第二章测试系统的基本特性动态特性

H(j)一般为复数，写成实部和虚部的形式：
H(j) A()ej() Re() jIm()
其中：
A(w) H( jw)
2
Re(w)
Im(w) 2 Ay (w)
Ax (w)
(w)
H(
jw)
arctg( Im( w) ) Re( w)
y (w) x (w)
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第2章 测试系统的基本特性
2. 频率响应函数 (Frequency response function)
以 s j 代入H(s)得：
H
(
j)
Y( X(
j) j)
bm ( an (
j)m j)n
bm1( j)m1 b1( j) b0 an1( j)n1 a1( j) a0
频率响应函数是传递函数的特例。
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工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
系统串联 H (s) H1(s)H2(s)
系统并联 H(s) H1(s) H2(s)
H (s)
H (s)
X (s)
Y (s)
H 2 (s)
H1(s)
X (s)
Y (s)
H 2 (s)
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第2章 测试系统的基本特性
ξ≈ 0.7, A(ω) 水平近似线性较长， φ(ω) 近似线性较长。
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第2章 测试系统的基本特性
例：一动圈式记录仪为二阶系统，其固有频率 ωn=6280(rad/s)，阻尼比ζ=0.7。求当测量频率 f=500Hz信号时的幅值误差和相位误差。
H(S) Y(S) X (S)
传递函数： 描述系统动态特性
输入量
x(t)
bmS m bm1S m1 L b1S b0 an S n an1S n1 L a1S a0
输出量
y(t)
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传递函数的特点
第2章 测试系统的基本特性
H(S)只反映系统对输入的响应特性，与测量 信号无关。
练习
设一力传感器可作为二阶环节处理,已知 传感器的固有频率fn=800Hz,阻尼比ζ= 0.14, 用其测量正弦变化的外力,频率f=400Hz,求 振幅比A(w)及相角差φ(ω)是多少?若ζ=0.7,则 A(w)及φ(ω) 将改变为何值?
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第2章 测试系统的基本特性
输入(激励)
测试系统
输出(响应)
(对信号的传递特性)
x(t)
y(t)
(b) 一般系统与输入/输出的关系
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1
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第2章 测试系统的基本特性
1. 传递函数 (Transfer function) 拉普拉斯变换
定义系统的传递函数H(s) 为输出量和输入量的拉普 拉斯变换之比
H () 2
n2n
2
jn
2 n
1(
1 )2
j2 (
)
n
n
幅频特性和相频特性
A()
1
1 n 2 2 4 2 n 2
(
)
arctg
2 1
n n 2
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二阶系统的幅相频特性
第2章 测试系统的基本特性
14) 、、当ω/ωω=n>ω2n，时，A(ω)A近(ω似)=水1/平(2直ξ)，线，φ(φω()ω=)-9=0-1º，80º。幅值剧增，共振。 2)、当ω«ωn， 即ω/ωn «1时， A(ω) ≈ 1；φ(ω) 近似线性。 3)、当ω«ωn时， ωn越大，系统工作频率范围越大。
工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
测试系统的动态特性
动态特性:输入量随时间作快速变化时，测试系统
的输出随输入而变化的关系。
输入(重量)
输出(弹簧位移)
在对动态物理量弹簧进行测试时，测试系统的输
出变化x(t是) 否能真(线实性地比例反特映性)输入变化y(，t) 则取决于测 试系统的动态(a)响线应性弹特簧性的比。例特性
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工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
A()称为系统的幅频特性，为H()的模，是给
定频率点输出信号幅值与输入信号幅值之比，
反映测试系统对信号中频率为的信号分量在幅
值上的缩放程度。
一阶系统的幅频特性曲线
()-相频特性
一阶系统的相频特性曲线
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工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
练习
求周期信号 x(t) 0.2 cos(100t 450 )
通过传递函数为 H (s) 1 0.005s 1
的装置后得到的稳态响应?
