流体力学——流体静力学
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流体力学第二章 流体静力学
第二章 流体静力学
流体静力学：研究流体静止时的力学规律。 主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对
物体表面的作用力。 意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建
筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基 本原理。 静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的 阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动 力学打下良好的基础。
由曲线积分
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
整理ppt
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
f
1
p
0
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在 北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面 自北向南吹的风称为贸易风。
整理ppt
C2 流体静力学 五 流体静力学基本方程
2.2 流体平衡微分p 0方程z
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c g c z
x
h2
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
特征一：应力的作用方向为作用面的内法向方向
特征二：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小 与压强的作用面无关。
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力， 只能承受压应力，即压强，压强的作用 方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。
流体静力学：研究流体静止时的力学规律。 主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对
物体表面的作用力。 意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建
筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基 本原理。 静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的 阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动 力学打下良好的基础。
由曲线积分
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
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C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
f
1
p
0
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在 北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面 自北向南吹的风称为贸易风。
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C2 流体静力学 五 流体静力学基本方程
2.2 流体平衡微分p 0方程z
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c g c z
x
h2
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
特征一：应力的作用方向为作用面的内法向方向
特征二：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小 与压强的作用面无关。
整理ppt
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力， 只能承受压应力，即压强，压强的作用 方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。
工程流体力学第2章流体静力学
① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力 流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章 流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别 为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标 轴为x、y、z。
第2章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。 静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。 静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动 等角速定轴转动
2
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章 流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
第二章 流体静力学
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
流体力学-03-1 流体静力学
流体静力学3 流体静力学流体静力学是研究流体相对某一参考系统为静流力学是研究流相对某考统止状态下的力学特征。
阿基米德欧拉浮力定律流体质点平衡状态方程目标确定流体内部压力场的静力学方程式目标：确定流体内部压力场的静力学方程式。
