2019版九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除法(1)导学案(新版)华东师大版
九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册数
二次根式
教师归纳总结，学生
边听边作笔记.
双向使用公式，熟
找 学 生 说 明 解 题 过 练进行计算
程，引导学生先观察、
分析，解题后养成说 形成运用技巧，便
明理由的反思习惯. 于解题速度与正
分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是
确率的
先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律
补充：化简 x2 y 4 x4 y 2
总.
的化简办法
注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.
三、课堂训练
学生说解题方
-5- / 7
word
完成课本练习.
补充：
1. x 1 x 1 成立，求 x 的取值 X 围.
x 1
x 1
x 8x 6x2 x2 y2 0.1
3
16 9 4 3 2 5 6 5
取最优解法.
五、作业设计
必做：P12：1、3（1）（2）、4
补充作业：
1．计算:
(1) 7 5 ；
(2) 1 27 ； 3
(3) 5 15 ； (4) 3 2 4 8 .
2.化简：
(1) 27x2 y3 ； (2) 2a 18ab . 3
3.等边三角形的边长是 3，求这个等边三角形的面积 教 学 反思
流，进行讨论.
学生板演
利用它就可以将二次 根式化简
乘法法则推广使 学生初步掌握如 何计算二次根式 乘法.
使学生学会化简
完成课本例 2，在（1）（2）之间补充 48 归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式 分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号 外. 例 3. 计算: （1） 14 7 （2） 3 5 2 10 ；（3） 3x 1 xy
九年级上册数学：21.2二次根式乘除(1)教案
成共识. 师生共同归纳
完成课本例 2，在（1）（2）之间补充 48
归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然 后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外.
例 3. 计算:
（1） 14 7 （2） 3 5 2 10 ；（3） 3x 1 xy
3 分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因
活动 2、给出二次根式的乘法法则
教师归纳总结，学生边听 式乘法.
活动 3、思考下列问题：
边作笔记.
使学生学会化简
①
公式中为什么要加 a ≥0, b≥0？
找学生说明解题过程，引导 二次根式
②
两个二次根式相乘其实就是
不变，
相乘
学生先观察、分析，解题后 双向使用公式，
③
a b c （ a ≥0, b≥0，c≥0）=
练习：课本例 1，在（1）（2）之后补充 （3） a 4a
养成说明理由的反思习惯. 指导学生交流，教师总结
学生独立练习，巩固新知
熟练进行计算 形成运用技巧， 便于解题速度与
归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化. 组织学生交流，讨论，达 正确率的
(二)积的算术平方根性质 活动 4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质
结合探究内容师生总结
使学生理解二次
(一)二次根式乘法法则
教师组织学生小组交流，进 根式乘法的前提
活动 1、1.填空，完成课本探究 1
行讨论.
是二次根式有意
学生板演
义.
2.用 1 中所发现的规律比较大小
利用它就可以将二次根式 乘法法则推广
36 × 4
36 4 ； 2 × 3
九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除教案 (新版)华东师大版
21．2 二次根式的乘除21．2.1 二次根式的乘法【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥b，b≥0)，并利用它进行计算和化简．【过程与方法】由具体数据发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．【情感态度】通过探究a·b＝ab(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．【教学重点】a·b＝ab(a≥0，b≥0)及其运用．【教学难点】发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)．一、创设情境，导入新知1．填空：(1)4×9＝______，4×9＝______；(2)16×25＝______，16×25＝______；(3)100×36＝______，100×36＝______.参照上面的结果，用“＞”“＜”或“＝”填空．4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.2．利用计算器计算填空．2×3______6；2×5______10；5×6______30；4×5______20.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)．二、合作探究，理解新知(学生活动)让3、4个同学上台总结规律．教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab(a≥0，b≥0)．例题讲解例1：计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27；(4)12× 6.解：(1)5×7＝35；(2)13×9＝13×9＝3；(3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3；(4)12×6＝12×6＝ 3.【教学说明】引导学生应用公式a·b＝ab(a≥0，b≥0)．三、尝试学习，掌握新知1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( B )A．3 2 cm B．3 3 cmC．9 cm D．27 cm2．化简a－1a的结果是( C )A.－aB. aC．－－a D．－ a3．等式x－1·x＋1＝x2－1成立的条件是( A )A．x≥1 B．x≥－1C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－14．下列各等式成立的是( D )A．4 5×2 5＝8 5 B．5 3×4 2＝20 5C．4 3×3 2＝7 5 D．5 3×4 2＝20 6【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳．5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．四、课堂小结，梳理新知1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳二次根式的乘法规律a·b＝ab(a≥0，b≥0)．【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材习题21.2第2题第(1)小题．