三角形三边关系的常见应用

专题一 三角形三边关系的常见应用
一. 专题目标
1.
了解和掌握三角形的定义和三角形的三边关系 2.
通过例题学习，学会用三边关系解决“能否构成三角形”类型的题目 3.
通过例题学习，学会用三边关系解决“第求三边长或可能性”类型的题目 4.
通过例题学习，学会用三边关系解决“三角形中和边长之间的关系”类型的题目 5.
通过例题学习，学会用三边关系解决“绝对值化简”类型的题目 二. 专题环节
三角形的三边关系：
1. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
2. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾依次连结所组成的图形叫做三角形。

一． 能否构成三角形
例1，1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______; 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____.
分析：根据线段MN 平行于Y 轴，MN=M N y y -，分别讲M 点所在二次函数解析式和N 点所在AB 直线解析式
求得代入即可得到MN 关于x 的函数关系式。

详解：设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，
由y 1＝－x 2
＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1 b ＝3．
∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3．
∵MN ∥y 轴，M （x,－x 2＋2x ＋3）,N(x,－x ＋3)
∴MN=M N y y -=－x 2＋2x ＋3-（－x ＋3）=－x 2＋3x=-（x-32）2 +94
(0≤x ≤3)
∵a=-1<0 ∴当x=32时，线段MN 最大值为94
关键词：二次函数表示线段长
一 图形问题：周长
例2，如图，已知二次函数2
45y x x =--的图像与坐标轴交于点A （-1,0）和B （0，-5）
对称轴存在一点P ，使得△ABP 的周长最小，请求出P 的坐标
分析：
二次函数中的周长最小值，往往是用利用轴对称求线段最值的办法来获得的：
即：△ABP 周长为AB+BP+AP ，由于AB 是定线段，所以周长最小值转化
为PA+PB 最小，所以可以做A 关于对称轴的对称点C ，连接BC,和对称轴的交点P .此时PA+PB 获得最小值BC ， 此时只需要将对称轴的横坐标代入BC 所在直线解析式，就可以求出P 点坐标。

详解：由题意对称轴为x=2, 如图，抛物线和x 轴另个交点为C (),0c x ，
P 为AB 上任意一点, 根据A 和C 关于对称轴对称，-1+c x =2×2，∴c x =5, C(5,0)
△ABP 周长为AB+BP+AP ，由于AB 长度一定，可知PA+PB 获得最小，即可使得周长最小。

根据轴对称求最值方法可知：A 关于对称轴的对称点为C ，PA=PC,所以要使得PC+PB 最小，
P ,B,C 三点成一线时候此时PC+PB 最小，即为BC 长。

此时P 点 即为直线BC 和对称轴的交点。

设BC 所在直线y=kx+b,将B （0.-5）和C （5,0）坐标代入得 505
k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得k=-1,b=-5,所以BC 所在直线解析式为：y=-x -5 将x=2,代入得y=-3,所以P 点坐标为（2，-3），此时△ABP 周长获得最小值。

关键词：轴对称求线段和最小值，二次函数应用
一．图形问题：面积
例3.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，其他三边用总长为60m 栅栏围住（如图），若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y 平方米．
（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请问绿化带面积的最大值为多少，此时BC 长为多少？
分析：（1）根据矩形面积=长×宽，BC 为x ，所以AB=603022
x x -=-。

