(整理)圆的一般方程

《圆的标准方程》教学设计

（教师用）

成都市洛带中学刘德军

一、教材分析

学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。

二、学情分析

学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

三、教学目标

(一)知识与技能目标

（1）会推导圆的标准方程。

（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。

(二)过程与方法目标

（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。

（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

(三)情感与态度目标

圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

四、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2、难点：圆的标准方程的应用。

3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

五、教学过程

首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。

(一)复习提问

在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．

问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个

步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点

M的坐标，简称建系设点；（如图）

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写

点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

(二)建立圆的标准方程

1．建系设点

由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．

问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

(三)圆的标准方程的应用

学生练习一：

1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)

(1)(x-3)2+(y-2)2=5；

(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；

(3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）

教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）

A x 2+y 2= 25

B x 2+y 2= 5

C (x+3)2+(y+4)2= 25

D (x-3)2+(y-4)2= 25

教师纠错，分别给出正确答案：2、 (1)(x-3)2+(y ＋3)2=4；（2）D. 指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 例1求满足下列条件各圆的方程：

（1） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程

（2） 圆心在x 轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。 解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程 因为圆C 和直线0743=--y x 相切，

所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式，得

5

16)

4(3|73413|2

2

=

-+-⨯-⨯=

r 因此，所求的圆的方程是 25

256

)3()1(22=

-+-y x （2）设圆心在x 轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y 2=25 ∵点A （2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x ＋2)2+y 2=25或(x-6)2+y 2=25 这时，教师小结本题：求圆的方程的方法 (1)定义法

(2) 待定系数法，确定a ，b ，r ； 学生练习二：

1、以C （3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.

教师纠错，分别给出正确答案：(x －3)2+(y+5)2=32。

例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程

解：如图，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k 因为圆

的切线垂直于过切点的半径，于是1

1

k k -

= ∵001x y k =

∴0

0y x

k -= (让学生注意斜率不存在时和为0的情况) 经过点M 的切线方程是 )(00

0x x y x y y --

=-，