高中数学 函数知识点总结与经典例题与解析
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题：1. 函数的定义与性质：- 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值的集合。
- 奇偶性：奇函数的图像以原点对称，即满足$f(-x)=-f(x)$；偶函数的图像以y轴对称，即满足$f(-x)=f(x)$。
- 单调性：递增函数的图像从左到右逐渐升高；递减函数的图像从左到右逐渐降低。
例题：给定函数$f(x)=2x^2+3x-1$，求其定义域和值域。
解答：由于函数是多项式函数，所以定义域为全体实数。
接下来求值域，可以求出函数的导函数$f'(x)=4x+3$，根据导函数的单调性可以判断函数的增减性。
导函数的系数为正数4，所以原函数是递增函数。
考虑到函数是二次函数，开口向上，所以函数的最小值就是导数的零点，即$x=-\frac{3}{4}$。
将$x=-\frac{3}{4}$代入函数中，得到最小值为$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{7}{8}$。
所以值域为$[-\frac{7}{8},+\infty)$。
2. 基本初等函数：- 线性函数：$f(x)=kx+b$，k为斜率，b为截距。
- 幂函数：$f(x)=x^a$，a为常数，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
- 指数函数：$f(x)=a^x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 对数函数：$f(x)=\log_a x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例题：已知函数$f(x)=2^x-3$，求解方程$f(x)=0$的解。
解答：将$f(x)$置0得到方程$2^x-3=0$，移项得$2^x=3$。
由指数函数的性质可知，$x=\log_2 3$。
高一数学函数知识点总结及例题
高一数学函数知识点总结及例题函数是高中数学中的重要概念，也是后续学习数学的基础。
本文将对高一数学中的函数知识点进行总结，并提供一些例题帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素，可以用来描述两个变量之间的依赖关系。
函数通常记作f(x)，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
函数可以是单调递增、单调递减或既不递增也不递减。
奇偶性是指函数的对称性，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
例题1：已知函数f(x)=-2x+3，求函数的定义域和值域。
解：由于函数中的x没有任何限制，所以定义域为全体实数。
对于值域，由于函数是线性函数，可以取到任意的实数值，所以值域也是全体实数。
例题2：已知函数g(x)=x^2-4x，判断函数的单调性和奇偶性。
解：函数g(x)是二次函数，当系数a>0时，函数是开口向上的抛物线，函数是单调递增的；当系数a<0时，函数是开口向下的抛物线，函数是单调递减的。
由于g(x)是二次函数，所以它是偶函数。
二、函数的图像及其性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示，可以通过绘制函数的图像来更直观地理解函数的性质。
1. 幂函数：幂函数是指形如y=ax^n的函数，其中a和n为常数，且a≠0，n为整数。
幂函数的图像的特点是曲线形状与n的正负和大小有关，其中当n为偶数时，图像关于y轴对称；当n为奇数时，图像关于原点对称。
2. 指数函数：指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底数的幂函数，形如y=a*e^x，其中a为常数。
指数函数的图像特点是在右侧逐渐上升，在左侧逐渐下降，且经过点(0,1)。
3. 对数函数：对数函数是指以常数a（a>0且a≠1）为底数的对数函数，形如y=loga(x)，其中x为正实数。
高三函数知识点总结及例题
高三函数知识点总结及例题函数是高中数学中的重要概念，它是一种特殊的关系，将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
在高三数学学习过程中，函数是必须掌握的重要知识点之一。
本文将对高三函数知识点进行总结，并通过例题进行讲解，帮助同学们更好地理解和掌握函数的相关内容。
一、函数的定义和表示方法函数的定义：设有两个集合X和Y，如果对于X中的每一个元素x，在Y中都有唯一确定的元素y与之对应，那么我们就说y 是x的函数。
用符号表示为：y=f(x)。
函数的表示方法：1. 函数关系式表示法：y=f(x)，即用一个关系式来表示函数的对应关系。
2. 映射图表示法：通过图形的方式表示函数的对应关系。
3. 表格表示法：用表格列出变量x与函数值f(x)之间的对应关系。
4. 函数解析式表示法：通过给出函数在某个区间上的解析式来定义函数。
二、函数的基本性质和分类函数的基本性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指实变量能取的值的范围，值域是指函数值所能取的值的范围。
2. 单调性：函数在定义域上的增减关系。
3. 奇偶性：函数的对称性。
4. 周期性：函数是否具有重复性。
函数的分类：1. 一次函数：函数的最高次数为一的函数，表示为y = kx + b。
2. 二次函数：函数的最高次数为二的函数，表示为y = ax^2 +bx + c。
3. 指数函数：函数中自变量是指数的函数，表示为y = a^x，其中a为常数且不等于1。
4. 对数函数：函数中自变量是对数的函数，表示为y = loga(x)，其中a为底数且大于0且不等于1。
5. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三、函数的运算函数的运算包括四则运算、复合运算和反函数运算。
1. 四则运算：加、减、乘、除运算。
2. 复合运算：将一个函数的输出作为另一个函数的输入，即将一个函数代入另一个函数中。
3. 反函数运算：如果函数f的定义域与值域互为对应关系，那么存在一个函数g，使得f和g互为反函数。
高中数学函数知识点总结与经典例题与解析
函数知识点总结知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征11、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0x⇔y>,0>点P(x,y)在第二象限0x⇔y<,0>点P(x,y)在第三象限0x⇔y<,0<点P(x,y)在第四象限0x⇔y,0<>2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0=⇔y，x为任意实数点P(x,y)在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称23的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
高中函数部分知识点及典型例题分析
