二项式基础过关练习(附答案)
二项式练习题00内含答案
二项式定理·习题8-5-1 (1)(3-x)7的展开式中，x5的系数是______；(3)(1+x+x2)(1-x)5展开式中，x5的系数是______；(4)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2项的系数是______。
8-5-2设f(x)=(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1，则f(x)=______ [ ]A．(2x+2)5 B．32x5C．(2x-1)5 D．2x58-5-3设M={a1，a2，…，a10}，M的全部子集的个数为a，由M的一切3个元素的子集的个数为b。
那么(1+x)a(2-x)b的常数项为______。
[ ]A．18项 B．17项C．16项 D．15项开式的第7项。
(1)如果第13项是常数，则n=______；(2)如果各偶数项的二项式系数之和为512，则n=______。
8-5-7证明：cosnθ=(2csoθ)n-C n1(2cosnθ)n-1cosnθ+…+(-1)r C n r(2cosθ)n-r cosrθ+…+(-1)n cosnθ8-5-8在(2x-3y)28按y的升幂排列的展开式中，系数之绝对值最大项是第几项？中含x的项。
8-5-10 设f(x)=(1-2x)5(1+x+x2)4(1)求展开式的各项系数和；(2)求展开式中含x的奇次项的各项系数和。
系数和大992。
(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数的最大项。
8-5-12 求(5x2+3x-2)(x-4)n展开式中x s项的系数。
8-5-14求证7n-6n-1能被36整除。
8-5-16设a为非0实数，且(ax+1)9与(x+2a)8展开式中x3项的系数相等，求下列各式的值。
8-5-17在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，这三角形开头几行如下：在杨辉三角形中的哪一行会出现三个相邻的数，它们的比是3∶4∶5？8-5-18设a1，a2，a3，a4为(1+x)n展开式中四个连续的项的系8-5-19若(1+i)4m+2展开式中奇数项的和与(a-b)m展开式中含b的奇次项的系数和之差，恰等于(a+b)10展开式的二项式系数和。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理常考题型练(含答案)
二项式定理常考题型汇总（含答案）1. 展开式中的常数项是 （用数字作答）2.若在展开式中系数为-80，则a= 。
3.如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）A. 7B. –7C. 21D. –21 4.设k=1，2，3，4，5，则的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A. 10B. 40C. 50D. 80 5.在的展开式中的系数是（ ）A. –14B. 14C. –28D. 286. 的展开式中 项的系数为 。
7.的展开式中 项的系数 。
8. 521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，4x 的系数是 。
9. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是 。
10. 522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中2x 的系数是 ，展开式各项系数之和是 ，展开式各项的二项式系数之和是 。
11. 622⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数是 。
12. ()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为 。
1.（2005·福建卷）展开式中的常数项是（用数字作答）分析：当得r=2.∴，即所求常数项为240。
2.（2004·重庆卷）若在展开式中系数为-80，则a=。
解：∴当r=3时有∴由题设得∴a=-2，即应填-2。
3.（2005·山东卷）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 7B. –7C. 21D. –21分析：设，则∴由已知得，解得n=7∴令得r=6.∴，故所求系数为，应选C。
4.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80分析：立足于二项展开式的通项公式：∴当k=1时，r=4，的系数为；当k=2时，r=3，的系数为；当k=3时，r=2，的系数为；当k=4时，r=1，的系数为。
∴综上可知应选C。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
二项式定理计数原理基础作业练习含答案解析高二数学北京海淀
课时提升作业四二项式定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( )A.4B.5C.6D.7【解题指南】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,从而求得n 的值.【解析】选C.二项式(x+1)n(n∈N+)展开式的通项公式为T r+1=x n-r,令n-r=2,则=15,解之得r=4,n=6,故C正确.2.设i为虚数单位,则(1+i)6展开式中的第三项为( )A.-20iB.15iC.20D.-15【解析】选D.(1+i)6展开式中的第三项为i2=-15.3.(1-x)3展开式中常数项是( )A.-20B.18C.20D.0【解析】选C.(1-x)3=,要求原式的常数项,即求-(1-x)6中x3的系数,T r+1=-(-x)r,所以r=3,所以=20.【补偿训练】的展开式中含项的系数为( )A.10B.-10C.40D.-40【解析】选D.的展开式的通项为T r+1=(2)5-r=(-1)r25-r.由=-2得r=3.T4=-22x-2=-,所以含项的系数为-40.4.(2014·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=( ) A.2 B. C.1 D.【解析】选C.因为T r+1=·(2x)7-r·=·27-r·a r·x7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以·22·a5=84,解得a=1.【拓展延伸】解二项展开式中特定项问题的策略求展开式中某一特定项的问题常用通项公式来解决,通项公式T k+1=a n-kb k(k=0, 1,2,…,n).其中含有T k+1,a,b,n,k五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素.此类问题的关键是弄清楚相关字母的意义,利用等价转化的思想把问题归结为解方程(组).5.设函数f(x)=则当x>0时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )A.4B.6C.8D.10【解析】选B.因为函数f(x)=所以当x>0时,f(x)=-<0,所以f(f(x))=f(-)=.故f(f(x))表达式的展开式的通项公式为T r+1=·=·(-1)4-r·x2-r,令2-r=0,得r=2.可得f(f(x))表达式的展开式中常数项为=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·天津高考)在的展开式中,x2的系数为__________. 【解析】因为的第r+1项T r+1=x5-r=(-1)r2-r,令=2,解得r=2,即T3=T2+1=(-1)22-2x2=x2.所以在的展开式中,x2的系数为.答案:7.(2018·浙江高考)二项式的展开式的常数项是__________.【解析】通项公式为T r+1=()8-r=2-r,由8-4r=0得r=2,所以常数项为2-2=7.答案:78.(2018·中山高二检测)(x-1)6+(x-2)7的展开式中x4的系数是__________.【解析】先求(x-1)6中x4的系数,它的展开式的通项为T r+1=x6-r(-1)r, 令6-r=4,所以r=2,所以此时它的展开式中x4的系数是(-1)2=15.同理得(x-2)7的展开式中x4的系数是(-2)3=-280.所以(x-1)6+(x-2)7的展开式中x4的系数是-280+15=-265.答案:-265三、解答题(每小题10分,共20分)9.用二项式定理展开:(1). (2).【解析】(1)=- 4+6-+1=-+-+1.(2)=(x3)5+(x3)4+(x3)3+(x3)2+x3+=x15+x10+x5+++.10.已知,求:(1)展开式第四项的二项式系数.(2)展开式中第四项的系数.(3)第四项.【解析】的展开式的通项是T k+1=(3)10-k=··310-k·.(1)展开式第四项的二项式系数为当k=3时,=120.(2)展开式中第四项的系数为··37=-77 760.(3)展开式中的第四项为:T4=··37·=-77 760.。
二项式定理习题(带答案)
（A）－540
（B）－162
（C）162
（D）540
33、A 解析：令 x=1，得 2n=64，得 n=6.设常数项为 Tr+1= Cr6（3 ）6-r·（- ）r
=Cr636-r·（-1）r·x3-r 令 3-r=0 得 r=3.∴常数项 T4=-540.