作用在流体上的两种力：质量力、表面力质量力)——作用及分布于指定质量的整个质力(体积力)作分布指质的个体积，而无需物理上的直接接触；表面力——作用于流体表面或内部界面，是通过与表力作用于流体表或内部界是通过与表面或内部界面的直接接触而实现，其力分布于接触面。
触面质量力：d zd x d y表面力：“静止”流体Æ无切向力表面力仅为压力泰勒展开：表面力：中心点O的压力为p压强梯度压力梯度是单位体积上由压强所产生的表面力的负值。
可以看出：在计算表面净剩压力时，压强本身的大小不很重要，重要的是压强随着距离的变本身的大小不很重要重要的是压强随着距离的变化率，也就是压强梯度。
体积力+表面力流，顿第示对于流体质点，牛顿第二定律表示为对于流体质点流体静止，加速度等于0欧拉平衡方程某位置处单位体积的压力+该位置处单位体积的重力=0如果重力矢量与z 轴取一致的话轴取一致的话，力矢与轴取致的，则，g x =0，g y =0，g z =-g静力学基本方程：d p g ργ=−≡−适用范围：适用范围：11.d z静止流体；2.质量力只有重力存在；3.z 轴是垂直地面的方向()(1) 不可压缩流体ρ=ρ= constant压力分布满足：d p=0Æd z=0在等压面上00在重力场中，水平面为等压面。
在重力场中，压强只与垂直坐标有关。
压力和高度的基本关联式常常用于解决压力计问题，分析多管压力计时，要考虑以下原则：①连通管中同一种液体在同一高度的任何两点，压连通管中同种液体在同高度的任何两点压力相同；②随着液柱的下降，压力增大。
()()(2) 可压缩流体上册P22-24)液压力密度的关联式积模或弹性模液体压力和密度的关联式用体积模量（或弹性模量）来表示气体的密度一般取决于压力和温度ρf()真实大气密度：=f 地理位置、季节、时辰……)国际标准大气状态主要按照北半球中纬度地区各季节中大气的平均值而定出：各季节中大气的平均值而定出①空气被看作是完全气体；②大气的相对湿度为零；③以海平面作为高度计算的起点；④在高度11000米以下，气温随高度呈直线变化，每升高1米，气温下降0.0065度；米气温下降00065⑤在约11000~24000米范围内，气温保持不变，此时的温度为216.7K。
流体力学流体静力学
一水平面上的b、c两点的压强也不相等。图2.5（b），
d、e两点，虽属同种、连续，但不静止，管中是流动 的液体，所以在同一水平面上的d、e两点压强也不相
等。
第2章 流体静力学
多种流体在同一容 器或连通管的条件下求 压强或者压强差时，必 须注意将两种液体的分 界面作为压强关系的联 a 系面。
p0
b
( a)
2.3 压强计示方式与度量单位
2.3.1 绝对压强和相对压强
相对静止的流体。
第2章 流体静力学
2.1.2 等压面
在静止流体当中，压强相等的各点所组成的面称 为等压面。
等压面的特性，作用于静止流体中任一点上的质 量力必定垂直于通过该点的等压面。
f
参阅图2.2，设A是一 个等压面，在质量力的的
dr
A(x,y,z)
A'(x+dx, y+dx,
z+dz) p=c
作用下，将流体质点 A(x, y, z)
2.1 流体静力学的基本方程
2.1.1 流体平衡微分方程式
参阅图2.1，设M（x，y，z）
A
p
为流体中的某一点，包围M
点取一平衡微分六面体。 y
C
BM
dz p'
D
dy
dx
o 图2.图1 2平.1衡平微衡分微六分面 六面体体
第2章 流体静力学
1.表面力
p' p(x dx, y, z) p(x, y, z) p dx x
或
p z
dxdydz
fz ydz
0
fx
p x
fy
p y
fz
p z
第2章 流体静力学
矢量式为
d、e两点，虽属同种、连续，但不静止，管中是流动 的液体，所以在同一水平面上的d、e两点压强也不相
等。
第2章 流体静力学
多种流体在同一容 器或连通管的条件下求 压强或者压强差时，必 须注意将两种液体的分 界面作为压强关系的联 a 系面。
p0
b
( a)
2.3 压强计示方式与度量单位
2.3.1 绝对压强和相对压强
相对静止的流体。
第2章 流体静力学
2.1.2 等压面
在静止流体当中，压强相等的各点所组成的面称 为等压面。
等压面的特性，作用于静止流体中任一点上的质 量力必定垂直于通过该点的等压面。
f
参阅图2.2，设A是一 个等压面，在质量力的的
dr
A(x,y,z)
A'(x+dx, y+dx,
z+dz) p=c
作用下，将流体质点 A(x, y, z)
2.1 流体静力学的基本方程
2.1.1 流体平衡微分方程式
参阅图2.1，设M（x，y，z）
A
p
为流体中的某一点，包围M
点取一平衡微分六面体。 y
C
BM
dz p'
D
dy
dx
o 图2.图1 2平.1衡平微衡分微六分面 六面体体
第2章 流体静力学
1.表面力
p' p(x dx, y, z) p(x, y, z) p dx x
或
p z
dxdydz
fz ydz
0
fx
p x
fy
p y
fz
p z
第2章 流体静力学
矢量式为
流体静力学
sin(2
)
sin(
2
)
2 prl
解2：∵ 右半壁内表面在x方向上的投影面积为：
Ax 2r l
∴
Fx p Ax 2 prl
流体力学基础
流体静力学
液体对固体壁面的作用力
液 压 传 动 中 的 实 例
流体力学基础
作 用 于 平 面 上 的 力
作 用 于 曲 面 上 的 力
流体静力学
压力的单位及其表示方法
Pa
液柱高单位
1atm 1.01325105 Pa 1mm水柱=9.8Pa 1mm汞柱=133.32Pa
流体力学基础
流体静力学
压力的单位及其表示方法
五、液体对固体壁面的作用力
如不考虑液体自重产生的那部分压力，固体表面上各点在某一方向 上所受静压力的总和便是液体在该方向上作用于固体表面的力。
１.作用于平面上的力： 当固体表面为一平面时，静止液体对该平面的作用力F 等于静压力P
F
A0 A
F3
F4
F3
F4
流体力学基础
流体静力学
静压力及其特性
② 若法向力F均匀地作用在 重要性质
A上，则压力可表示为:
p F A
方向
流体静压力的方向必然是沿作用面的内法线方向；
？ 由于液体质点间的凝聚力很小，微小的切力作用就会引起 质点的相对运 动，这就破坏了流体的静力平衡。因此平衡 条件下的流体只能承受压应
① 求液体对固体壁面在某一方向上的分力。
先求出曲面面积A投影到该方向垂直面上的面积Ai，然后用压力p乘以
投影面积Ai，即：
Fi p Ai
② 求出各方向的分力后，按力的合成方法求出合力。即：
流体静力学
4. 等压面
