变系数方程的差分格式(5)
差分方程方法
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
3 2013年7月18日
1.常系数线性齐次差分方程
(1) 特征根为单根
设差分方程(1)有 k 个单特征根 1 , 2 ,, k ， 则通解为
xn c c2 ck
9
如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略 才能使总收获量最高。
18 2013年7月18日
四、案例:最优捕鱼策略问题
2. 模型的假设 （1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁 入与迁出； （2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；
（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化 的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼； （4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死 亡发生于产卵之后；
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
！！无捕捞时 鱼群会无限 的增长吗？？
由假设（１）和（２） ：
dxi (t ) rxi (t ), i 1, 2,3, 4; dt k t k 1, k 0,1, 2,
各龄鱼都不会无限地增长！
21
No! I don’t know!
2013年7月18日
3、模型的建立与求解
偏微(11)变系数方程
u
2
2 O h 2 x j
n
利用方程（4.1）有
u x j 1 , t n 2u x j , t n u x j 1 , t n h2
1 u
2 O h a t j
n
引入时间的差商得到逼近(4.1)式的一个差分格式
dx
w x j 1 , t
2
x j 1 xj
1 dx , a x
9
u w 0 4.12 t x
x x
j
1 2
1 j 2
u x , t u x , t dx n tn w x j 12 , t w x j 12 , t n 1
2 x n 1 2 x n
n 1 n n 1 n n 1 n 1 u j 1 u j 1 5 u j u j 1 u j 1 u j 1 u j u j , (4.4) 2 12 a j 1 6 a j 12 a j 1 2h
2 2 1 u h 1 u 4 O h 2 a t j 12 x a t j
2 1 u 2 x 1 u h a t 2 4 O h O h 2 h a t j 12 j 5 1 u 1 1 u 1 1 u 4 O h 6 a t j 12 a t j 1 12 a t j 1
A u x , t j j n1 1 2 h 1 A u x , t j j n
Laplace方程边值问题的五点差分格式
支越
（ 中国传媒大学信息科学与技术学部，北京 100024）
摘要： 使用差商代替导数法与积分插值法建立 Laplace 方程边值问题五点差分格式。 关键词： Laplace 方程； 五点差分格式 中图分类号： O241． 82 文献标识码： A 文章编号： 1673 － 4793（ 2019） 04 － 0038 － 04
分格式联立，消去未知量 u －1，0 和 u0，－1 ，( 0，N) ，( N，0 ) 和 ( N，N) 类似处理。 角点 ( 0，0 ) ，－ u1，0 － u0，1 + 2u00 = 2hβ00
角点 ( 0，N) ，－ u0，N－1 － u1，N + 2u0N = 2hβ0N
角点 ( N，0 ) ，－ uN，1 － uN－1，0 + 2uN0 = 2hβN0
Five-Point Difference Scheme for Boundary Value Problems of Laplace Equation
ZHI Yue
（ Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China）
1 引言
( ) Laplace 方程： －
2 u x2
+
2 u y2
= 0 ，或 － Δu = 0 ，( x，y) ∈ Ω ，Ω 是平面上的有界区域，边界 Γ 为分段光
滑曲线。
{ ( ) Laplace 方程的第一边值问题（ Dirichlet 问题）
－
2 u x2
+
2 u y2
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
5第五讲 典型模型方程-波动方程的差分格式
得到 高阶精度的Runge-Kutta方法，其步骤相同。如四阶精度的Runge-Kutta方法
若采用二阶空间差分格式，则其 提高时间导数的差分精度。
， Runge-Kutta方法仅
Comments
• 高阶精度的差分格式需要更多的计算资源和推
导计算的复杂性。 • 一般情况下，二阶精度的差分格式能提供足够 的精度。 • 对于一维波动方程，二阶精度的显格式如 Lax-Wendroff格式在计算资源消耗少的情 况下能给出很好的数值解。隐格式在相对较小 的时间步长情况下，计算中可能导致一些不稳 定解，且需要存储中间时间层上的值和求解方 程组，消耗较多的计算资源，不一定是最优的 原则。
为了使其为稳定差分方法，修正如下
：
因此，此差分方程不一定总相容于PDE，当 则相容，为条件相容。
t 0, x 0 x
t 0, x 0
2
t
0
?