智立方教育高一函数知识点及典型例题一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B. 注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射 2、函数构成函数概念的三要素 ①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例1、例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）A 、 0个B 、 1个C 、 2个D 、3个由题意知：M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，对于图①中，在集合M 中区间（1，2]内的元素没有象，比如f （ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确； 对于图③中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确； 对于图④中，集合M 的一个元素对应N 中的两个元素．比如当x=1时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确xxxx1 2 1 1 1 2 2 2 11112 2 2 2 y y yy 3 OOOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例1、20.5log (43)y x x =-函数的定义域为根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
高中函数知识点总结及经典题目
高中函数知识点总结及经典题目一、一阶导数与导数的应用1. 导数的定义导数是函数在某一点处的斜率，表示函数变化的速率。
2. 导数的计算给定函数$f(x)$，其导数记作$f'(x)$或$\frac{df(x)}{dx}$。
常见函数导数的计算公式如下：- $f(x) = k$，常数的导数为0；- $f(x) = x^n$，幂函数的导数为$nx^{n-1}$；- $f(x) = e^x$，指数函数的导数为$e^x$；- $f(x) = \ln(x)$，对数函数的导数为$\frac{1}{x}$；- $f(x) = \sin(x)$，正弦函数的导数为$\cos(x)$；- $f(x) = \cos(x)$，余弦函数的导数为$-\sin(x)$；3. 导数的性质常见导数的性质包括：- 导数为0的点是函数的极值点；- 相邻函数值异号的两点之间必存在导数为0的点（介值定理）；- 复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。
4. 应用举例函数导数的应用包括：- 判断函数的增减性与极值；- 计算曲线的切线方程；- 求函数的最值；- 模型的线性近似。
二、函数的图像与性质1. 函数图像的基本形态常见函数图像的基本形态包括：- 直线函数的图像是一条直线，表达线性关系；- 幂函数的图像形状由幂指数决定；- 指数函数的图像是递增的曲线；- 对数函数的图像是递增且无界的曲线；- 三角函数的图像是周期性的曲线。
2. 函数的对称性与周期性函数的对称性与周期性的特点如下：- 奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，图像以原点对称；- 偶函数满足$f(-x)=f(x)$，图像以$y$轴对称；- 周期函数满足$f(x+T)=f(x)$，图像沿$x$轴重复。
3. 函数的极值与最值函数的极值与最值特点如下：- 函数在极大值点或极小值点处的导数为0；- 函数在增区间与减区间的交界处可能存在极值；- 函数的最值可能出现在区间端点。
三、经典题目1. 题目一已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求其极值点及最值。
高中数学 必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11-x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(xg 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极其重要的概念。
它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域，帮助我们理解和解决各种问题。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解函数的概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系。
在给定的集合中，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。
例如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1。
当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ 2×1 ＋1 ＝ 3；当 x ＝ 2 时，f(2) ＝ 2×2 ＋ 1 ＝ 5。
可以看到，对于每一个给定的 x 值，都能通过这个表达式得到唯一确定的 f(x) 值。
二、函数的表示方法函数可以用多种方式表示，常见的有解析法、列表法和图像法。
1、解析法就是用数学表达式来表示函数关系，如上面提到的 f(x) ＝ 2x ＋ 1 就是解析法。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数，比如：｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ f(x) ｜ 3 ｜ 5 ｜ 7 ｜3、图像法用图像来直观地展示函数关系。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，它的图像是一个开口向上的抛物线。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，由于分母不能为 0，所以 x 1 ≠ 0，即x ≠ 1，定义域为x ≠ 1。
通过分析函数的表达式，可以得出值域。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝√（x 2)，求其定义域。
要使根式有意义，被开方数必须大于等于 0，即x 2 ≥ 0，解得x ≥ 2，所以定义域为 2, ＋∞）。
例 2：若函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3，当 x ＝－1 时，求 f(x)的值。
将 x ＝－1 代入函数中，f(－1) ＝ 2×（－1) ＋ 3 ＝ 1 。
例 3：已知函数 f(x)的图像经过点(1, 2)和(2, 4)，求函数的表达式。
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题一、函数及其性质1. 函数的定义与定义域、值域：函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的依赖关系。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 常用函数类型：常见的函数类型有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 奇偶性：(1) 奇函数：f(-x)=-f(x)，对称于原点；(2) 偶函数：f(-x)=f(x)，对称于y轴；(3) 不存在奇偶性：例如二次函数f(x)=x^2或sin(x)。
4. 函数的单调性与极值：(1) 单调递增：x1 < x2，f(x1) < f(x2)；(2) 单调递减：x1 < x2，f(x1) > f(x2)；(3) 极大值：在一定范围内，函数值在此点左右两侧都小于此值；(4) 极小值：在一定范围内，函数值在此点左右两侧都大于此值。
5. 函数的周期性：周期函数是指函数在某一区间内具有某种规律的重复性。
二、一次函数1. 一次函数的定义：一次函数可表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