定义：同种连续静止流体中（ C o n st），静压强相等的点组成 的面。 等压面的方程：
由 dp ( X dx Ydy Z dz ) 0 ，且 C o n st ，得：等压面
方程为：X dx Ydy Z dz 0 i 液体的自由表面是最为常见的等压面，等压面上的压强为大气压， 即： 。 p pa
p
1 p 2 x
dx
Y
y
1 p
0
x
Z
z
0
y
图2-3 静止流体中六面体微元
第二章 流体静力学
掌握
4. 得出结论： 流体平衡 微分方程
X 1 p
流体平衡微分方程式，由1755年欧拉提出，
I
0
又称为欧拉平衡方程式。
流体平衡微分方程式的物理意义：对于单 位质量的流体，其质量力与表面力在任何方 向上都应保持平衡，即质量力与该方向上表 面力的合力应大小相等、方向相反。 流体平衡微分方程的适用范围：
一 般 流 体 力 学 证 明 思 路
取微元体（研究对象）
受力分析 导出关系 (平衡关系)
微 元 分 析 法
——
得出结论
第二章 流体静力学
证明：微元分析法(顺证法)
1.取微元体：
如图，取静止流体中四面体微元oABC，建立oxyz直角坐标系。
z
2.受力分析：
–质量力——重力、惯性力，用单位质量
力 f X i Y j Z k 表示。
p 1 p ( x 1 2 1 dx, y, z) p ( x, y, z) p x ( 1 2 dx) 1 p
2
2 ! x
流体力学与流体静力学描述流体运动与静止的力学学科
流体力学与流体静力学描述流体运动与静止的力学学科流体力学与流体静力学是研究流体运动与静止的力学学科。
流体力学主要研究流体的力学性质，特别关注流体的运动规律。
流体静力学则专注于研究静止的流体，研究流体的压力与力学平衡。
流体力学是力学学科中的一个重要分支，其研究对象是流体。
流体是指能够流动的物质，包括液体和气体。
流体具有特殊的性质，例如可以受力变形，没有固定的形状，可以流动。
研究流体的力学性质既需要考虑宏观的流体力学规律，也需要考虑微观的分子运动规律。
流体力学主要研究流体的运动规律，包括速度场、压力场、流动速度分布以及流体的运动方程等。
流体力学的研究方法主要包括理论分析、数值模拟和实验研究。
理论分析是通过建立数学模型，应用物理定律和数学方法推导出流体力学方程，进而解析或数值求解流体力学问题。
数值模拟是通过计算机仿真的方法，利用数值方法对流体力学问题进行模拟求解。
实验研究则通过实际操作与测量，获取流体力学问题的实验数据，验证理论模型与数值模拟的准确性。
流体静力学是研究静止流体的力学学科。
静止流体是指不受外力作用的静止流体，静止流体中的压力是均匀的。
流体静力学研究的重点是静止流体的平衡条件和压力分布。
根据流体静力学原理，静止流体中任意一点的压力大小与该点的深度以及流体密度有关。
流体力学与流体静力学是现代科学技术发展中十分重要的领域。
在航空航天、水利工程、能源开发、环境保护等方面，流体力学的研究和应用都具有重要意义。
流体力学的发展使得我们可以更好地理解和预测自然界中的流体运动规律，为工程设计和科学研究提供有效的依据。
总结一下，流体力学与流体静力学是描述流体运动与静止的力学学科。
通过研究流体的运动规律和平衡条件，可以深入理解流体的力学性质，为工程设计和科学研究提供重要的理论支持。
随着科学技术的不断进步，流体力学与流体静力学将继续发展，并在各个领域中发挥重要作用。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
第二章 流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
流体力学第3章流体静力学
√（c）质量力有势
（d）流体黏度小
23
3.3一些流体静力学基本问题
在工程和科学中，有各种各样与重力场静止液体
相关的问题，如过程工业中盛装液体的容器的受力，
水坝和水闸等水工结构的受力，船舶的浮力和浮力矩
的设计，液压机械受力等等。
3.3.1重力场静止液体中的压力分布与物体受力
24
(1)重力场中静止液体的压力公式
a x
35
解：物体重量为：
a3 G 9810 (0.6 1.4) 2
a x
物体受到的浮力为： F=a2(a-x)×9810×0.9+a2x×9810×1.3 由于两者平衡：G=F
（a3/2）× (0.6+1.4)=a2[(a-x) ×0.9+x ×1.3]
由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m
M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33
由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有
36
3.3.2非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
A V V
A
（d）流体黏度小
23
3.3一些流体静力学基本问题
在工程和科学中，有各种各样与重力场静止液体
相关的问题，如过程工业中盛装液体的容器的受力，
水坝和水闸等水工结构的受力，船舶的浮力和浮力矩
的设计，液压机械受力等等。
3.3.1重力场静止液体中的压力分布与物体受力
24
(1)重力场中静止液体的压力公式
a x
35
解：物体重量为：
a3 G 9810 (0.6 1.4) 2
a x
物体受到的浮力为： F=a2(a-x)×9810×0.9+a2x×9810×1.3 由于两者平衡：G=F
（a3/2）× (0.6+1.4)=a2[(a-x) ×0.9+x ×1.3]
由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m
M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33
由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有
36
3.3.2非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
A V V
A
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
流体力学-第二章
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力 作用在dA面积上的液体总压力为 作用在 面积上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为A上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为 上的液体总压力为
