最优投资组合的计算
最优投资组合--马科维茨投资组合理论
最优投资组合--马科维茨投资组合理论<代码已经过期，其中爬⾍链接已经失效>⼀：马科维茨投资组合理论投资组合（Portfolio）是由投资⼈或⾦融机构所持有的股票、、产品等组成的集合。
投资组合的⽬的在于分散风险，按粗略的分类有三种不同的模式可供运⽤，即积极的、中庸的和保守的。
投资组合理论[1]：若⼲种组成的，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低。
⼈们进⾏投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进⾏选择。
投资组合理论⽤均值-⽅差来刻画这两个关键因素。
其中均值是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资⽐例。
⽅差是指投资组合的收益率的⽅差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。
所谓理性投资者:是指在给定期望风险⽔平下对期望收益进⾏最⼤化，或者在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化。
⼆：求解最优投资组合过程本⽂最优投资组合思想是：在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化的投资。
利⽤的是马克维茨的均值-⽅差模型：本⽂实现最优投资组合的主要步骤：1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益2：得到标准差最⼩时的期望收益3：根据1，2所得的期望收益，获取预估期望收益范围，在预估期望收益范围内取不同值，获取其最⼩⽅差，得到预估期望收益与最⼩⽅差的关系即获得最⼩⽅差边界。
4：最⼩⽅差边界位于最⼩⽅差资产组合上⽅为有效边界5；获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML6：得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重三：实证数据⽤例：1：获取10股股票历史收盘价记录（2014.07.01—2017.07.01）（附件：stocks.xlsx）stocks=['601166', #兴业银⾏'600004', #⽩云机场'300099', #精准信息'601328', #交通银⾏'601318', #中国平安'601398', #中设股份'000333', #美的集团'600036', #招商银⾏'600016', #民⽣银⾏'601818'] #光⼤银⾏1.1：股票历史收盘价趋势折线图如下：2：计算预期收益率：连续复利收益率即对数收益率（附件：stock_revs.xlsx）revs=np.log(data/data.shift(1))3：⽤蒙特卡洛模拟产⽣⼤量随机组合，得到随机权重投资组合散点图如下：4：最优投资组合步骤：4.1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益def max_sharpe(weights):return -getPortfolioInformation(weights)[2]opts=sco.minimize(max_sharpe,numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)getPortfolioInformation(opts['x']).round(4) #opts['x'] ：得到夏普⽐率最⼤时的权重，收益率，标准差，夏普⽐率#此时权重：[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+00 5.41874393e-01 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+000.00000000e+00 5.15579333e-16]# [收益率= 0.478 标准差=0.251 夏普⽐率=1.904]4.2： minimize:优化，最⼩化风险：⽅差最⼩化def min_variance(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1] ** 2optv=sco.minimize(min_variance, numb * [1. / numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)#此时权重：[ 1.18917047e-01 1.00755105e-01 1.04406546e-01 4.08438380e-02 4.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]# [收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普⽐率=1.405]4.3：获取有效边界4.3.1：获取最⼩⽅差边界曲线图，最⼩⽅差资产组合，随机组合散点图：指定收益率范围 [0.1545, 0.5736 ],求最⼩⽅差：def min_sd(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1]tvols = []infor_min_sd=[]#获取在指定期望收益下的最⼩标准差：for tret in trets:cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0] - tret},{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x)-1})res = sco.minimize(min_sd, numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)infor_min_sd.append(res) # tret 唯⼀的tvols.append(res['fun']) #获取函数返回值，即最⼩标准差tvols = np.array(tvols)ind_min_sd = np.argmin(tvols) #最⼩⽅差组合处进⾏划分，分两段evols = tvols[:ind_min_sd]erets = trets[:ind_min_sd]tck = sci.splrep(erets,evols ) #B-Spline样条曲线函数 #前⼀个必须是唯⼀y2 = np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)x2 = sci.splev(y2, tck)evols = tvols[ind_min_sd:]erets = trets[ind_min_sd:]tck = sci.splrep(evols, erets)x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)y3 = sci.splev(x3, tck)plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最⼩⽅差资产组合") #最⼩⽅差资产组合plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()结果显⽰如下4.3.2：获取有效边界曲线图：plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()5：获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML5.1： B-Spline样条曲线的参数tck = sci.splrep(evols, erets)5.2： B-Spline样条曲线函数def f(x):return sci.splev(x, tck, der=0)5.3： B-Spline样条曲线函数⼀阶导数def df(x):return sci.splev(x, tck, der=1)5.4：构造⾮线性函数，使函数fun(x)⽆限逼近0向量, risk_free_return：⽆风险收益，默认为0.00def