36、在
的二项展开式中，若只有 的系数最大，则
6、C7、C8、A9、A
16、3.若
的展开式中 的系数是(
A.14 )A
B.－14
B
C
C.42 D
D.－42
17、在
的展开式中 的系数是 （ ）A.－14 B.14 C.－28 D.28
16、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B. 17、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B.
（3）二项式系数的和：
C
0 n
C1 nCຫໍສະໝຸດ 2 nCk n
C
n n
2n
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即
C0n +C2n +
=C1n +C3n +
=2n-1
对称性 （2）二项式系数的三个性质 增减性和最值
二项式系数和
基本题型
(一)通项公式的应用
1、 (2x 1 )6 的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； x
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册5.4.1二项式定理的推导(带答案)
§4二项式定理4．1 二项式定理的推导必备知识基础练知识点一二项式定理的正用、逆用1.若(2x－3x )n＋3(n∈N*)的展开式中共有15项，则n的值为( ) A．11 B．12 C．13 D．142．1－3C110＋9C210－27C310＋…－39C910＋310＝______．3．求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．知识点二二项展开式的通项与系数4.(x－2 y)10的展开式中x6y4的系数是( )A．－840 B．840 C．210 D．－2105．(2x－1x)6的二项展开式中的常数项为________．6．在(x ＋124x)n的展开式中，前三项的系数按原顺序成等差数列．(1)求展开式中含x项的系数；(2)求展开式中的有理项．知识点三二项展开式中各项系数的和7.在(2x＋x2)10的展开式中，各项的系数之和为( )A．1 B．310－1C．310 D．2108．将(1－2x)(1－x)8的展开式写成按升幂排列的和的形式，那么所有奇数项的系数和为________，所有奇次项的系数和为________．9．设(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 020的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 020|的值．关键能力综合练一、选择题1．若(1＋2 )5＝a ＋b 2 (a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．802．在(x ＋2x)n的展开式中，若常数项为60，则n ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．123．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－44．二项式(x －a x)8的展开式中x 2的系数是－7，则其中正确的是( ) A ．a ＝12B ．展开式中含x 6项的系数是－4C ．展开式中含x －1项 D ．展开式中常数项为405．[探究题](x ＋1x2 －1)6展开式中x 2的系数为( )A ．－45B ．－15C ．15D ．45 二、填空题6．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 017＋a 能被13整除，则a ＝________．7．若(x ＋2)n (n ∈N *)的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x 的值为________．8．[易错题]若(1＋2x 2)(1＋1x )n 的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含1x2 项的系数是________．三、解答题9．已知(x －23x)n (n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求n ＋6C 2n ＋36C 3n ＋…＋6n －1C nn 的值；(3)求系数的绝对值最大的项．(注：结果可以有组合数、幂)学科素养升级练1.[多选题]若(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数之和为2，则下列结论正确的是( )A ．a ＝1B ．展开式中x 6的系数是－32C ．展开式中含x －1项D ．展开式中的常数项为402．[学科素养——数学运算]设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *).(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数．4．1 二项式定理的推导必备知识基础练1．解析：因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共有n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.故选A.答案：A2．解析：1－3C 110 ＋9C 210 －27C 310 ＋…－39C 910 ＋310＝C 010 (－1)10×30＋C 110 (－1)9×31＋C 210 (－1)8×32＋…＋C 1010 (－1)0×310＝(－1＋3)10＝210＝1 024.答案：1 024(或210)3．证明：32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1 8n ＋C 2n ＋1 8n －1＋…＋C n －1n ＋1 82＋C nn ＋1 8＋1－8n －9 ＝82(8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 )＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝64(8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 ).∵n ∈N *，∴8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 是整数， ∴32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除． 4．解析：在通项T k ＋1＝C k10 x 10－k(－2 y )k 中，令k ＝4，即得(x －2 y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410 ×(－2 )4＝840.答案：B5．解析：二项式(2x －1x )6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·(2x )6－k·(－1x)k ＝(－1)k C k 6 ·26－k·x6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，所以常数项为(－1)4×C 46 ×22＝60.答案：60 6．解析：(x ＋124x)n 的展开式中前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由题意知C 1n ＝C 0n ＋14 C 2n ，所以n ＝1＋n （n －1）8，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去).则二项式(x ＋124x)8的展开式的通项为T k ＋1＝C k8 ·x8－k 2·12k ·x －k4 ＝12k ·C k 8 ·x 4－34k.(1)令4－34 k ＝1，得k ＝4，所以含x 项的系数为124 ×C 48 ＝358 .(2)设展开式中，第k ＋1项为有理项，则当k ＝0，4，8时对应的项为有理项， 有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358 x ，T 9＝1256x2 .7．解析：设(2x ＋x 2)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 20x 20，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 20＝310.故选C.答案：C8．解析：设(1－2x )(1－x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则所有奇数项的系数和为a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8，所有奇次项的系数和为a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9.令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0 ①，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8－a 9＝3×28＝768 ②.由①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12 ×768＝384.由①－②，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝－12×768＝－384，所以所有奇数项的系数和为384，所有奇次项的系数和为－384.答案：384 －3849．解析：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝(－1)2 020＝1.(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 019＋a 2 020＝32 020， ① 由(1)，知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝1， ②由②－①，得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＝1－32 020， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019＝1－32 0202.(3)∵T k ＋1＝(－1)k C k2 020 (2x )k，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 020|＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 020＝32 020.关键能力综合练1．解析：由二项式定理，得(1＋2 )5＝1＋C 15 ×2 ＋C 25 ×(2 )2＋C 35 ×(2 )3＋C 45 ×(2 )4＋C 55 ×(2 )5＝1＋52 ＋20＋202 ＋20＋42 ＝41＋292 .所以a ＝41，b ＝29，所以a ＋b ＝70.