作用在任意形状平面上的液体总压力大小， 作用在任意形状平面上的液体总压力大小，等于该平面的淹没 面积与其形心处静压强的乘积， 面积与其形心处静压强的乘积，而形心处的静压强就是整个受 压平面上的平均压强。 压平面上的平均压强。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。
ω
旋转
等压面方程
自由表面方程
第五节 一、图解法
作用在平面上的液体总压力来自液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面， 液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面，液体总压力的 作用线通过静压强分布图体积的重心。 作用线通过静压强分布图体积的重心。液体总压力作用线与矩形 平面相交的作用点D称为压力中心 称为压力中心。 平面相交的作用点 称为压力中心。
三、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义 1. 流体静力学基本方程的物理意义
Z：单位重量流体从某一基准面算起所 ： 具有的位能，因为是对单位重量而言， 具有的位能，因为是对单位重量而言， 所以称单位位能。 所以称单位位能。
：单位重量流体所具有的压能，称 单位重量流体所具有的压能， 单位压能。 单位压能。
等压面方程
三、等压面 帕斯卡定 律 等压面方程 当流体质点沿等压面移动距离ds时 质量力所作的微功为零。 当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为零。 ds 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 ds都不为零 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 这是等压面的一个重要特性。 这是等压面的一个重要特性。
第二章 流体静力学
作用在ACD面上的流 体静压强
pz
px pn
作用在BCD面上 的静压强
py 图2－3 微元四面体受力分析
作用在ABD面上 的静压强
①表面力：（只有各面上 的垂直压力即周围液体的 静水压力）
②质量力：
X d P d P Y d P Z n d P
p X d AX p X pY d A Y pY
X Y Z
以X方向为例： FX p X dA X p n dAn cos( n, X ) 因为
dAn cos( n, X ) dAx 1 dydz 2
1 Xdxdydz 0 6
代入上式得： 限得,即:
3 当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中最后一项近于零，取极
p X pn
dp Xdx Ydy Zdz
（2-7）
上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分，令势数为W（x， y，z.），则W的全微分为： W W W
x W W W X ..... Y ......Z 因而有: x y z dW dx y dy z dz
Xdx 0
p X pn 0
同理：
pY pn
，
pZ pn
由此可见：
p X p Y p Z pn
上式说明，在静止流体中， 任一点流体静压强的大小与作 用面的方位无关，但流体中不 同点上的流体静压强可以不等，
因此，流体静压强是空间坐标的标量函数，即：
p p( X , Y , Z )
的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性 作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。
第二章流体静力学
二、液体随容器作等角速度旋转运动
z 建立如图所示动坐标系 ω
X = ω 2 x, Y = ω 2 y , Z = − g
p0
dp = ρ (ω xdx + ω ydy − gdz )
2 2
y
o
A g
x
p = ρ( = ρ(
ω 2 x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
o x y
x
y r A
ω y
p / ρg
能；
C 表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。 表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。
在重力作用下， 在重力作用下，静止流体中各点的单位重量流体的总 势能是相等的。 势能是相等的。
三、流体静力学基本方程的几何意义
单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 水头 表示该点到基准面的高度，称为位置水头， z 表示该点到基准面的高度，称为位置水头，简称位水
hC 平面形心点的淹没深度
A
PyD = ∫ ydP =ρ g sin α ∫ y 2 dA = ρ g sin α I x
∂p dx pA = p − ∂x 2 ∂p dx pB = p + ∂x 2
1 ∂p p− dx dydz 2 ∂x
A
C p
B
1 ∂p p+ dx dydz 2 ∂x
½ dx
图2－4
由于微六面体处于平衡状态， 由于微六面体处于平衡状态，所以由平衡条件得
一、流体平衡微分方程
在静止的流体中取一微六面体，如图2-4所示。取六面 在静止的流体中取一微六面体，如图2 所示。 体内中心点C点，设C点的静压强为 p ，过C点作轴的平行线 体内中心点C 交左右侧面分别为A 将静压强按泰勒级数展开， 交左右侧面分别为A、B点，将静压强按泰勒级数展开，并略 去高阶微量， 去高阶微量，则
第二章流体静力学流体力学
Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)
Fx Fy
0 0
（2—2）
Pz
Pn
cos(n,
z)
Fz
0
x方向受力分析:表面力：
Px
px
1 dydz 2
Pn
cos(n, x)
pn
1 dydz 2
（2—3）
n为斜面ABC的法线方向质量力： Fx X dxdydz / 6 （2-4）
对压强的负值时，如（图2—10）。
真空值 p pa pabs ( pabs pa )
h 真空高度 v
pv
pa pabs
( pabs pa ) （2—20）
