6.4基与维数(二)

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基与维数的求法

线性空间基和维数的求法〔邓云斯、李秀珍、高华艳〕方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示. 那么称V 为n 维〔有限维〕线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基. 解易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2. 方法二(维数确定基法):在线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 例3 设0110A -⎛⎫=⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，那么有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='VVdim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向量，12,,,n βββ可由12,,,n ααα线性表出：11112121n n a a a βααα=+++21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=+++令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭如果12,,,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββ也是V 的一组基.例4 231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基. 证明因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，那么此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基. 证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++= 那么121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六〔求两个子空间交集的基确定维数法〕：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V 的一个基，从而确定了维数.例 6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V 的一个基与维数.解假设12r V V ∈，那么存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)假设1212,,,ααββ线性无关，〔2〕仅当2120x x y y ====时成立那么12V V 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和假设存在不全为零的数1212,,,x x y y 使〔2〕成立，那么12V V 有可能是非零子空间假设为非零子空间，由〔1〕便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .11211001211101041103001301170000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V 的一个基 ()12dim 1V V =同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，那么这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数. 设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解任取12V V α∈，那么11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+〔注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非此题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出〕 11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V 是一维的，基是(5,2,3,4)-易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八〔利用维数公式求子空间的基和维数法〕：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++例8 ()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数. 替换定理：设向量组12,,,r ααα线性无关，并且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββ中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα替换12,,,r βββ后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+与向量组12,,,s βββ等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ等价.例9 向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r 生成的空间的交空间的基和维数.解 201304110701031003100310120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r 与123,,ααα等价于是()12,,,m L r r r 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r 的交空间的基为12,,αα维数为2。

6.4基和维数

例6、考虑M 2,3 ( F )中的向量 1 E11 0 0 E21 1 0 0 0 ，E12 0 0 0 0 0 0 ，E22 0 0 0 1 0 0 ，E13 0 0 0 0 0 0 ，E23 0 1 0 0 1 ， 0 0 0 0 0 1
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我们有： (1) E11，E12，E13，E21，E22，E23线性无关；
a11 a12 a13 (2) M 2,3 ( F )中任意向量A a a22 a23 21 都可以由E11，E12，E13，E21，E22，E23线性表示。
那么w也是有限维的并且dimw维数公式数学与计算机科学学院高等代数课件24644的子空间也是定义的两个子空间是向量空间1子空间的和数学与计算机科学学院高等代数课件25中向量与一个中向量都可以表示成一个中任一向量问题数学与计算机科学学院高等代数课件26记为为这两个子空间的直和都能唯一地表示成中的每个向量如果的两个子空间是向量空间数学与计算机科学学院高等代数课件27和的方式是唯一的中向量的中每一向量表示成因为数学与计算机科学学院高等代数课件28不能写成不是直和的和的方式不是唯一的中向量中每一向量表示成因为数学与计算机科学学院高等代数课件292直和的等价条件dimdim则下列条件等价的两个子空间是向量空间证明
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但是，F[x]作为F上一个向量空间，不是有限生成的，它自然也不能由有限个线性无关的向量生成。我们说，F[x]是无限维的。我们只研究有限维向量空间。 2、n维向量空间中任意多于n个向量的向量组一定线性相关。
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基与维数的几种求法

基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。

(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。

那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。

如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。

基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。

解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。

基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。

⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。

⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。

证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。

方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。

例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。

高等代数课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。

其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。

它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。

二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。

三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。

各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。

2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。

3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。

4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。

5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。

二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。

2．正确理解多项式的整除概念和性质。

理解和掌握带余除法。

3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。

基与维数的求法学习资料

基与维数的求法线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足:(1)n ααα,2,1Λ线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21,Λ线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1Λ为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的.例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基.解易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2.方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=L由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====L ，故()()11,1,,1n x x ---L 线性无关又[]n R x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---L 为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.例3 设0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='V V Q ;dim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n αααL 与12,,,n βββL 是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββL 可由12,,,n αααL 线性表出：11112121n n a a a βααα=+++L 21212222n n a a a βααα=+++L 1122n n n nn n a a a βααα=+++L令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L如果12,,,n αααL 为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββL 也是V 的一组基.例4 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基. 证明因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅ 23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基. 证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++= 则121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V I 的一个基，从而确定了维数.例6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V I 的一个基与维数.解若12r V V ∈I ，则存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立那么12V V I 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V I 有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .11211001211101041103001301170000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V I 的一个基 ()12dim 1V V =I同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数.设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解任取12V V α∈I ，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V I 中将α线性表出）11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V I 是一维的，基是(5,2,3,4)- 易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++I例8 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：3012000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪----⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V I 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V I 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数.替换定理：设向量组12,,,r αααL 线性无关，并且12,,,r αααL 可由向量组12,,,s βββL 线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββL中的向量重新编号，使得用12,,,r αααL 替换12,,,r βββL 后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+L L 与向量组12,,,s βββL 等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s αααL 与向量组12,,,s βββL 等价.例9 已知向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r L 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r L 生成的空间的交空间的基和维数.解 201304110701031003100310120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r L 与123,,ααα等价于是()12,,,m L r r r L 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα 因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂L故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r L 的交空间的基为12,,αα维数为2。

