角形三边的关系(例3、例4)
练习十五，第6题、第8题。
小设计：
休闲广场要建一个凉亭，亭子顶部是三角形支架， 现在已经有了两根各为5米长的钢管，假如你是 设计师，第三根钢管会准备多长？（取整米数）
？ 1米＜ 第三根钢管的长度＜10米
两点间所有连线中线段最短，这条 线段的长度叫做两点间的距离。
两点间所有连线中线段最短，这条线段的 长度叫做两点间的距离。 （1）两点间线段长度小于曲线长度。 （2）三角形中两边的和大于第三边。
小明从家到学校有几条路？ 哪条路最近呢？
共有 3条路线。 中间的路最近。 这是什么原因呢？
三角形的三边关系
活动要求：
1、量出每根小棒的长度。 2、任意选三根小棒首尾相接，看是否能围 成三角形。 3、把任意两边的长度加起来，再与第三边 进行比较。（用式子表示） 4、小组讨论，你发现了什么？ 5、将实验结果填写在表格中。
2.3cm ，8cm， 5cm （×） 因为 3 + 5 = 8，
所以不能围成三角形。
３. ７cm ，１５cm， 9cm （√） 因为 7 + 9 > 15，
所以能围成三角形。
二、用一根10米长的木料做一个三角形的支 架，如果其中的一边是2米，另外两边分别 是多长？（取整米数） （A）2米、（4米、4米） (√) （B）2米、（3米、5米） (×) （C）2米、（2米、6米） (×) （D）2米、（1米、7米） (×)
用下面3根小棒能否围成三角形？
4cm 10cm 5cm
因为
10+4>5 10+5>4
所以这三根小棒可以围成一个三角形？
三角形的三边关系：
三角形任意两边的和大于第三边。
三角形三边关系生活中应用
三角形三边关系生活中应用
三角形三边关系在生活中有许多应用，如下所示：
1. 建筑设计：在建筑设计中，三角形的三边关系被广泛应用。
例如，设计师可以使用三角形的三边关系来确定建筑物的各个角度和长度，以确保建筑物的结构稳固和比例协调。
2. 测量和地理学：在测量和地理学领域，三角形的三边关系被用来测量和计算地球上的距离、高度和角度。
这种关系被应用于测量城市之间的距离、测量山脉的高度和计算地图上的方向。
3. 导航和地理定位：三角形的三边关系也被用于导航和地理定位。
例如，当使用全球定位系统（GPS）时，三角形的三边关
系被用来测量接收器与卫星之间的距离，从而确定接收器的准确位置。
4. 天文学：三角形的三边关系在天文学中也被广泛应用。
天文学家使用三角形的三边关系来计算星星和行星的距离、角度和大小。
5. 游戏和动画：在计算机图形学中，三角形的三边关系被广泛应用于游戏和动画的渲染。
计算机程序使用三角形的三边关系来确定物体的形状和位置，从而创建逼真的图像和动画效果。
总而言之，三角形的三边关系在许多实际应用中起着重要的作用，从建筑设计到测量和地理学，再到导航和天文学，都离不开这一关系。
妙用三角形三边关系解决实际问题
妙用三角形三边关系解决实际问题“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是三角形的一个重要性质。
它不但在解答几何问题中有着广泛的应用，而且在其他学科和实际生活中也有着非常重要的应用。
现举几例说明如下：1、选择长度合适的钢筋例1：某焊接工人要从长140厘米和150厘米的两根钢筋中，选择一根截成三段，焊接成两边长分别为50厘米和70厘米的三角形框架。
问焊接工人应选择哪根钢筋合适？解析：根据题意，设截成的三段长分别为50厘米、70厘米、X厘米的钢筋焊接成一个三角形框架，则由三角形三边关系，可得：70-50＜X＜70+50，即20＜X＜120，又由于140-（70+50）=20，150-（70+50）=30，所以，焊接工人应选择150厘米长的钢筋。
点拨：把实际问题转化为三角形问题，就可利用三角形三边关系求解。
2、估计物体的重量范围例2：有甲、乙、丙三块物体，已知甲物体重25kg，乙物体重30kg，又知以这三块物体重的千克数为长度的线段恰好能构成一个三角形，请你估计一下丙物体的重量在哪个范围内？解析：设丙物体重Xkg ，则由题意知，X 应满足30-25＜X ＜30+25，即5＜X ＜55，因此，丙物体的重量大于5kg 而小于55kg 。
点拨：此题只要抓住“以这三块物体重的千克数为长度的线段恰好能构成一个三角形”这一关键语句，就可将估计丙物体的重量这一实际问题转化为三角形三边关系这一数学问题来解决。
3、求解线路最短问题例3：如图1所示，有A 、B 、C 、D 四个居民小区，为了解决统一供暖问题，政府准备投资修建一个供暖厂，向四个居民小区供暖，请你帮助他们选择一个地点P ，使这点P 到四个小区的距离和最短，以更节省资金，并说明你的理由。
解析：如图2，连接AC 、BD 交于点P ，则在点P 处修建供暖厂，到四个居民小区的距离和最短，且为AC+BD 。
