流体力学——流体静力学
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2 2
分量向右 , RX g ( R / 2)(3R) 9800(1.5 / 2)(3 1.5) 33075N , 水作用于闸门合力的 铅 垂 分 量 向 上 , 水 平 分 量 向 左 , 大 小 分 别 任 为 51954 及 33075N, 合 力 大 小 为
51954 2 33075 2 61589 N , 与水平夹角为 arctan(51954 / 33075) 57.52 o .
2 2
闸门所受水的和力 合力压力与水平方向
P Px Pz 45136 N
arctan Pz 29.717 Px
2-17 如图，扇形闸门，中心角α=45º，宽度 B=1m（垂直于图面） ，可以绕铰链 C 旋转，用 以蓄水或泄水。水深 H=3m，确定水作用于夹角此闸门上的总压力 p 的大小和方向。
pv = p a
p = 98000 78400 = 19600 N / m 2
3
2-5 以 U 型管测量 A 处水压强，h1=0.15m，h2=0.3m，水银的 ＝133280N / m ，当时当地 大气压强 Pa 98000 N / m2 ，求 A 处绝对压强 p 。
A h1 h2 Pa
解 ： 由
2-14 一水坝受水面为一抛物线，顶点在 O 点，水深 H=50m 处抛物线到抛物线对称轴距离 为 12.5m，求水作用于单位宽度坝体的合力大小和方向。
12.5m A
h=50m
O
解: 抛物线方程为 y kx , 将 A 点坐标(12.5,50)代入方程可得 k=0.32, 由此抛物线方程为
2
y 0.32 x 2 , 水 作 用 于 单 位 宽 度 坝 体 的 合 力 铅 垂 分 量 方 向 向 下 , 大 小 为
与水平方向夹角为 arctan(4083333 / 12250000) 18.43 .
o
2-15 如图，圆柱闸门长 L=4m，直径 D=1m，上下游水深分别为 H1=1m，H2=0.5m，试求此 柱体上所受的静水总压力。
解：闸门所受的水平分力为上下游水对它的水平作用力的代数和，方向向右
Px 9800(1 / 2) 1 4 (0.5 / 2) 0.5 4 14700 N
p2 水银 h2 h3 pa p2 水 h2 h1 p A
从而 A 处绝对压强 真空度
p A 1.3 水 pa 0.6 水银 30772Pa pv pa p A 67228Pa
2-9 如图，敞开容器内注有三种互不相混的液体，γ1=0.8γ2，γ2=0.8γ3，求侧壁处三根测 压管内液面至容器底部的高度 h1、h2、h3。
解：由连通器原理，列等压面方程
(h3 2 2) 1 2 1 ，从而 h3 = 6m
(h2 2) 2 2 1 2 2 ，从而 h2 = 4+2γ1/γ2=5.60m
h1 3 2 1 2 2 2 3 , 从而 h1 = 2+（2γ1+2γ2）/γ3= 4.88m
2-10 在什么特殊情况下，水下平面的压力中心与平面形心重合？ 答：水下平面水平放置。 2-11 一直径为 1.25m 的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最低点到水面距离分别为 0.6m 和 1.5m，求作用于圆板一侧水压力大小和压力中心位置。
60 cm
θ
150 cm
m 5c 12
解 ： 园 板 形 心 （ 圆 心 ） 在 水 面 之 下 (1.5 0.6) / 2 1,05m ， 此 处 压 强 为
水银
-
(3.0－1.4＋2.5 –1.2)
水
＝ 2.2 133280 2.9 9800 264796 N / M
2
2－8 如图，h1=0.5m，h2=1.8m，h3=1.2m, 试根据水银压力计的读数，求水管 A 内的真空度 及绝对压强。 （设大气压强为 98000Pa）
解：由连通器原理
g (12.5 50
12.5
0
0.32 x 2 dx) 4083333N , 合 力 的 水 平 分 量 方 向 向 右 , 大 小 为
g (50 / 2)(50 1) 12250000 N , 合力大小为 40833332 12250000 2 12912634 N ,
解：由图知
r = H/sinα=3/sin45 =4.2426m
o
闸门所受的水平分力为 Px，方向向右,
p x g ( H Leabharlann Baidu 2) HB 9800(3 / 2) 3 1 44100 N
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向下,
Pz g ( H (r r cos ) (r 2 / 360 r sin r cos / 2) B 9800(3(4.2426 4.2426 cos 45 0 ) ( 4.2426 2 45 / 360 4.2426 sin 45 0 4.2426 cos 45 0 / 2)) 1 11362 N
yc 1.05 /((150 60) / 125)m ，由此可得到这一距离为 0.067m 。
2-12 蓄水池侧壁装有一直径为 D 的圆形闸门，闸门平面与水面夹角为 ，闸门形心 C 处水 深 hc ， 闸门可绕通过形心 C 的水平轴旋转， 证明作用于闸门水压力对轴的力矩与形心水深 hc 无关。
3
C P E h D h1 A a h2 B
解：设空气绝对压强为 p a ，A，B 两处绝对压强分别为 p A , p B ,这里 p A pa h1 ，
pb pa (h h2 ) ，从而 p B p A (h h2 h1 ) (0.45 1.8 0.6)9800 16170 N / m 2
z
2r 2
2g
C ,由于 r=0 时 z=0, 从而 C=0. 抛物线上一点坐标为(0.45/2, 0.6)，由此有
0.6
2 (0.45 / 2) 2
2 9.8
,
15.24rad / s .
