变系数方程的差分格式(5)

。
因而该不等距差分方程也同样能写成(3)的形式，差 分逼近阶为 O(h1 h2 ) 。 二、差分方程的特征分析 当 h1 , h1 , h2 , h2 充 分 小 时 ， (3) 中 的 左 端 系 数
ai 1, j , ai , j 1 , ai 1, j , ai , j 1 和 aij 是正的，且成立
1 h1 Ai 1 ,j 2

ui1, j ui , j h1
Ai 1 , j
2
ui , j ui1, j h1
B
1 h2
ui , j 1 ui , j j 1 2 h2
i,
Bi , j 1
ui , j ui , j 1 h2
2
F
其中
1 ai 1, j h12 ( Ai 1 , j h Cij ), 2 2 2 ai , j 1 h2 ( Bi , j 1 h22 Dij ), 2 2 1 ai 1, j h1 ( Ai 1 , j h Cij ), 2 2 2 ai , j 1 h2 ( Bi , j 1 h22 Dij ) 2 2 2 a h1 ( Ai 1 , j Ai 1 , j ) h2 ( Bi , j 1 Ai , j 1 ) Eij 2 2 2 2 ij
ai 1, j ai , j 1 a i 1, j ai , j 1 aij Eij 0 ；
将(3)改写成
Lhuij aij uij ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 Fij
ij
1 2 1 2
ui 1, j ui 1, j 2h1 ui , j 1 ui , j 1 2h2
y ( Bi , j y (ui , j )) Bi , j (ui , j 1 ui , j ) Bi , j (ui , j ui , j 1 ), uij y ˆ
其中
1 ( h1 h1 ) / 2
A x ( Ai , j (uij ) x ) ( h 1 h ) / 2 i
1 1

ui 1, j uij
1, 2
j
h1
Ai 1 , j
2
ui , j ui 1, j h1
和
u
ij x ˆ

ui 1, j ui 1, j h1 h1
Dij uij ˆ Eij uij Fij ,
y 1 2 h1
x ( Ai , j xui , j ) h1 y ( Bi , j y ui , j ) Cij uij xˆ
2 2
(2)
其中
x ( Ai , j x (ui , j )) Ai , j (ui 1, j ui , j ) Ai , j (ui , j ui 1, j ), uij xˆ
其中 A( x, y ), B( x, y ) C1 (G ), C ( x, y), D( x, y), E ( x, y), F ( x, y)
C (G ), C (), 且A( x, y ) Amin 0, B( x, y ) Bmin 0, E 0.
矩形网剖分：步长分别为 h1和h2 。 点集的符号： Gh 表示网格内点集合， h 表示网格界 点集合， Gh Gh h 。 一、差分方程的构造 正则内点 ( xi , y j ) 处的差分方程：
1 2 1 2
2 2 截断误差 Rij (u ) O(h1 h2 ) 。
差分方程（2）的变形：
ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai , j ui , j Fij （3）
（4）
从(3)可以看出差分方程(2)是一五点差分格式。 非正则内点处ຫໍສະໝຸດ Baidu立不等距差分方程：
1 ( h1 h1 ) / 2
x ( Ai , j (uij ) x ) h1 y ( Bi , j ui , j ) Cij (uij ) xˆ
2
E u F Dij (uij ) y ij ij ij
课件编写者： 冯仁忠
§ 5 变系数方程的差分格式
学习内容：二阶线性椭圆偏微分方程的五点差分 格式的构造、截断误差的估计和差分方程组的系数矩 阵 A 的性态分析。 二阶椭圆偏微分方程的第一边值问题：
( Au x ) x ( Bu y ) y Cu x Du y Eu F , （1） u | ( x, y ) G
（5）
并将网格内点按适当次序排列，例如从左下角网点开
始，按由左向右、由下向上的顺序排列，得一线性代 数方程组，其系数矩阵 A 有：
a7,7 a7,8 0 0 0 a8,7 a8,8 a8,9 0 0 a9,8 a9,9 a9,10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a7,13 0 0 0 0 0 0 0 0 a8,14 0 0 0 0 0 0 0 0 a9,15 0 0 0 a22,16 0 0 0 a22,21 a22,22
1） A 每行至多五个非零元素，是一稀疏矩阵； 2） A 的对角元素是正的，非对角元素是非正的， 非对角元素绝对值之和不超过对角元素，当点 (i,j)为非正则内点时，差分方程左边至少有 一个界点,将对应此界点的项 a p u p 移至右边， 方 程左边相应地令 ap=0，在 A 中对应行是严格对 角占优，所以 A 是可逆的; 3） 若微分方程(1)对称， 即 C=D=0,则 A 也对称 （此 时要求非正则内点格式为修正型） 。
u7 F7 a7,1u1 a7,6u6 F a u u 8 8,2 2 8 u9 F9 a9,3u3 u F a u a u 22 22 22,23 23 22,28 28