2. 斜率与截距的意义：(1) 斜率k：代表了函数的变化速率，k越大表示变化越快，k为正表示递增，k为负表示递减；(2) 截距b：表示函数与y轴的交点在y轴上的位置。
3. 函数图像与性质：(1) 图像特征：直线；(2) 平行线性质：同斜率的直线平行，即k相同；(3) 直线交点：两条直线的交点为(x, y)，满足k1x+b1=k2x+b2。
4. 求解问题：(1) 两点式：已知两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，再根据一点斜率式y-y1=k(x-x1)求解；(2) 截距式：已知截距b和斜率k，直线方程为y=kx+b；(3) 点斜式：已知直线上一点A(x1, y1)和斜率k，直线方程为y-y1=k(x-x1)。
三、二次函数1. 二次函数的定义：二次函数可表示为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0，a为抛物线的开口方向。
高一数学函数知识总结及例题
高一数学函数知识总结及例题高一数学函数知识总结及例题第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f 对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。
解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f 的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）1，则函数ff(x)的定义域为______________。
x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1f(x)1x1即1，解得x1且x21x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。
例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。
解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5 即函数f(x)的定义域为1，5x2例4.已知f(x4)lg2，则函数f(x)的定义域为______________。
x82x2x20解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以2x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。
高中数学第三章函数的概念与性质知识点总结全面整理(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质知识点总结全面整理单选题1、若函数f (x )=2x+m x+1在区间上的最大值为52，则实数m =（ ） A ．3B ．52C ．2D ．52或3答案：B分析：函数f (x )化为f (x )=2+m−2x+1，讨论m =2，m >2和m <2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．函数f (x )=2x+m x+1，即f (x )=2+m−2x+1，x ∈[0,1]，当m =2时，f (x )=2不成立；当m −2>0，即m >2时，f (x )在递减，可得f (0)为最大值， 即f (0)=0+m 1=52，解得m =52成立；当m −2<0，即m <2时，f (x )在递增，可得f (1)为最大值， 即f (1)=2+m 2=52，解得m =3不成立；综上可得m =52．故选：B ．2、下列函数中，在区间(1,+∞)上为增函数的是（ ）A ．y =−3x +1B ．y =2xC ．y =x 2−4x +5D ．y =|x −1|+2答案：D分析：根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.对于A ，y =−3x +1为R 上的减函数，A 错误；对于B ，y =2x 在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，B 错误； 对于C ，y =x 2−4x +5在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，C 错误；[]0,1[]0,1[]0,1对于D ，y =|x −1|+2={x +1,x ≥13−x,x <1，则y =|x −1|+2在(1,+∞)上为增函数，D 正确. 故选：D.3、已知f (2x +1)=4x 2+3，则f (x )=（ ）．A ．x 2−2x +4B ．x 2+2xC ．x 2−2x −1D ．x 2+2x +3答案：A分析：利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f (2x +1)=4x 2+3=(2x +1)2−2(2x +1)+4，所以f (x )=x 2−2x +4．故选：A4、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C ．(−∞,5]D ．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x =−2(1−m)−2=1−m ，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，从而可求出m 的取值范围解：函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3的图像的对称轴为x =−2(1−m)−2=1−m ，因为函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，解得m ≤−3，所以m 的取值范围为(−∞,−3]，故选：D5、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y =x a 形式，故y =x 3，y =x 满足条件，共2个故选：B6、已知函数f (x )={−√x 3(x ≥a )x 2(x <a)，若函数f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−1,0)B ．(−1,0]C ．[−1,0)D ．[−1,0]答案：D分析：求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.函数y =−√x 3在[a,+∞)上单调递减，其函数值集合为(−∞,−√a 3]，当a >0时，y =x 2的取值集合为[0,+∞)，f (x )的值域(−∞,−√a 3]∪[0,+∞)≠R ，不符合题意，当a ≤0时，函数y =x 2在(−∞,a)上单调递减，其函数值集合为(a 2,+∞)，因函数f(x)的值域为R ，则有−√a 3≥a 2，解得−1≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[−1,0].故选：D7、已知幂函数的图象经过点P (4,12)，则该幂函数的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB 即可.设幂函数为y =x α，因为该幂函数得图象经过点P (4,12)，所以4α=12，即22α=2−1，解得α=−12，即函数为y =x −12，则函数的定义域为(0,+∞)，所以排除CD ，因为α=−12<0，所以f(x)=x −12在(0,+∞)上为减函数，所以排除B ，故选：A8、若函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣1答案：B分析：由f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，由g （0）＝0，可求出答案.