基和维数的关系

基和维数的关系
基和维数是线性代数中的两个重要概念，它们之间有着密切的关系。

在矩阵论中，基的数量决定了矩阵的列空间的维数，也就是列向量的线性独立的数量。

因此，如果一个矩阵的列向量数量为 n，但其列向量中有重复的向量，那么矩阵的列空间的维数就会小于 n。

这时，我们需要找到一组线性无关的向量作为基，从而得到列空间的基和维数。

另一方面，矩阵的行空间的维数也和其基的数量有关系。

矩阵的行空间是由其行向量张成的向量空间，而行向量的数量和它们的线性独立的数量相同。

因此，矩阵的行空间的维数取决于它的行向量的线性独立的数量，也就是它的基的数量。

除了列空间和行空间，矩阵还有一个重要的概念——零空间。

零空间是由矩阵的所有零空间向量张成的向量空间。

零空间向量是指矩阵乘以该向量得到的结果为零向量的向量。

矩阵的零空间的维数也和其基的数量有关系。

根据线性代数的基本定理，矩阵的列空间和零空间的维数之和等于矩阵的列数。

因此，如果知道了矩阵的列空间的维数，就可以求得它的零空间的维数。

总之，基和维数在线性代数中起着至关重要的作用。

它们的关系非常紧密，互相影响。

通过矩阵的基和维数，我们可以更好地理解矩阵的性质和特征。

线性代数中的基与维数

线性代数中的基与维数线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射的性质。

而在线性代数中，基与维数是两个重要的概念，它们扮演着关键的角色。

本文将详细讨论线性代数中的基与维数，并探讨它们的应用。

一、基与线性无关性在线性代数中，我们将向量空间中的一组向量称为基（basis），它们具有以下两个性质：1. 生成性：基中的向量可以通过线性组合生成向量空间中的任意向量。

2. 线性无关性：基中的向量不能通过线性组合得到零向量。

具体来说，设V是一个向量空间，若存在向量组B={v₁, v₂, ..., vₙ}满足以下两个条件，则称该向量组为V的基：1. 所有的向量v∈V都可以由B中的向量线性表出。

2. 如果B中的向量进行线性组合时等于零向量，那么必须其中的所有系数都等于零。

基的一个重要性质是线性无关性。

线性无关的向量组意味着每个向量都是独立的，不能由其他向量线性表示出来。

当一组向量线性无关时，它们的个数称为向量空间的维数。

二、维数的概念及性质在线性代数中，维数（dimension）是向量空间中独立向量的最大个数，记作dim(V)。

维数是衡量向量空间复杂程度的一个指标，它具有以下性质：1. 如果向量空间V中存在有限个向量使得它们线性无关，那么V的维数是有限的。

2. 如果在V中存在无穷多个向量，且它们线性无关，那么V的维数是无穷大。

3. 如果V的维数为n，那么V的任意一个基都包含n个向量。

4. 如果V的维数为n，那么V中的任意n+1个向量必然线性相关。

维数的计算方法也有一些常见的技巧。

对于有限维向量空间V而言，可以通过求解线性方程组的方法来求解维数。

另外，对于一些特殊的向量空间，也可以直接通过观察其内部的向量性质来确定维数。

三、基与维数的应用基与维数在线性代数中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 基变换与坐标系：在向量空间中，不同的基可以产生不同的坐标系，基变换就是在不同的基之间进行坐标的转换。

基与维数的基本概念与应用

基与维数的基本概念与应用线性代数是现代数学中非常重要的一部分，而作为线性代数的基本概念之一，基与维数在很多领域中都有着重要的应用和作用。

在本文中，我们将着眼于基与维数的基本概念和应用，希望能够给读者带来全面且深入的了解。

基的概念基是线性空间的一个基本概念。

在线性代数中，所谓线性空间就是一个向量空间的特殊情形，向量空间由向量组成，这些向量可以用数字来表示。

而基就是指这些向量的数量最少的子集，这个子集中的向量可以表示出这个向量空间中的其他所有向量。

具体来说，基的定义是：如果一个向量空间V中的向量集S有以下两个性质：1. 向量集S中的向量是线性无关的；2. 向量集S中的任意向量都可以用向量集S中的有限个向量线性组合表示（即，对于任意一个向量v∈V，都存在一组系数a1,a2,……,an使得v=a1s1+a2s2+……+ansn，其中si∈S，ai∈K，K是所在域）那么，S就是V的一个基。

