工程力学A-单辉祖-第12章(弯曲变形)教学提纲

w 0
M0
方程取正号
挠曲轴近似微分方程 w M x
EI
§12-3 计算梁位移的积分法 一、梁的挠曲轴方程及转角方程
w Mx 挠曲轴近似微分方程
EI
转角方程 ddw xM ExIdxC
挠曲轴方程 wM E xIdx C xD
F 弯矩方程需分段建立，挠曲轴近似微分方程也需分段建立。
F C、D为积分常数，它们由位移边界条件与连续条件确定。
§12-1 引言
1）挠度（w）
横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的线位移。
向上的挠度 w 0 w w ( x ) －挠曲轴方程
向下的挠度 w 0
2.弯曲变形的位移
§12-1 引言
2）转角（ θ ） 横截面的角位移（rad)，也等于挠曲轴在该截面处的切线与x
轴的夹角θ '。
逆转 0 t a n w ( x )
§12-3 计算梁位移的积分法
二、位移边界条件与连续条件
➢ 位移边界条件
wM ExIdx CxD
w=0
w=0
w=0
=0
自由端：无位移边界条件
F
M
➢ 分段处位移连续条件
A
D
B
C
连续：wB左= wB右 wC左= wC右
挠曲轴在B、C点连续且光滑
左 B
=
右 B
左 C
=
右 C
§12-3 计算梁位移的积分法
w M e x EIl
（3）两次积分得挠曲轴和转角方程 w M e x2 C 2EIl w Me x3 Cx D 6EIl
（4）积分常数的确定
在 x 0 处，w 0 在 x l 处，w 0
D 0, C Mel 6 EI
（5）挠曲轴和转角方程
M e (3x2 l 2 )
§12-3 计算梁位移的积分法
A
边界条件：
B
C
FΒιβλιοθήκη BaiduD
E
固定端A： wA0, A0 铰支座C： w C 0
连续条件：
中间铰B： wB左 wB右
铰支座C：
w C 左 w C 右
左 右
CC
E点：
wE 左 wE 右 ,
左 右
EE
二、位移边界条件与连续条件
第十二章 弯曲变形
§12-3 计算梁位移的积分法
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
7
§12-2 挠曲轴近似微分方程
2. 方程简化 w'=θ
小变形
(w)2 1
w(x)
Mx
1w2 1 1[w(x)]2 32 EI
w(x)
Mx
EI
正负号?——坐标系确定 w
正弯矩
w向上为正
负弯矩
x
x
w 0 (数学定义) M 0 (本书规定)
13
§12-3 计算梁位移的积分法
积分法计算梁的变形过程
分段建立梁的弯矩方程 根据弯矩方程建立挠曲轴近似微分方程 分段两次积分获得转角方程和挠曲轴方程 利用边界条件和连续条件确定积分常数
例12-1：已知EI，建立该梁的挠曲轴和转角方程， 并计算最大挠度和转角。
w
A
x
l
x
BF
解: 1、建立弯矩方程
梁的弯曲变形：怎样描述以及定量计算？
1.弯曲变形的特点
挠曲轴
§12-1 引言
梁轴线由直线变曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴
挠曲轴是一条连续、光滑曲线。 对称弯曲时，挠曲轴是位于纵向对称面内的平面曲线。 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计，因
而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交。
2.弯曲变形的位移
wx
F
lx2 (
x3)
EI 2 6
w A
x
6、最大挠度和最大转角
max
xl
Fl2
2EI
Fl3
wmax
w xl
3EI
x
BF
例12-2：已知EI，承受集中力偶Me作用的简支梁，计 算最大挠度。
解：（1）计算支反力，列弯矩方程
FAy FBy M e / l
M (x) Me x l
（2）挠曲轴近似微分方程
Mx F(l x)
2、挠曲轴近似微分方程
wx F (l x)
EI
w
A
x
x
BF
3、两次积分得挠曲轴和转角方程
xwxF(lxx2)C wxF(lx2x3)CxD
EI 2
EI 2 6
4、积分常数的确定 x=0处，w= 0 x=0处， θ= 0
D=0 C= 0
5、挠曲轴和转角方程
x
F
(lx
x2 )
EI 2
工程力学A-单辉祖-第12章(弯 曲变形)
第十二章 弯曲变形
§12-1 引言 §12-2 挠曲轴近似微分方程 §12-3 计算梁位移的积分法 §12-4 计算梁位移的叠加法 §12-5 简单静不定梁 §12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计
回顾
拉压杆的变形：伸长或缩短 (Dl)
§12-1 引言
圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角j )
AC段（0 ≤ x≤a）
CB段（a ≤ x≤l）
转角方程
EI1(x)b2F l x2C1
E I2(x)b 2 F lx2F 2(xa)2C 2
挠曲轴方程
EIw1(x)b6F l x3C1xD1 E Iw 2(x )b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
顺转 0 w ( x ) －转角方程
1. 方程推导
§12-2 挠曲轴近似微分方程
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M（纯弯）
EI
1 (x)
M ( x)（忽略剪力影响 EI 推广到非纯弯）
Q 由高等数学知识
1
w( x )
(x)
1 [w( x)]2
3 2 —— 二阶非线性常微分方程
Q 挠曲轴微分方程
例：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
A
B
C
F E
D wM ExIdx CxD
思考：该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移 边界与连续条件？
(1) 分4段: 边界条件：A端：2个； C：1个 ; D端：无。 连续条件：B：1个；C：2个; E：2个。
(2) 分3段：ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。 请自行考虑。
6EIl
w Mex (x2 l2) 6EIl
（6）最大挠度
w 0
Me (3x2 l2)=0 6EIl
wmax
w x
l 3
Mel2 9 3EI
x= l 3
例12-3：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作用 ，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定 挠度的最大值。
解：⑴ 求支反力，列弯矩方程
AC段（0 ≤ x≤a） bF
M1(x) l x CB段（a ≤ x≤l）
M2(x)blFxF(xa)
(2) 分段建立挠曲轴近似微分方程
AC段（0 ≤ x≤a）
EI
d2w1 dx2
bF l
x
(3) 分段两次积分
CB段（a ≤ x≤l）
EIdd2xw22
bFxF(xa) l