理由：如图2，设点P 1是异于点P 的任意一点，连接P 1A 、P 1B 、P 1C 、P 1D ，则P 1A+P 1C ＞AC ，P 1B+P 1D ＞BD ，所以A ·B ··C PB CP 1 DA图2 ·D 图1P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD，所以，点P是到四个居民小区距离和最短的点。
直角三角形三边的关系(应用)
例题：如图，有一长为12米的电线杆，想在距离电线杆底部5米 远处用一钢丝绳把它固定在地面上，问 要用多长的钢丝绳才能 把它固定呢？
解：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
AB AC BC
2 2
12
13
125
2
2
5
答：要用13米长的钢丝绳才能把电线杆固定.
）
2、设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是 （ ）. B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15
A.3,5,4
3、在△ABC中，∠C=900 （1）若 a=5，b=12 ，则c=____；
（2）若 a 7 ，c= 4，则b=____；
4、绳子比旗杆长1m,当把绳子拉直后，
再次尝试 过关斩将
∠B＝90° ．（注意哪条边是斜边，画图看看） • ①已知a＝6， b＝10， 求c； • ② 已知a＝24， c＝7， 求b．
• 1、在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b，
2、 如果一个直角三角形的两条边长分 别是3厘米和4厘米，那么这个三角形 的周长是多少厘米？
绳子离旗杆底部距离正好5m,
你能求出旗杆有多高吗？
能力拓展
1. 求下列阴影部分的面积： （1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．
C A B C A A B C B
能力拓展题
•欲把一根70cm的木棍放在 长、宽、高分别为40cm、 30cm、50cm的木箱中，能 否放进去！ 50 •请说明理由
数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯
三角形的三边关系
三角形的三边关系三角形是由三条不同的线段连接而成的图形，它是几何学中最基本和常见的几何形状之一。
在三角形中，三条边是其最基本和最显著的特征。
三边关系可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的各种问题。
在这篇文章中，我将详细介绍三角形的三边关系及其应用。
1. 三角形三边之和三角形的三边之和是一个基本的三边关系。
任何一个三角形的三条边的长度加起来等于一个定值，也就是三角形周长的长度。
这个定值与三角形的形状无关，只与三角形的大小有关。
具体来说，对于任何三角形ABC，其边长$a$，$b$，$c$之和应该等于周长$P$，即：$$a+b+c=P$$这个关系可以应用于各种类型的问题中。
例如，可以通过测量三角形的一些边长来计算出其余边长，或者通过周长来计算三角形面积等等。
2. 三角形两边之和大于第三边三角形的另一个基本的三边关系是它的两条边之和大于第三边。
这个关系也被称为三角不等式，即：$$a+b>c, b+c>a, c+a>b$$这个关系可以解释为，如果三角形的两条边长度之和小于或等于第三条边长度，则这三条线段不能构成三角形，因为其中两条边无法连接。
这个关系是证明一个三角形是否存在的基本条件。
3. 三角形两边之差小于第三边除了三角不等式，三角形的另一个基本关系是其两条边之差小于第三边，即：$$a-b<c, b-c<a, c-a<b$$这个关系可以解释为，如果两条边的长度之差大于或等于第三边，则三角形不能存在，因为其中两条边的距离太远，无法连接。
这个关系也是证明一个三角形是否存在的基本条件。
4. 海伦公式海伦公式是一种描述三角形面积的公式，它与三条边的长度有关。
其中，面积$S$与三边$a$，$b$，$c$都有关系。
公式如下：$$S=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$其中，$p$为半周长，即：$$p = \\frac{a+b+c}{2}$$这个公式可以应用于各种类型的三角形，包括直角三角形和等边三角形等。
三角形三边关系应用的六种常见题型
三角形三边关系应用的六种常见题型1. 判断三角形类型的题型：判断题型是三角形三边关系应用中常见的题目类型之一。