基的一些性质包括:1. 基是线性无关的。

2. 基中的任意向量都不可由其他向量线性组合得到。

3. 维数相同的向量空间会有同样数量的基。

4. 所有向量空间都有基，包括零向量空间。

维数的概念维数是向量空间的另一个重要概念。

在数学中，向量空间的维数是指基中向量的数量的大小。

具体来说，如果一个向量空间V有一个n个线性无关向量的基，那么V就称为一个n维向量空间。

维数可以理解为空间中向量的独立自由度，向量空间的维数可以用来区分不同的向量空间，也用来确定矩阵的秩等重要性质。

基的应用基作为线性代数中的基本概念，应用十分广泛。

以下列举了一些基的应用：1. 矩阵乘法：矩阵乘法的前提是两个矩阵的行列数满足要求。

具体来说，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。

而每一个矩阵可以看做是向量空间中向量的组合，因而矩阵的乘法实际上就是向量之间的线性组合，而基恰好是向量的组合表示。

2. 解方程组：在线性代数中，矩阵可以看做是线性方程组的系数，而矩阵的秩和向量空间的维数有密切关系。

基和维数

例5
Ｆ［x］作为Ｆ上向量空间，不是有限生成的，因
而是无限维的.
定理６.４.２
设{1 , 2 ,, n }是向量空间Ｖ的一个基．那么Ｖ的每一个向量可以唯一地被表成基向量 a1 , a2 ,, an 的线性组合．
定理６.４.3
n维向量空间中任意多于n个向量一定线性相关．
定理６.４.４
a b aa1 bb1 1 aa2 bb2 2 aan bbn n
仍是 1 , 2 ,, n 的一个线性组合,因此, 它的一切线性组合作成V的一个子空间.
例1
看F n 如下的n个向量: i 0,,0,1,0,,0, i 1,2,, n,
6.4 基和维数
一、内容分布
6.4.1 子空间的生成元 6.4.2向量空间的基与维数 6.4.3 维数定理 6.4.4余子空间与子空间的直和
二、教学目的
1．掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用．
三、重点、难点基和维数的概念及求法、维数定理．
6.4.1 子空间的生成元
设V是数域F上的一个向量空间. 考虑 1 , 2 ,, n 的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，因为零向量属于这个集合.其次,设
a1 2 an n , 这子空间叫做由 11 ,a22 ,, n 所生成的子空间,并且用符号 L(1 , ,1,b2n ) 2 bn n 2 ,, n 叫 b1 2 表示,向量 1 , 做这个子空间的一组生成元. 那么对于任意 a, b F
例2
在F [X] 里,由多项式 1, x,, x 所生成的子空间是
n
L 1, x,, x n a0 a1 x a n x n | ai F .

基与维数

一般地，向量空间 Pn {(a1,a2,L ,an ) ai P,i 1,2,L ,n} 为n维的，
1 (1,0,L ,0),2 (0,1,L ,0),L ,n (0,L ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
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注意： ① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个
向量组 1,2,L ,r 线性相关
1,2 ,L ,r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
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（2）若向量组 1,2,L ,r 线性无关，且可被
向量组 1, 2,L , s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L ,r 与 1, 2,L , s 为两线性无关的
解：设 x11 x22 x33 x44 ，则有线性方程组
x1 x2 x3 x4 1

x1 x1 x1

x2 x2 x2

x3 x3 x3

x4 x4 x4

2 1 1
解之得，x1

5 4
,
x2

1 4
,
x3

又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) L f (n1) (a) (x a)n1
(n 1)! 即, f (x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基，从而，P[x]n 是n维的. 注：此时， f (x) a0 a1x L an1xn1 在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。

⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。

那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的维数为n -r 。

[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。

方法二在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。

n证明考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。

元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。

高等代数-6.4基变换与坐标变换

任取V的一组基 1,2 , ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2, , n
i 1
于是有， (1, 2 , , n ) (1,2 ,
, n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
由A可逆，有 (1,2, ,n ) (1, 2, , n )A1
即，1,2 , ,n也可由 1, 2 , , n 线性表出.
2
,3
,
4
)
(
1
,
2
,
3
,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
从而有
1 1 1 11 2 0 2 1
(1
,
2
,
3
,4
)
(1
,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
(1
,2
,3
,4
)
E21
,
E22
)
0 0 0
1 0 0
1 1
1 0
11
又 A 3E11 5E12, 4E21 2E22
设A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为( x1, x2 , x3 , x4 ),
§6.4 基变换与坐标变换
x1 1 1 1 11 3
则
x2 x3 x4
0 0 0
1 a111 a212
2
a121
a22 2
n a1n1 a2n2
an1n an2n annn