这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．21．2.2 积的算术平方根【知识与技能】1．理解ab＝a·b(a≥0，b≥0)；2．运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)．【过程与方法】利用逆向思维，得出ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并运用它解题和化简．【情感态度】让学生推导ab＝a·b(a≥0，b≥0)，以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力．【教学重点】ab＝a·b(a≥0，b≥0)及其运用．【教学难点】ab＝a·b(a≥0，b≥0)的理解与应用．一、创设情境，导入新知一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab(a≥0，b≥0)．反过来，ab＝a·b (a≥0，b≥0)．【教学说明】引导学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出ab ＝a·b(a≥0，b≥0)．二、合作探究，理解新知例题讲解例1：化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54.解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12；(2)16×81＝16×81＝4×9＝36；(3)81×100＝81×100＝9×10＝90；(4)54＝9×6＝32×6＝3 6.【教学说明】引导学生利用ab＝a·b(a≥0，b≥0)直接化简即可．例2：判断下列各式是否正确，不正确的请改正．(1)（－4）×（－9）＝－4×－9；(2)41225×25＝4×1225×25＝41225×25＝412＝8 3.【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.三、尝试练习，掌握新知1．化简：(1)20；(2)18；(3)24；(4)54.(答案：(1)2 5；(2)3 2；(3)2 6；(4)3 6.)2．自由落体的公式为s ＝12gt 2(g 为重力加速度，它的值为10 m /s 2)，若物体下落的高度为120 m ，则下落的时间是__2_s .3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳． 四、课堂小结，梳理新知1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab ＝a ·b (a≥0，b ≥0)．【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳． 五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．1．教材习题21.2第1题第(1)(2)题． 2．教材习题21.2第3题．本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力．21．2.3 二次根式的除法【知识与技能】1．会进行简单二次根式的除法运算．2．能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．3．理解最简二次根式的概念，并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式．【过程与方法】1．在学习了二次根式乘法的基础上进行总结类比，得出除法的运算法则． 2．引导学生利用从特殊到一般的方法以及类比的方法，解决数学问题． 【情感态度】通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系，相互作用的．【教学重点】简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简． 【教学难点】将一个非最简二次根式化为最简二次根式．一、创设情境，导入新知电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系r＝2Rh，其中R是地球的半径，R≈6400 km，如果两个电视塔的高分别为h1，h2，那么它们的传播半径的比为2Rh12Rh2，你能将这个式子化简吗？学了本节课后，就很容易解决了．二、合作探究，理解新知探究一：二次根式的除法问题1：请同学们回忆a·b＝ab(a≥0，b≥0)是如何得到的？问题2：填空：(1)916＝________，916＝________；(2)1636＝________，1636＝________；(3)416＝________，416＝________；(4)3681＝________，3681＝________．由计算结果你发现了什么规律(学生总结出上面四个式子的规律(填空)：9 16________916；1636________1636；4 16________416；3681________3681.对于下列各题，是否也有上面的规律呢？请你猜想并利用计算器计算验证：(1)34＝________，(2)23＝________，(3)25＝________，(4)78＝________．规律(填空)：34________34；23________23；2 5________25；78________78.每组推荐一名学生上台阐述运算结果．(老师点评)刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，仿照二次根式的乘法法则，你能对二次根式的除法进行规定吗？请写出这个规定．一般地，对二次根式的除法规定：a b ＝ab(a≥0，b>0)．下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1：计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.解：(1)123＝123＝4＝2；(2)32÷18＝32÷18＝32×8＝3×4＝3×4＝2 3；(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2；(4)648＝648＝8＝2 2.【教学说明】引导学生直接利用ab＝ab(a≥0，b＞0)进行计算．问题3：自我检测练习1：计算：(1)28÷7；(2)125 5.问题4：将二次根式除法公式反过来，得到ab＝ab(a≥0，b>0)，利用它就可以进行二次根式的化简．下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．练习2：化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)9x64y2；(4)5x169y2.分析：直接利用ab＝ab(a≥0，b>0)就可以达到化简的目的．探究二：最简二次根式问题1：观察练习1、练习2的计算结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？师生归纳出如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中所有因式的幂的指数都小于2.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么情境引入中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书． 