故选C.答案：C2．解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k n(x )n －k (2x )k ＝2k C kn x n －3k2 ，令n －3k 2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.答案：B3．解析：因为(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，所以C 25 ＋a C 15 ＝5，即10＋5a ＝5，解得a ＝－1，故选A.答案：A4．解析：二项式(x －a x)8的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 8 x8－k(－a x)k ＝(－a )k C k 8 x8－2k.对于A ：令8－2k ＝2，解得k ＝3，所以展开式中x 2的系数(－a )3C 38 ＝－7，解得a ＝12，故A 正确；对于B ：二项式(x －a x )8即(x －12x )8，展开式的通项公式为T k ＋1＝(－12)k C k 8 x 8－2k.令8－2k ＝6，解得k ＝1，所以展开式中含x 6项的系数是(－12 )1C 18 ＝－4，故B 正确；令8－2k ＝－1，解得k ＝92 ，不为整数，故展开式中不含x －1项，故C 错误；令8－2k ＝0，解得k ＝4，所以展开式中常数项为(－12 )4C 48 ＝358，故D 错误．故选AB.答案：AB5．解析：(x ＋1x 2 －1)6＝[(x ＋1x2 )－1]6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6 (x ＋1x 2 )6－r (－1)r ＝C r 6 ·(－1)r(x ＋1x2 )6－r (r ＝0，1，…，6)，对于(x ＋1x 2 )6－r ，设其展开式的通项为U k ＋1＝C k 6－r x 6－r －k (1x2 )k ＝C k 6－r x 6－r －3k (k ＝0，1，…，6)，令6－r －3k ＝2，所以r ＋3k ＝4，解得r ＝1，k ＝1或者r ＝4，k ＝0.所以(x ＋1x2 －1)6展开式x 2的系数为C 16 (－1)1C 15 ＋C 46 (－1)4C 02 ＝－15，故选B.答案：B6．解析：∵512 017＋a ＝(52－1)2 017＋a ＝C 02 017 ·522 017－C 12 017 522 016＋…＋C 2 0162 017 521－1＋a 能被13整除，且0≤a ＜13，a ∈Z ，∴－1＋a 能被13整除，故a ＝1.答案：17．解析：由(x ＋2)n (n ∈N *)的展开式的第4项为23C 3n x n －3，第3项的二项式系数是C 2n ，可知23C 3n xn －3＝52 ，C 2n ＝15，可得n ＝6，x ＝14. 答案：148．解析：当x ＝1时，(1＋2x 2)(1＋1x)n 的展开式中所有项的系数和为3×2n＝96，解得n ＝5，∴(1＋1x )5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5 1xk ，∴(1＋2x 2)(1＋1x )5展开式中含1x2 项的系数为C 25 ＋2C 45 ＝20.答案：209．解析：(1)(x －23x )n (n ∈N *)的展开式的通项为T k ＋1＝C k n (x )n －k(－23x)k ＝C k n (－2)kx3n －5k 6.由于展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1， 则C 4n 24C 2n 22 ＝30，化简得n 2－5n －84＝0， 解得n ＝12或n ＝－7(舍去)， 则展开式的通项为T k ＋1＝C k12 (－2)kx36－5k 6，当k ＝0，6，12时对应的项为有理项，即T 1＝x 6，T 7＝C 612 26x ，T 13＝C 1212 ·212x －4.(2)n ＋6C 2n ＋36C 3n ＋…＋6n －1C nn ＝C 112 ＋6C 212 ＋36C 312 ＋…＋612－1C 1212＝16 (1＋6C 112 ＋62C 212 ＋63C 312 ＋…＋612C 1212 )－16 ＝16 ×(1＋6)12－16 ＝712－16.(3)设第k ＋1项的系数的绝对值最大， 由T k ＋1＝C k12 (－2)k·x36－5k 6，得⎩⎪⎨⎪⎧C k12 2k≥C k －112 2k －1，C k 12 2k ≥C k ＋112 2k ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧2C k12 ≥C k －112 ，C k 12 ≥2C k ＋112 ，即有⎩⎪⎨⎪⎧ 26－2k ≥k ，24－2k ≤1＋k ，解得233 ≤k ≤263 ，则k ＝8，故系数的绝对值最大的项为T 9＝C 81228x －23.学科素养升级练1．解析：因为(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，令x ＝1得，1＋a ＝2，所以a ＝1，故A 正确；(x ＋a x)(2x －1x)5＝(x ＋1x)(2x －1x)5，(2x －1x)5展开式的通项为C k5 (2x )5－k·(－1x)k ＝C k 5 25－k (－1)k x 5－2k(k ＝0，1，…，5).令5－2k ＝5，解得k ＝0，所以x 6的系数是32，故B 错误；令5－2k ＝－2，无整数解，令5－2k ＝0，无整数解，所以展开式中不含x －1项，故C 错误；令5－2k ＝－1，解得k ＝3，令5－2k ＝1，解得k ＝2，所以展开式中的常数项为C 35 ·22·(－1)3＋C 25 ·23·(－1)2＝40，故D 正确．故选AD.答案：AD2．解析：(1)由题意知，m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ， 令x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝（19－n ）（18－n ）2 ＋n （n －1）2＝n 2－19n＋171＝(n －192 )2＋3234 .因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，含x 2项的系数最小，为(12 )2＋3234＝81. (2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2项的系数取最小值，此时x 7项的系数为C 710 ＋C 79 ＝C 310 ＋C 29 ＝156.。
二项式定理练习题及答案解析
二项式定理练习题及答案解析一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)[答案] B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()A．Crn B．Cr＋1nC．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n[答案] D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610 B．27C410C．－9C610 D．9C410[答案] D[解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2010•全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是() A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3 B．5C．8 D．10[答案] B[解析]Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297 B．－252C．297 D．207[答案] D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.7．(2009•北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[解析]通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()A．－1 B.12C．1 D．2[答案] D[解析]Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45•a＝10，得a＝2.9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112＜x＜15B.16＜x＜15C.112＜x＜23D.16＜x＜25[答案] A[解析]由T2>T1T2>T3得C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15. 10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项[答案] A[解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.二、填空题11．(1＋x＋x2)•(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．[答案]－16212．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．[答案] 5[解析]解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．[答案] 2[解析]C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．[答案]－5[解析](1＋x＋x2)x－1x6＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.三、解答题15．求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]根据二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．[解析]由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r＝(－12)r•Crn•xn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝10－3k2＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C210•(－12)2•x2，C510(－12)5，C810•(－12)8•x－2.18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析]通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r•124xr.由已知条件知：C0n＋C2n•122＝2C1n•12，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.又tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有：Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2即8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！(k－2)！•(10－k)！×2.∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7•x35和第4项T4＝7•x74.。
