第六讲推断统计参数估计

Esn 21 nnD D XX nn 1DX
s s E n
n1
n 2nn1E
2DX
n
s s 记：
2n 2 n1 n1 n
s xX 则有： 2 1 n n1 n1i1
i
2
s 由上：E2 D X2 n 1
■结论：s
2 n
1才是总体方差
2 的无偏估计
⑵有效性
指当总体参数的无偏估计不止一个时，统计
⑵置信区间、与显著性水平 ①显著性水平（significance level） 指断定总体参数落在某一区间时，可能犯
错误的概率，常以符号 表示。
■置信度
1表示置信度或置信水平。
②置信区间（confidence interval） 也称置信距，是指在某一置信度时，总体参
数所在的区间（区域）。 ■概念的解读
n 1 1
2
n n F 2
1 ~ F 1, 1
1
2
sn 1 2
2 2
②示意图
③区间估计过程
s2
n 1 1
2
n n F 2
1 ~ F 1, 1
1
2
sn 1 2
2 2
s2
n1 1
F n n P
1
2
1, 1F
1
2
2
s Fn n 1
2 n1
2
2
1, 11
1
2
2 2
2
2
2
Fnns s Fnns s P
XZ2
n,XZ2
n
■练习：请写出α=.05及.01时的置信区间
示意图
[例]已知某校在某次考试中，全体考生成绩总体方 差为100，从中抽取5位考生的成绩为65、83、 94、70、88，试求全体考生成绩均值的置信 系数为95%和99%的置信区间。（假设考生的 总体成绩呈正态分布）
②总体 X~N, 2
对总体均值 进行区间估计方法如前，
置信区间为： Xt s t s
(n1)
2
n1,X n
(n1)
2
n1 n
[研究案例]-劳教戒毒者自我价值感特点的初步研究 ———杨波 心理科学2004，27(4)
1、研究目的 探讨劳教戒毒者自我价值感特点
2、研究方法 ⑴研究被试 ①真正被试：北京市160名劳教人员（151名 海洛因成瘾者，9名其他药物成瘾者） 男性110名，女性50名
毒
组 S 4.6 3.4 3.5 3.1 2.6 3.1 2.8 2.5 2.7 3.0 2.8 2.6 2.4 对 M 24.8 21.1 18.5 14.2 15.3 12.6 13.4 16.5 15.2 14.3 12.9 15.7 12.6
照
组 S 5.1 3.6 3.0 3.3 2.7 3.3 2.6 3.0 2.9 3.8 2.1 3.1 6 t统计 6.58** 7.95** 1.13 5.51** 1.04 0.73 -4.44** 19.92** 1.66* -3.27** -2.6** 8.5** -5.83 注：T总体自我价值感、GS社会取向一般自我价值感、GI个人取向一般自我价值感
s
2 n
1是
2 的无偏估计
证：设总体X的方差为 2，在总体X中抽取样
本 x1,x2,...x,n ，则有
s xX 21n n n i1
i
2
2 D X E X E X 2 E x i E x i 2
s x X E2E [1n
n
ni 1
i
2
]
E { 1 n i n 1[x ( i E X ) (X E X )2 } ]
试分别求出身高与体重的总体均值与方差的点 估计。
四、区间估计（interval estimation）相关术语 ⑴区间估计内涵 就是根据样本统计量以一定可靠程度推断 总体参数所在的区间范围，它以区间界定总 体参数可能出现的范围，它不具体指出总体 参数等于多少，但能指出总体参数落入该区 间的概率有多大。 ■与点估计有明显的差异
试 确 定语文成绩的标准差的范围（置信度为 1-0.01）。
⑶两总体方差之比的区间估计
①两总体方差之比的区间估计原理
从二正态总体 N , 2 、N , 2 中，分别随
11
22
机抽取容量为 n 1 、n 2 两样本，设其样本方差分
s s 别为
2
n 1 1
、
2
n
1
2
，则据抽样分布理论有：
s2
■被试结构 文化：小学14人、初中87人、高中50人 大专以上9人 婚姻：未婚57人、已婚82人、离婚21人 职业：有固定职业89人、无固定职业71人
②对照组-根据被试年龄、性别、职业和文化程度 选择对照组185个成人，男95、女90个
