两角和与差的正弦公式(2020年整理).ppt
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两角和差的正弦余弦和正切公式ppt课件
8
8
又cos2θ=1-2sin2θ，
所以 sin
1 cos2
1 ( 1) 8
3.
2
24
24
【变式备选】已知 ＜＜3 ,0＜＜ ,cos( ) 3 ,sin(3 ) 5 ,
4
4
44
54
13
求sin(α+β)的值.
【解析】∵ ＜＜3 , ＜ ＜,
4
4 24
又∵ cos( ) 3 ,sin( ) 4 ,
4
5
cos cosx sin再 s求inxco s3x, ,sinx的值就很繁琐，把
4
4
5
作为整体，并注意角的变换 2 ( x) 这样 2就x,可运用二
4
2
倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.
x 4
2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数
的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.
第五节 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
1
2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
公式名
两角和与 差的正弦 两角和与 差的余弦 两角和与 差的正切
公式
sin( ) _s_in___c_o_s____c_o__s__s_i_n_
cos( ) _c_o_s___c_o_s____s_i_n__s_i_n_ tan tan
19
【例2】若 cos( x) 3 ,17 ＜x＜7 ,求 sin2x 2sin2x 的值.
4
5 12
4
1 tanx
【解题指南】本题可以利用 x ( x的) 变换，同时要注意
4
4
x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦课件
03
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的扩 展
半角公式
半角公式
sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]
应用
在解三角形问题中，利用半角公式可以求得角度的半角值，进而求得角度的精确值。
积化和差与和差化积公式
积化和差公式
sinAcosB = 1/2[sin(A+B) + sin(A-B)]
05
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的注 意事项
公式使用的条件
01
02
03
公式适用范围
两角和与差的正弦公式适 用于角度在$0$到$pi$之 间的情况，超出此范围需 要特别处理。
角度单位统一
在使用公式时，需要确保 角度的单位统一，一般以 弧度为单位。
特殊角的处理
对于一些特殊角，如 $frac{pi}{2}$，需要特别 注意公式的应用，避免出 现错误的结果。
在三角函数图象和性质中的应用
两角和与差的正弦公式在研究三角函数的图象和性质时也 具有重要意义。通过运用正弦公式，可以推导出一些三角 函数的性质，如周期性、奇偶性等。
在绘制三角函数的图象时，可以利用正弦公式计算出不同 角度下的正弦值，从而绘制出完整的正弦函数图象。此外 ，在研究三角函数的对称性和周期性时，也需要用到两角 和与差的正弦公式。
公式推导过程
总结词
详细描述了如何推导两角和与差的正弦公式。
详细描述
首先，利用三角函数的加法公式，将sin(α+β)表示为sinαcosβ + cosαsinβ。然后， 利用三角函数的减法公式，将sin(α-β)表示为sinαcosβ - cosαsinβ。通过这两个公 式，可以方便地计算出任意两个角度的和与差的正弦值。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
完整版两角和与差的正弦公式课件
一、引入
• 1.用两角和与差的余弦公式证明：
cos(
) sin
2
sin( ) cos
2
2.这两个式子说明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系？
互余
二、公式推导
将
cos( ) sin
结果？ 2
中的α换成α+β，能得什么
sin(
)
cos2
(
)
cos(2
)
三、公式
• 两角和的正弦公式：
5
10
• 求α+β的值
五。应用
• 例5：工业用三相交流电的电压u是时间t的函数。 现已知三相电流的电压分别为 u1 220 2 sin100t,u2 220 2 sin(100t 120 ), u3 220 2 sin(100t 120 )
• 零的线电的压u电=压0，u这是u为1 什么u2？ u3 根据常识，零线
• （2）sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
6
3
6
3
• （3） sin( )cos cos( )sin
• 例8：已知 sin( ) 3 , ( , 2 )
则求 cos 3
5 63
sin( ) sin cos cos sin
• 两角差的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
＋－相同，SCSC
四、例题
• 例1：不用计算器，求下列各式的值
• （1）sin15 （2） sin105 （3） sin 75
• （4） sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 • （5）cos80 sin 40 sin 80 cos 40 • （6）sin 25 sin 20 cos 25 Байду номын сангаасin 70
• 1.用两角和与差的余弦公式证明：
cos(
) sin
2
sin( ) cos
2
2.这两个式子说明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系？
互余
二、公式推导
将
cos( ) sin
结果？ 2
中的α换成α+β，能得什么
sin(
)
cos2
(
)
cos(2
)
三、公式
• 两角和的正弦公式：
5
10
• 求α+β的值
五。应用