时，v保持为常数，
Lax差分方法的耗散性和色散性分析
当v不为1时，耗散性很强。
理解下图？？？
Euler差分方法（如下）不稳定
其辐角误差为：
因此相对相位误差（relative phase shift error）（见图4.3）为：
因此，当
1 e 1 e
leading phase error lagging phase error
solution : u ( x, t ) sin[6 ( x ct )]
（4-2）
泰勒展开：
n n 1 u u 在 j 处展开， j 在 u n j 处展开，
utt j 在 utt nj 处展开，相减后 泰勒展开：
n 1
（4.57）式两式相减，并整理得：
双曲型方程的差分方法I
at n
h a 0
x j nh x j an x j
其中 .
a 0 0 a 1
h
a 0 x j an x j 不收敛
P
n
D
D'
C
D'
21
右偏心格式C.F.L条件
unj 1 unj
不稳定，C.F.L条件仍为
| a| 1，
C.F.L条件下不收敛
26
课堂练习
1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏
心格式、中心差分格式的C.F.L条件。
27
5.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式
x k 1 x
x xk
（两点式），
L1 ( x )
yk
yk 1
xk 1 x k
2
2
2
2
2
a 1,|G( ,k )| 1,Von Neumann 条件满足
条件稳定
7
a 0
v
n 1
u
n1
j
u
n
j
a
u
n
j 1
u
n
j
h
((1 a ) a e )v
ikh
,
n
| G( k , ) |2 (1 a a cos kh)2 a 2 2 sin 2 kh
( , t n )
3
x j 2 t
6
x
t
n
2
3
2u
ah2 3 u
(x j , )
7_双曲型方程的差分方法(II)
a 如果 | | M，x R，t [0，T ] x
n 那么由中值定理有： | an a j 1 j 1 | 2 Mh
从而有 || u n 1 ||h （ 1 M） || u n ||h
2 2
重复使用上面的式子有 || u ||h e
n 2 MT
|| u ||h ，n T
u u u 1 u 1 A 0 S S A 0 t x t x w w 1 u 1 1 u S S ASS 0 0 t x t x
非耦合系统
w S 1 u
2
1 1 1 取S 2 1 1 w1 u1 u2 1 1 1 0 1 1 S AS u, 即 , w S u 0 1 w2 u1 u2 1 1
l (G ) 1 il sin kh |l |( cos kh 1)
kh 2 |l (G )| (1 2 |l |sin ) 2l2 sin 2 kh 2 2 kh 1 4 |l |(1 |l |)sin 2 (G ) 1 max|l | 1
1 l 0
(A) 1
即 (A) 1 时 满足Von Neumann条件
为格式稳定必要条件
(A) 1
为稳定充要条件
证明： G(k , ) cos kh I i sin kh A 由于 S 1 AS Λ
Λ diag(1 ,2 ,
1
a(x,t)<0 见下图
a(x,t)>0 见上图
可将常系数方程的差分 格式推至变系数方程：
(1) Lax Friedrichs格式：
u
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们称这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y .例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
跳点法在图像恢复中的应用
跳点法在图像恢复中的应用邢月启;王卫卫【摘要】采用跳点法求解非线性扩散偏微分方程.这种方法采用显、隐交替差分格式.数值实验与分析表明该方法比显格式更有效,并且是一种无条件稳定的数值方法.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2010(046)003【总页数】2页(P177-178)【关键词】跳点;显、隐交替;差分格式【作者】邢月启;王卫卫【作者单位】西安电子科技大学,理学院,西安,710071;西安电子科技大学,理学院,西安,710071【正文语种】中文【中图分类】TP3911 跳点差分格式的引入及稳定性分析Perona-Malik方程[1]是图像处理中一个重要的方程，Catte等人[2]在Perona-Malik方程的基础上提出了CLMC方程[2]。
目前已有许多扩散偏微分方程的数值实现方法[3-4]。
常用显式差分格式求解，但显格式为保证稳定性，对时间步长要求教高。
因此引入显、隐交替的跳点差分格式。
考虑Catte[2]等人提出了改进的P-M模型：隐式差分格式为：利用奇-偶函数，可以把求解式（1）的跳点格式表示为：由上式可以看出，如果n+j+l+1为偶数，则式（4）取显式计算；若n+j+l+1为奇数，则式（4）取隐式计算。