（2—18）
pabs hv pa
图2—10真空高度
hv
pa
pabs
g
pv
g
（2—19）
（二）压强的单位及其换算
1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或 atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。
（
, , p p p
x y z
）等于该方向上单位体积内的质量力的分
量 （ X 、Y 、Z ）。
二、平衡微分方程的全微分式
为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以 dx、dy 、dz
然后相加，得（2-10）
p dx p dy p dz (Xdx Ydy Zdz)
x y z
压强p p(x, y, z)是坐标的连续函数，由全微分定理，
体的交界面等。
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体中，
任意点的静压强，与其淹没深度 成正比，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点
流体力学静力学
1
2
2
p dx 6 x 3 2
1
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p
1 p 2 x
dx
p
1 p 2 x
dx
得y方向平衡方程为
Y
或
Y
p y
0
z
0
p
p
1 p
dz dx dy
p y
dy
y
1 p
同理有
X
o
0
x
i
y
j
z
k
f X i Y j Zk
称为哈米尔顿算子,它同时具有矢量和微 分（对跟随其后的变量）运算的功能。用 它来表达梯度，非常简洁，并便于记忆。
• 平衡微分方程的物理意义
p
的三个分量是压强在三个坐标轴方向的方向导数，它 反映了数量场在空间上的不均匀性。
无穷小，即得
z py
dz
px pn
n
dx dy pz
pn p x p y p z
x
o
y
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静压强 的大小与作用面的方位无关。
静压强 pn(x,y,z) 与作用面的
方位无关，仅取决于作用点 的空间位置，所以可将脚标 去掉写成 p(x,y,z)
①表面力：（只有各面上的垂直压力即流体静压力）
dP X dP Y dP Z dP n
p X dA p Y dA p Z dA p n dA
X
pX pY pZ
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2-14 一水坝受水面为一抛物线，顶点在 O 点，水深 H=50m 处抛物线到抛物线对称轴距离 为 12.5m，求水作用于单位宽度坝体的合力大小和方向。
12.5m A
h=50m
O
解: 抛物线方程为 y kx , 将 A 点坐标(12.5,50)代入方程可得 k=0.32, 由此抛物线方程为
2
y 0.32 x 2 , 水 作 用 于 单 位 宽 度 坝 体 的 合 力 铅 垂 分 量 方 向 向 下 , 大 小 为
A
θ
125cm
hD P
hC C D C
O
O
证明：圆心处压强为 ghc ,闸门所受压力大小为 ghcD / 4 ,压力中心 D 到圆心 C 点距离
2
为 J c / Ay c , 对园, J c R / 4 D / 64 , A D / 4 , hc / sin ,因而所求力矩为
2-7 如图为一复式水银测压计，用以测量水箱中水的表面相对压强。根据图中读数（单位为 m）计算水面相对压强值。
P0
3.0
水
2.5
2.3
水
1.4 1.2
水银
解：设水面空气绝对压强为 p 0 ，大气压强为 p a ，则有 p0 (3.0 1.4) 水－
(2.5 1.4) 水银＋ (2.5 1.2) 水— (2.3 1.2) 水银＝ p a ，水面相对压强 p m p0 pa (3.0 1.4) 水＋ (2.5 1.4) 水银－ (2.5 1.2) 水＋ (2.3 1.2) 水银＝ （2.5－1.4＋2.3－1.2）
3
C P E h D h1 A a h2 B
解：设空气绝对压强为 p a ，A，B 两处绝对压强分别为 p A , p B ,这里 p A pa h1 ，
pb pa (h h2 ) ，从而 p B p A (h h2 h1 ) (0.45 1.8 0.6)9800 16170 N / m 2
9800 N / m3 ， 求 容 器 中 心 处 的 绝 对 压 强 p 和 真 空 度 Pv ， 当 时 当 地 大 气 压
Pa 9 8 0 0 0 N m /2 。
P A A
Pa
h
解：由 p h pa ，有
p pa h 98000 2 9800 78400 N / m 2
与水平方向夹角为 arctan(4083333 / 12250000) 18.43 .
o
2-15 如图，圆柱闸门长 L=4m，直径 D=1m，上下游水深分别为 H1=1m，H2=0.5m，试求此 柱体上所受的静水总压力。
解：闸门所受的水平分力为上下游水对它的水平作用力的代数和，方向向右
Px 9800(1 / 2) 1 4 (0.5 / 2) 0.5 4 14700 N
水银
-
(3.0－1.4＋2.5 –1.2)
水
＝ 2.2 133280 2.9 9800 264796 N / M
2
2－8 如图，h1=0.5m，h2=1.8m，h3=1.2m, 试根据水银压力计的读数，求水管 A 内的真空度 及绝对压强。 （设大气压强为 98000Pa）
解：由连通器原理
总压力
P Px Pz 45540 N
Pz 14.447 . Px
2
2
P 对水平方向的倾斜角 arctan
2-18 一旋转圆柱容器高 H=0.6m， 直径 D=0.45m， 容器中盛水， 求水面正好与容器中心触底， 顶部与容器同高时，容器的旋转角速度 。
z
ω
r R
h H
解: 将直角坐标原点设在容器底, z 轴与圆柱容器轴心线重合, 正向向上, 水面抛物线方程为
2 2
分量向右 , RX g ( R / 2)(3R) 9800(1.5 / 2)(3 1.5) 33075N , 水作用于闸门合力的 铅 垂 分 量 向 上 , 水 平 分 量 向 左 , 大 小 分 别 任 为 51954 及 33075N, 合 力 大 小 为
51954 2 33075 2 61589 N , 与水平夹角为 arctan(51954 / 33075) 57.52 o .