教师点评：不是最简二次根式． 2Rh 12Rh 2＝2Rh 12Rh 2＝h 1h 2＝h 1h 2＝h 1·h 2h 2·h 2＝h 1h 2h 2. 问题2：自我检测练习3：化简： (1)3512；(2)x 2y 4＋x 4y 3； (3)8x 2y 3.三、尝试练习，掌握新知 1．化简： (1)2227；(2)－172－132； (3)2－13；(4)13－2. (答案：(1)2 69；(2)－230；(3)6－33；(4)3＋ 2.) 2．已知1－a a 2＝1－aa，则a 的取值范围是__0＜a≤1__.3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2.5 cm ，BC ＝6 cm ，求AB 的长．(答案：6.5cm )4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分． 四、课堂小结，梳理新知 本节课要掌握： (1)a b ＝ab(a≥0，b>0)和a b ＝ab(a≥0，b>0)及其运用； (2)最简二次根式的定义及应用．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．1．教材习题21.2第2题第(2)、(4)小题．2．补充：(1)化简－3 227的结果是( )A ．－23 B ．－23C ．－63 D ．－ 2 (2)在下列各式中，化简正确的是( )A .53＝315 B .12＝±22C .a 4b ＝a 2 bD .x 3－x 2＝x 2x －1(3)化简：x 2＋x ÷1＋1x.。
华东师大版九年级数学上册教案全册
华东师大版九年级数学上册教案全册目录21.1《二次根式》教案21.2.1《二次根式的乘法》教案21.2.2《积的算术平方根》教案21.2.3《二次根式的除法》教案21.3《二次根式的加减》教案22.1《一元二次方程》教案22.2.1《直接开平方法和因式分解法》教案22.2.2《配方法》教案22.2.3《公式法》教案22.2.4《一元二次方程根的判别式》教案22.2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案22.3《实践与探索》教案23.1.1《成比例线段》教案23.1.2《平行线分线段成比例》教案23.2《相似图形》教案23.3.1《相似三角形》教案23.3.2《相似三角形的判定（第1课时）》教案23.3.2《相似三角形的判定（第2课时）》教案23.3.3《相似三角形的性质》教案23.3.4《相似三角形的应用》教案23.4《中位线》教案23.5《位似图形》教案23.6.1《用坐标确定位置》教案23.6.2《图形的变换与坐标》教案24.1《测量》教案24.2《直角三角形的性质》教案24.3.1《锐角三角函数（第1课时）》教案24.3.1《锐角三角函数（第2课时）》教案24.3.2《用计算器求锐角三角函数值》教案24.4《解直角三角形（第1课时）》教案24.4《解直角三角形（第2课时）》教案24.4《解直角三角形（第3课时）》教案25.1《在重复试验中观察不确定现象》教案25.2.1《概率及其意义》教案25.2.2《频率与概率》教案25.2.3《列举所有机会均等的结果》教案第21章《二次根式》复习》教案第22章《一元二次方程》复习》教案第23章《图形的相似》复习》教案第24章《解直角三角形》复习》教案第25章《随机事件的概率》复习》教案第25章《随机事件的概率》复习教案二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a ≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a （a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a ≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化理解b简.【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运由具体数据发现规律，导出b用它进行计算.【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究通过探究b精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出a•=ab（a≥0,b≥0）.b二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为a•=ab（a≥0，b≥0）.：b【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b0）.【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出ba•=ab（a≥0,b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=b2.运用ab=ba•（a≥0,b≥0）.【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解利用逆向思维，得出ab=b题和化简.【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过让学生推导ab=b严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.反过来，ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规a•（a≥0,b≥0）.定，利用逆向思维，得出ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab=ba•（a≥0,b≥0）直接化简即可.例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.1gt2（g为重力加速度，它的值为2.自由落体的公式为s=210m/s2），若物体下落的高度为120m，则下落的时间是s.【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即a•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【情感态度】通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），ba b a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：3.利用计算器计算填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b aba =（a ≥0,b ＞0） 反过来, bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：【教学说明】直接利用b aba （a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点： （1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2. 【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解 1.