用隐式格式算出时，n+j+l+1是偶数，此时n+j+l+1必为奇数。
下面是两个相邻的时间层上的公式：总的来说，利用跳点格式归纳如下：设在第n层上已知，要求第n+1层上的值。
第一步是对n+j+l+1为偶数的点利用公式（4）按显式计算，第二步是对n+j+l+1为奇数的点利用公式（4）按隐式计算，但此时的4个邻点上的值，已经由第一步求出，所以实际上第二步是显式的。
第二步得到值后按式（5）求出n+2时间层的值，因此第一步实际是公式（5）的简单运算而得到的。
因此可见跳点法比显式格式方法更省工作量。
从式（5）和式（3）中消去，整理得到：同时由于跳点法中奇、偶网格点是两套相互独立的网格，所以只需判断式（6）稳定性。
第五讲——显式差分和隐式差分(5)(格式整齐)
左端：n+1时刻的值； 右端：n时刻的值。
特点：结构简洁，直接求解，求解速度快。
但是，时间步长需满足：
显式差分格式才能得到稳定的数值解，否则，数值解将会不稳定而振荡。
高级材料
19
显示差分格式示意图
高级材料
20
2. 隐式差分格式：
高级材料
时间一阶精度 空间二阶精度
21
隐式有限差分格式
高级材料
22
初始条件：
高级材料
26
内部节点：
A = sparse(nx,nx); for i=2:nx-1 A(i,i-1) = -s; A(i,i ) = (1+2*s); A(i,i+1) = -s; end
边界节点：
A(1 ,1 ) = 1; A(nx,nx) = 1;
载荷项：
rhs = zeros(nx,1); rhs(2:nx-1) = Told(2:nx-1); rhs(1) = Tleft; rhs(nx) = Tright; 高级材料
end
end
高级材料
b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135
c(i,1)=25;end d=b*c; s=zeros(11,17); for i=2:16
s(11,i)=100; end for i=1:9 for j=1:15; s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end
内部
边界
27
Crank-Nicolson 隐式差分格式的程序实现
sTi
n1 1
(2
2s)Ti n 1
41-波动方程的差分逼近知识讲解
41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。
其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。
在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。
由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。
（5）可显示算出各网点的值。
（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。
偏微分-第三章
clear N=1000;dx=0.01; dt=0.001;c=dt/dx; x=linspace(0,3,300)'; u(1:300,1)=1; u(60:300,1)=0; h=plot(x,u(:,1),'linewidth',3); axis([0,3,-0.2,1.5]); set(h,'EraseMode','xor','MarkerSize',1) for k=2:N set(h,'XData',x,'YData',u(:,1)); drawnow; u(2:199,2)=u(2:199,1)+c/2*(u(1:198,1)u(3:200,1))+1/2*c*c*(u(3:200,1)-2*u(2:199,1)+u(1:198,1)); u(2:199,1)=u(2:199,2); end
差分方程讲解
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
x
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
设特解的待定式为 m y x B0 B1 x Bm x (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
椭圆方程差分格式
由Guass公式有
D
D
u u udxdy D n ds ( l l l ) n ds D l1 2 3 4
从上面的公式把边界积 分转化为在四条边上的 积分， 于是积分分成 段进行，也即转化为定 4 积分。
对于在边l1上，因为在矩形边1上的外法向就是 的负 l y 方向，弧长的微分 dx，于是对此定积分用矩 ds 形 公式近似计算，并且用 差商代替微商，得到
u u x (b( x, y) x )dxdy [b( xi , y j 12 ) x ( xi , y j 12 ) Dij u b( xi , y 1 ) ( xi , y 1 )]h j j 2 x 2