解：∵函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，x ∈R ，∴设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，则g （0）＝0，即ln √a =0，则√a =1，则a ＝1．故选：B ．多选题9、已知函数f (x )=x |x |，若对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式f (x +t )≥3f (x )恒成立，则整数t 的取值可以是（ ）A ．−1B ．1C ．3D ．5答案：CD分析：首先判断f (x )在R 上为增函数，将不等式转化为x +t ≥√3x ，即t ≥(√3−1)x 对任意的x ∈[t ，t +1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.f (x )=x |x |，当x ≥0时，f (x )=x 2，在[0,+∞)递增，当x≤0时，f(x)=−x2，在(−∞,0]上递增，且f(0)=0，f(x)为连续函数，所以f(x)在R上为增函数，且3f(x)=f(√3x)，由对任意的x∈[t，t+1]，不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，即f(x+t)≥f(√3x)，即x+t≥√3x，所以t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，由y=(√3−1)x在[t，t+1]上递增，可得y=(√3−1)x的最大值为(√3−1)(t+1)，即t≥(√3−1)(t+1)，解得t≥√3+1.故选：CD小提示：关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力.10、已知函数f(x),g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则（）A．f(x)⋅|g(x)|是奇函数B．|f(x)|⋅g(x)是奇函数C．f(x)⋅g(x)是偶函数D．|f(x)⋅g(x)|是偶函数答案：AD分析：由奇偶性的定义逐一证明即可.对于A，F(x)=f(x)⋅|g(x)|，F(−x)=f(−x)⋅|g(−x)|=−f(x)|g(x)|=−F(x)，即f(x)⋅|g(x)|是奇函数，故A正确；对于B，F(x)=|f(x)|⋅g(x)，F(−x)=|f(−x)|g(−x)=|f(x)|g(x)=F(x)，即|f(x)|⋅g(x)是偶函数，故B 错误；对于C，F(x)=f(x)⋅g(x)，F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)g(x)=−F(x)，即f(x)⋅g(x)是奇函数，故C 错误；对于D，F(x)=|f(x)⋅g(x)|，F(−x)=|f(−x)⋅g(−x)|=|−f(x)⋅g(x)|=|f(x)⋅g(x)|=F(x)，即|f(x)⋅g(x)|是偶函数，故D正确；故选：AD小提示：关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.11、关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是（）A．f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]B．f(x)的值域为(−1,1)C．f(x)在定义域上是增函数D．f(x)的图象关于原点对称答案：ABD解析：由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f(x)的定义域，可判断A；化简f(x)，讨论0<x≤1，−1≤x<0，分别求得f(x)的范围，求并集可得f(x)的值域，可判断B；由f(−1)=f(1)=0，可判断C；由奇偶性的定义可判断f(x)为奇函数，可判断D；对于A，由{x2−x4≥0|x−1|−1≠0，解得−1≤x≤1且x≠0，可得函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的定义域为[−1,0)∪(0,1]，故A正确；对于B，由A可得f(x)=√x2−x4−x ，即f(x)=|x|√1−x2−x，当0<x≤1可得f(x)=−√1−x2∈(−1,0]，当−1≤x<0可得f(x)=√1−x2∈[0,1)，可得函数的值域为(−1,1)，故B正确；对于C，由f(−1)=f(1)=0，则f(x)在定义域上是增函数，故C 错误；对于D，由f(x)=|x|√1−x2−x的定义域为[−1,0)∪(0,1]，关于原点对称，f(−x)=|x|√1−x2x=−f(x)，则f(x)为奇函数，故D正确；故选：ABD小提示：本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.12、已知函数f(x)=2x+12x−1，g(x)=2x，则下列结论正确的是（）A．f(x)g(x)为奇函数B．f(x)g(x)为偶函数C．f(x)+g(x)为奇函数D．f(x)+g(x)为非奇非偶函数答案：BC解析：先判断函数f(x),g(x)的奇偶性,再利用函数奇偶性的性质判断选项正误.f(x)=2x+12x−1,其定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),f(−x)=2−x+12−x−1=(2−x+1)⋅2x(2−x−1)⋅2x=1+2x1−2x=−f(x),故函数f(x)为奇函数,又g(x)=2x为奇函数,根据函数奇偶性的性质可知:f(x)g(x)为偶函数,f(x)+g(x)为奇函数,故选:BC.小提示：本题考查函数奇偶性的判断及其性质应用,难度不大.13、我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f(x)=x3B．f(x)=x2C．y=x−2D．f(x)=|x|答案：BD解析：根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.A选项，f(x)=x3定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，但f(−x)=−x3≠f(x)，即f(x)=x3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A排除；B选项，f(x)=x2定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数，图象关于y轴对称，即B正确；C选项，y=x−2定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，在(0,+∞)上显然单调递减，C排除；D选项，f(x)=|x|的定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，且f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，所以f(x)=|x|是偶函数，图象关于y轴对称，即D正确.故选：BD.填空题14、已知函数f(x)=x2−2ax+3在区间[2,8]是单调递增函数，则实数a的取值范围是______．答案：a≤2分析：求出二次函数的对称轴，即可得f(x)的单增区间，即可求解.函数f(x)=x2−2ax+3的对称轴是x=a，开口向上，若函数f(x)=x2−2ax+3在区间[2,8]是单调递增函数，则a≤2，所以答案是：a≤2．