韦达定理经典例题

韦达定理经典例题

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

一元二次方程根与系数的关系培优训练

例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程

有两个相等的实数根。

求证：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，若，则.

例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长．

例5．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了

q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么

例6．已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程

x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。

练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．

(1)若α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；

解：∵α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实根，

∴α2-3α-5=0，β2

-3β-5=0，且α+β=3．

∴α2=3α+5，β2=3β+5

∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．

(2)已知x 1、x 2是方程x 2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。

3．如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那

么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少

4．已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形

的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程

y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。

6．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程

x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。