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工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
3. 脉冲响应函数 (Weight function)
Y(s) H(s) X (s)
若x(t)=δ(t)，则： X (S) L1[ (t)] 1
Y(S) H(S) 1 H(S)
进行拉氏逆变换： y(t) L1[H (S)] h(t)
称h(t)为测试装置的脉冲响应函数
系统特性在时域可以用h(t)来描述，在频域可以 用H(ω)来描述，在复数域可以用H(s)来描述。三 者的关系是一一对应的。
Fh(t)
Y () X () H ()
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典型系统的频率响应特性
第2章 测试系统的基本特性
1. 一阶系统(First-order System)
数学表述：
a1
dy dt
a0
y
b0
x
传递函数： H (S) 1
S 1
H(S) K
S 1
τ为一阶系统的时间常数,K为灵敏度
解： 2 f 6.28500 3140 rad/s
A()
1
0.95
1
n
2
2
4
2
n
2
() arctan
2
n
2
43
1
n
幅值误差 相位误差
A() 1100% 0.95 1100% 5%
1
1
43
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第2章 测试系统的基本特性
1 ( )2
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第2章 测试系统的基本特性
一阶系统频率特性的特征
• 当ω<1/5τ时，A(ω)≈1(误差不超过2%)； • 当ω》1/ τ时，系统相当于积分环节，幅
值衰减成线性，相位滞后接近90°；
• 当ω=1/τ时，A(ω)=0.707，相角滞后45°；
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第2章 测试系统的基本特性
例 用一个一阶系统作100Hz正弦信号测量。(1)如果
要求限制振幅误差在-5%以内，则时间常数 应取多
少？(2)若用具有该时间常数的同一系统作50Hz信号的 测试，此时的振幅误差和相角差各是多少？
A1 A0 1 A( )
第2章 测试系统的基本特性
2. 二阶系统（Second-order system） L R
微分方程
dy2 (t) dy(t)
ur (t)
a2 dt 2 a1 dt a0 y(t) b0 x(t)
C u0 (t)
传递函数
H(S)
1
2 n
1 S 2 2 1
S
2
2n S
2 n
频率响应函数
2 n
A10
1 1 ≤ 0.05
( )2 1
| |≤5% 0.05 1 A() ≤0.05
( )2 ≤ 1 1 0.108
0.952
0.000523
1 1 1
1
1
1
1 0.9868 1.32%
( )2 1
(2f )2 1
(2 50 5.23104 )2 1
arctan( ) arctan(2f ) arctan(2505.23104) 9o1950
练习
某测力传感器(二阶测试系统)，其固有角
频率 n 2 1200(rad/ s) ,阻尼比 0.707 ， 当测量信号
A( f1) 0.537 A( f2 ) 0.157
( f1) 57.52o ( f2 ) 80.96o
y1(t) 0.537sin(t 57.52o ) y2 (t) 0.157sin(4t 80.96o )
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第2章 测试系统的基本特性
的装置后得到的稳态响应?
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第2章 测试系统的基本特性
一阶系统在典型输入下的响应
• 脉冲响应
x(t) (t)
其拉氏变换： X (s) 1
一阶系统的响应： y(t) 1 et /
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• 阶跃响应
第2章 测试系统的基本特性
() H ( j1)(a)2rctan() 负值表示相角的滞后
() H ( j) arctan()
A(ω)－ωτ
幅频特性曲线图
φ(ω) －ωτ
相频特性曲线图
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一阶系统的幅相频特性
第2章 测试系统的基本特性
A()
1
() arctg( )
Y ( j) X ( j)H ( j)
传递函数H(s)是在复数域中描述和考察系统的 特性；频率响应函数H(ω)是在频域中描述和 考察系统特性。
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第2章 测试系统的基本特性
H
(
j)
Y( X(
j) j)
bm ( an (
j)m j)n
bm1( j)m1 b1( j) b0 an1( j)n1 a1( j) a0
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工程测试与信号处理
练习
第2章 测试系统的基本特性
用一个具有一阶动态特性的测
量仪表( =0.35s ),测量阶跃信
号,输入由25单位跳变到240单位,求当 t=0.35s, 0.7s, 2s 时的仪表示值 分别为多少?
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三种函数的关系
第2章 测试系统的基本特性
复频 s j H (s)
H(s) Lh(t)
Y(s) X (s) H(s)
时间 t
h(t) L1 H (s)
h(t)
F 1 H ()
y(t) x(t) h(t)
频率或f
H ()
H () H (s)(s j)
0 t 0 x(t) 1 t 0
其拉氏变换：
X (s) 1 s
一阶系统的响应： y(t) 1 et /
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练习
第2章 测试系统的基本特性
对某一阶装置输入一阶跃信号,其 输出在2S内达到输入信号最大值的 20%,试求:
1 装置的时间常数
2 经过40S后,输出幅值达到多少?
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第2章 测试系统的基本特性
频率H响( j应函) 数 1 1 j H它( j的) 幅 j频1、j相1 频11特(1性1)的2(为j 1)：2(
1 H((S))2
)2
1
S
1
它A的(幅)频=、H(相j频 )特性的为：1 A()= H(j) 1 1 ()2
例:
某测试系统传递函数 H s 1 ，当输入信号
1 0.5s
分别为 x1 sin t 稳态输出。
，x2
sin 4t
时，试分别求系统
H ( jf )
1
1 jf
1 j 0.5 2f 1 2 f 2
A( f ) 1 1 2 f 2
( f ) arg tan(f )
信号 x1 : f1 0.5Hz 信号 x2 : f2 2Hz
() arctan() 32.13
A() 1 100% 0.849 1 100% 15.1%
1
1
32.13
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工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
练习
求周期信号 x(t) 0.5cos10t 0.2 cos(100t 450 )
通过传递函数为 H (s) 1 0.005s 1
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工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
练习 一温度传感器为一阶系统，其时
来自百度文库
间常数τ=0.001s，求当测量频率
f=100Hz信号时的幅值误差和相位误差。
2 f 6.28100 628 1/s,
A() 1
1
0.849
1 ( )2 1 (628 0.001)2
H(S) 描述了测试系统的传输特性，对任一具 体的输入x(t)都明确的给出了相应的输出y(t)。
H(S)是实际物理系统抽象为数学模型后的拉 普拉斯变换，因此，物理性质不同的系统或
元件，可以具有相同类型的传递函数H(S)。
分母中s的幂次n代表系统微分方程的阶数， 如当n=1或n=2时，分别称为一阶系统或二阶 系统。