2.19．一旋转圆柱容器直径 D=0.10m，容器中盛水，求边缘与中心高差为 0.05m 时圆柱容器 旋转角速度 。
第二章 流体静力学
2-1 作用于流体的外力有哪两种? 答: 作用于流体的外力有质量力与表面力. 2-2 流体块表面上的压强有哪两项特性? 答: 流体块表面上的压强有以下两项特性 1.法向应力的方向沿讨论流体块表面上某点的内法线方向， 即压强沿垂直方向从外部指向表 面。 2.静止流体中任一点处的压强大小与它所作用的表面方位无关。 2-3 什麽是绝对压强, 相对压强及真空度? 答: 以绝对真空状态为基准计算的压强值叫绝对压强。 相对压强用于绝对压强大于大气压的场合， 即一点处的相对压强指这点处的绝对压强高 于大气压的部分. 真空度用于绝对压强低于大气压的场合，即出现了真空的状态。一点处的真空度指这 点绝对压强小于大气压的那一部分. 2-4 容器 A 被部分抽成真空，容器下端接一玻璃管与水槽相通，玻管中水上升 h=2m，水的
A
θ
125cm
hD P
hC C D C
O
O
证明：圆心处压强为 ghc ,闸门所受压力大小为 ghcD / 4 ,压力中心 D 到圆心 C 点距离
2
为 J c / Ay c , 对园, J c R / 4 D / 64 , A D / 4 , hc / sin ,因而所求力矩为
闸门所受的垂直分力 Pz 方向向上, 大小为
3 D Pz gV 9800 L 23090 N 4 2
闸门所受水的总压力 压力与水平夹角为
2
P Px Pz 27373N
arctan Pz 57.52 Px
2
2
2-16 如图，一弧形闸门 AB，宽 b=4m，圆心角α=45º，半径 r=2m，闸门转轴恰与水面齐 平，求作用于闸门的静水总压力。
4 4
2
ghcD 2 / 4 D 4 / 64 /(D 2 / 4 hc / sin ) ,约去 hc 后得到一常数.