15、已知函数f(x)的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f(x)的说法：①f(f(1))=3；②f(2)>f(0)；③f(x)=2|x−1|−x+1,x∈[0,4]；，2].④∃a>0，不等式f(x)≤a的解集为[13其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)答案：①③解析：根据图象，可求得f(1)的值，即可判断①的正误；根据图中数据及f(x)在[1,4]上的单调性，可判断②的正误；分别讨论1≤x≤4和0≤x<1两种情况，求得f(x)解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式f(x)≤a解集，即求f(x)=a的根，根据f(x)解析式，即可判断④的正误，即可得答案.对于①：由图象可得：f(1)=0，所以f(f(1))=f(0)=3，故①正确；对于②：f(0)=f(4)=3，且f(x)在[1,4]上为单调递增函数，所以f(2)<f(4)=3，所以f(2)<f(0)，故②错误；对于③：当1≤x≤4时，f(x)=2|x−1|−x+1=2(x−1)−x+1=x−1，f(1)=0,f(4)=3，满足图象；当0≤x <1时，f(x)=2|x −1|−x +1=2(1−x)−x +1=3−3x ，f(0)=3，斜率k =−3，满足图象，故③正确；对于④：由题意得f (x )≤a 的解集为[13，2]，即f (x )=a 的根为13,2，根据f (x )解析式可得f(13)=2，当1≤x ≤4时，令x −1=2，解得x =3，所以解集为[13,3]，故④错误. 所以答案是：①③16、已知a >0，b >0，且a +b =1，则1a+2b−3ab 的最大值是______． 答案：32分析：利用a >0，b >0，且a +b =1，求出a 的范围，将1a+2b−3ab 消元得13a 2−4a+2，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得1a+2b−3ab 的最大值.解：因为a >0，b >0，且a +b =1，所以a ∈(0,1),b ∈(0,1)，1a +2b −3ab =11+b −3ab=11+(1−a )(1−3a ) =13a 2−4a+2，当a =23时，3a 2−4a +2取最小值23，所以13a 2−4a+2取最大值32，故1a+2b−3ab 的最大值是32. 所以答案是：32.解答题17、已知函数f (x )=√x +3+1x+2.(1)求f (x )的定义域和f (−3)的值；(2)当a >0时，求f (a )，f (a −1)的值.答案：(1)定义域为[−3,−2)∪(−2,+∞)，f (−3)=−1；(2)f (a )=√a +3+1a+2，f (a −1)=√a +2+1a+1.分析：（1）由根式、分式的性质求函数定义域，将自变量代入求f (−3)即可.（2）根据a 的范围，结合（1）的定义域判断所求函数值是否有意义，再将自变量代入求值即可.（1）由{x +3≥0x +2≠0，则定义域为[−3,−2)∪(−2,+∞)， 且f (−3)=√−3+3+1−3+2=−1.（2）由a >0，结合（1）知：f (a )，f (a −1)有意义.所以f (a )=√a +3+1a+2，f (a −1)=√a −1+3+1a−1+2=√a +2+1a+1. 18、已知幂函数f (x )=x −m2+4m (m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在区间(0,+∞)上是严格增函数．(1)求m 的值； (2)求满足不等式f (2a −1)<f (a +1)的实数a 的取值范围．答案：(1)m =2(2)0<a <2分析：（1）先利用幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数得到−m 2+4m >0，再验证其图象关于y 轴对称进行求值；（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.（1）解：因为幂函数f (x )=x −m 2+4m 在区间(0,+∞)上是严格增函数，所以−m 2+4m >0，解得0<m <4，又因为m ∈Z ，所以m =1或m =2或m =3，当m =1或m =3时，f (x )=x 3为奇函数，图象关于原点对称（舍）；当m =2时，f (x )=x 4为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；综上所述，m =2.（2）解：由（1）得f (x )=x 4为偶函数，且在区间(0,+∞)上是严格增函数，则由f (2a −1)<f (a +1)得|2a −1|<|a +1|，即(2a −1)2<(a +1)2，即a 2−2a <0，解得0<a <2，所以满足f (2a −1)<f (a +1)的实数a 的取值范围为0<a <2.。
高中数学常用公式、重要结论及典型例题(函数与导数)
高中数学常用公式、重要结论及典型例题函数与导数（内部资料翻录必究）相关概念1. 函数的定义域：定义域是一个集合，要用集合或区间来表示，如果用区间表示，不能用“或”连接，要用U “”连接。
2. 如()f x 的定义域为[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出。
3. 任何一个定义域关于原点对称的函数)(x f ，都可以写成一个奇函数)(x h 与一个偶函数)(x g 之和的形式（事实上，这种表示还是唯一的，令()()()()12h x f x f x =--，()()()()12g x f x f x =+-即可）。
1) 凸函数（凹函数）：设函数)(x f 在区间I 有定义，若对12,(0,1)x x I t ∀∈∈、，都有 )()1()())1((2121x f t x tf x t tx f -+≤-+（或)()1()())1((2121x f t x tf x t tx f -+≥-+），则称)(x f 为区间I 上的凸函数（或凹函数）。
2) 凸函数（凹函数）快速判断：如果函数)(x f 的二阶导数存在，则()0f x ''>时，)(x f 是凹函数（图像开口向上）；()0f x ''<时，)(x f 是凸函数（图像开口向下）。
此性质往往可以用来快速判断函数图像类选填题。
3) 函数)(x f y =在0x 处可导，如果0()0f x '>，则)(x f 在0x 附近递增；如果0()0f x '<，则)(x f 在0x 附近递减。
此性质往往可以用来速解某些函导混合类选填题难题。
4. 方程)0(02≠=++a c bx ax 在),(21k k 内有且只有一个实根,等价于12()()0f k f k ⋅< 5. 闭区间上二次函数的最值：)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处或区间的两端点处取得，具体如下： （1）当0a >时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max ()(),()max (),()2b f x f f x f p f q a =-=； 若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q = (2)当0a <时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =， 若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q = 6. 函数单调性的等价关系(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数7. 单调性的典型应用：（1）利用单调性求函数值域（2）利用单调性解方程：例如，对于方程2332(2038)484152x x x x x -+=-+- 可将其变形为2323(2038)4(2038)4x x x x x x -++-+=+ 构造函数3()4f x x x =+，原方程变为2(2038)()f x x f x -+=考虑到()f x 为单调递增函数，故必有22038x x x -+=，解得2x =或19x =。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的世界里，函数是一个极其重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域和实际应用。