c( x, y)udxdy c u hk, f ( x, y)dxdy f
１：直接差分方法
1 1 (aij xuij ) 2 y (aij y uij ) cijuij f ij 2 x h h
２：有限体积法（积分差分方法）
u x (a( x, y) x )dxdy Dij
y
u u [a( x 1 , y ) ( x 1 , y ) a( x 1 , y ) ( x 1 , y )]dy i i x i 2 x i 2 2 2 y 1
j 2
j
1 2
对上面定积分利用梯形 公式有
u u x (a( x, y) x )dxdy [a( xi 12 , y j ) x ( xi 12 , y j ) Dij u a( x 1 , y j ) ( x 1 , y j )]k i x i 2 2
1.1:五点差分格式
对于poisson方程，考虑在内部节点 xi，y j）取值， （ 于是有 2u 2u [ 2 ]ij [ 2 ]ij [ f ( x, y )]ij x y
变系数方程的差分格式(5)
ui1, j ui , j h1
Ai 1 , j
2
ui , j ui1, j h1
B
1 h2
ui , j 1 ui , j j 1 2 h2
i,
Bi , j 1
ui , j ui , j 1 h2
2
F
表示网格内点集合表示网格界点集合ijijijijijijijijijijijijijijijij因而该不等距差分方程也同样能写成3的形式差分逼近阶为充分小时3中的左端系数ijijijijij并将网格内点按适当次序排列例如从左下角网点开始按由左向右由下向上的顺序排列得一线性代数方程组其系数矩阵a777871387888981498999109152216222122222222232322282822的对角元素是正的非对角元素是非正的非对角元素绝对值之和不超过对角元素当点ij为非正则内点时差分方程左边至少有一个界点将对应此界点的项移至右边方程左边相应地令a中对应行是严格对角占优所以a是可逆的
Dij uij ˆ Eij uij Fij ,
y 1 2 h1
x ( Ai , j xui , j ) h1 y ( Bi , j y ui , j ) Cij uij xˆ
2 2
(2)
其中
x ( Ai , j x (ui , j )) Ai , j (ui 1, j ui , j ) Ai , j (ui , j ui 1, j ), uij xˆ
其中
1 ( h1 h1 ) / 2
A x ( Ai , j (uij ) x ) ( h 1 h ) / 2 i
1 1
差分方程特解形式表
差分方程特解形式表差分方程是数学中一种描述离散时间变化的方程。
差分方程特解形式表是一种用于求解差分方程特解的工具，它列举了常见差分方程的特解形式，帮助我们更快地求解差分方程。
1. 差分方程和初值问题在介绍差分方程特解形式表之前，我们先来回顾一下差分方程和初值问题的概念。
1.1 差分方程差分方程是指由递推关系定义的离散时间函数。
它表示了序列或离散变量之间的关系，通常采用递归定义的方式。
一个一阶线性常系数差分方程的一般形式为：a n=c1a n−1+c2a n−2+⋯+c k a n−k其中a n是序列第n项的值，c1,c2,…,c k是常数。
1.2 初值问题对于一个差分方程，我们通常需要给出初始条件才能确定唯一的解。
这个初始条件被称为初值问题。
对于一阶线性常系数差分方程，初始条件通常为a0,a1,…,a k−1。
2. 差分方程特解形式表差分方程特解形式表是一个列举了常见差分方程的特解形式的工具，它可以帮助我们更快地求解差分方程。
以下是一些常见的差分方程及其特解形式：2.1 常系数线性差分方程对于一阶常系数线性差分方程：a n=c1a n−1+c2a n−2+⋯+c k a n−k其特解形式为：a n∗=r n其中r是满足以下代数方程的根：r k−c1r k−1−c2r k−2−⋯−c k=02.2 非齐次线性差分方程对于一阶非齐次线性差分方程：a n=c1a n−1+c2a n−2+⋯+c k a n−k+f(n)其中f(n)是已知函数，其特解形式为：a n∗=p(n)其中p(n)是满足以下代数方程的函数：p(n)=c1p(n−1)+c2p(n−2)+⋯+c k p(n−k)+f(n) 2.3 齐次线性递推关系对于一阶齐次线性递推关系：a n=a n−1+a n−2+⋯+a n−k其特解形式为：a n∗=r n其中r是满足以下代数方程的根：r k−r k−1−r k−2−⋯−1=02.4 指数型递推关系对于一阶指数型递推关系：a n=ca n−1其特解形式为：a n∗=A⋅c n其中A是常数。
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（4）
从(3)可以看出差分方程(2)是一五点差分格式。 非正则内点处建立不等距差分方程：
1 ( h1 h1 ) / 2
x ( Ai , j (uij ) x ) h1 y ( Bi , j ui , j ) Cij (uij ) xˆ
2