可以得到y 关于x 的解析式，根据墙长为25，可知x 不能超过25.自变量取值范围可得。

（2）配方得到二次函数的顶点式。

根据二次函数求最值的办法可求得。

详解：（1）由题意得：y=21303022
x x x x ⎛
⎫-=-+ ⎪⎝⎭，自变量x 的取值范围是0＜x ≤25； （2）y=()2211303030450222x x x x x ⎛⎫-
=-+=--+ ⎪⎝⎭，(0＜x ≤25) ∵10,2-< ∴当x=25时，y 获得最大值为： ()212530450437.52
--+=(2cm ) 答: 当BC 为25cm 时，绿化带面积有最大值438.52cm ．
关键词：二次函数应用-面积
一．图形问题：最值
例4如图，二次函数2132
x x -+的图象经过点A （2，4）与B （6，0）． 点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），
写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．
分析：如图，过A 作x 轴的垂直，垂足为D （2，0），连接CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，分别表示出三角形OAD ，三角形ACD ，以及三角形BCD 的面积，之和即为S ，确定出S 关于x 的函数解析式，并求出x 的范围，利用二次函数性质即可确定出S 的最大值，以及此时x 的值．
详解：如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D （2，0），连接CD 、CB ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ， S △OAD =OD•AD=×2×4=4；
S △ACD =AD•CE=×4×（x ﹣2）=2x ﹣4；
S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，
∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
关键词：二次函数应用-面积，割补法
二．动点问题--等腰三角形的存在性问题
例5.如图，已知抛物线y=()214
--+,抛物线与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点，点Q是抛物
x
线对称轴上的动点，是否存在点Q使△ABQ为等腰三角形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
分析：首先求出A，B,C点坐标，然后分别从AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ
三方面去分析△ABQ为等腰三角形的可能，注意抓住线段的求解方法，
借助于方程求解即可求得答案．
详解：存在．∵，∴该抛物线的对称轴为，
A（-1,0）B（0,3）C（3,0）
如图，设Q点坐标为（1，m），则，
又，
(1)当AB=AQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，），即为图中的Q4,Q3
（2）当AB=BQ时，，解得：，
∵（1，6），（－1，0），（0，3）三点共线，所以不存在，故舍去，∴Q点坐标为（1，0），即为图中的Q1
（3）当AQ=BQ时，，解得：，∴Q点坐标为（1，1），即为图中的Q2.
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q （1，
）、（1，）、（1，0）、（1，1），使△ABQ 是等腰三角
形．
关键词：二次函数综合--等腰三角形的存在性问题，
·
例6. 已知抛物线241633
y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．
以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形： 图4
①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，
所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．
将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．
②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3
--
．
详解：令y=0，得C(-4,0),对称轴x=-2,
情形1： CE 为平行四边形一边，则MN 为另一组边，见右图，
过C 做垂线垂直于X 轴，过E 做垂线垂直于Y 轴，交于点D
过M 做垂线垂直于X 轴，过N 做垂线垂直于Y 轴，交于点P （或Q ）
∵MNCE 为平行四边形，所以MN=CE,MN ∥CE ，
又PN ∥DE ，所以∠CED=∠PNM
在Rt △CED 和Rt △MNP 中 90CDE MPN CED MNP
CE MN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CED ≌△MNP （SSA ）
∴PN=DE=404E C x x -=--=， 同理 QN=4, 所以M 横坐标为-6或2，将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M(－6,16)或(2, 16)．
此时N 点为（-2,13）或（ -2,19）
情形2,CE 为平行四边形的对角线，则MN 为另一组对角线，K 为CE 和MN 的交点
根据中点公式，设K （a,b ）
40222
C E x x a +-+=
==- 033222C E y y b +-===-, ∵MNCE 为平行四边形，∴K 也是MN 的中点，K （-2，32
-
） 设M （m,n ）,N （-2，c ）
根据中点公式， 2222M N x x m +--==， 解得m=-2，、M 在抛物线上，将m=-2代入241633y x x =+
解得n=163-, 又1633
222M N c y y -++-== ，解得c=73, ∴M （-2，163-），N （-2，73），
综上所述， 存在这样的点M （-6,16），N （-2,13）或M(2, 16)，N （ -2,19）或M （-2，163-），N （-2，7
3）使得M,M,CE 为平行四边形，
关键词总结： 平行四边形的存在性
三. 专题总结:
对本节内容进行总结。