2-13 一受水面为半径 1.5m 的 1/4 圆柱形闸门宽 b=3m，求水作用于闸门的水压力大小和方 向。
1.5 m
解;题中为一虚压力体, 闸门作用于水压力的铅垂分量向下, 大小等于假设虚压力体充满水 的重量, Ry g (3R / 4) 9800 3(1.5) / 4 51954 N .闸门作用于水的作用力水平及
2 因而园板一侧水压力大小为 (1.25 / 2) 10290 12628N . 1.05 9800 10290 N / m 2 ，
压力中心在圆心之下，两点沿园板距离为 J c / Ay c ，对园板，
J c R 4 / 4 (1.25 / 2) 4 / 4 , A R 2 (1.25 / 2) 2 m 2 ，
9800 N / m3 ， 求 容 器 中 心 处 的 绝 对 压 强 p 和 真 空 度 Pv ， 当 时 当 地 大 气 压
Pa 9 8 0 0 0 N m /2 。
P A A
Pa
h
解：由 p h pa ，有
p pa h 98000 2 9800 78400 N / m 2
总压力
P Px Pz 45540 N
Pz 14.447 . Px
2
2
P 对水平方向的倾斜角 arctan
2-18 一旋转圆柱容器高 H=0.6m， 直径 D=0.45m， 容器中盛水， 求水面正好与容器中心触底， 顶部与容器同高时，容器的旋转角速度 。
z
ω
r R
h H
解: 将直角坐标原点设在容器底, z 轴与圆柱容器轴心线重合, 正向向上, 水面抛物线方程为
p
水
h1
水
银
h2 p a ， 有 p pa
水
h1
水
银
h2 98000 9800 0.15 133280 0.3 56546 N / m 2
2-6 图中压差计上部有空气，h1=0.6m，h=0.45m，h2=1.8m，求 A、B 两点压强差，工作介 质水的 9800 N / m 。
z
ω
r R
h H
解: 将直角坐标原点设在水面最低点, 即抛物线顶点, z 轴与圆柱容器轴心线重合, 正向向上. 水面抛物线方程为 z
2r 2
2g
C ,由于 r=0 时 z=0, 从而 C=0. 抛物线边缘上一点坐标为
(0.1/2, 0.05), 由此可得到方程 0.05
解：闸门所受的水平分力为 Px，方向向右 即
1 Px 9800 r sin b r sin 9800 0.5 2 sin 45 o 4 2 sin 45 o 39200 N 2
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向上
45 r 2 1 45 2 2 1 Pz gV 9800 b r sin r sin 9800 4 ( 2 sin 45 o 2 360 2 360 2 cos 45 0 ) 22375 N
2-7 如图为一复式水银测压计，用以测量水箱中水的表面相对压强。根据图中读数（单位为 m）计算水面相对压强值。
P0
3.0
水
2.5
2.3
水
1.4 1.2
水银
解：设水面空气绝对压强为 p 0 ，大气压强为 p a ，则有 p0 (3.0 1.4) 水－
(2.5 1.4) 水银＋ (2.5 1.2) 水— (2.3 1.2) 水银＝ p a ，水面相对压强 p m p0 pa (3.0 1.4) 水＋ (2.5 1.4) 水银－ (2.5 1.2) 水＋ (2.3 1.2) 水银＝ （2.5－1.4＋2.3－1.2）
分量向右 , RX g ( R / 2)(3R) 9800(1.5 / 2)(3 1.5) 33075N , 水作用于闸门合力的 铅 垂 分 量 向 上 , 水 平 分 量 向 左 , 大 小 分 别 任 为 51954 及 33075N, 合 力 大 小 为
51954 2 33075 2 61589 N , 与水平夹角为 arctan(51954 / 33075) 57.52 o .
2 2
闸门所受水的和力 合力压力与水平方向
P Px Pz 45136 N
arctan Pz 29.717 Px
2-17 如图，扇形闸门，中心角α=45º，宽度 B=1m（垂直于图面） ，可以绕铰链 C 旋转，用 以蓄水或泄水。水深 H=3m，确定水作用于夹角此闸门上的总压力 p 的大小和方向。
pv = p a
p = 98000 78400 = 19600 N / m 2
3
2-5 以 U 型管测量 A 处水压强，h1=0.15m，h2=0.3m，水银的 ＝133280N / m ，当时当地 大气压强 Pa 98000 N / m2 ，求 A 处绝对压强 p 。
A h1 h2 Pa
解 ： 由
2-14 一水坝受水面为一抛物线，顶点在 O 点，水深 H=50m 处抛物线到抛物线对称轴距离 为 12.5m，求水作用于单位宽度坝体的合力大小和方向。
12.5m A
h=50m
O
解: 抛物线方程为 y kx , 将 A 点坐标(12.5,50)代入方程可得 k=0.32, 由此抛物线方程为
2
y 0.32 x 2 , 水 作 用 于 单 位 宽 度 坝 体 的 合 力 铅 垂 分 量 方 向 向 下 , 大 小 为
与水平方向夹角为 arctan(4083333 / 12250000) 18.43 .
o
2-15 如图，圆柱闸门长 L=4m，直径 D=1m，上下游水深分别为 H1=1m，H2=0.5m，试求此 柱体上所受的静水总压力。
解：闸门所受的水平分力为上下游水对它的水平作用力的代数和，方向向右
Px 9800(1 / 2) 1 4 (0.5 / 2) 0.5 4 14700 N
p2 水银 h2 h3 pa p2 水 h2 h1 p A
从而 A 处绝对压强 真空度
p A 1.3 水 pa 0.6 水银 30772Pa pv pa p A 67228Pa
2-9 如图，敞开容器内注有三种互不相混的液体，γ1=0.8γ2，γ2=0.8γ3，求侧壁处三根测 压管内液面至容器底部的高度 h1、h2、h3。
解：由连通器原理，列等压面方程
(h3 2 2) 1 2 1 ，从而 h3 = 6m
(h2 2) 2 2 1 2 2 ，从而 h2 = 4+2γ1/γ2=5.60m
h1 3 2 1 2 2 2 3 , 从而 h1 = 2+（2γ1+2γ2）/γ3= 4.88m
2-10 在什么特殊情况下，水下平面的压力中心与平面形心重合？ 答：水下平面水平放置。 2-11 一直径为 1.25m 的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最低点到水面距离分别为 0.6m 和 1.5m，求作用于圆板一侧水压力大小和压力中心位置。
60 cm
θ
150 cm
m 5c 12
解 ： 园 板 形 心 （ 圆 心 ） 在 水 面 之 下 (1.5 0.6) / 2 1,05m ， 此 处 压 强 为
水银
-
(3.0－1.4＋2.5 –1.2)
水
＝ 2.2 133280 2.9 9800 264796 N / M
2
2－8 如图，h1=0.5m，h2=1.8m，h3=1.2m, 试根据水银压力计的读数，求水管 A 内的真空度 及绝对压强。 （设大气压强为 98000Pa）
解：由连通器原理
g (12.5 50
12.5
0
0.32 x 2 dx) 4083333N , 合 力 的 水 平 分 量 方 向 向 右 , 大 小 为
g (50 / 2)(50 1) 12250000 N , 合力大小为 40833332 12250000 2 12912634 N ,
解：由图知
r = H/sinα=3/sin45 =4.2426m
o
闸门所受的水平分力为 Px，方向向右,
p x g ( H Leabharlann Baidu 2) HB 9800(3 / 2) 3 1 44100 N
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向下,
Pz g ( H (r r cos ) (r 2 / 360 r sin r cos / 2) B 9800(3(4.2426 4.2426 cos 45 0 ) ( 4.2426 2 45 / 360 4.2426 sin 45 0 4.2426 cos 45 0 / 2)) 1 11362 N
yc 1.05 /((150 60) / 125)m ，由此可得到这一距离为 0.067m 。
2-12 蓄水池侧壁装有一直径为 D 的圆形闸门，闸门平面与水面夹角为 ，闸门形心 C 处水 深 hc ， 闸门可绕通过形心 C 的水平轴旋转， 证明作用于闸门水压力对轴的力矩与形心水深 hc 无关。
3
C P E h D h1 A a h2 B
解：设空气绝对压强为 p a ，A，B 两处绝对压强分别为 p A , p B ,这里 p A pa h1 ，
pb pa (h h2 ) ，从而 p B p A (h h2 h1 ) (0.45 1.8 0.6)9800 16170 N / m 2
z
2r 2
2g
C ,由于 r=0 时 z=0, 从而 C=0. 抛物线上一点坐标为(0.45/2, 0.6)，由此有
0.6
2 (0.45 / 2) 2
2 9.8
,
15.24rad / s .
2.19．一旋转圆柱容器直径 D=0.10m，容器中盛水，求边缘与中心高差为 0.05m 时圆柱容器 旋转角速度 。
第二章 流体静力学
2-1 作用于流体的外力有哪两种? 答: 作用于流体的外力有质量力与表面力. 2-2 流体块表面上的压强有哪两项特性? 答: 流体块表面上的压强有以下两项特性 1.法向应力的方向沿讨论流体块表面上某点的内法线方向， 即压强沿垂直方向从外部指向表 面。 2.静止流体中任一点处的压强大小与它所作用的表面方位无关。 2-3 什麽是绝对压强, 相对压强及真空度? 答: 以绝对真空状态为基准计算的压强值叫绝对压强。 相对压强用于绝对压强大于大气压的场合， 即一点处的相对压强指这点处的绝对压强高 于大气压的部分. 真空度用于绝对压强低于大气压的场合，即出现了真空的状态。一点处的真空度指这 点绝对压强小于大气压的那一部分. 2-4 容器 A 被部分抽成真空，容器下端接一玻璃管与水槽相通，玻管中水上升 h=2m，水的
A
θ
125cm
hD P
hC C D C
O
O
证明：圆心处压强为 ghc ,闸门所受压力大小为 ghcD / 4 ,压力中心 D 到圆心 C 点距离
2
为 J c / Ay c , 对园, J c R / 4 D / 64 , A D / 4 , hc / sin ,因而所求力矩为
闸门所受的垂直分力 Pz 方向向上, 大小为
3 D Pz gV 9800 L 23090 N 4 2
闸门所受水的总压力 压力与水平夹角为
2
P Px Pz 27373N
arctan Pz 57.52 Px
2
2
2-16 如图，一弧形闸门 AB，宽 b=4m，圆心角α=45º，半径 r=2m，闸门转轴恰与水面齐 平，求作用于闸门的静水总压力。
4 4
2
ghcD 2 / 4 D 4 / 64 /(D 2 / 4 hc / sin ) ,约去 hc 后得到一常数.