E u F Dij (uij ) y ij ij ij
ai 1, j ai , j 1 a i 1, j ai , j 1 aij Eij 0 ；
将(3)改写成
Lhuij aij uij ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 Fij
其中
1 ( h1 h1 ) / 2
A x ( Ai , j (uij ) x ) ( h 1 h ) / 2 i
1 1
ui 1, j uij
1, 2
j
h1
Ai 1 , j
2
ui , j ui 1, j h1
和
u
ij x ˆ
ui 1, j ui 1, j h1 h1
（5）
并将网格内点按适当次序排列，例如从左下角网点开
始，按由左向右、由下向上的顺序排列，得一线性代 数方程组，其系数矩阵 A 有：
a7,7 a7,8 0 0 0 a8,7 a8,8 a8,9 0 0 a9,8 a9,9 a9,10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a7,13 0 0 0 0 0 0 0 0 a8,14 0 0 0 0 0 0 0 0 a9,15 0 0 0 a22,16 0 0 0 a22,21 a22,22
课件编写者： 冯仁忠
§ 5 变系数方程的差分格式
学习内容：二阶线性椭圆偏微分方程的五点差分 格式的构造、截断误差的估计和差分方程组的系数矩 阵 A 的性态分析。 二阶椭圆偏微分方程的第一边值问题：
( Au x ) x ( Bu y ) y Cu x Du y Eu F , （1） u | ( x, y ) G
Dij uij ˆ Eij uij Fij ,
y 1 2 h1
x ( Ai , j xui , j ) h1 y ( Bi , j y ui , j ) Cij uij xˆ
2 2
(2)
其中
x ( Ai , j x (ui , j )) Ai , j (ui 1, j ui , j ) Ai , j (ui , j ui 1, j ), uij xˆ
1 h1 Ai 1 ,j 2
ui1, j ui , j h1
Ai 1 , j
2
ui , j ui1, j h1
B
1 h2
ui , j 1 ui , j j 1 2 h2
i,
Bi , j 1
ui , j ui , j 1 h2
2
F
。
因而该不等距差分方程也同样能写成(3)的形式，差 分逼近阶为 O(h1 h2 ) 。 二、差分方程的特征分析 当 h1 , h1 , h2 , h2 充 分 小 时 ， (3) 中 的 左 端 系 数
ai 1, j , ai , j 1 , ai 1, j , ai , j 1 和 aij 是正的，且成立
1） A 每行至多五个非零元素，是一稀疏矩阵； 2） A 的对角元素是正的，非对角元素是非正的， 非对角元素绝对值之和不超过对角元素，当点 (i,j)为非正则内点时，差分方程左边至少有 一个界点,将对应此界点的项 a p u p 移至右边， 方 程左边相应地令 ap=0，在 A 中对应行是严格对 角占优，所以 A 是可逆的; 3） 若微分方程(1)对称， 即 C=D=0,则 A 也对称 （此 时要求非正则内点格式为修正型） 。
其中
1 ai 1, j h12 ( Ai 1 , j h Cij ), 2 2 2 ai , j 1 h2 ( Bi , j 1 h22 Dij ), 2 2 1 ai 1, j h1 ( Ai 1 , j h Cij ), 2 2 2 ai , j 1 h2 ( Bi , j 1 h22 Dij ) 2 2 2 a h1 ( Ai 1 , j Ai 1 , j ) h2 ( Bi , j 1 Ai , j 1 ) Eij 2 2 2 2 ij
ij
1 2 1 2
ui 1, j ui 1, j 2h1 ui , j 1 ui , j 1 2h2
y ( Bi , j y (ui , j )) Bi , j (ui , j 1 ui , j ) Bi , j (ui , j ui , j 1 ), uij y ˆ
其中 A( x, y ), B( x, y ) C1 (G ), C ( x, y), D( x, y), E ( x, y), F ( x, y)
C (G ), C (), 且A( x, y ) Amin 0, B( x, y ) Bmin 0, E 0.
矩形网剖分：步长分别为 h1和h2 。 点集的符号： Gh 表示网格内点集合， h 表示网格界 点集合， Gh Gh h 。 一、差分方程的构造 正则内点 ( xi , y j ) 处的差分方程：
u7 F7 a7,1u1 a7,6u6 F a u u 8 8,2 2 8 u9 F9 a9,3u3 u F a u a u 22 22 22,23 23 22,28 28
1 2 1 2
2 2 截断误差 Rij (u ) O(h1 h2 ) 。
差分方程（2）的变形：
ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai , j ui , j Fij （3）