为了更好地理解函数，让我们通过一些例题来深入探究，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数的定义可以简单地理解为：对于给定的一个非空数集 A，按照某种确定的对应关系 f，使得对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
我们用符号 y ＝ f(x)来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
二、函数的表示方法函数常见的表示方法有三种：解析式法、列表法和图象法。
解析式法就是用数学式子表示两个变量之间的对应关系，比如 y ＝2x ＋ 1 。
列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，比如在一定范围内，给出 x 的值和对应的 y 的值。
图象法是用图象来表示两个变量之间的对应关系，比如画出函数 y＝ x²的图象。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量 x 的取值范围，而值域则是因变量 y 的取值范围。
例如，对于函数 y ＝ 1/x ，其定义域为x ≠ 0 ，值域为y ≠ 0 。
确定函数定义域时，需要考虑以下几点：1、分式的分母不为零。
2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数函数的真数大于零。
四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上是递增还是递减的性质。
如果对于区间 I 内的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x) 在区间 I 上是增函数；反之，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数 f(x) 在区间 I 上是减函数。
例如，函数 y ＝ x²在区间（∞， 0) 上是减函数，在区间（0, ＋∞）上是增函数。
五、函数的奇偶性如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。
高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结
高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结高中数学必考知识点：函数与方程应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，函数与方程应用题是必考的知识点之一。
通过运用函数与方程的知识，可以解决各种实际问题。
本文将解析一些常见的函数与方程应用题，并总结解题的技巧。
一、线性方程应用题1. 等速度问题在等速运动问题中，常会涉及到线性方程的应用。
假设某车以每小时50公里的速度行驶，若行驶t小时，求行驶的距离。
解题步骤：- 设行驶的距离为D，根据速度=距离/时间的关系，得到方程50 =D/t。
- 通过化简方程，可以求解出D = 50t。
2. 斜率问题斜率是线性方程中的一个重要概念，它描述了函数图像的变化趋势。
在应用题中，我们可以通过斜率来解决一些问题。
例如，在一个坡度为2/3的斜坡上，小明以每分钟1米的速度上升，求他上升2米需要多长时间。
解题步骤：- 设上升的时间为t分钟，根据速度=距离/时间的关系，得到方程1 = 2/3t。
- 通过化简方程，可以求解出t = 3/2分钟。
二、二次函数应用题1. 抛物线问题二次函数在物理学中有广泛的应用，常用于描述天体运动、抛体运动等。
在抛物线问题中，我们可以通过二次函数的性质解决一些实际问题。
例如，一个飞行器以初速度40米/秒从水平面上升，经过4秒钟后开始下降，请问其最高点的高度是多少？解题步骤：- 设最高点的高度为h，根据抛物线的性质，最高点的时间为0轴对称点的横坐标。
- 0轴对称点的横坐标为 t = 4/2 = 2秒。
- 将t = 2代入二次函数中得到高度，计算得到h = 40*2 - 9.8*2^2 = 40米。
2. 面积问题二次函数的图像可以形成一个抛物形状，通过求解该抛物线与x轴之间的面积，可以解决一些面积问题。
例如，一个花坛的形状是一个抛物线，已知顶点坐标为(2, 5)，边长为4的正方形位于抛物线与x轴之间，求正方形的面积。
解题步骤：- 设正方形的边长为a，根据抛物线的性质，正方形位于x=2附近，边长为a的正方形与抛物线有两个交点。
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
1 函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根Û函数()y f x =的图像与x 轴有交点Û函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x Î，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法①代数法：函数)(x f y =的零点Û0)(=x f 的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定0D >Û)(x f y =有2个零点Û0)(=x f 有两个不等实根；0D =Û)(x f y =有1个零点Û0)(=x f 有两个相等实根；0D <Û)(x f y =无零点Û0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定. 1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ×<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ×<,给定精确度e ; ②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ; (ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点; (ⅱ) 若()()0f a f c ×<,则令b c =(此时零点0(,)x a c Î); (ⅲ) 若()()0f c f b ×<,则令a c =(此时零点0(,)x c b Î); ④判断是否达到精确度e ,即a b e -<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】【经典例题】1．函数3()=2+2xf x x -在区间(0,1)内的零点个数是内的零点个数是 （ ）A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2．函数．函数 f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是( ) A 、(－2，－1) B 、(－1,0) C 、(0,1) D 、(1,2) 3．