2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程

注意：终值定理只适用于 lim f (t )存在， (s)在复 sF t →∞ 平面右半部（包括虚轴上)没有极点的情况。如 ω f (t ) = sin ω t，因为 lim sin ω t不存在，且 sF ( s ) = s 2 t →∞ s +ω2 在 s = ± jω 处有极点，不满足应用 条件。
r (t ) =
{
0 A
t <0 t ≥0
对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加 上一个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即
1(t ) =
{
0 1
t <0 t ≥0
A 0
阶跃函数的拉氏变换为
R ( s ) = L[ r (t )] =
t
∫ A⋅e
0
∞
− st
A − st ∞ A |0 = dt = − e s s
单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。
㈡斜坡函数 斜坡函数也称等速度函数。其定义为
r (t ) =
{
0 At
t <0 t ≥0
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输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作 等速变化的信号，其图形如下图所示。 若A=1,则称之为单位斜坡函数。 A 斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。 t 0 斜坡函数的拉氏变换为 1
㈡微分定理
设 F ( s ) = L [ f ( t )], 则有 df ( t ) ] = sF ( s ) − f ( 0 ) dt d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s ) − sf ( 0 ) − f ' ( 0 ) dt 2 L[ f (t ) ] = s n F ( s ) − s n −1 f ( 0 ) − s n − 2 f ' ( 0 ) − − f ( n −1) ( 0 ) dt n , f ( n − 1 ) ( 0 ) 为函数 f ( t ) 及其各阶导数在 式中 f （ 0） f ' ( 0 ), L[ d t = 0 时的值。 当 f (0 ) = f ' (0 ) = df ( t ) ] = sF ( s ) L[ dt d
输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时 间做等加速变化的信号，其图形如图2-8所示。 若A=1/2,称之为单位抛物线函数。 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。 抛物线函数的拉氏变换为
R ( s ) = L [ r ( t )] = A t = − s
2
∫
+
∞
At
0
2
e
− st
A
dt dt = 2 A s
§2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程 建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解 就可以得到表示系统动态性能的时间响应。微分方 程的求解可以用经典方法或借助于计算机进行，也 可以采用拉普拉斯变换法。 一、拉普拉斯变换定义 设有函数f(t),t为实变量，s=σ+jω为复变量。 如果线性积分 ∞ f (t ) e − st dt ∫
n n
= f
( n −1)
( 0 ) = 0 时，有
L[
f (t )
n
] = s n F (s)
（三）积分定理
设 F ( s ) = L [ f ( t )] ，则有 1 1 ( −1) L [ ∫ f ( t ) dt ] = F (s) + f (0 ) s s 1 1 1 L [ ∫∫ f ( t ) dt 2 = 2 F ( s ) + 2 f ( − 1 ) ( 0 ) + f s s s L [ ∫∫
{
∫
0 ASin ω t
t<0 t≥0
用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频 率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为
R ( s ) = L[ r (t )] =
∞
ASin ω te
− st
dt =
0
∫
∞
0
A ( e jω t − e − jω t ) e − st dt 2j
A e − ( s − jω ) t ∞ e − ( s + jω ) t ∞ = [− |0 + |0 ] s − jω s + jω 2j A Aω 1 1 = − [ ]= 2 2 j s − jω s + jω s +ω 2
i =1 n
Ai ]= s − pi
∑
i =1
n
Ai e pi t
s+ 2 例 2－ 4 求 F ( s ) = 2 的拉氏反变换 s + 4s + 3 A1 A2 s+ 2 = + 解： F ( s ) = ( s + 1 )( s + 3 ) s +1 s + 3 ⎡ ⎤ s+ 2 1 = A1 = ⎢ ( s + 1) ⎥ 2 ⎣ ( s + 1)( s + 3 ) ⎦ s = −1 ⎡ ⎤ s+ 2 1 A2 = ⎢ = ( s + 3)⎥ 2 ⎣ ( s + 1 )( s + 3 ) ⎦ s = −3 1 1 2 , 2 + F (s) = s +1 s + 3 1 −t 1 −3t −1 f ( t ) = L [ f ( t )] = e + e 2 2
ε ε 当A=1时，即面积为1的脉冲函数称 为单位脉冲函数，记为δ（t）
−∞ 0 ε →0
∫
∞
r ( t ) dt =
∫
ε
lim
A
dt = lim
A
ε →0
t |ε = A 0
A – ε
δ (t ) =
{
0
t
0 ∞
t≠0 t=0
ε
δ（t）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为
n
(−2 )
(0 )
1 1 1 (− n) F ( s ) + n f ( −1) ( 0 ) + + f (0 ) n ∫ s s s 式中， f ( − 1 ) ( 0 ), f ( − 2 ) ( 0 ), f ( − n ) ( 0 ) 为 f ( t )的各重积分在 t = 0 时的值。 f ( t ) dt ] = (0 ) = f (−2 ) (0 ) = 1 L [ ∫ f ( t ) dt ] = F (s) s 1 L [ ∫∫ f ( t ) dt 2 ] = 2 F ( s ) s 如果 f L ∫∫
3
e
− st
|∞ 0
∫
∞ 0
2 At e s
− st
0
t 1
单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/s3
㈣脉冲函数
脉冲函数的定义为
⎧A ⎪ r (t ) = ⎨ ε ⎪0 ⎩ 0 < t <ε t < 0和 t > ε
脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无 穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度ε极 短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。 脉冲函数的积分，即脉冲的面积为
四.拉普拉斯反变换 根据象函数F(s)求原函数f(t)称拉氏反变换，用 算子L-1表示，数学关系为 σ + j∞ 1 −1 st f (t ) = L [ F ( s )] = F ( s )e dt 2πj
∫ σ
− j∞
这是复变函数的积分， 一般难以直接计算。 通常用查拉氏表的方法 求拉氏反变换。若原函 数 F ( s )在表中不能直接查到， 则需将 F ( s )展开成部 分分式，再对每项象函 数求拉氏反变换，将各 项 反变换的原函数相加， 就得到 F ( s )的原函数。
以上着重介绍了几种常用函数的拉氏变换。
三、拉氏变换的基本定理 ㈠线性定理 设F1(s)= L[f1(t)],F2(s)= L[f2(t)],a和b为 常数，则有 L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)] =aF1(s)+bF2(s) (2-30) 该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换 等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原 函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之 代数和。 该定理利用拉氏变换的基本定义就可证明。
F(s)只含有不相同的极点
n An Ai A1 A2 M(s) F(s) = = + + + =∑ N(s) s − p1 s − p2 s − pn i=1 s − pi
Ai 是常数，它是 s = p i的留数，可按下面方法 求得 M (s) Ai = (s − pi ) N (s) s = pi 确定了待定系数 Ai , 就可求得 F ( s )的拉氏反变换。 f (t ) = L−1 [ F ( s )] = L−1 [ ∑
位移定理亦称延迟定理。f (t )与函数f (t − τ 0 )如图所示：
f(t) f(t) f(t-τ0)
0
τ
0
t
（五）终值定理 若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且F(s)在复平面 右半部及除原点外的虚轴上解析，则有终值定理
lim f (t ) = lim sF ( s )
t →∞ s →0
R(s) = L[r (t )] =
∫
∞
Ate
− st
0
At −st ∞ dt = − e | 0 + s
∫
∞
0
A A −st e dt = 2 s s
单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2
㈢抛物线函数 抛物线函数也称加速度函数，其定义为
⎧ 0 r (t ) = ⎨ ⎩ At
2
t < 0 t ≥ 0
−1
= f
(− n)
( 0 )，则有
∫
f ( t ) dt
n
=
1 F (s) n s
（四）位移定理
设F ( s ) = L[ f (t )]，则有 L[ f (t − τ 0 )] = e −τ 0 s F ( s ) L[e at f (t )] = F ( s − a) （时域中的位移定理） （复域中的位移定理）
R ( s ) = L[ r (t )] = =A
δ(t) 1
∫
∞
A δ (t ) e − st dt
t
0
0
∫
0+
0
δ (t ) e −
− st
dt + A
∫
∞
0
δ (t )e − st dt = A +
单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
㈤正弦函数 正弦函数也称谐波函数，表达式为
r (t ) =
s 3 + 5s 2 + 9 s + 7 例2－5 求F ( s ) = 的拉氏反变换。 ( s + 1)( s + 2) 解： F ( s )分子多项式的阶次 m高于分母的阶次 n，用分母除分子 , 得一常数项或一个 s的多项式与一个余式之 和，使余式的 n > m。 s+3 s 2 + 3s + 2 s 3 + 5 s 2 + 9 s + 7 F ( s ) = ( s + 2) + ( s + 1)( s + 2) A1 A2 s+3 令F1 ( s ) = = + ( s + 1)( s + 2) s + 1 s + 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ s+3 s+3 ( s + 2) ⎥ = −1 ( s + 1) ⎥ = 2, A2 = ⎢ A1 = ⎢ ⎣ ( s + 1)( s + 2) ⎦ s = −2 ⎣ ( s + 1)( s + 2) ⎦ s = −1 2 1 − F ( s ) = ( s + 2) + s +1 s + 2 d f (t ) = δ (t ) + 2δ (t ) + 2e −t − e − 2t dt s+2
F ( s )通常是复变量s的有理分式函数，一般形式为 M ( s ) bm s + bm −1 s + + b1 s + b0 = F (s) = N ( s ) a n s n + a n −1 s n −1 + + a1 s + a 0
m m −1
式中，a 0 , a1 ,
a n 及b0 , b1 ,
bm 均为实数，m、n为正数,
且n > m.。可将F ( s )写成因式分解的形式 M ( s ) k ( s − z1 )( s − z 2 ) ( s − z m ) = F (s) = N ( s ) ( s − p1 )( s − p 2 ) ( s − p n ) p1 , p 2 , p n 及z1 , z 2 , z m 是F ( s )的极点和零点。 对于F ( s )含有极点的不同情况，展开成部分分式的 形式也不同，下面分三种情况讨论：
0
存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后 的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即
L[ f ( t )] = F ( s ) =
∫
∞
f ( t )e − st dt
0
常称F(s)为f(t) 的变换函数或象函数，而f(t)为 F(s) 的原函数。 在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和 0+之分 。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的 函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在 t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是 不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表 现，我们约定式中的积分下限为0-。 二、几种典型函数的拉氏变换 ㈠阶跃函数 阶跃函数的定义是