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.的展开式中的常数项为（）A．﹣64B．﹣32C．32D．64【答案】B【解析】二项展开式的通项公式，当时，因此常数项为.【考点】二项展开式的应用.2.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【考点】二项式定理及应用3.（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A．1B．2C．D．4【答案】B【解析】由二项式定理可知,常数项当即时的项,所以有,解得a=2,答案为B.【考点】二项式定理4.若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anx n，则a1＋a2＋＋an的值为________．【答案】255【解析】由二项式定理可得通项公式：因含的项为第6项，故.令,令【考点】（1）二项式定理；（2）赋特殊值求二项式系数.5.若展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含项的系数为．【答案】80.【解析】由题意得，，；则的通项公式为，令，得的系数为.【考点】二项式定理.6.若，则；【答案】2014【解析】首先令可得；然后令得，即，代入式子即可求得结果.【考点】二项式定理.7.若.则( )A．20B．19C．D．【答案】C【解析】设t=x+2，则x=t-2，则多项式等价为则为左边展开式中的系数．由，左边展开式中的系数为1+=1-21=.故选：C．【考点】二项式定理的应用．二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.8.被除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为,所以被除所得的余数是1.【考点】二项式定理应用9.若，则的值为____．【答案】－1【解析】令，由原式可得，令，由原式可得，可得．【考点】特殊值法．10.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）有理项为和；（2）系数绝对值最大的项为；（3）.【解析】（1）先利用二项展开式的通项公式得到第5项的系数与第3项的系数，依题意得到，求解可得，进而化简该二项展开式的通项公式得到，由为整数可得出的值，进而得到所有的有理项；（2）先求出二项展开式中的系列，并设第项系数绝对值最大，列出不等式组，从中求解即可得出的值，进而可写出展开式中系数绝对值最大的项；（3）先根据二项开展式的特征将变形为，逆用二项式定理即可得结果.（1）由，解得 2分因为通项： 3分当为整数，可取0，6 4分于是有理项为和 6分（2）设第项系数绝对值最大，则（8分）注：等号不写扣（1分）解得，于是只能为7 10分所以系数绝对值最大的项为 11分（3）13分16分【考点】二项式定理及其应用.11.若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________.【答案】2【解析】设第r＋1项的系数为，则Tr＋1＝C6r(x2)6－r r＝C6r x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C63＝，∴a3＝8，a＝2.12.设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)＝________.【答案】32x5【解析】f(x)＝C50(2x＋1)5＋C51(2x＋1)4·(－1)＋C52(2x＋1)3·(－1)2＋C53(2x＋1)2·(－1)3＋C54(2x＋1)·(－1)4＋C55(－1)5＝(2x＋1－1)5＝32x5.13.若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大，则Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n··Cnn＝________.【答案】【解析】由已知第5项的二项式系数最大，则n＝8，又Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n Cnn＝n＝8＝.14.的展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
完整版二项式定理测试题及答案
完整版二项式定理测试题及答案二项式定理测试题及答案n 能使(n+i) 4成为整数(B )C.2D.3A A ； L LA ；J°，则S 的个位数字是(C ) -a ) 8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和xA. 15 个B. 33 个C. 17 个D. 16 个是(C ) A.28 B.38C.1 或38D.1 或 285.在(235)100的展开式中，有理项的个数是(6.在、x 13x24的展开式中，x 的幕指数是整数的项共有(CB . 4项 -x)6的展开式中，含、5 A. 3项 7?在(1 - x)5- (1 A 、一 5 B 、5 C& (1 x)5 (1 x)3的展开式中x 3的系数为(A A . 6 B. -6 C. 9 9.若x==，则(3+2x) 10的展开式中最大的项为(B 2 A.第一项 C . 5项 3 x的项的系数是(C 、一10B.、10 ) D . -9 第三项 C. 第六项 D. 第八项 A. 7B. 12C. 14D . 511.设函数 f(x) (1 2x)10,则导函数 2f (x)的展开式x项的系数为(C)A. 1440 B .-1440C.-2880D.288012 .在(x 1 5-I)5 x '的展开式中，常数项为( B )(A ) 51 (B) -51(C )- ii (D ) ii13 .若(xnn1) xL3.2.ax bx L1(n N )，且 a:b3:1，则n 的值为(C )B . 10C . ii D. 1214 .若多项式x 210x =a 0 a i (x 1) a 9(x i)9a i0(x i)i0, 则 a 9( )(A ) 9(B ) 10(C )9 (D )1010.二项式 n 的最小值为()A 解：根据左边1,易知aio10X 的系数为 1，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为1 3)n的展开式中含有非零常数项，则正整数 3x 31.有多少个整数 A.0B.12. 2 4展开式中不含x 项的系数的和为(B ) A.-1B.0C.13?若 S =A 1 4.已知(x(2x 4a akC ioa910 0，3910故选°15?若x(1+x) n 的展开式中的每项的系数都用这一项的x 的指数去除，则得到的新系数和等于(A )A.(2 n+1-1) / (n+1)B.(2 n -1) / (n+1)C.(2 n-1+ n-2)/(n+1)D.(n ? 2n +1)/(n+1)16.设a 、b 、m 为整数(m>0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称 a 和b 对模m 同余.记为 a = b(mod m).已知 a=1+c 20 +C 20 ? 2+C》0 ?22+…+c [0 ?219, b = a(mod 10)，则是(B ) A.2015B.2011C.2008D.200617.若二项式严xx)6展开式的常数项为20，则值为( B )A. 2k—(k Z)B. 2k-(k z) C.D. —222218. 53 10被8除的余数是( A )A 1B、2C、3 D 、719已知 x 2 i ，设 M1 C ：x 小22C 4X小3 3C 4X小44C 4 x则M 的值为(B )A 4B -4iC 4i D20. 数(1 . 05)6的计算结果精确到0. 01的近似值是 .................... ( C )A 1.23B . 1.24C . 1.33D .1.4421. (x+1)(2x+1)(3x+1) …(nx+1)的展开式中，x 的系数是 ................. (B )Ac n 1 B .C ： C . C 2 1 D . C 2 1二.填空题20、已知 3C ：； 5A ； 4 ,则 x= ______ 11 ____________421、 (x-1 ) ( x+2) (x-5 ) ( x+7) (x-10 )中 x 的系数为 _______ -7 ________ 22、若对任意实数 x, y 都有 x 2y 5 a 0 x 2y 5 a , x 2y 4y a 2 x 2y 3y 2 a 3 x 2y 2y 3是-192a 1 a 2 a 3 a^ a^ 的值等于 0 . _________25、(x -.2 ) 2006的二项展开式中，含 x 的奇次幕的所有项的和为S ,当x 2时，S 等于—26设二项式(33 x】)n 的展开式的各项系数之和为P ,所有二项式系数之和为 S,若xb 的值可以a 4 x 2y y 4a 5y 5，则a 0 a 1 a 2 a 3a 4a 5-24323 设 a 为 sin x 3 cosxR 的最大值，则二项式1 6^=)展开式中含x 2项的系数24知等式(1 2、3 2、4x ) (1 2x ) a 。
二项式定理（习题含答案）