在这类题目中，通常会给出三条边的长度，要求判断这三条边能否组成一个三角形，并根据三边的关系确定三角形的类型。
例如，给定三条边长为3、4和5的线段，我们需要判断这三条线段能否组成一个三角形。
根据三角形的综合定理，任意两边之和大于第三边，则它们可以组成一个三角形。
因此，由3、4和5这三个数字可以构成一个三角形。
2. 求三角形周长的题型：求三角形周长是另一个常见的三边关系应用题型。
在这类题目中，通常会给出三角形的边长，并要求计算三角形的周长。
例如，给定一个三角形的边长分别为5、7和9，我们需要计算这个三角形的周长。
根据三角形的定义，三角形的周长等于三条边的长度之和。
因此，这个三角形的周长为5 + 7 + 9 = 21。
3. 求三角形的面积的题型：求三角形的面积是三角形三边关系应用中常见的题目类型之一。
在这类题目中，通常会给出三角形的边长，并要求计算三角形的面积。
例如，给定三角形的边长分别为3、4和5，我们需要计算这个三角形的面积。
可以使用海伦公式来计算三角形的面积，公式为：面积= √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]，其中p为三角形的半周长，a、b和c为三角形的边长。
计算得到半周长p=(3+4+5)/2=6，代入公式中可以得到面积= √[6 * (6 - 3) * (6 - 4) * (6 - 5)] = √[6 * 3* 2 * 1] = √36 = 6。
4. 判断三角形的相似性的题型：判断三角形的相似性是三角形三边关系应用中另一个常见的题目类型。
在这类题目中，通常会给出两个三角形的边长，并要求判断是否相似。
例如，给定两个三角形的边长分别为3、4和5以及6、8和10，我们需要判断这两个三角形是否相似。
根据相似三角形的性质，如果两个三角形的对应边长成比例，则它们是相似的。
例说三角形三边关系的几种典型运用
例说三角形三边关系的几种典型运用三角形是初中数学中的重要概念之一，它的三边关系在实际应用中有很多典型运用。
本文将分别从三角形的相似性、勾股定理和三角形中位线定理三个方面介绍三角形三边关系的几种典型运用。
一、相似三角形的三边关系相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
在相似三角形中，三边之间存在着一定的比例关系，这种关系可以用于解决各种实际问题。
下面列举了几个常见的相似三角形的三边关系的应用。
1. 三角高度定理三角高度定理指的是：在一个直角三角形中，斜边与两条直角边上的高的乘积等于两条直角边上高的乘积。
应用：可以利用三角高度定理求解缺失的高，从而计算三角形的面积。
2. 中线定理中线定理指的是：在一个三角形中，三条连接一个角的顶点与对边中点的线段被称为中线，三个中线交于一点，并且这一点既是三个中点的重心也是三角形重心和重心的重心。
应用：中线定理可以用来计算三角形内部的面积、寻找三角形的重心等。
二、勾股定理在三角形中的应用勾股定理是初中数学中最为重要的定理之一，它是描述直角三角形边长之间的关系。
下面介绍几个勾股定理在三角形中的典型应用。
1. 三角形的判定根据勾股定理：若一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，则这个三角形是直角三角形。
应用：可以利用勾股定理进行三角形的判定。
2. 三角形的面积计算根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度计算得出。
应用：可以利用勾股定理计算直角三角形的面积。
三、三角形中位线定理的应用三角形中位线定理是描述三角形中位线之间的关系的定理。
中位线是连接三角形一个角的顶点和对边中点的线段。
下面介绍几个三角形中位线定理的典型应用。
1. 三角形边长关系根据三角形中位线定理：三角形中位线的长度等于对边长度的一半。
应用：可以利用三角形中位线定理求解三角形边长。
2. 三角形面积计算根据三角形中位线定理，三角形的面积可以通过三个中位线的长度计算得出。
应用：可以利用三角形中位线定理计算三角形的面积。
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专题一 三角形三边关系的常见应用一. 专题目标1.了解和掌握三角形的定义和三角形的三边关系 2.通过例题学习，学会用三边关系解决“能否构成三角形”类型的题目 3.通过例题学习，学会用三边关系解决“第求三边长或可能性”类型的题目 4.通过例题学习，学会用三边关系解决“三角形中和边长之间的关系”类型的题目 5.通过例题学习，学会用三边关系解决“绝对值化简”类型的题目 二. 专题环节三角形的三边关系：1. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边2. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾依次连结所组成的图形叫做三角形。