• 例5：工业用三相交流电的电压u是时间t的函数。 现已知三相电流的电压分别为 u1 220 2 sin100t,u2 220 2 sin(100t 120 ), u3 220 2 sin(100t 120 )
• 零的线电的压u电=压0，u这是u为1 什么u2？ u3 根据常识，零线
• （2）sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
6
3
6
3
• （3） sin( )cos cos( )sin
• 例8：已知 sin( ) 3 , ( , 2 )
则求 cos 3
5 63
sin( ) sin cos cos sin
• 两角差的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
＋－相同，SCSC
四、例题
• 例1：不用计算器，求下列各式的值
• （1）sin15 （2） sin105 （3） sin 75
• （4） sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 • （5）cos80 sin 40 sin 80 cos 40 • （6）sin 25 sin 20 cos 25 Байду номын сангаасin 70
两角和与差的正弦余弦和正切公式ppt
计算过程
根据两角和与差的正弦公式，可 得到 $\sin(\theta_1+\theta_2)$ 和 $\sin(\theta_1-\theta_2)$ 的值 。
结果输出
将计算结果与利用计算器或数学 软件计算得到的结果进行对比。
实验数据及分析
数据来源
通过查阅文献资料或实验测量 得到相关数据。
数据处理
将两角和的正弦公式变形为$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$。
两角差的余弦公式变形
将两角差的余弦公式变形为$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$。
两角差的余弦公式变形
将两角差的余弦公式变形为$\tan(x-y)=(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y})/(\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\cos y})$。
04
两角和与差的正弦和余弦公 式
两角和与差的正弦和余弦公式推导
01
推导两角和的正弦公式
sin(x+y)=cos[π/2-(x+y)]=cΒιβλιοθήκη s(π/2-x-y)=cos(x-y)
02
推导两角和的余弦公式
cos(x+y)=cos[π/2-(x-y)]=cos(π/2-x+y)=sin(x-y)
03
推导两角差的余弦公式
cos(x-y)=cos[π/2-(x+y)]=cos(π/2-x-y)=sin(x+y)
两角和与差的正弦和余弦公式的应用
解决三角形的角度和边长问题
已知三角形的两个角度和，利用两角和的正弦公式求第三角的角度；已知三 角形的三个角度，利用两角和的余弦公式求三条边长。
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)
tan(
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
的余弦积与正弦积的差.
两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦、余弦的互化？
提示:
sin cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
提示:
sin(
)
cos
2
cos
(
2
)
cos( ) cos sin( ) sin
两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽时为了 生存，把自己脸部用不同的方式勾画出不同形态，以 吓唬入侵的野兽.川剧把“变脸”搬上舞台，用绝妙 的技巧使它成为一门独特的艺术.
在三角函数中也有这样的表演者. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2
2
sin cos cos sin .
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角
的
正、余弦积与余、正弦积的和.
3.由和角正弦公式，你能得到差角的正弦公式吗？
提示: （ ）
sin( ) sin[ ()] sin cos() cossin() sin cos cossin.
由公式 C(α-β) 出发，你能推出两角和与差的三
角函数的其他公式吗？
两角和的余弦公式的推导
cos( ) ?
提示:
cos( ) cos[ ()] cos cos() sin sin() cos cos sin sin .
两角和的余弦公式
C 简记： （）
公式的结构特征: 左边是复角 的余弦,右边Байду номын сангаас单角 ,
两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦、余弦的互化？
提示:
sin cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
提示:
sin(
)
cos
2
cos
(
2
)
cos( ) cos sin( ) sin
两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽时为了 生存，把自己脸部用不同的方式勾画出不同形态，以 吓唬入侵的野兽.川剧把“变脸”搬上舞台，用绝妙 的技巧使它成为一门独特的艺术.
在三角函数中也有这样的表演者. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2
2
sin cos cos sin .
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角
的
正、余弦积与余、正弦积的和.
3.由和角正弦公式，你能得到差角的正弦公式吗？
提示: （ ）
sin( ) sin[ ()] sin cos() cossin() sin cos cossin.
由公式 C(α-β) 出发，你能推出两角和与差的三
角函数的其他公式吗？
两角和的余弦公式的推导
cos( ) ?
提示:
cos( ) cos[ ()] cos cos() sin sin() cos cos sin sin .