二项式定理（习题含答案）二项式定理一、求展开式中特定项1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为，4、二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填．6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrrr x C x x C T 65153********--+?==30......2,1,0=r =r 2531 ()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r r r T C x -+=2r =2 510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420 sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2rr r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=n x x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a 8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为．13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x-21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++017a a a +++1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70127(12)1a a a a -=++++=-0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70(10)1a -==12711a a a ++++=-1272a a a +++=-*3)()n n N ∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- 1238a a a a ++++=0 (sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r=（﹣1）r54﹣r．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r ？？54﹣r =1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++01281a a a a ++++=0x =80128(120)000a a a a -?=+?+?++?01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=- 178a a a +++=255178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，．23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A或1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ．24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n6=n 4r+14T =C r r r a x -43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r r r T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2312(21)22222225418721 n nn n n +-++++= =-=?+=?=-。
二项式定理练习(带答案)
1.3.1二项式定理一、选择题1．在(x －12x )10的二项展开式中，x 4的系数为( )A ．－120B ．120C ．－15D ．15[答案] C[解析] T r ＋1＝C r 10x 10－r (－12x )r ＝(－12)r ·C r 10x 10－2r 令10－2r ＝4，则r ＝3.∴x 4的系数为(－12)3C 310＝－15.2．在(x 2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．－154B.154 C ．－38 D.38[答案] C[解析] ∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x )r ＝C r 6(－1)r 22r －6x 3－r (r ＝0,1,2，…，6)， 令3－r ＝2得r ＝1.∴x 2的系数为C 16(－1)1·2－4＝－38，故选C. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40[答案] D[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．(2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x )r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝C 3522(－1)3x ＝－40x .∴x 的系数是－40.[点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误．4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项[答案] A [解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r与220－r 3均为有理数， ∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.二、填空题6. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．[答案] －160x[解析] ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中第4项为 T 4＝C 3623·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 7．x (x －2x )7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)[答案] 84[解析] x 4的系数，即(x －2x )7展开式中x 3的系数， T r ＋1＝C r 7·x 7－r ·(－2x )r＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r ， 令7－2r ＝3得，r ＝2，∴所求系数为(－2)2C 27＝84.8．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a 、b 为有理数)，则a ＋b 等于________．[答案] 70 [解析] ∵(1＋2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292＝a ＋b 2，又a 、b 为有理数，∴⎩⎨⎧ a ＝41，b ＝29.∴a ＋b ＝41＋29＝70.。
二项式定理相关练习题
二项式定理相关练习题一、基础题1. 已知 $(x + y)^5$ 的展开式中，$x^2y^3$ 的系数是多少？2. 求 $(a 2b)^4$ 的展开式中，$a^3b$ 的系数。
3. 已知 $(x \frac{1}{x})^6$ 的展开式，求其中 $x^3$ 的系数。
4. 计算 $(3x 4y + 5z)^2$ 的展开式中，$x^2$ 的系数。
5. 已知 $(2x + 3y 4z)^5$ 的展开式，求其中 $y^3z^2$ 的系数。
二、提高题1. 在 $(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中，求常数项和$x^4$ 的系数。
2. 已知 $(a + b + c)^3$ 的展开式，求其中 $a^2b^2$ 的系数。
3. 计算 $(x^2 + \frac{1}{x})^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数。
4. 在 $(2x 3y + 4z)^4$ 的展开式中，求 $x^2y^2$ 的系数。
5. 已知 $(3a 4b + 5c)^6$ 的展开式，求其中 $a^3b^3c^3$ 的系数。
三、应用题1. 设 $(x + \frac{1}{x})^n$ 的展开式中，常数项为 40，求$n$ 的值。
2. 已知 $(a + b)^n$ 的展开式中，$a^3b^2$ 的系数为 60，求$n$ 的值。
3. 在 $(2x 5y)^7$ 的展开式中，求 $x^5y^2$ 的系数，并判断该系数是奇数还是偶数。
4. 计算 $(x^2 \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，$x^4$ 的系数，并说明该系数的正负性。
5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。
四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。
2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。
二项式系数的性质 -A基础练(解析版)
6.3.2 二项式系数的性质 -A 基础练一、选择题1．（2021·浙江丽水高级中学高二月考）在()na b +的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】A【详解】由已知得15n n C C =，可知156n =+=，故选：A.2．（2020·全国高二专题练）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【详解】二项式n 的各项系数的和为()134n n+=，二项式n的各项二项式系数的和为2n ，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64， 所以42642nn n ==，6n =.故选：C .3．（2021·黑龙江大庆市铁人中学高二月考）已知x ∈R，3nx ⎛⎫- ⎝的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中31x的系数是（ ） A ．7 B ．7-C ．21D ．21-【答案】C【详解】由题意，二项式3nx ⎛⎫⎝的展开式中二项式系数的和为128，可得2128n =，解得7n =，所以二项式73x ⎛⎫- ⎝，则展开式的通项为215773177(3)((1)3rr r r r r rr T C x C x ---+==-⋅， 当6r =时，可得663377(1)321T C x x --=-⋅⋅=，所以展开式中31x 的系数是21.故选：C. 4．（2021·山东泰安一中高二月考）已知()102ax a ⎫<0⎪⎭的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（ ） A ．第2项 B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】D【详解】102ax ⎫-⎪⎭展开式的通项()()10552211010rr rrr rr T C axCa x--+=-=-.令5502r -=，解得2r，所以展开式中的常数项为()22104545r C a a -==，又0a <，所以1a =-，所以102ax ⎫-⎪⎭即102x ⎫+⎪⎭，其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又102x ⎫+⎪⎭展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以102x ⎫+⎪⎭展开式中第6项的系数最大，故选：D5．（多选题）（2021·全国高二单元测）对于()()N na b n *+∈展开式的二项式系数下列结论正确的是（ ）A ．m n m n n C C -=B ．11m m mn n n C C C -++=C ．当n 为偶数时，012...2n nn n n n C C C C ++++= D ．