化简：3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB 的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x2=25；4x2-25=0；（2）x（x-2）=100；x2-2x-100=0；（3）x=（1-x）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根，求a的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.3.∴4a+8-5=0解得：a=-4四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.解得x1=5+52,x2=5-52（舍去）.答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m2,得到方程x（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）2=n（n≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x+3）2=25（2）x 2+6x+9=25（3）x 2+6x=16（4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得：x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2 （3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x+2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x2-4x-8=0（2）x2-4x+2=01x-1=0（3）x2-22.如果x2-4x+y2+6y+2 z+13=0，求（xy）z的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a,b,c 代入式子aac b b x 242-±-=就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0时,方程没有实数根.（2）aac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x 2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x 2-3x+1=0解：①x 1=1+26,x 2=1-26 ②x 1=2,x 2=-31 ③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x2+x-12=0 （2）x2-2x-41=0 （3）x2+4x+8=2x+11 （4）x（x-4）=2-8x （5）x2+2x=0（6）x2+25x+10=0 解：（1）x1=3,x2=-4;（2）x1=232+,x2=232-；（3）x1=1,x2=-3;（4）x1=-2+6，x2=-2-6；（5）x1=0,x2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.。
【新华东师大版】九年级数学上册：21.2《二次根式的乘除法》第1课时教案+导学案
二次根式的乘除法第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．（a≥0，b≥0）．a⨯，如=或关键：要讲清（a<0，b<0）=b．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来合探1. 计算（1（2（3（4分析：（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形的面积是（）． A．cm B．cm C．．6cm2．化简）．A B．．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．．C．．×二、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0），并验证你的结论．教后反思：21.2 二次根式的乘除法第一课时学习目标：1、掌握二次根式的乘法法则并会应用它进行二次根式的乘法运算2、会利用公式ab=a·b(a≥0，b≥0)进行二次根式的化简3、经历观察，比较，总结和应用等数学活动过程，感受和体验发现的快乐，并提高应用意识。
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除法二次根式的除法教案新版华东师大版
二次根式的除法课题名称二次根式的除法三维目标 1.ab =ab（a≥0，b>0），反过来ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．理解ab =ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求3.体会由特殊到一般的归纳方法重点目标理解ab =ab（a≥0，b>0），ab =ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简难点目标发现规律，归纳出二次根式的除法规定会判断这个二次根式是否是最简二次根式导入示标ab =ab（a≥0，b>0），反过来ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．理解ab =ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式目标三导学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题：1．填空（1）916=____，916=_____； （2）1636=_____，1636=_____；（3）416=_____，416=_____； （4）3681=________，3681=________．规律：916____916；1636____1636；416____416；3681___3681．总结规律 学做思二： 1、计算：（1）123（2）3128÷ （3）11416÷ （4）648 2、化简：（1）364 （2）22649b a （3）2964x y （4）25169xy3、已知9966x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值学做思三： 计算（1）35，（2）3227，（3）82a观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 5312; (2)2442x y x y +; (3) 238x y达标检测1．在下列各式中，化简正确的是（ ）A ．53=315 B ．12=±122C ．4a b =a 2 b D ． 32x x -=x 1x -2．化简3227-的结果是（ ）A．-23 B．-23C．-63D．-2反思总结 1.知识建构2.能力提高3.课堂体验课后练习。
九年级数学上册二次根式的乘除法导学案
九年级数学上册导学案（三）二次根式的乘除2【教学目标】：1、使学生复习和巩固二次根式的除法运算法则以及将分母有理化的方法，会用它熟练地进行简单的二次根式的乘.除法运算。
2、使学生复习和巩固算术平方根，二次根式的概念，以及积与商的算术平方根的性质。
3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化，培养学生的运算能力。
【教学重难点】：二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