一． 能否构成三角形例1，1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______; 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____.分析：根据线段MN 平行于Y 轴，MN=M N y y -，分别讲M 点所在二次函数解析式和N 点所在AB 直线解析式求得代入即可得到MN 关于x 的函数关系式。
详解：设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1 b ＝3．∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3．∵MN ∥y 轴，M （x,－x 2＋2x ＋3）,N(x,－x ＋3)∴MN=M N y y -=－x 2＋2x ＋3-（－x ＋3）=－x 2＋3x=-（x-32）2 +94(0≤x ≤3)∵a=-1<0 ∴当x=32时，线段MN 最大值为94关键词：二次函数表示线段长一 图形问题：周长例2，如图，已知二次函数245y x x =--的图像与坐标轴交于点A （-1,0）和B （0，-5）对称轴存在一点P ，使得△ABP 的周长最小，请求出P 的坐标分析：二次函数中的周长最小值，往往是用利用轴对称求线段最值的办法来获得的：即：△ABP 周长为AB+BP+AP ，由于AB 是定线段，所以周长最小值转化为PA+PB 最小，所以可以做A 关于对称轴的对称点C ，连接BC,和对称轴的交点P .此时PA+PB 获得最小值BC ， 此时只需要将对称轴的横坐标代入BC 所在直线解析式，就可以求出P 点坐标。
详解：由题意对称轴为x=2, 如图，抛物线和x 轴另个交点为C (),0c x ，P 为AB 上任意一点, 根据A 和C 关于对称轴对称，-1+c x =2×2，∴c x =5, C(5,0)△ABP 周长为AB+BP+AP ，由于AB 长度一定，可知PA+PB 获得最小，即可使得周长最小。
根据轴对称求最值方法可知：A 关于对称轴的对称点为C ，PA=PC,所以要使得PC+PB 最小，P ,B,C 三点成一线时候此时PC+PB 最小，即为BC 长。
此时P 点 即为直线BC 和对称轴的交点。
设BC 所在直线y=kx+b,将B （0.-5）和C （5,0）坐标代入得 505k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得k=-1,b=-5,所以BC 所在直线解析式为：y=-x -5 将x=2,代入得y=-3,所以P 点坐标为（2，-3），此时△ABP 周长获得最小值。
关键词：轴对称求线段和最小值，二次函数应用一．图形问题：面积例3.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，其他三边用总长为60m 栅栏围住（如图），若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y 平方米．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请问绿化带面积的最大值为多少，此时BC 长为多少？分析：（1）根据矩形面积=长×宽，BC 为x ，所以AB=603022x x -=-。
可以得到y 关于x 的解析式，根据墙长为25，可知x 不能超过25.自变量取值范围可得。
（2）配方得到二次函数的顶点式。
根据二次函数求最值的办法可求得。
详解：（1）由题意得：y=21303022x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，自变量x 的取值范围是0＜x ≤25； （2）y=()2211303030450222x x x x x ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭，(0＜x ≤25) ∵10,2-< ∴当x=25时，y 获得最大值为： ()212530450437.52--+=(2cm ) 答: 当BC 为25cm 时，绿化带面积有最大值438.52cm ．关键词：二次函数应用-面积一．图形问题：最值例4如图，二次函数2132x x -+的图象经过点A （2，4）与B （6，0）． 点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．