若函数=)(x f xa x a -- (0a >且1a ¹)有两个零点，则实数a 的取值范围是的取值范围是. 4．设函数f (x )()x R Î满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x Î时，f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x p |，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为上的零点个数为 （ ）A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为上的零点个数为 （ ）A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 6．函数()cos f x x x =-在[0,)+¥内 （ ）A 、没有零点、没有零点B 、有且仅有一个零点、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点、有无穷多个零点7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝îïíïìa ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是的取值范围是 ( )A 、(－∞，－2]∪èæøö－1，32B 、(－∞，－2]∪èæøö－1，－34C 、èæøö－1，14∪èæøö14，＋∞D 、èæøö－1，－34∪ëéøö14，＋∞8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-¹＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*(,1),,n=x n n n N Î+Î则 . 9．求下列函数的零点：．求下列函数的零点：（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x=-. 10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．【课堂练习】【课堂练习】1、在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) ( )4、函数f ()x =2x+3x 的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是 （ ）A ．（-2,-1）B 、（-1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是不存在零点的是（ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4] 6、函数()x f =x -cos x 在[0，¥+﹚内﹚内 （ ）A 、没有零点、没有零点B 、有且仅有一个零点、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点、有无穷多个零点 7、若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（可以是（ ）A 、()41f x x =-B 、2()(1)f x x =- C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =-8、下列函数零点不宜用二分法的是、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )( )A 、3()8f x x =- B 、()ln 3f x x =+ C 、2()222f x x x =++ D 、2()41f x x x =-++ 9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间的零点必落在区间 （ ）A 、÷øöçèæ41,81B 、÷øöçèæ21,41C 、÷øöçèæ1,21 D 、(1,2) 10、01lg =-xx 有解的区域是有解的区域是 （ ）A 、(0,1]B 、(1,10]C 、(10,100] D 、(100,)+¥11、在下列区间中，函数()e 43xf x x =+-的零点所在的区间为的零点所在的区间为 （ ） A 、1(,0)4- B 、 1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)24 12、函数2()log f x x x p =+的零点所在区间为（的零点所在区间为（ ）A 、1[0,]8 B 、11[,]84 C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833Î=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（则方程的根落在区间（） A 、(1,1.25) B 、(1.25,1.5) C 、(1.5,2) D 、不能确定、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、[]2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ì+-£=í-+>î， 零点个数为（零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 16、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为）为 （ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.5 17、方程223xx -+=的实数解的个数为的实数解的个数为. 18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。
高中函数知识点总结及经典题目
高中函数知识点总结及经典题目函数是高中数学中的重要知识点之一，掌握函数的概念和性质对于研究高中数学非常重要。
本文将对高中函数的知识点进行总结，并列出一些经典的函数题目供研究和练。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，其中每个输入值都对应唯一的输出值。
函数可以用数学符号表示为f(x)，其中f表示函数名称，x表示输入值，输出值可以用f(x)表示。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能的输入值，值域是函数的所有可能输出值的集合。
2. 单调性：函数可以是递增的或递减的。
当输入值增加时，如果函数值也增加，则函数是递增的；当输入值增加时，如果函数值减少，则函数是递减的。
3. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
如果对于任意x，f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果对于任意x，f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
4. 对称轴：如果函数是偶函数，则对称轴是y轴；如果函数是奇函数，则对称轴是原点。
三、常见函数类型1. 线性函数：y = kx + b，其中k和b分别是常数。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a不等于0。
3. 指数函数：y = a^x，其中a是常数，且a大于0且不等于1。