⑵测验工具-黄希庭等编制的自我价值感量表 自我价值感量表包括三个层次： ◆总体自我价值感（tse）（最高层次） ◆一般自我价值感（gse）（中间层次） 包括社会取向、个人取向二种 ◆特殊自我价值感（sse）（最低层次）
n 1
n 1 2 2n
⑵方差区间估计 ①方差区间估计原理
设总体 X~N, 2 ,在总体中抽取容量为n的
样本 x1,x2,...x,n，则有：
n1 2
s ~ n1 2
2 (n1)
②方差区间估计过程 （示意图）
n1 2
s ~ n1 2
2 (n1)
s P 21n1n122 n1 2n11
2
1 1 ,
12 n 1 11 2
1
2
n 1 2
2
1 2
1 1 1 , 2 1n 2 n 1 2 1 1 1
2
2
2
Fnns s Fnns s P
2
1
n 1 11
1 , 1 2
2
1
2
n 1 2
2
2
1 1 , 2 1n 2 n 1 2 1 1 1
结论：在置信度为1-α时，置信区间为：
x1,x2,...x,n，其平均数为 X ，则有上述结论。
证：由已知条件，则有：
EX
x X 1 n
n i 1
i
x x EXE 1n 1E n ni 1 i n i 1 i 1 nE x1E x2.. .E xn 1.nEXEX n
■注：ExiEX
s ② 2 是
2有偏估计，而
X
~
N
,
n
ii、区间估计过程（示意图）
2

X ~ N ,
n
Z
X
~
N0,1
n
设定显著性水平为α （置信度1-α ），则有：
PZ2 ZX n Z21
P XZ 2nXZ 2n 1
iii、结论（示意图）
在置信水平为1-α时，总体均值 的置
信区间为
XZ2
n,XZ2
n
。或在显著性水
平为α，总体均值 的置信区间为：
i、样本容量n＜30时，无法进行总体均值
的区间估计；
ii、样本容量n>30时，总体均值 的区间
估计与前一样。
⑵总体方差 2 未知，总体 的区间估计
①若总体 X~N, 2
ⅰ、区间估计原理
设在总体X中抽取样本 x1,x2,...x,n，其中
样本平均数为 X ， 由抽样分布理论有：
t X ~
是用样本统计量来估计总体参数。
例： X
r
S
■点估计优点
能给出总体参数的估计值
2、良好点估计的标准 ⑴ 无偏性（unbiased estimate） 即用样本统计量估计总体参数时，样本 统计量抽样分布的中心等于总体参数。 ■具体说明
① X 是 的无偏估计
设有一总体为X（或随机变量X），其均值
为 ，从其中随机抽取一个容量为n的样本
接近它所估计的总体参数。 ■例
◆样本容量n→∞时，X
◆样本容量n→∞时，s2n1 2
⑷充分性 指一个容量为n的样本统计量，是否反映了全
部n个数据的信息。 ■例
估计总体X的平均数 ，可以用 X 、Md、Mo
■例 从某地区16岁的男中学生中随机抽取10人，测
得其身高和体重数据如下：
（160.5,43.75）、 （157.40,40.25）、（153.0,42.50） （158.0,49.75）、 （157.5,45.50）、（154.0,42.75） （154.0,41.00）、 （163.0,46.75）、（156.5,45.50） （157.0,45.00）
第六讲 参数估计
一、推断统计的主要内容 ◆参数估计 ◆假设检验
■推断统计的基础是抽样分布理论 二、参数估计
1、参数估计的内涵 在研究中，根据样本数据的信息来对总体
的分布特征行估计，该过程即参数估计。
2、两种类型参数估计 ⑴ 点估计 ⑵ 区间估计
三、点估计
1、点估计内涵（Point estimation）
量变异（方差）越小，则越有效。
■例：估计总体 X的平均数 ，常用样本平
均数 X
Xx1x2xn n
2
2
X
X
n
结论：当然，n越大对应的平均数越有效
■例：估计总体 X的平均数 ，也可以用Mo、
Md，它们也无偏估计量，但在样本容量相
等的情况下，有
2 X
2 Mo
2 X
2 Md
⑶一致性 指的是样本容量n→∞时，样本估计值越来越
(n1)
2
n1,X n
(n1)
2
n1 n
■课堂练习：请写出α=.05及.01时的置信区间
■假设在上例中，总体方差未知，其他情况不变， 试求全体考生成绩均值的置信系数为95%和99% 的置信区间。