解：由图知
r = H/sinα=3/sin45 =4.2426m
o
闸门所受的水平分力为 Px，方向向右,
p x g ( H / 2) HB 9800(3 / 2) 3 1 44100 N
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向下,
Pz g ( H (r r cos ) (r 2 / 360 r sin r cos / 2) B 9800(3(4.2426 4.2426 cos 45 0 ) ( 4.2426 2 45 / 360 4.2426 sin 45 0 4.2426 cos 45 0 / 2)) 1 11362 N
2 2
闸门所受水的和力 合力压力与水平方向
P Px Pz 45136 N
arctan Pz 29.717 Px
2-17 如图，扇形闸门，中心角α=45º，宽度 B=1m（垂直于图面） ，可以绕铰链 C 旋转，用 以蓄水或泄水。水深 H=3m，确定水作用于夹角此闸门上的总压力 p 的大小和方向。
解：闸门所受的水平分力为 Px，方向向右 即
1 Px 9800 r sin b r sin 9800 0.5 2 sin 45 o 4 2 sin 45 o 39200 N 2
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向上
45 r 2 1 45 2 2 1 Pz gV 9800 b r sin r sin 9800 4 ( 2 sin 45 o 2 360 2 360 2 cos 45 0 ) 22375 N
闸门所受的垂直分力 Pz 方向向上, 大小为
3 D Pz gV 9800 L 23090 N 4 2
闸门所受水的总压力 压力与水平夹角为
2
P Px Pz 27373N
arctan Pz 57.52 Px
2
2
2-16 如图，一弧形闸门 AB，宽 b=4m，圆心角α=45º，半径 r=2m，闸门转轴恰与水面齐 平，求作用于闸门的静水总压力。
第二章 流体静力学
2-1 作用于流体的外力有哪两种? 答: 作用于流体的外力有质量力与表面力. 2-2 流体块表面上的压强有哪两项特性? 答: 流体块表面上的压强有以下两项特性 1.法向应力的方向沿讨论流体块表面上某点的内法线方向， 即压强沿垂直方向从外部指向表 面。 2.静止流体中任一点处的压强大小与它所作用的表面方位无关。 2-3 什麽是绝对压强, 相对压强及真空度? 答: 以绝对真空状态为基准计算的压强值叫绝对压强。 相对压强用于绝对压强大于大气压的场合， 即一点处的相对压强指这点处的绝对压强高 于大气压的部分. 真空度用于绝对压强低于大气压的场合，即出现了真空的状态。一点处的真空度指这 点绝对压强小于大气压的那一部分. 2-4 容器 A 被部分抽成真空，容器下端接一玻璃管与水槽相通，玻管中水上升 h=2m，水的
4 4
2
ghcD 2 / 4 D 4 / 64 /(D 2 / 4 hc / sin ) ,约去 hc 后得到一常数.
2-13 一受水面为半径 1.5m 的 1/4 圆柱形闸门宽 b=3m，求水作用于闸门的水压力大小和方 向。
1.5 m
解;题中为一虚压力体, 闸门作用于水压力的铅垂分量向下, 大小等于假设虚压力体充满水 的重量, Ry g (3R / 4) 9800 3(1.5) / 4 51954 N .闸门作用于水的作用力水平及
z
2r 2
2g
C ,由于 r=0 时 z=0, 从而 C=0. 抛物线上一点坐标为(0.45/2, 0.6)，由此有
0.6
2 (0.45 / 2) 2
2 9.8
,
15.24rad / s .