4. 对数函数：y = loga(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1。
四、经典题目1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
2. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(-1)的值。
3. 已知函数f(x) = 3^x，求f(2)的值。
4. 已知函数f(x) = log2(x)，求f(8)的值。
以上是高中函数知识点的总结及一些经典题目。
通过对函数的掌握和练习，可以提高高中数学的理解和解题能力。
希望对你的学习有所帮助。
高一数学函数知识点及例题讲解
高一数学函数知识点及例题讲解函数是数学中的重要概念，高一数学课程中也着重学习了函数的相关知识。
本文将介绍高一数学函数的基本概念和重要知识点，并结合例题进行详细讲解。
1. 函数的定义和表示函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量可能的取值范围。
在确定函数的时候，需要确保自变量在定义域内有明确的对应值。
3. 函数的分类函数可分为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等多种类型。
下面以一次函数和二次函数为例进行讲解。
- 一次函数：一次函数的表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了函数的增减趋势。
- 二次函数：二次函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。
4. 函数的性质函数有许多重要的性质，下面介绍两个常见的性质。
- 奇偶性：若对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，有f(-x) =f(x)，则称该函数具有偶性；若对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数具有奇性。
- 单调性：若对于定义域内的任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称该函数为增函数；若x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称该函数为减函数。
5. 函数的图像与例题讲解函数的图像是理解和应用函数知识的重要途径，下面通过例题进行函数图像的讲解。
例题1：已知函数f(x) = 2x + 1，求函数f(x)的图像。
解析：根据函数的一次函数的性质可知，斜率k为2，且函数在y轴上的截距b为1，这样就可以确定函数的图像为一条过点(0, 1)且斜率为2的直线。
可以通过绘制坐标轴，取几个x值，计算对应的y值，然后将这些点连成一条直线即可得到函数f(x)的图像。
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函数知识点总结知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果bkxy+=（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数bkxy+=中的b为0时，kxy=（k为常数，k≠0）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数by=的图kx=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy+4一般地，正比例函数kxy=有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大，图像从左之右上升；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小，图像从左之右下降。
5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小（3）当b>0时，直线与y 轴交点在y 轴正半轴上 （4）当b<0时，直线与y 轴交点在y 轴负半轴上 6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。
解这类问题的一般方法是待定系数法 知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念一般地，函数x ky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 或xy=k 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
确定解析式的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义若过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。
k S k xy xky ==∴=,, 。
知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c+y+=2与坐标轴的交点：axbx当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c二次函数2y ax=的图像上下平移得到（平移规律：上加下=+的图像可由2y ax c减）。
3. ()2y a x h =-的性质：二次函数()2y a x h =-的图像可由2y ax =的图像左右平移得到（平移规律：左加 右减）。
4. ()2y a x h k =-+的性质：知识点八、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用两点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点九、二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 知识点十、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
知识点十一、二次函数的性质x一元二次方程20ax bx c++=是二次函数2y ax bx c=++当函数值0y=时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：① 当240b ac∆=->时，图象与x轴交于两点()()1200A xB x，，，12()x x≠，其中的12x x，是一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x=-=推导过程：若抛物线cbxaxy++=2与x轴两交点为()()021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02=++cbxax的两个根，故acxxabxx=⋅-=+2121,()()aaacbacabxxxxxxxxAB∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121② 当0∆=时，图象与x轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x轴没有交点.1'当0a>时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y>；2'当0a<时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y<．记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。