【自学指导】：➢学生看P5---P7思考以下问题：⏹二次根式的除法与乘法运算的法则分别是什么?怎样用文字语言分别表达它们?对于运算结果有什么要求?⏹二次根式的除法运算,除了运用除法法则外,还可用什么方法?在将分母有理化时,关键是什么?⏹积与商的算术平方根分别有什么性质?怎样用文字语言分别表达它们?它们的主要用途是什么?它们与二次根式的乘.除法运算的关系是什么?使用这两个公式时要注意什么?【自学检测】：1、计算：( 1 )12.04.8； ( 2 )xyy x 3222、把下列各式的分母有理化： ( 1 )12435 ； ( 2 ) 20245-； ( 3 )122++a a3、利用分母有理化计算：( 1 )3×2÷30； ( 2 ) x 12÷52y【师生共同探究，总结】：⏹ 最简二次根式；（1）被开方数中的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；（3）分母不能含根号. ⏹ 二次根式的化简步骤：（1）一分：分解因数（因式）、平方数（式）；（2）二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；（3）三化：化去被开方数中的分母⏹ 在进行二次根式的除法时时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分． ⏹ 二次根式的除法法则:由商的算术平方根的性质由此得二次根式的除法法则即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最二简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简方法有多样，但都要化简．如化简．【提高练习】：12 3,567,27÷3,123÷13,726,243,54÷6,213÷79,425，425；916，916；49 100,49100；2252，2252,1625,179,316,5×211053a3·6b32ab (a＞0，b＞0) ,6015,728,18÷6,223÷113,60242412÷214,210÷35,32111273103=7623483x yx y=341843【作业与教学反思】：1.a≥02a2()a-2a（）．A2a2()a-2a2a2()a-2a C2a2()a-2a．2a2a2()a-2.xy（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．Axy（y>0）B xy y>0）Cxy（y>0）D．以上都不对3.a 21a a+-化简二次根式号后的结果是_________． 4.选择恰当的方法把下列各式的分母有理化：（1）403；（2）2723-；（3）xy y 422；（4）aa 105；（5）b a b a 263++；（6）552--x x ．5.计算（1）32n nm m ·（-331n m m ）÷32nm （m>0，n>0）（2）-3222332m n a -÷（232m n a +）×2a m n- （a>0）6.下列二次根式属于最简二次根式是( ) (A) 14； (B)48；(C)ba； (D) 44+a .7.下列二次根式是最简二次根式的为（ ）3a B 28xC 3yD 4b 8.2233x xy y--=x y ，满足的条件为（ ） Ａ．00x y ⎧⎨<⎩≥Ｂ．00x y ⎧⎨>⎩≤ Ｃ．00x y ⎧⎨<⎩≤Ｄ．00x y ⎧⎨>⎩≥9.下列根式中最简二次根式的个数有（ ）22x y 2ab 35xy 22y 225()a b -3375x y 22x y + A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10.已知3xy =，求y xxx y的值。
九年级数学上册21.22次根式的乘除法第1课时 精品导学案 华东师大版7
21.2 二次根式的乘除法 第一课时 学习目标： 1、掌握二次根式的乘法法则并会应用它进行二次根式的乘法运算 2、会利用公式ab =a ·b (a ≥0,b ≥0)进行二次根式的化简 3、经历观察，比较，总结和应用等数学活动过程，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。
学习重点: a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，学习难点: 发现规律导出a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)教学过程：活动一 一、做一做（独立完成，疑难问题小组合作）1、计算下列各题，观察计算结果：（1）254⨯= 254⨯=（2）916⨯= 916⨯=二、想一想：1、观察以上计算的结果你发现了怎样的结论？2、两个二次根式相乘可以怎样计算？3、对于任意两个二次根式相乘是否都可以这样算？ 猜想：32⨯ 32⨯请解释说明你的结论：三、归纳一下：=⋅b a （a ≥0，b ≥0）．文字语言：两个二次根式相乘， .注意，在上式中，a 、b 都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．四、试一试1、口答下列各题：⨯23=； 53⨯ =27⨯ = 57⨯ 2⨯=2、 计算： （1）67⨯； （2）3221⨯．（3）5·a 3·b 31（4） ２5×３2活动二一、探究一下公式a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)可逆用得：用文字语言叙述公式含义：积的算术平方根，等于93⨯= 916⨯=二、用一用利用这个性质可以进行二次根式的化简．阅读课本例2的化简过程思考问题：（1） 分别说明被开方数变成了哪些因式的积？为什么这样变？（2）怎样的因式能开方出来？（3）因式开方出来主要应用了那个公式？应注意什么问题？三、练一练（1）化简： 20 18 24 542212b a（2）计算下列各式，并将所得的结果化简：63⨯； a a 153⋅． 3018⨯；7523⨯； 368ab ab ⨯课堂小结： １、通过今天的学习你有什么收获？ ２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。
九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除法 二次根式的除法导学案 华东师大版
二次根式的除法
一、学习目标
1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2.熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点
重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点：进行二次根式的化简。
三、自主预习
=______（2=______
1.计算：（1
=______
（3
2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
综上所述，二次根式的除法法则：。
当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的，被开方数之商为。
（2
计算下列各式：（1
自学课本内容，完成下列问题：
1.用式子表示商的算术平方根的性质：
2.化简：（1（2
小结：化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。
四、 合作探究“分母有理化”
探究1.