2.19．一旋转圆柱容器直径 D=0.10m，容器中盛水，求边缘与中心高差为 0.05m 时圆柱容器 旋转角速度 。
g (12.5 50
12.5
0
0.32 x 2 dx) 4083333N , 合 力 的 水 平 分 量 方 向 向 右 , 大 小 为
g (50 / 2)(50 1) 12250000 N , 合力大小为 40833332 12250000 2 12912634 N ,
pv = p a
p = 98000 78400 = 19600 N / m 2
3
2-5 以 U 型管测量 A 处水压强，h1=0.15m，h2=0.3m，水银的 ＝133280N / m ，当时当地 大气压强 Pa 98000 N / m2 ，求 A 处绝对压强 p 。
A h1 h2 Pa
解 ： 由
2 因而园板一侧水压力大小为 (1.25 / 2) 10290 12628N . 1.05 9800 10290 N / m 2 ，
压力中心在圆心之下，两点沿园板距离为 J c / Ay c ，对园板，
J c R 4 / 4 (1.25 / 2) 4 / 4 , A R 2 (1.25 / 2) 2 m 2 ，
p2 水银 h2 h3 pa p2 水 h2 h1 p A
从而 A 处绝对压强 真空度
p A 1.3 水 pa 0.6 水银 30772Pa pv pa p A 67228Pa
2-9 如图，敞开容器内注有三种互不相混的液体，γ1=0.8γ2，γ2=0.8γ3，求侧壁处三根测 压管内液面至容器底部的高度 h1、h2、h3。
12.5m A
h=50m
O
解: 抛物线方程为 y kx , 将 A 点坐标(12.5,50)代入方程可得 k=0.32, 由此抛物线方程为
2
y 0.32 x 2 , 水 作 用 于 单 位 宽 度 坝 体 的 合 力 铅 垂 分 量 方 向 向 下 , 大 小 为
A
θ
125cm
hD P
hC C D C
O
O
证明：圆心处压强为 ghc ,闸门所受压力大小为 ghcD / 4 ,压力中心 D 到圆心 C 点距离
2
为 J c / Ay c , 对园, J c R / 4 D / 64 , A D / 4 , hc / sin ,因而所求力矩为
2-7 如图为一复式水银测压计，用以测量水箱中水的表面相对压强。根据图中读数（单位为 m）计算水面相对压强值。
P0
3.0
水
2.5
2.3
水
1.4 1.2
水银
解：设水面空气绝对压强为 p 0 ，大气压强为 p a ，则有 p0 (3.0 1.4) 水－
(2.5 1.4) 水银＋ (2.5 1.2) 水— (2.3 1.2) 水银＝ p a ，水面相对压强 p m p0 pa (3.0 1.4) 水＋ (2.5 1.4) 水银－ (2.5 1.2) 水＋ (2.3 1.2) 水银＝ （2.5－1.4＋2.3－1.2）
3
C P E h D h1 A a h2 B
解：设空气绝对压强为 p a ，A，B 两处绝对压强分别为 p A , p B ,这里 p A pa h1 ，
pb pa (h h2 ) ，从而 p B p A (h h2 h1 ) (0.45 1.8 0.6)9800 16170 N / m 2
9800 N / m3 ， 求 容 器 中 心 处 的 绝 对 压 强 p 和 真 空 度 Pv ， 当 时 当 地 大 气 压
Pa 9 8 0 0 0 N m /2 。
P A A
Pa
h
解：由 p h pa ，有
p pa h 98000 2 9800 78400 N / m 2
与水平方向夹角为 arctan(4083333 / 12250000) 18.43 .
o
2-15 如图，圆柱闸门长 L=4m，直径 D=1m，上下游水深分别为 H1=1m，H2=0.5m，试求此 柱体上所受的静水总压力。
解：闸门所受的水平分力为上下游水对它的水平作用力的代数和，方向向右
Px 9800(1 / 2) 1 4 (0.5 / 2) 0.5 4 14700 N
水银
-
(3.0－1.4＋2.5 –1.2)
水
＝ 2.2 133280 2.9 9800 264796 N / M
2
2－8 如图，h1=0.5m，h2=1.8m，h3=1.2m, 试根据水银压力计的读数，求水管 A 内的真空度 及绝对压强。 （设大气压强为 98000Pa）
解：由连通器原理
总压力
P Px Pz 45540 N
Pz 14.447 . Px
2
2
P 对水平方向的倾斜角 arctan
2-18 一旋转圆柱容器高 H=0.6m， 直径 D=0.45m， 容器中盛水， 求水面正好与容器中心触底， 顶部与容器同高时，容器的旋转角速度 。
z
ω
r R
h H
解: 将直角坐标原点设在容器底, z 轴与圆柱容器轴心线重合, 正向向上, 水面抛物线方程为
2 2
分量向右 , RX g ( R / 2)(3R) 9800(1.5 / 2)(3 1.5) 33075N , 水作用于闸门合力的 铅 垂 分 量 向 上 , 水 平 分 量 向 左 , 大 小 分 别 任 为 51954 及 33075N, 合 力 大 小 为
51954 2 33075 2 61589 N , 与水平夹角为 arctan(51954 / 33075) 57.52 o .
