高等数学第九章9-3

= 4 ∫∫
D1
π 2
a dxdy 2 2 2 a −x −y
a cos θ 0 0
= 4 a ∫ dθ ∫
2
1 rdr 2 2 a −r
= 2 πa − 4 a .
2
例 2 求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a − (a > 0)所围立体的表面积 所围立体的表面积.
x2 + y2
薄片对于x轴的转动惯量
I x = ∫∫ y ρ ( x , y )dσ ,
2 D
薄片对于y 轴的转动惯量
I y = ∫∫ x ρ ( x , y )dσ .
2 D
设一均匀的直角三角形薄板， 例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长 分别 为a 、b ，求这三角形对其中任一直角边的 转动惯量. 转动惯量
D
πa
2 πa
A=∫
2 πa
0
y( x )dx = ∫ a(1 − cos t )d[a( t − sin t )]
0
2π
= ∫ a 2 (1 − cos t ) 2 dt = 3πa 2 . 0
2π
由于区域关于直线 x = πa 对称 ，
所以形心在 x ,
y( x ) 1 1 2 πa y = ∫∫ ydxdy = ∫ dx ∫ ydy 0 AD A 0
由元素法
∫∫ xρ ( x, y )dσ x= , ∫∫ ρ ( x , y )dσ
D
D
∫∫ yρ ( x, y )dσ y= . ∫∫ ρ ( x , y )dσ
D D
当薄片是均匀的，重心称为形心. 当薄片是均匀的，重心称为形心 形心
1 x = ∫∫ xdσ , AD 1 y = ∫∫ ydσ . 其中 A = ∫∫ dσ AD D
解
x 2 + y 2 = az , 解方程组 2 2 z = 2a − x + y
x2 + y2 = a2 , 得两曲面的交线为圆周 z = a 2 2 2 在 xy 平面上的投影域为 Dxy : x + y ≤ a ,
1 2 2 由 z = ( x + y )得 a
2x zx = , a
1 y = ∫∫ ydxdy. AD
y
因为矩形板均匀, 因为矩形板均匀
b h ，y = . 由对称性知形心坐标 x = 2 2
y
v
将坐标系平移如图
对u 轴的转动惯量
h
o′
o
u
b
x
I u = ρ ∫∫ v 2dudv
bh3 ρ . = ρ ∫− h v 2dv ∫− b du = 12 2 2
h 2 b 2
Dyz
1+ (
∂x 2 ∂y
) + ( ) dydz;
∂x 2 ∂z
３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 曲面面积公式为：A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
例 1 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ，含在圆柱体 x 2 + y 2 = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.
为 m1 , m 2 ,L , m n ． 则该质点系对于 x 轴和 y 轴 的转动惯量依次为 转动惯量依次为
I x = ∑ m i yi
i =1
n
2
，
I y = ∑ mi xi
i =1
n
2
.
设有一平面薄片， 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ρ ( x , y )，假定 上连续， ρ ( x , y )在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴 的转动惯量为
x = a ( t − sin t ) 例 3 设平面薄板由 ，( 0 ≤ t ≤ 2π ) y = a (1 − cos t ) 轴围成， 求形心坐标． 与 x 轴围成，它的面密度µ = 1，求形心坐标．
解
先求区域 D 的面积 A，
y( x )
Q 0 ≤ t ≤ 2π ， ∴ 0 ≤ x ≤ 2πa
1 2 πa a 2π 5π π 2 3 [ y( x )] dx = = 2 ∫0 ∫0 [1 − cos t ] dt = 6 . 6 πa 6π
所求形心坐标为 ( πa, 5 π ) . 6
四、平面薄片的转动惯量
个质点， 设 xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ，L , ( x n , yn ) 处 ， 质量分别
U = ∫∫ f ( x , y )dσ
D
二、曲面的面积
实例 实例 一颗地球的同步轨道通讯
卫星的轨道位于地球的赤道平面 且可近似认为是圆轨道． 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同， 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动． 天空不动．若地球半径取为R ， 应为多少？ 问卫星距地面的高度h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？
解
由对称性知 A = 4 A1 ,
D1 ： x 2 + y 2 ≤ ax ( x , y ≥ 0)
曲面方程 z =
于是 1 + (
∂z 2 ∂x
a −x −y ,
2 2 2
∂z 2 ∂y
) +( )
a , = 2 2 2 a −x −y
面积 A = 4 ∫∫ 1 + z x + z y dxdy
2 2 D1
2y zy = , a
1+ z + z =
2 x 2 y
2x 2 y 1+ + a a
2
2
2 1 + z x + z 2 = 2, 由 z = 2a − x + y 知 y
2 2
1 2 a + 4 x2 + 4 y2 , = a
1 2 2 2 a + 4 x + 4 y dxdy + ∫∫ 2dxdy 故S = ∫∫ D xy a D xy
练习题
一、求锥面 z = x 2 + y 2 被柱面 z 2 = 2 x 所割下部分的 曲面面积. 曲面面积. 二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 是 介 于 两 个 圆 r = a cos θ , r = b cos θ (0 < a < b ) 之间的闭区 域 , 求 域, 均匀薄片的重心. 均匀薄片的重心. 设有一等腰直角三角形薄片, 三、设有一等腰直角三角形薄片,腰长为 a ,各点处的 面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, 面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片 的重心. 的重心. 设均匀薄片( 1)所占闭区域 四、设均匀薄片(面密度为常数 1)所占闭区域D 由抛物 9 2 所围成, 线 y = x 与直线 x = 2 所围成,求 I x 和 I y . 2
一、问题的提出
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域 具有可加性 若要计算的某个量 对于闭区域D具有可加性 对于闭区域 (即当闭区域 分成许多小闭区域时，所求量 相应 即当闭区域D分成许多小闭区域时 即当闭区域 分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量， 等于部分量之和)， 地分成许多部分量，且U等于部分量之和 ，并且 等于部分量之和 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 在闭区域 内任取一个直径很小的闭区域 dσ 时， 的形式， 相应地部分量可近似地表示为 f ( x , y )dσ 的形式， 称为所求量U 其中 ( x , y ) 在 dσ 内．这个 f ( x , y )dσ 称为所求量 元素， 的元素，记为 dU，所求量的积分表达式为
( x, y) dσ
y
柱面， 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 Σ 为 dA， 则有 dA ≈ ds .
Q dσ 为 dA 在 xoy 面上的投影 , ∴ dσ = dA ⋅ cos γ ,
1 Q cos γ = , 2 2 1 + fx + fy
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素 曲面 的面积元素
所求引力为
1 1 − . 0, 0, 2πfaρ 2 2 R + a a
六、小结
几何应用： 几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、 物理应用：重心、转动惯量、 对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识） 注意审题，熟悉相关物理知识）
思考题
求位于两圆 r = a cosθ , r = b cosθ 之间的均匀薄片的重心 . (0 < a < b)
Fz = − af ∫∫
D
z
ρ ( x, y)
(x + y + a )
2 2 2
3 2
dσ
3 dσ
F
o
x
= − afρ ∫∫
D
1
y
( x 2 + y 2 + a 2 )2
= − afρ ∫ dθ ∫
0
2π
R
1 (r 2 + a2 )
3 2
0
rdr
1 1 = 2πfaρ − . 2 2 R + a a
z
卫星
h
o
x
１．设曲面的方程为： z = f ( x , y ) 设曲面的方程为：