3==
5== 利用上述方法化简： (1)
（2
= (4) = 探究2. ，
利用上述方法化简：
（1） （2）
探究3阅读下列运算过程：
利用上述方法化简：
五、 巩固反馈
1.计算
（1）
482 （2） x x 823 （3）16141÷ （4 （5
2.化简：（1）346 （2 （3） 22221=⨯⨯=51553==65=π
223123)
23)(23()23(1231-=-=-+-⨯=+=+263532+。
华师版九年级数学上册(HS)导学案 第21章 二次根式 二次根式的乘除 二次根式的乘法
第21章二次根式21.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法学习目标：1.理解二次根式的乘法法则：()0ababa（重点）；=⋅b,0≥≥2.会运用二次根式的乘法法则进行简单运算（重点）；3.会运用二次根式的乘法法则的性质解题（难点）.自主学习一、知识链接1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子2有意义的条件是________.合作探究一、要点探究探究点1：二次根式的乘法算一算计算下列各式，并观察三组式子的结果：⨯)1(==⨯⨯4=994____;___________;2⨯(==)⨯=⨯162516____;_____;_______253⨯(=⨯)⨯==___36_____.2525____;36____猜测ba•= （a≥0,b≥0），你能证明这个猜测吗？【要点归纳】一般地，二次根式相乘，______不变，______相乘.语言表述：两个算术平方根的积等于它们被开方数积的算术平方根. 【典例精析】【方法总结】二次根式的乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，0,0,,0).a b k =≥≥⋅⋅⋅≥计算:.⎛ ⎝【方法总结】当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即()0,0n b mn a b =≥≥【针对训练】1.( )A. B.4C.D.22.下列计算结果正确的是( )A.==C. =D.=3.=_________.abc n abc ⋅⋅⋅=()m a n b mn =当堂检测x x-6=x(x-6)，则（A ．x ≥6B ．x ≥0C ．0≤x ≤6D ．x 为一切实数 2.下列计算正确的是（ ） A ． B ． C ．2＝6×25＝150D ．2＝6×5＝303.计算：（1= ；（2=________.4.计算：250a ,332b ，求能力提升（2）﹣（3）（a﹣16.将根号外的因式化到根号内（1）参考答案自主学习一、知识链接1.解：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 性质：a≥0（a≥0），（a）²=a（a≥0），2a=a.2. a≥0合作探究一、要点探究探究点1：算一算 （1）2 3 6 6 （2）4 5 20 20 （3）5 6 30 30猜测 ab证明：（b ·a ）²=（a ）²·（b ）²=ab,（b a ）²=ab ，即（b ·a ）²=（b a ）².【要点归纳】 根指数 被开方数 【典例精析】解：原式30.解：（1）原式=635. （2）原式=-18. 【针对训练】1. B2. D3. 30当堂检测6. 解：（1）48. （2）﹣﹣350a . （3）（a ﹣1()31a --．。
人教版九年级数学上册导学案：21.2二次根式的乘除(1)
21．2 二次根式的乘除（1）课型: 上课时间：课时：学习内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．学习目标（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简学习过程:一、自主学习（一）复习引入1．填空：（1=____；（2=____；（3．、探索新知1、学生交流活动总结规律．2、一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3）×（4== == == ==例2 化简（1（2（3（4（5== == == == ==二、巩固练习（1）计算：①②×== == ==(2) 化简:; ;== == == == ==（3）教材P11练习三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展（一）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4（二）归纳小结（1=（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．（2）要理解（a<0,b<0）=a b，如)=或四、课堂检测（一）、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）． A C．．311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1( 二)、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？。
华师大版数学九年级上册21.2《二次根式的乘除(1、2)》导学案1
1、 表示的意义是什么？其中字母a的取值范围是什么？
2、 ；当a≥0时， ；当a≤0时， 。
问题导学
1、自主学习：
〔1〕计算：
==； ==；
==； ==；
归纳猜测：
二次根式乘法法那么：。
文字语言表达：。
〔2〕由以上公式逆向运用可得：。
文字语言表达：。
2、合作探究：
〔1〕计算： × ×
4 · 6 ·〔-2 〕
〔2〕化简：
稳固训练
1、根底达标：
〔1〕计算：
·3 3 ·5 5 ·3
〔2〕化简：
2、能力提升：〔1〕计算：· 5 Nhomakorabea〔-4 〕
〔2〕化简：
课后反思
本节课你的收获是：
你的疑点是：
21.2二次根式的乘除〔1、2〕学案
学习目标：
由具体数据，发现规律，导出 · ＝ 〔a≥0，b≥0〕并运用它进展计算；利用逆向思维，得出 = · 〔a≥0，b≥0〕并运用它进展解题和化简。
