第十章重积分自测题[1]

第十章《重积分》自测题

一、单项选择题

1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22

1

221y x y x

D I e

dxdy ---=

⎰⎰，22

2

222y x y x

D I e

dxdy ---=

⎰⎰，22

2233

y x y x

D I e

dxdy ---=

⎰⎰则123,,I I I 大小

顺序为（ ）。

（A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2

1

,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D

)(2

2⎰⎰+=( )

(A)⎰

-

1

2

1dx dy y x x

x

)(2

2

112

2⎰

---+ (B)

dy

x

x

⎰

---2

2

11⎰

-

+12

12

2)(dx y x

(C)

⎰

-

12

1dx

dy y x x )(2

12

12

2⎰

--

+ (D)

⎰

-

12

1dx

dy y x )(1

2

12

2⎰

-

+

3．改变12

2

2

111

2

(,)(,)y

y

dy f x y dx dy f x y dx +

⎰⎰⎰

⎰的积分次序，则下列结果正确的是（ ）

（A ）⎰⎰21

1),(x x

dy y x f dx （B ）⎰⎰2

1

1

),(x x

dy y x f dx （C ）⎰⎰31

1),(x x

dy y x f dx （D ）⎰⎰1

3

11

),(x x

dy y x f dx

4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2

D

I y x dxdy =

-⎰⎰

的值为（ ）

（A ）

23

； （B ）

43

； （C ）

2115

； （D ）

4615

5．设D ：2222

,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D

f x y dxdy ⎰⎰可化为（ ）。

（A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π

θθθ

θθ⎰⎰

； （B ）sin 402(cos ,sin )a a

d f r r rdr π

θθ

θθ⎰⎰

；

（C ）sin 400

(cos ,sin )a d f r r rdr π

θ

θ

θθ⎰⎰

＋sin 2

cos 4

(cos ,sin )a a d f r r rdr π

θπθ

θ

θθ⎰⎰

；

（D ）

sin 40

(cos ,sin )a d f r r rdr

π

θθ

θθ⎰

⎰

＋

cos 2

4

(cos ,sin )a d f r r rdr

π

θπ

θ

θθ⎰⎰

6．Ω由不等式2

2

y

x z +≥，222

(1)1x y z ++-≤确定，则⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ),,(=（ ）

（A ）⎰⎰⎰

≤+2

01

2

2

),,(y x dxdy z y x f dz

（B ）⎰⎰⎰

≤+2

02

2

2

),,(z

y x dxdy z y x f dx

（C ）⎰⎰⎰-≤+2

22

2

2),,(z

z y x dxdy z y x f dx

（D ）⎰⎰⎰-≤+2

1

22

2

2z

z y x fdxdy dz

+2

2

2

1

x y z

dz

fdxdy +≤⎰⎰⎰

7．Ω为球体：1222≤++z y x ，则⎰⎰⎰

Ω

++dv z y x 2

22=（ ）

（A ）⎰⎰⎰Ω

dxdydz （B ）ρϕρϕθπ

πd d d sin 20

1

3

⎰

⎰⎰

（C ）ρθρϕθπ

πd d d sin 20

1

3

⎰

⎰⎰ （D ）ρϕρϕθπ

π

d d d sin 20

20

1

3

⎰

⎰

⎰

8．设Ω由22,1z x y z =+=围成，计算2

2

()x y z dv Ω

++⎰⎰⎰正确的是（ ）

（A ）因为22z x y =+，故原式＝2

2

1

1

2()223

x y z

z z dv zdz

dxdy z zdz ππΩ

+≤+===

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰；

（B ）原式＝2

22

2

1122

1

10

()2

x

x y x

dx dy x y z dz π

-+---++=

⎰⎰

⎰

；

（C ）原式＝2211

2

()2

r

d dr r z rdz ππ

θ

+=

⎰⎰

⎰；

（D ）因为

2

2

z x y

=+，故原式＝

2

2

2

2

()x

y x y dv Ω

+++=⎰⎰⎰2211

3

23

r

d dr r dz ππθ

=

⎰

⎰

⎰

9．设Ω是由2222x y z a ++≤与222x y b +≤，（0b a <<），0z ≥围成的闭区域，则zdv

Ω

⎰⎰⎰＝（ ）。 （A ）23

200

sin cos a

d d d π

πθ

ϕϕϕρρ⎰

⎰

⎰； （B ）22

200

b a r d dr zdz πθ

-⎰

⎰

⎰

；

（C ）2

2222

2

2

b

b x

a x y b

b x

dx dy zdz ------⎰⎰

⎰

； （D ）23

2sin 000

sin cos b d d d π

πϕθ

ϕϕϕρρ⎰

⎰

⎰

。

10．设Ω是球体22

2

1x y z ++≤，则2

2

2

2

2

2

ln(1)1

z x y z dxdydz x y z Ω

++++++⎰⎰⎰

＝（ ）。

（A ）1； (B)－1； (C)2； （D ）0。

11．设球体Ω：2

2

2

4x y z z ++≤内任一点处的密度与该点到坐标原点的距离成正比，则球体重心坐标为（ ）。 （A ）1(0,0,)

2

； (B)

16(0,0,)7； (C) 8(0,0,)3； （D ）3(0,0,)

4