1.基与维数

1．基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；(iii).结论2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是 {1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1) 1, 线性无关：设，. 则 (否则，,矛盾)，因此.2) 1, , 线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ),两端平方得,由于1, 线性无关，故假如，则，且，即 . 矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关.3) 1, , ,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有. ( 2 )假如不全为零，则得到"1, , 线性相关"的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1, 线性无关得. 这样，我们证得了1, , ,线性无关.故{1, , ,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使 ( 3 )取n+1个实数，使ab.由(3)知即其中而. 用左乘(4)两端，得这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,...,s. 试证明证对s作数学归纳.当 s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在1) 当时，，故；2) 当时，由于，因此显然 ,,...,.且存在，使（否则，如果,,...,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V的一个基.证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有.这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令令让,,...,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,...,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.证：对s作数学归纳.当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,...,r,设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间 , 由归纳假设知存在V的一个基，使1）如果，那么即满足要求;2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.例5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明证令(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t,对, (j) ∈ W.(j)容易验证 }是线性无关的（共个向量）故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故引理设是向量空间V的子空间，则(i)(ii)例 6 设是F上向量空间V的子空间.(i) 证明：(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立.证 (i)===(ii) 在中，令++=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而==={0}, =={0},此时=2<3=-+dim()例7 设A,B.令={∣AB=},= {B∣}求证是的子空间,且dim=秩B-秩(AB)证显然,故B=,即 , ,B,B是的任意向量, ,F,AB()= =0B()因而是的子空间 .当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB=与B=同解.因此={0},故dim=0=秩B－秩(AB)以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. {0},{0}.秩B=n此时{0},设{，，...}为的一个基,其中 t=n- 秩(AB) .则有=(B，B，...B)设B+B+...+B=0, F,i=1,2,...t则B(++...+)=0,而BY=0只有零解,故++...+=0, 又，，...线性无关.所以=0，i=1,2,...n这说明{B，B，...B}是的一个基dim=t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB)秩B<n令={B=}，是B=的解空间，dim=n- 秩B>0显然由于我们事先假设了秩B秩(AB),所以.设{，，...}是的一个基. P=n-秩B>0扩充成的一个基，，，...,，..., t=n-秩(AB)而=(B，B，...B,B，...,B)= (B，...,B)设=0， F, j=p+1,...,t.则B()=0即故存在,F，使=+=0而，，...,，...,线性无关，所以=0，k=1,2,,...,t这说明B,B，...,B线性无关,是的一个基.因此 dim=t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB)例8 设,是向量空间v的子空间,且dim(+)=dim()+1证明,下述两条必有一条成立:(ⅰ) +=,=;(ⅱ) +=,=;2.直和的刻画：结论：设是F上的向量空间V的有限维非零子空间，则下述诸条件彼此等价：（ⅰ）∩（）={0}，i=1,2，...s;（ⅱ）∩（）={0}，i=1,2,...,s-1;(ⅲ) 对任意§∈，§表为§=§+§+...+§,§∈，i=1,2,...,s,的表示法唯一；（ⅳ）一旦§+§+...+§=0，§∈，i=1,2,...,s,就有§=0，i=1,2,...,s；（ⅴ）令{，， ,...， }为的基，i=1,2,...,s,则{，,...，,,,...,,...,,,...,}是的基；（ⅵ）dim()=dim证明：（ⅰ）（ⅱ）：{0}∩（）∩（）={0}（ⅱ）(ⅲ)§∈，令§=§+§+...+§，§=§+§+...+§，§，§，i=1,2,...,s (§-§)+(§-§)+(§-§)=0 (1)假如§-§，§-§，§-§不全为零向量，设第一§个非零向量是§-§；如 j=s,这与(1)式矛盾.如 j<s,则§-§=（§-§）+...+(§-§)则∩（）,且≠0,矛盾.因此, §-§，§-§，§-§全是零向量,即有§=§, i=1,2,...,s； (ⅲ) （ⅳ）:显然（ⅳ）（ⅴ）：设=0，则++...+=0,（其中，，）由（ⅳ）可知=0，i=1,2,,...s.又由于，， ...线性无关,故=0, j=1,2,...;i=1,2,...s.因此，{，， ...}线性无关，且是的生成元，故{，， ...}是的一个基。