解：由图知
r = H/sinα=3/sin45 =4.2426m
o
闸门所受的水平分力为 Px，方向向右,
p x g ( H / 2) HB 9800(3 / 2) 3 1 44100 N
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向下,
Pz g ( H (r r cos ) (r 2 / 360 r sin r cos / 2) B 9800(3(4.2426 4.2426 cos 45 0 ) ( 4.2426 2 45 / 360 4.2426 sin 45 0 4.2426 cos 45 0 / 2)) 1 11362 N
2 2
闸门所受水的和力 合力压力与水平方向
P Px Pz 45136 N
arctan Pz 29.717 Px
2-17 如图，扇形闸门，中心角α=45º，宽度 B=1m（垂直于图面） ，可以绕铰链 C 旋转，用 以蓄水或泄水。水深 H=3m，确定水作用于夹角此闸门上的总压力 p 的大小和方向。
解：闸门所受的水平分力为 Px，方向向右 即
1 Px 9800 r sin b r sin 9800 0.5 2 sin 45 o 4 2 sin 45 o 39200 N 2
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向上
45 r 2 1 45 2 2 1 Pz gV 9800 b r sin r sin 9800 4 ( 2 sin 45 o 2 360 2 360 2 cos 45 0 ) 22375 N
闸门所受的垂直分力 Pz 方向向上, 大小为
3 D Pz gV 9800 L 23090 N 4 2
闸门所受水的总压力 压力与水平夹角为
2
P Px Pz 27373N
arctan Pz 57.52 Px
2
2
2-16 如图，一弧形闸门 AB，宽 b=4m，圆心角α=45º，半径 r=2m，闸门转轴恰与水面齐 平，求作用于闸门的静水总压力。
第二章 流体静力学
2-1 作用于流体的外力有哪两种? 答: 作用于流体的外力有质量力与表面力. 2-2 流体块表面上的压强有哪两项特性? 答: 流体块表面上的压强有以下两项特性 1.法向应力的方向沿讨论流体块表面上某点的内法线方向， 即压强沿垂直方向从外部指向表 面。 2.静止流体中任一点处的压强大小与它所作用的表面方位无关。 2-3 什麽是绝对压强, 相对压强及真空度? 答: 以绝对真空状态为基准计算的压强值叫绝对压强。 相对压强用于绝对压强大于大气压的场合， 即一点处的相对压强指这点处的绝对压强高 于大气压的部分. 真空度用于绝对压强低于大气压的场合，即出现了真空的状态。一点处的真空度指这 点绝对压强小于大气压的那一部分. 2-4 容器 A 被部分抽成真空，容器下端接一玻璃管与水槽相通，玻管中水上升 h=2m，水的
4 4
2
ghcD 2 / 4 D 4 / 64 /(D 2 / 4 hc / sin ) ,约去 hc 后得到一常数.
2-13 一受水面为半径 1.5m 的 1/4 圆柱形闸门宽 b=3m，求水作用于闸门的水压力大小和方 向。
1.5 m
解;题中为一虚压力体, 闸门作用于水压力的铅垂分量向下, 大小等于假设虚压力体充满水 的重量, Ry g (3R / 4) 9800 3(1.5) / 4 51954 N .闸门作用于水的作用力水平及
z
2r 2
2g
C ,由于 r=0 时 z=0, 从而 C=0. 抛物线上一点坐标为(0.45/2, 0.6)，由此有
0.6
2 (0.45 / 2) 2
2 9.8
,
15.24rad / s .
2.19．一旋转圆柱容器直径 D=0.10m，容器中盛水，求边缘与中心高差为 0.05m 时圆柱容器 旋转角速度 。
g (12.5 50
12.5
0
0.32 x 2 dx) 4083333N , 合 力 的 水 平 分 量 方 向 向 右 , 大 小 为
g (50 / 2)(50 1) 12250000 N , 合力大小为 40833332 12250000 2 12912634 N ,
pv = p a
p = 98000 78400 = 19600 N / m 2
3
2-5 以 U 型管测量 A 处水压强，h1=0.15m，h2=0.3m，水银的 ＝133280N / m ，当时当地 大气压强 Pa 98000 N / m2 ，求 A 处绝对压强 p 。
A h1 h2 Pa
解 ： 由
2 因而园板一侧水压力大小为 (1.25 / 2) 10290 12628N . 1.05 9800 10290 N / m 2 ，
压力中心在圆心之下，两点沿园板距离为 J c / Ay c ，对园板，
J c R 4 / 4 (1.25 / 2) 4 / 4 , A R 2 (1.25 / 2) 2 m 2 ，
p2 水银 h2 h3 pa p2 水 h2 h1 p A
从而 A 处绝对压强 真空度
p A 1.3 水 pa 0.6 水银 30772Pa pv pa p A 67228Pa
2-9 如图，敞开容器内注有三种互不相混的液体，γ1=0.8γ2，γ2=0.8γ3，求侧壁处三根测 压管内液面至容器底部的高度 h1、h2、h3。