重点难点：
重点： · ＝ ， = · 〔a≥0，b≥0〕及它们的运用。
难点：发现规律，导出 · ＝ 〔a≥0，b≥0〕。
华师版数学九年级上册21 二次根式的乘法教案与反思
21.2二次根式的乘除投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】，不迷路！1.二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入 小颖家有一块长方形菜地，长6m ，宽3m ，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点：二次根式的乘法 【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件 式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( )A ．x ≤2B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎨⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得 －1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64；(3)627×(－33)；(4)3418ab·⎝⎛⎭⎪⎫－2a6b2a.解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15；(2)14×64＝14×64＝错误!＝4；(3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162；(4)3418ab·⎝⎛⎭⎪⎫－2a6b2a＝－34·2a·18ab·6b2a＝－32a·36×3b3－32a·6b3b＝－9ba3b.方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．三、板书设计在教安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
21.2 二次根式的乘除 华师大版九年级数学上册教案
21.2 二次根式的乘除1.二次根式的乘法※教学目标※【知识与技能】1.掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算.2.培养学生的合情推理能力.【过程与方法】1.在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.2.体会用类比思想研究二次根式的乘法，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂.【情感态度】教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.【教学重点】会进行简单的二次根式乘法运算.【教学难点】二次根式乘法的应用.※教学过程※一、复习引入计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？；.二、探索新知二次根式的乘法1.参考上面的结果，用“>”“<”或“=”填空.2.根据上面的探究，下列式子是否也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.以上式子从运算角度看是什么运算？结果是什么？你能说出二次根式的乘法法则吗？字母表达式是怎样的？3.二次根式的乘法法则这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.注意：a、b必须都是非负数，上式才能成立.在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数.三、掌握新知【例1】计算：解：四、巩固练习1.下列各等式成立的是( )2.计算：答案：五、归纳小结本节课应掌握：及其运用.※课后作业※计算：2.积的算术平方根※教学目标※【知识与技能】1.掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练地化简二次根式.2.培养学生的合情推理能力.【过程与方法】在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.【情感态度】通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.※教学过程※一、复习引入上节课学习了二次根式的乘法：反过来，可以得到积的算术平方根的性质.二、探索新知这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.【例1】化简，使被开方数不含完全平方的因数.分析：利用直接化简即可.解：注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因数开出来，从而将二次根式化简.三、巩固练习1.化简：2.计算：3.计算：答案：四、应用拓展1.化简：2.自由落体的公式为为重力加速度，它的值为,若物体下落的高度为720m,则下落的时间是.五、归纳小结本节课应掌握：及其应用.※课后作业※1.若的结果是.2.成立的条件是.3.已知a、b为实数，且满足的值.3.二次根式的除法※教学目标※【知识与技能】1.会进行简单二次根式的除法运算.2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念，并能把一个非最简二次根式化为最简二次根式.【过程与方法】1.在学习了二次根式的乘法的基础上进行总结类比，得出除法的运算法则.2.引导学生从特殊到一般的方法以及类比的方法，解决数学问题.【情感态度】通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的.【教学重点】简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.【教学难点】将一个非最简二次根式化为最简二次根式.