0121...2n n n n n n C C C C -++++=【答案】ABC【详解】对于A ，由组合数的运算直接可得m n mn n C C -=，故A 正确；对于B ，由杨辉三角直接可得11m m mn n n C C C -++=，故B 正确；对于C ，二项式展开式中，令1a b ==，不论n 为奇数还是偶数，都可得012...2n n n n n n C C C C ++++=，故C 正确；对于D ，由选项C 可知012...2n nn n n n C C C C ++++=，故D 错误.故选：ABC6．（多选题）（2021·湖北宜昌市高二月考）关于多项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论正确的是（ ）A ．各项系数之和为1B ．二项式系数之和为62C ．存在常数项D ．4x 的系数为12【答案】ABC【详解】对于A ，令1x =，则可得各项系数之和为62111⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，二项式系数之和为0126666662C C C C ++++=，故B 正确；对于C ，62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()6626166212rrrr r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令260r -=，解得3r =，即常数项为第四项，故C 正确；对于D ，()6261612rr rr r T C x --+=-⋅⋅，令264r -=，解得=5r ，则4x 的系数为()565561212C --⋅=-，故D 错误.故选：ABC.二、填空题7．（2021·山东济宁市高二月考）已知2()nx x-的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中3x 项的系数是______． 【答案】84【详解】依题意，2128n =，解得n =7，2()nx x-的展开式的通项为7721772()(2)(,7)r r r r r r r T C x C x r N r x--*+=⋅-=-∈≤，由72r 3-=得2r，所以所求展开式中3x 项的系数是22776(2)48421C ⋅-=⋅=⋅.8．（2021·重庆市第十一中学校高二月考）22nx ⎫⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则展开式的常数项为______. 【答案】10【详解】因为22nx ⎫+⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以23n n C C =，解得5n =，522x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为5255215522rrr r rrr T x x C C -+-⎛⎫ =⎪⎝⎭=，令 5502r -=，解得1r =， 所以展开式的常数项为125210T C==.9．（2021·广东江门市高二月考）已知展开式()()2*01221nn n x a a x a x a x n N -=++++∈中，所有项的二项式系数之和为64，则12n a a a +++=______________．（用数字作答）【答案】0【详解】由已知条件可知二项式系数和为264n =，可得6n =，令()()621f x x =-，则()()1212610110n a a a a a a f f +++=+++=-=-=.10．（2021·浙江宁波市镇海中学高二月考）若二项式()2,nm m n R x ⎫∈⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则m n +=________；二项式系数最大的项的系数是________． 【答案】7； 40或80【详解】因为二项式()2,nm m n R x ⎫∈⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，所以232,5n n == ，()2,nm m n R x ⎫∈⎪⎭展开式的通项为55521552()rr r r r r r m T C m C xx --+=⋅⋅= ，令5-502r = ，得1r = ，故常数项为12510,2T mC m === ， 则257m n +=+= .二项式系数最大的项的系数为2235240T C == 或3345280T C ==.三、解答题11．（2021·湖北黄石二中高二月考）4在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中，________．给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256； ③若展开式中第7项为常数项．试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项．（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分） 【答案】答案见解析【详解】解：选择①：012C C C 46n n n ++=，即(1)1462n n n -++=， 即2900n n +-=，即(10)(9)0n n +-=，解得9n =或10n =-（舍去） 选择②：024C C C 256n n n +++⋅⋅⋅=，即12256n -=，解得9n =．选择③：32()2211C C 22n rr r n r n r r r nr nnT xx x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，所以32n r =．因为展开式中第7项为常数项，即6r =，所以9n =． （1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，5452359163C 216T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，453542269163C 28T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）展开式通项为：9318(9)9221991C C 22rr r r r r r r T xx x-----+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令31802r -=，∴6r =， ∴展开式中常数项为第7项，常数项为637921C 22T -=⨯=． 12．（2020·全国高二专题练）已知423401234(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+⋅++⋅++⋅++⋅+，求： （1）1234a a a a +++；（2）13a a ； （3）024a a a ++；（4）01234||||||||||a a a a a ++++． 【详解】令1x =-则081a =①，令0x =则0123416a a a a a ++++=②， 令2x =-则01234256a a a a a +=-+-③，（1）②-①得：123465a a a a +++=-，（2）(②-③)2÷得：13120a a +=-，（3）(②+③)2÷得：024136a a a =++，(4)0123402413||||||||||()()256a a a a a a a a a a ++++=++-+=．。
二项式基础过关练习
二项式根底过关练习班级 姓名1．1+4(x －1)+6(x －1)2+4(x －1)3+(x －1)4等于 ( )A ．(x －1)4B ．x 4C ．(x+1)4D ．(x －2)42.〔2x 3－x 1〕7的展开式中常数项是 ( ) A.14B.－14C.42D.－42 3.〔2x +x 〕4的展开式中x 3的系数是 ( )A.6B.12C.24D.48 4. 在(1－x )5－(1－x )6的展开式中,含x 3的项的系数是 ( )A. －5B. 5C. －10D. 105．设(1+x)+(1+x)2 +(1+x)3+…+ (1+x)50=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 50x 50,那么a 2的值为 〔 〕A ．1225B ．1275C ．20825D ．196006．在101010102210110)1()1()1()1(x C x C x C x C k k +++++++++ 的展开式中,x 2项的系数是 〔 〕A ．11520B ．4608C ．360D ．4507.在(1－2x )n 展开式中含x 3的项的系数等于含x 的项的系数的8倍,那么n 等于( )A. 5B. 7C. 9D. 118.〔1－3x 〕9=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 9x 9,那么｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 ( )A.29B.49C.39D.19．n x x )1(2-展开式的所有二项式系数之和为128,那么展开式中二项式系数最大的项为〔 〕A ．35x 2B ．35x 5C ．－35x 2和35x 5D ．－35x 5和35x 210．在2005)2(+x 展开式中,x 的整数次幂各项系数之和为 〔〕 A ．2132004+ B ．2132004- C ．2132005+ D ．2132005- 11．x x C C -=182020,那么x=_____________；k C 12的最大值是________________.12．在2457)32(+的展开式中整数项等于_______________13．在二项式(x －1)11的展开式中,系数最小的项的系数为_______________14．〔1〕1111311111C C C +++ =_____________〔2〕1011811611411211C C C C C ++++=_________________〔3〕n n n n n n C C C C )2(8421321-++-+- =_______________〔4〕=++++210242322C C C C 15. 求〔a －b －c 〕10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数为16．5151－1除以7的余数为____________〔0.998〕3的近似值〔精确到0.001〕为 ________17.在二项式〔ax m +bx n 〕12〔a ＞0,b ＞0,m 、n ≠0〕中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.〔1〕求它是第几项； 〔2〕求b a 的范围.18．假设a n =1+q+q 2+…+q n －1 (n ∈N,q ≠±1), n n n n n n a C a C a C A +++= 2211〔1〕用q 和n 表示A n ；〔2〕设b 1+b 2+…+b n =nn A 2,求证：数列{b n }是等比数列.参考答案BACDC,AABDC11. 9；612C 12. 361024C 13.-462 14.(1)1024 (2)1023 (3)n )1(-(4)165 15. –4200 16. 0 ; 0.99417. 解：〔1〕设T 1+r =C r 12〔ax m 〕12－r ·〔bx n 〕r =C r 12a 12－r b r x m 〔12－r 〕+nr 为常数项,那么有m 〔12－r 〕+nr =0,即m 〔12－r 〕－2mr =0,∴r =4,它是第5项.〔2〕∵第5项又是系数最大的项,C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3, ①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5. ② 由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3, ∵a ＞0,b ＞0,∴49 b ≥a ,即ba ≤49. 由②得b a ≥58,∴58≤b a ≤49. 18. 〔1〕 解：由于q ≠1,所以a n =1+q +q 2+…+q1-n =qq n --11. 于是A n =q q --11 C 1n +q q --112 C 2n +…+q q n --11C n n =q-11［〔C 1n +C 2n +…+C n n 〕－〔C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n 〕］ =q-11{〔2n －1〕－［〔1+q 〕n －1］} =q -11［2n －〔1+q 〕n ］. 〔2〕略。