两角和的余弦公式
C 简记： （）
公式的结构特征: 左边是复角 的余弦,右边Байду номын сангаас单角 ,
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过 大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该 角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】 解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系 数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均 可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化 简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角 函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基 本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝 角”．仍求 sin β 的值．
两角和与差的正弦余弦和正切公式ppt
两角差的正切公式及其证明
两角差的正切公式
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$
证明过程
与上面类似，也是利用几何方法。构造一个角$\alpha - \beta$，然后构造两个 小的直角三角形，一个以$\alpha$为锐角，另一个以$\beta$为锐角。然后利用 相似三角形的性质，可以得到证明。
利用三角函数的差角公式和三角函数的积化和差公式进行证明。
两角和与差的正弦公式的应用
两角和与差的正弦公式的应用主要涉及三角函数的求值、三 角函数的图像和性质、三角恒等式等问题。
通过运用两角和与差的正弦公式，可以简化三角函数的计算 过程，推导一些重要的三角恒等式，并加深对三角函数性质 的理解。
03
两角和与差余弦公式
两角和的余弦公式及其证明
两角和的余弦公式
$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
证明方法
利用三角函数的和差化积公式和积化和差公式进行证明。
两角差的余弦公式及其证明
两角差的余弦公式
$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
证明方法
利用三角函数的和差化积公式和积化和差公式进行证明。
04
两角和与差的正切公式
两角和的正切公式及其证明
两角和的正切公式
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 \tan\alpha \tan\beta}$
证明过程
利用几何方法，作一个角$\alpha + \beta$，然后构造两个 小的直角三角形，一个以$\alpha$为锐角，另一个以 $\beta$为锐角。然后利用相似三角形的性质，可以得到证明 。
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
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15.1
两角和与差的正弦公式
第二课时
一、引入
• 1.用两角和与差的余弦公式证明：
cos(
) sin
2
sin( ) cos
2
2.这两个式子说明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系？
互余
二、公式推导
将
cos( ) sin
结果？ 2
中的α换成α+β，能得什么
sin(s(2
• （2）sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
6
3
6
3
• （3） sin( )cos cos( )sin
• 例8：已知 sin( ) 3 , ( , 2 )
则求 cos 3
5 63
)
三、公式
• 两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
• 两角差的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
＋－相同，SCSC
四、例题
• 例1：不用计算器，求下列各式的值
• （1）sin15 （2） sin105 （3） sin 75
• （4） sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 • （5）cos80 sin 40 sin 80 cos 40 • （6）sin 25 sin 20 cos 25 sin 70
• 例6：如图，保持点P（3,3）与原点的距离不变，
并绕原点旋转 60到 P'位置，设点P' 的坐标为
• (x', y')
• (1)点P与原点之间的距离是多少？
• （2）向量 OP与' x轴正方向的夹角是多少？
• （3）求点 P' 的坐标
• 例7：化简
• （1） sin( 30 ) cos cos( 30) sin
5
10
• 求α+β的值
五。应用
• 例5：工业用三相交流电的电压u是时间t的函数。 现已知三相电流的电压分别为 u1 220 2 sin100t,u2 220 2 sin(100t 120 ), u3 220 2 sin(100t 120 )
• 零的线电的压u电=压0，u这是u为1 什么u2？ u3 根据常识，零线
• 例2：已知 sin 3 , ( , 3 ), 求 sin( )
5
2
3
•
sin( )
4
的值
• 例3：已知
sin
3 4
, cos
1, 3
且α为第二象限
• 角，β为第三象限角，求
sin( ),sin( ), cos( ), cos( )
• 的值
• 例4：已知α，β均为锐角，且 cos 2 5 ,cos 3 10 ,
两角和与差的正弦公式
第二课时
一、引入
• 1.用两角和与差的余弦公式证明：
cos(
) sin
2
sin( ) cos
2
2.这两个式子说明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系？
互余
二、公式推导
将
cos( ) sin
结果？ 2
中的α换成α+β，能得什么
sin(s(2
• （2）sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
6
3
6
3
• （3） sin( )cos cos( )sin
• 例8：已知 sin( ) 3 , ( , 2 )
则求 cos 3
5 63
)
三、公式
• 两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
• 两角差的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
＋－相同，SCSC
四、例题
• 例1：不用计算器，求下列各式的值
• （1）sin15 （2） sin105 （3） sin 75
• （4） sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 • （5）cos80 sin 40 sin 80 cos 40 • （6）sin 25 sin 20 cos 25 sin 70
• 例6：如图，保持点P（3,3）与原点的距离不变，
并绕原点旋转 60到 P'位置，设点P' 的坐标为
• (x', y')
• (1)点P与原点之间的距离是多少？
• （2）向量 OP与' x轴正方向的夹角是多少？
• （3）求点 P' 的坐标
• 例7：化简
• （1） sin( 30 ) cos cos( 30) sin
5
10
• 求α+β的值
五。应用
• 例5：工业用三相交流电的电压u是时间t的函数。 现已知三相电流的电压分别为 u1 220 2 sin100t,u2 220 2 sin(100t 120 ), u3 220 2 sin(100t 120 )
• 零的线电的压u电=压0，u这是u为1 什么u2？ u3 根据常识，零线
• 例2：已知 sin 3 , ( , 3 ), 求 sin( )
5
2
3
•
sin( )
4
的值
• 例3：已知
sin
3 4
, cos
1, 3
且α为第二象限
• 角，β为第三象限角，求
sin( ),sin( ), cos( ), cos( )
• 的值
• 例4：已知α，β均为锐角，且 cos 2 5 ,cos 3 10 ,