※教学过程※一、复习引入问题1：上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则？问题2：是否也有二次根式的除法法则呢？问题3：两个二次根式相除，应该怎样进行呢？二、探索新知1.二次根式的除法（1）计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？(2)总结二次根式除法法则注意：因为b在分母上，分母不能为零，所以b只能大于零.（3）和积的算术平方根类似，把这个式子反过来得到商的算术平方根：【例1】计算解：题（2）的另一解法:【例2】化使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母.解：2.最简二次根式最简二次根式有如下两个特点：①被开方数不含分母；②被开方数中所有因式的幂的指数都小于2.【例3】化简：解：(2)分母有理化数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.三、巩固练习1.化简：2.计算：答案：四、应用拓展1.化简：2.计算：3.阅读下列内容，并完成以下各题.数学上将这种把分母变成有理数（式）的过程称为“分母有理化”，其中分别称为有理化因式.的有理化因式是的有理化因式是.（2）进行分母有理化.五、归纳小结本节课要掌握：1.及其运用；2.最简二次根式的定义及应用.※课后作业※1.教材第9页练习第3题.2.教材习题21.2第3题.3.计算：。
九年级数学上册21.2二次根式的乘除法(1)导学案(无答案)华东师大版(2021年整理)
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二次根式的乘除法 年级 九 学科 数学 课型 新授 授课人学习内容 二次根式的乘除法（1）学习目标1、知道二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
学习重点 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.学习难点正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
导 学 过 程 复备栏【温故互查】 1、二次根式的重要的性质是什么？2、二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
【设问导读】自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：1、用计算器填空:（1)2×3____6 （2)5×6____30（3)2×5____10 （4）4×5____202、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能用数学表达式表示发现的规律吗?3、二次根式的乘法法则是：【自学检测】1、计算：（1）9×27 （2）25×32（3)a 5·ab 51（4）5·a 3·b 312、完成下列问题：（1)用式子表示积的算术平方根的性质：（2）化简:①54 ②2212b a③4925⨯ ④64100⨯【巩固训练】1、若04144222=+-++++-c c b b a ,则c a b ••2=（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．12、计算：（1）68×(—26）； （2）386ab ab ⨯；【拓展延伸】1、判断下列各式是否正确并说明理由。
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2019版九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除法（1）导学
案（新版）华东师大版 年级
九 学科 数学 课型 新授 授课人 学习内容
二次根式的乘除法（1） 学习目标
1、知道二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
学习重点
掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
学习难点 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
导 学 过 程 复备栏
【温故互查】
1、二次根式的重要的性质是什么？
2、二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
【设问导读】
自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：
1、用计算器填空：
（1）2×3____6 （2）5×6____30
（3）2×5____10 （4）4×5____20
2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能用数学表达式表示发现的规律吗？
3、二次根式的乘法法则是：
【自学检测】
1、计算：
（1）9×27 （2）25×32
（3）a 5·
ab 51 （4）5·a 3·b 31
2、完成下列问题：
（1）用式子表示积的算术平方根的性质：
（2）化简：
①54 ②2212b a
③4925⨯ ④64100⨯
【巩固训练】
1、若04
144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ••2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1
2、计算：
（1）68×（-26）； （2）386ab ab ⨯；
【拓展延伸】
1、判断下列各式是否正确并说明理由。
（1）)9()4(-⨯-＝94-⨯-
（2）323b a =ab b 3
（3） 68×（-26）=68)2(6⨯-⨯=4812-
（4）161694⨯ =1616
94⨯⨯＝34⨯＝12 2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -332 (2) a a 212
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