线性代数第1章第4节行列式按行展开

2
, j3 ,, jn )
a2 j a3 j anj
2 3
n
a2 j a3 j anj 恰是 M 11 的一般项．
2 3 n
所以，
D a11 M11
a11 ( 1)11 M 11
a11 A11
7
(2) 设 D 的第 i 行除了 a ij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 ann
a12 a22 a32
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 M 12 a31 a41
a23 a33 a43
a24 a34 a44
11 2 M 12 M12 A12
A44 1
4 4
M 44 a21 a31
M 44 M 44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式．
1 5
D 0
(1) (1) 23 2 3
3 3 1 4 1 3 (1)
0
3 1 2
1 2
92.
17
解法三：先调整，再展开．
1 D 2 3 2 3 1 0 3 0 1 5 1 2
1
2 4 1
0 1 0 0
1 5 16 2
1 4 1
r3 3r2
an1 an 2 ann
证毕．
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
例如，行列式 D 0
i 1,2,, n
3 5 3 1 0 7
0 0 7 2
按第一行展开，得
7
2
3 0 1 7 7
D 3
1 0 7 2
5 ( 5)
27.
12
ain
在 D ak 1 an1
ak 2 akn an 2 ann
中，如果令第 i行的元素等于 另外一行，譬如第k行的元素.
则
a11 ak 1 ak 1 an1
a12
a1 n
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain
3
在 定义1： n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
a ij 的 余子式，记为 M ij
称 Aij 1 M ij 为元素 a ij 的代数余子式．
i j
例如：
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a11 D a21 an1
0

0
6
a22 a2 n an 2 ann
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
a11a2 j a3 j anj
2 3
n
a11 ( 1) ( 1, j
其中 ( 1)
( 1 , j2 , j3 ,, jn )
第一章 行列式
第四节 行列式按行（列）展开
一、行列式按某一行（列）展开
二、行列式计算方法类型举例 三、行列式按某 k 行（列）展开
1
观察三阶行列式定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 (a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22a31 )
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
2
一、行列式按某一行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a11 a32 a33
a22
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算. 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行 列式来计算？
Dn 2 2 3 2
1 2 0 0 0 0
2 2 2 n
解：
Dn
第二列乘 ( 1)加到各列上
0 0
2 0 2 1
2 0 (1) 2 1
0 0
0
2 0 n 2 nn
2(n 2)!.
21
2 0 n2
a n ( 1)n1 b n .
0 0 0 0 0 0 a b
23
解二：按第一行展开 0 b 0 0 a b 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 1 2 Dn a ( 1)11 b( 1) 0 0 a b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 0 a 而 0 b 0 0 b 0 ab 00 0 0 0 0 a 0 0 a b 0a 0b 0 0 0 按第一列展开 1 n n1 b( 1)n Dn ( ) b . 0 0 a b 0 0 00 b 0 0 a b b 0 0 a 0 0 b0 a 0 b 0 a
解： 由题意知 a11=1，a12=2，a13=0，a14=－4 ； A31=6，A32=－x，A33=19，A34=－2． 而 故
11
定理2：行列式任一行（列）的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0, k i .
证明：由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数 余子式的乘积之和．
a11 ai 1 a12 ai 2 a1 n
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义．但展开定理 在理论上是重要的．
14
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列
式性质，可简化行列式计算：
把D转化为(1)的情形
an1 anj
·· ·· 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，··， 第2行，第1行交换；再将第
j 列依次与第 j 1 列，
第 j 2 列，··，第2列，第1列交换，这样共经过 ·· ··
( i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤．
2 3
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 a44
D
A23 1
M 23 M 23 .
4
a11 D a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a11
a13 a23 a33 a43
5 11 0 5
5
( 1) 3 3 11 5
5
19
5 D ( 1)33 11 5
r2 r1
5 6
1 1 5
1 2
1 1 0
1 0
5 5 0
( 1)
1 3
6
2
5 5

8 0
2 5
40.
20
1 2 2 2 2 2 2 2
例：计算
5
定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
证明： （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理． (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 ．
i 1,2,, n
而
D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43 .
15.
25
所以 D (1) 5 2 (3) 0 (7) 1 (4)
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;
第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．
4 1
D 1 (1)11 3
1
3 0
1 2 (1)1 2 2 3 2
92.
1 4 1
0
( 1) ( 1) 4 1 2 3
3 1
3 0
16
解法二：按第三列展开
D
1 2 3
2 3 1
0 3 0
1 5 1 2 .
1 4 1
1 2 1
1 3
2
计算行列式时，可先用行列式的性质将某一 行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列） 展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到 化为三阶或二阶行列式．
Hale Waihona Puke Baidu15
例：按某行（列）展开计算行列式
1 D 2 3 2 3 1
5
0 3 0
1 5 1 2
1 1 3 0 5 1 2
1 4 1
.
解法一：按第一行展开
8
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得，
aij

0

0
D ( 1)i j 2 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n anj
i j

a n , j 1
i j

ann
( 1) aij M ij ( 1)
Aij
1 3
1 15
1 3
2 1
1
(1) ( 1) 23 1 15 16 2
92.
18
3
1 1 0 5 1 1 0 5
1 1 1 1 0
1 3 1 3 1 1 0 0 1 3 1 3
2 4 1 3
例:
计算行列式
D
5 2 1
解: 原式
c1 2c3 c4 c 3
0 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0
例：计算行列式 D
0
2006 0 0 0
0 0 0 2007
0 0 0 1 0 2 0
解：
D 2007 (1)
2007 2007
0
2006 0 0 0
2007 (1)
2006 2005 2
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
ak 2 akn ak 2 akn an 2 ann
第i行
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．
13
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
2006! 2007!
22
a b 0 0 0 0 a b 0 0
例: 计算 n 阶(n > 1)行列式 Dn



.
0 0 0 a b b 0 0 0 a
解一：按第一列展开 b 0 0 a b 0 0 a b 0 0 a 0 0 11 b(1) n1 0 a b Dn a (1) 0 0 a b 0 0 0 0 0 0 a
Dn a n ( 1)n1 b n .
24
例：已知四阶行列式D中第三列元素依次为－1, 2, 0,
1．它们的余子式依次分别为5, 3, －7, 4，求D =？ 解： 由题意知
A13 (1)31 5 5,
A23 (1)23 3 3,
A33 (1)33 (7) 7, A43 (1)43 4 4.
9
(3)
一般情形
a11 D ai 1
a12 a1n a11 an1 a12 an 2 a1n ann
10
ai 2 ain
an1 an 2 ann
ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain