二次函数压轴题解题技巧

图1

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二次函数压轴题解题技巧

引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法，并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。

一、动态:动点、动线

１.如图,抛物线与x 轴交于A (x １，０)、B (ｘ2,0）两点,且x 1>x 2，与y 轴交于点C (0,4),

其中x 1、x 2是方程x ２

-2x －8=0的两个根.

（１）求这条抛物线的解析式; （2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作ＰE ∥AC ,交BC 于点Ｅ,连接ＣP ，当△CPE 的面积最大时，求点Ｐ的坐标;

(3)探究:若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ,使△QB Ｃ成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Ｑ

二、圆

2．如图1,在平面直角坐标系x Ｏｙ，二次函数ｙ=a ｘ2

+bx +c (a >０)的图象顶点为D ，与ｙ轴交于点C ，与x 轴交于点Ａ、Ｂ,点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3,0),OB ＝OC ， tan ∠ＡCO =错误!．

（1)求这个二次函数的解析式；

(2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、Ｎ，且以ＭN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度;

（3)如图2,若点Ｇ(2，y ）是该抛物线上一点,点P 是直线A Ｇ下方的抛物线上的一动点,当点Ｐ运动到什么位置时，△ＡG Ｐ的面积最大?求此时点P 的坐标和△A ＧＰ的最大面积.

三、比例比值取值范围

3．如图是二次函数k m x y ++=2

)(的图象,其顶点坐标为M(1,-4). (１）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标; (2）在二次函数的图象上是否存在点Ｐ,使MAB PAB S S ∆∆=

4

5

,若存在,求出Ｐ点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.

四、探究型

4. 如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、Ｂ两点的抛物线交x 轴于另一点C(3,０).⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△A ＢQ 是等腰三角形？ 若存在,求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

y

x

O C

B

A

五、最值类

5．如图,在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2

的图象与x 轴交于A 、Ｂ两点, Ａ点在原点的左侧，B 点的坐标为(3，0),与y 轴交于Ｃ（0,-3）点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式．

（２）连结PO 、P Ｃ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形ＰOP /

Ｃ, 那么是否存在点P ,使四边形PO Ｐ/

Ｃ为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标;若不存在请说明理由. (3)当点Ｐ运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形AB ＰＣ的最大面积．

课后作业

1．在平面直角坐标系中，已知Ａ(－4，0),B (１，0),且以AB 为直径的圆交ｙ轴的正半轴于点C ,过点Ｃ作圆的切线交x 轴于点D ．

(1)求点C 的坐标和过A ,Ｂ,Ｃ三点的抛物线的解析式； (２)求点Ｄ的坐标； （3)设平行于x 轴的直线交抛物线于E ,F 两点，问:是否存在以线段EF 为直径的圆,恰好与x 轴相切？若存在,求出该圆的半径,若不存在,

请说明理由.

y

x O

C D B A 1 －4

2．已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OA ＢC 的边O Ａ在y 轴的正半轴上，ＯＣ在x 轴的正半轴上，OA =2,OC ＝3．过原点Ｏ作∠AO Ｃ的平分线交AB 于点D ,连接DC ，过点D 作D Ｅ⊥DC ,交ＯA 于点E ．

(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式; （2)将∠E ＤC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线

段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为5

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，那么ＥF =２Ｇ

O 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)对于（２）中的点Ｇ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线ＧＱ与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由．

3.如图，抛物线y =ax 2

+ｂx +c (ａ≠0）与x 轴交于A (-3，０)、Ｂ两点,与y 轴相交于点C （0，3)．当x ＝－4和ｘ=2时，二次函数y =a ｘ 2

+ｂｘ＋c (ａ≠0)的函数值ｙ相等,连结AC 、ＢＣ. (1)求实数a ，b ，c 的值;

（2)若点Ｍ、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动,其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△ＢＭN 沿ＭＮ翻折，B 点恰好落在A Ｃ边上的P 处,求t 的值及点Ｐ的坐标;