分析：如图，过A 作x 轴的垂直，垂足为D （2，0），连接CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，分别表示出三角形OAD ，三角形ACD ，以及三角形BCD 的面积，之和即为S ，确定出S 关于x 的函数解析式，并求出x 的范围，利用二次函数性质即可确定出S 的最大值，以及此时x 的值．详解：如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D （2，0），连接CD 、CB ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ， S △OAD =OD•AD=×2×4=4；S △ACD =AD•CE=×4×（x ﹣2）=2x ﹣4；S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．关键词：二次函数应用-面积，割补法二．动点问题--等腰三角形的存在性问题例5.如图，已知抛物线y=()214--+,抛物线与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点，点Q是抛物x线对称轴上的动点，是否存在点Q使△ABQ为等腰三角形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．分析：首先求出A，B,C点坐标，然后分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析△ABQ为等腰三角形的可能，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．详解：存在．∵，∴该抛物线的对称轴为，A（-1,0）B（0,3）C（3,0）如图，设Q点坐标为（1，m），则，又，(1)当AB=AQ时，，解得：，∴Q点坐标为（1，）或（1，），即为图中的Q4,Q3（2）当AB=BQ时，，解得：，∵（1，6），（－1，0），（0，3）三点共线，所以不存在，故舍去，∴Q点坐标为（1，0），即为图中的Q1（3）当AQ=BQ时，，解得：，∴Q点坐标为（1，1），即为图中的Q2.∴抛物线的对称轴上是存在着点Q （1，）、（1，）、（1，0）、（1，1），使△ABQ 是等腰三角形．关键词：二次函数综合--等腰三角形的存在性问题，·例6. 已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形： 图4①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．详解：令y=0，得C(-4,0),对称轴x=-2,情形1： CE 为平行四边形一边，则MN 为另一组边，见右图，过C 做垂线垂直于X 轴，过E 做垂线垂直于Y 轴，交于点D过M 做垂线垂直于X 轴，过N 做垂线垂直于Y 轴，交于点P （或Q ）∵MNCE 为平行四边形，所以MN=CE,MN ∥CE ，又PN ∥DE ，所以∠CED=∠PNM在Rt △CED 和Rt △MNP 中 90CDE MPN CED MNPCE MN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CED ≌△MNP （SSA ）∴PN=DE=404E C x x -=--=， 同理 QN=4, 所以M 横坐标为-6或2，将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M(－6,16)或(2, 16)．此时N 点为（-2,13）或（ -2,19）情形2,CE 为平行四边形的对角线，则MN 为另一组对角线，K 为CE 和MN 的交点根据中点公式，设K （a,b ）40222C E x x a +-+===- 033222C E y y b +-===-, ∵MNCE 为平行四边形，∴K 也是MN 的中点，K （-2，32-） 设M （m,n ）,N （-2，c ）根据中点公式， 2222M N x x m +--==， 解得m=-2，、M 在抛物线上，将m=-2代入241633y x x =+解得n=163-, 又1633222M N c y y -++-== ，解得c=73, ∴M （-2，163-），N （-2，73），综上所述， 存在这样的点M （-6,16），N （-2,13）或M(2, 16)，N （ -2,19）或M （-2，163-），N （-2，73）使得M,M,CE 为平行四边形，关键词总结： 平行四边形的存在性三. 专题总结:对本节内容进行总结。