2020赢在高考 数学压轴题突破精讲精练专题：以形助数,“数题形解”【全国版含解析】

因为
G
为
PF1F2
的重心，所以
G(
x0 3
,
y0 3
)
，
因为 IG x 轴，所以 I 点横坐标也为 x0 ， ON x0 ，
3
3
因为 PM 为 F1PF2 的角平分线，
则有
PF1

PF2

F1N

NF2
( F1O

ON ) ( OF2
ON ) 2 ON

2 x0 3
，
又因为
A． 5 1 2
B． 5
C． 2 1 2
【答案】A
【解析】
设双曲线的右焦点为 F2 ，则 F2 的坐标为 c, 0 ．
D． 2
因为曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点，所以曲线 C3 的方程为 y2 4cx ．
因为 MF1 MN 0 ，
所以 MF1 MN NM ， 所以 M 为 F1N 的中点， 因为 O 为 F1F2 的中点， 所以 OM 为 NF1F2 的中位线， 所以 OM∥ NF2 ． 因为|OM|=a，所以 NF2 2a ．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则．在数形结 合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有 时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要 注意其带来的负面效应． （2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分 析容易出错． （3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值 范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功 效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几 点： （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨 论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先 要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数 的图象，由图求解； （3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证． 本专题通过例题重点说明说明“以形助数，数题形解”这类问题的方法与技巧.
3
例
2（. 2018·四川高考模拟（文））过曲线 C1 :
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b
0) 的左焦点 F1 作曲线 C2
: x2

y2

a2
的切线，设切点为 M , 延长 F1M 交曲线 C3 : y2 2 px( p 0) 于点 N , 其中 C1,C3 有一个共同的焦点，若 MF1 MN 0, 则曲线 C1 的离心率为（ ）．
3
又 NF2 NF1 ， F1F2 2c ，
所以 NF1 2c2 2aLeabharlann Baidu 2b ．
设 N(x,y)，则由抛物线的定义可得 x c 2a ， 所以 x 2a c ． 过点 F1 作 x 轴的垂线，点 N 到该垂线的距离为 2a ， 在 Rt F1PN 中，由勾股定理得 |F1P|2 +|PN|2 |F1N|2 ，
即 y2 4a2 4b2 ，
所以 4c(2a c) 4a 2 4(c 2 a 2) ，
整理得 e2 e 1 0 ，解得 e 5 1 ． 2
故选 A．
例
3．（2019·江苏启东中学）设 P 是椭圆
x2 9

y2 5
1上一点， M
,
N
分别是两圆 C1 : x 2 2
第五章 数形结合思想的应用
专题 19 以形助数，“数题形解”
【压轴综述】
1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象 来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段， 形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
y 21和
C2 : x 2 2 y 2 1上的点，则 PM PN 的最小值和最大值分别为（ ）
PF1
+
PF2
2a ，所以可得
PF1
a
x0 , 3
PF2
a
x0 3
，
又由角平分线的性质可得，
F1M F2 M
= PF1 PF2
a x0 3
a x0
，而
F1M F2 M
c OM = c OM
3
所以得 OM cx0 ， 3a
所以 MN ON OM (a c)x0 ， ME OE OM (3a c)x0 ，
3a
3a
所以
IN PE

MN ME

ac 3a c
，即
IN
(a c) y0 ， 3a c
S 因为 PF1F2

1 2
(
PF1

PF2
F1F2 ) IN

1 2
F1F2
PE
2
即 1 (2a 2c) (a c) y0
2
3a c

1 2
(2c)
y0
，解得
c a

1
，所以答案为 A.
【压轴典例】
例 1.
（2019·江苏扬州中学高二期中）已知椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， P
为
椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， I ， G 分别为 PF1F2 的内心和重心，当 IG x 轴时，椭圆的离心
1
率为（ ）
1
A．
3
1
B．
2
C． 3 2
D． 6 3
【答案】A
【解析】
如图，令 P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接 PO ，显然 G 点在 PO 上，连接 PI 并延 长交 x 轴于点 M ，连接 GI 并延长交 x 轴于点 N ， GI x 轴，过点 P 作 PE 垂直于 x 轴于点 E ，
设点 P(x0 , y0 ) ， F1( c, 0), F2 (c, 0) ，则 OE x0, PE y0 ，