2-13 一受水面为半径 1.5m 的 1/4 圆柱形闸门宽 b=3m，求水作用于闸门的水压力大小和方 向。
1.5 m
解;题中为一虚压力体, 闸门作用于水压力的铅垂分量向下, 大小等于假设虚压力体充满水 的重量, Ry g (3R / 4) 9800 3(1.5) / 4 51954 N .闸门作用于水的作用力水平及
2 因而园板一侧水压力大小为 (1.25 / 2) 10290 12628N . 1.05 9800 10290 N / m 2 ，
压力中心在圆心之下，两点沿园板距离为 J c / Ay c ，对园板，
J c R 4 / 4 (1.25 / 2) 4 / 4 , A R 2 (1.25 / 2) 2 m 2 ，
9800 N / m3 ， 求 容 器 中 心 处 的 绝 对 压 强 p 和 真 空 度 Pv ， 当 时 当 地 大 气 压
Pa 9 8 0 0 0 N m /2 。
P A A
Pa
h
解：由 p h pa ，有
p pa h 98000 2 9800 78400 N / m 2
总压力
P Px Pz 45540 N
Pz 14.447 . Px
2
2
P 对水平方向的倾斜角 arctan
2-18 一旋转圆柱容器高 H=0.6m， 直径 D=0.45m， 容器中盛水， 求水面正好与容器中心触底， 顶部与容器同高时，容器的旋转角速度 。
z
ω
r R
h H
解: 将直角坐标原点设在容器底, z 轴与圆柱容器轴心线重合, 正向向上, 水面抛物线方程为
p
水
h1
水
银
h2 p a ， 有 p pa
水
h1
水
银
h2 98000 9800 0.15 133280 0.3 56546 N / m 2
2-6 图中压差计上部有空气，h1=0.6m，h=0.45m，h2=1.8m，求 A、B 两点压强差，工作介 质水的 9800 N / m 。
z
ω
r R
h H
解: 将直角坐标原点设在水面最低点, 即抛物线顶点, z 轴与圆柱容器轴心线重合, 正向向上. 水面抛物线方程为 z
2r 2
2g
C ,由于 r=0 时 z=0, 从而 C=0. 抛物线边缘上一点坐标为
(0.1/2, 0.05), 由此可得到方程 0.05
解：闸门所受的水平分力为 Px，方向向右 即
1 Px 9800 r sin b r sin 9800 0.5 2 sin 45 o 4 2 sin 45 o 39200 N 2
闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向上
45 r 2 1 45 2 2 1 Pz gV 9800 b r sin r sin 9800 4 ( 2 sin 45 o 2 360 2 360 2 cos 45 0 ) 22375 N
2-7 如图为一复式水银测压计，用以测量水箱中水的表面相对压强。根据图中读数（单位为 m）计算水面相对压强值。
P0
3.0
水
2.5
2.3
水
1.4 1.2
水银
解：设水面空气绝对压强为 p 0 ，大气压强为 p a ，则有 p0 (3.0 1.4) 水－
(2.5 1.4) 水银＋ (2.5 1.2) 水— (2.3 1.2) 水银＝ p a ，水面相对压强 p m p0 pa (3.0 1.4) 水＋ (2.5 1.4) 水银－ (2.5 1.2) 水＋ (2.3 1.2) 水银＝ （2.5－1.4＋2.3－1.2）