二项式知识点十大问题+练习含答案
1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式;②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rnC a b -叫做二项式展开式的通项;用1r n r r r n T C a b -+=表示; 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项;②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改;()n a b +与()n b a +是不同的;③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列;b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列;各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数包括二项式系数;4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nnn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n nn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =,···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=,变形式1221rnn nn n n C C C C +++++=-;③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值;如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值;⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来;专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn nn n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距,练：1231393 .n nnn n n C C C C -++++=解：设1231393n nn nn n n S C C C C -=++++,则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有3x 的项的系数 解：由条件知245n nC -=,即245n C =,2900n n ∴--=,解得9()10n n =-=舍去或,由 2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==,由题意1023,643r r r --+==解得, 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210; 练：求291()2x x-展开式中9x 的系数 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-,令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-; 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x +的展开式中的常数项解：5202102110101()()2r rrrr r r T C x C x --+==,令52002r -=,得8r =,所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-,令620r -=,得3r =,所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项,则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==,令2120n -=,得6n =. 题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项 解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-,令276rZ -∈,09r ≤≤得39r r ==或, 所以当3r =时,2746r -=,334449(1)84T C x x =-=-, 当9r =时,2736r -=,3933109(1)T C x x =-=-; 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-,求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①,1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=- 有题意得,1822562n --=-=-,9n ∴=;练：若n的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项; 解：0242132112r r n nn n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=,121024n -∴=,解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==,565451462nT C x -+==⋅,611561462T x-+=⋅题型六：最大系数,最大项；例：已知1(2)2n x +,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少解：46522,21980,nn n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或,当7n =时,展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数,434571()270,2T C ==的系数当14n =时,展开式中二项式系数最大的项是8T ,7778141C ()234322T ∴==的系数; 练：在2()n a b +的展开式中,二项式系数最大的项是多少解：二项式的幂指数是偶数2n ,则中间一项的二项式系数最大,即2112n n T T ++=,也就是第1n +项;练：在(2n x -的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少解：只有第5项的二项式最大,则152n+=,即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中,系数最大的项 系数最小的项解：因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项4,5第项的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有34347T C a b =-的系数最小,43457T C a b =系数最大; 例：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项解：由01279,nn n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大,12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩,化简得到9.410.4r ≤≤,又012r ≤≤,10r ∴=,展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x == 练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少解：假设1r T +项最大,1102rr r r T C x +=⋅ 111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得,化简得到6.37.3k ≤≤,又010r ≤≤,7r ∴=,展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+,当且仅当1r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =; 解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x +=,故展开式中x 的系数为240. 练：求式子31(2)xx+-的常数项解：361(2)x x +-=,设第1r +项为常数项,则66261661(1)()(1)rr rr r rr T C xC x x--+=-=-,得620r -=,3r =, 33316(1)20T C +∴=-=-.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.解：333(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C 342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此20022111122003434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.练：610(1(1+求展开式中的常数项.解：436103412610610(1(1m n m nm n m nC x C x C C x --++⋅=⋅⋅展开式的通项为0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),28,______.nx x x n N n n x+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x---+⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(,,,_____.x x S x S ==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++设=-------①题型十：赋值法；例：设二项式1)n x的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数的和为s ,若272p s +=,则n 等于多少解：若20121)n n n a a x a x a x x=+++⋅⋅⋅+,有01n P a a a =++⋅⋅⋅+,02nn nn S C C =+⋅⋅+=, 令1x =得4n P =,又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n +=⇒+-=解得216217()n n ==-或舍去,4n ∴=.练：若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少解：令1x =,则nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为264n=,所以6n =,则展开式的常数项为3336(C ⋅540=-. 例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为 解：2009200912120022009220091,0,2222222a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得 练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则 解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得 题型十一：整除性；例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除 证：2211389989(81)89n n n n n n +++--=--=+--由于各项均能被64整除22*389()64n n n N +∴--∈能被整除 1、x －111展开式中x 的偶次项系数之和是 1、设fx=x-111, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f )1(f 11-=-=-+ 2、=++++nn n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C 2、4n3、203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项 3、3,9,15,214、2x-15展开式中各项系数绝对值之和是4、2x-15展开式中各项系数系数绝对值之和实为2x+15展开式系数之和,故令x=1,则所求和为355、求1+x+x 21-x 10展开式中x 4的系数5、93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项,必须第一个因式中的1与1-x 9展开式中的项449)x (C -作积,第一个因式中的－x 3与1-x 9展开式中的项)x (C 19-作积,故x 4的系数是135C C 4919=+6、求1+x+1+x 2+…+1+x 10展开式中x 3的系数6、)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =x x x )1()1(11+-+,原式中x 3实为这分子中的x 4,则所求系数为7C7、若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中,x 的系数为21,问m 、n 为何值时,x 2的系数最小7、由条件得m+n=21,x 2的项为22n 22m x C x C +,则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N,故当n=10或11时上式有最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x 2的系数最小8、自然数n 为偶数时,求证：8、原式=1n 1n n 1n n5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0n 2.322)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++ 9、求1180被99、 )(1811818181)181(80101110111110111111Z k k C C C ∈-=-++-=-= , ∵k ∈Z,∴9k-1∈Z,∴1181被9除余810、在x 2+3x+25的展开式中,求x 的系数10、5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++在x+15展开式中,常数项为1,含x 的项为x 5C 15=,在2+x 5展开式中,常数项为25=32,含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅,此展开式中x 的系数为24011、求2x+112展开式中系数最大的项11、设T r+1的系数最大,则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数,即有∴展开式中系数最大项为第5项,T 5=44412x 7920x C 16=。
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二项式基础过关练习
班级 姓名
1．1+4(x －1)+6(x －1)2
+4(x －1)3
+(x －1)4
等于
( )
A ．(x －1)4
B ．x
4
C ．(x+1)4
D ．(x －2)4
2.（2x 3
－
x
1）7
的展开式中常数项是 ( ) A.14
B.－14
C.42
D.－42
3.（2x +x ）4
的展开式中x 3
的系数是 ( )
A.6
B.12
C.24
D.48
4. 在(1－x )5
－(1－x )6
的展开式中，含x 3
的项的系数是 ( )
A. －5
B. 5
C. －10
D. 10
5．设(1+x)+(1+x)2
+(1+x)3
+…+ (1+x)50
=a 0+a 1x+a 2x 2
+…+a 50x 50
，则a 2的值为 （ ）
A ．1225
B ．1275
C ．20825
D ．19600
6．在101010102210110)1()1()1()1(x C x C x C x C k k +++++++++ 的展开式中，x 2
项的系
数是 （ ）
A ．11520
B ．4608
C ．360
D ．450
7.在(1－2x )n
展开式中含x 3
的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于( ) A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
8.已知（1－3x ）9
=a 0+a 1x+a 2x 2
+…+a 9x 9
，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 ( )
A.29
B.49
C.39
D.1
9．n
x
x )1
(2
-展开式的所有二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．35x 2
B ．35x 5
C ．－35x 2和35x 5
D ．－35x 5和35x 2
10．在2005
)2(+x 展开式中，x 的整数次幂各项系数之和为
（
）
A ．2
132004+
B ．2
132004-
C ．2
132005+
D ．2
132005-
11．x x C C -=182020，则x=_____________；k
C 12的最大值是________________。
12．在24
57)32(+的展开式中整数项等于_______________
13．在二项式(x －1)11的展开式中，系数最小的项的系数为_______________ 14．（1）11
11311111C C C +++ =_____________
（2）10
11811611411211C C C C C ++++=_________________
（3）n
n n n n n C C C C )2(8421321-++-+- =_______________ （4）=++++2
10242322C C C C
15. 求（a －b －c ）10的展开式中含a 3b 4c 3
项的系数为 16．5151－1除以7的余数为____________
（0.998）3的近似值（精确到0.001）为 ________
17.在二项式（ax m
+bx n
）12
（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系
数项恰是常数项.
（1）求它是第几项； （2）求b
a
的范围.
18．若a n =1+q+q 2+…+q n
－1
(n ∈N ，q ≠±1)， n n
n n n n a C a C a C A +++= 2211
（1）用q 和n 表示A n ； （2）设b 1+b 2+…+b n = n n
A 2
，求证：数列{b n }是等比数列。
参考答案
BACDC ，AABDC
11. 9；612C 12. 3610
24C 13.-462 14.(1)1024 (2)1023 (3)n )1(-
(4)165 15. –4200 16. 0 ; 0.994
17. 解：（1）设T 1+r =C r 12（ax m ）12－
r ·（bx n ）r =C r 12a 12－
r b r x m
（12－r ）+nr
为常数项，
则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
C 412a 8b 4≥C 3
12a 9b 3， ①
C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5. ②
由①得
2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥2
3101112⨯⨯⨯a 9b 3
，
∵a ＞0，b ＞0，∴49
b ≥a ，即b
a ≤4
9
.
由②得b
a ≥58，∴58≤
b a ≤49
.
18. （1） 解：因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2
+…+q
1
-n =q
q n
--11. 于是A n =q
q --11 C 1n +q q --112 C 2
n +…+q q n --11C n n
=
q
-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n
）］ =
q
-11
{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =
q
-11
［2n －（1+q ）n ］. （2）略。