fun(x, risk_free_return=0.00):e1 = risk_free_return - x[0]e2 = risk_free_return + x[1] * x[2] - f(x[2])e3 = x[1] - df(x[2])return e1, e2, e35.5 利⽤最⼩⼆乘法⽆限逼近0，⽆风险收益率：0，斜率：0.5，初始⾃变量：zoneX = sco.fsolve(fun, [0.00, 0.50, zone])plt.figure(figsize=(12, 6))#圆点为随机资产组合plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最⼤夏普利率时标准差值x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)#带⼊公式a+b*x求得y,作图plt.plot(x, X[0] + X[1] * x, lw=1.5)#标出资本市场线与有效边界的切点，绿星处plt.plot(X[2], f(X[2]), 'r*', markersize=5.0)plt.grid(True)plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.xlabel('expected volatility')plt.ylabel('expected return')plt.colorbar(label='Sharpe ratio')plt.show()#最⼤夏普⽐率点： (0.251241778282 ,0.478266895458) #切点： (0.251147161667, 0.4781282509275755)结果图如下：6: 得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重:根据收益率差绝对值最⼩选取权重进⾏投资：rev_result=f(X[2])flag=0temp=abs(trets[0]-rev_result)length=len(trets)for i in range(1,length):if abs(trets[i]-rev_result)<temp:temp=trets[i]-rev_resultflag=iweight_result=infor_min_sd[flag]['x']all=0 #最终为 1.0for i in range(10):all=all+weight_result[i]print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))# weight_result=[ 0.00000 0.04802 #⽩云机场0.00000 0.85880 #交通银⾏ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.09318 #民⽣银⾏ 0.00000 ]故最终投资股票是：0.04802 #⽩云机场0.85880 #交通银⾏0.09318 #民⽣银⾏。
多种投入要素的最优组合-管理经济学
多种投入要素的最优组合-管理经济学引言管理经济学是研究企业和组织中资源的有效配置和管理的学科。
在管理经济学中，一个重要的问题是如何找到多种投入要素的最优组合。
通过确定最优组合，企业可以最大程度地提高生产效率，并在有限的资源下获得最大的利润。
投入要素的意义在管理经济学中，投入要素指的是用于生产或提供产品和服务的各种资源，例如劳动力、资本、原材料等。
这些投入要素在企业中起到至关重要的作用，因为它们直接影响到生产力和成本。
劳动力是一种重要的投入要素，它包括企业员工的数量和素质。
企业需要根据生产需求来确定合理的员工数量，同时提供必要的培训和发展机会，以提高员工的素质和技能。
资本是企业的重要投入要素，它包括设备、设施和资金。
企业需要投入适量的资本来购买设备和设施，并在生产过程中使用它们。
此外，企业还需要适当的资金来支持日常运营和扩大业务。
原材料是企业生产过程中必需的投入要素。
企业需要定期采购原材料，并确保其质量达到生产标准。
合理的原材料采购策略可以帮助企业降低生产成本，并确保生产过程的顺利进行。
最优组合的概念在管理经济学中，最优组合指的是在给定的生产要素和生产函数下，使得企业获得最大利润或最大产品产出的投入要素组合。
最优组合可以通过最大化效用、最小化成本或最大化产出来实现。
在找到最优组合时，企业需要考虑多种因素，如生产函数、要素价格、技术水平等。
这些因素的变动都会对最优组合产生影响。
最优组合的计算方法以下是几种常用的方法来计算多种投入要素的最优组合：边际生产力相等法边际生产力相等法是一种通过比较各个要素的边际生产力来确定最优组合的方法。
边际生产力指的是增加一单位要素所带来的产出增加量。
通过对比各个要素的边际生产力，企业可以确定最优的投入要素比例。
等边际成本法等边际成本法是一种通过比较各个要素的边际成本来确定最优组合的方法。
边际成本指的是增加一单位要素所需的成本增加量。
通过对比各个要素的边际成本，企业可以确定最优的投入要素比例。
数理金融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形
数理⾦融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形1.(1)什么是最⼩⽅差资产组合？（2）写出标准的最⼩⽅差资产组合的数学模型。
（即不存在⽆风险资产时期望收益率为p r 的模型）（3）求解该模型，即求权重表达式及最⼩⽅差表达式（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的协⽅差矩阵为230350001轾犏犏=犏犏臌，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =求由这两种证券组成的均值-⽅差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最⼩⽅差，并画出有效前沿图。
2.解：(1)最⼩⽅差资产组合是指对确定的期望收益率⽔平有最⼩的⽅差之资产组合。
(2)对⼀定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最⼩的数学模型为：211min 22..()11TpT p p T w w s t E X w r ws m ==壮??（3）应⽤标准的拉格朗⽇乘数法求解：令其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满⾜的⼀阶条件为：121210;0;110;TT p T Lw w Lr w Lw l m l m l l ?=-=-???=-???得最优解：*112(1)w l m l -=? ?。
令111,11,TTT a b m m m m ---===邋1211,T c ac b -=D =-?则12,.p p r c ba rb l l --==DD最⼩⽅差资产组合⽅差为：2**21()Tp p c b ww r c cs ==-+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1 11w c-= ?，最优组合⽅差为：*21p cs =。
（4）由题意知，230350001轾犏犏=犏犏臌，所以，1530350001-轾-犏犏=-犏犏臌?，()(1,2,0.5)T E X m == 1151 1.25,10.5,42T T a b m m m --\======邋129112,4T c ac b -==D =-=?。
最优投资组合公式
最优投资组合公式在投资领域中，最优投资组合是指在给定的投资标的和风险偏好条件下，能够最大化投资者预期收益或最小化风险的投资组合。
最优投资组合公式是一种数学模型，它通过计算各种资产的权重来确定最佳的投资组合。
最常用的最优投资组合模型是马科维茨组合理论，由于这个理论的重要性，它被广泛应用于投资管理和资产配置领域。
马科维茨组合理论是由美国经济学家哈里·马科维茨在20世纪50年代提出的，该理论认为，投资组合的风险与各种资产之间的相关性有关，而不仅仅是单个资产的风险。
其基本公式如下：E(Rp) = ∑(i=1)^(N) wi * E(Ri)其中，E(Rp)表示投资组合的预期收益，N表示投资标的的数量，wi表示第i个资产在投资组合中的权重，E(Ri)表示第i个资产的预期收益。
此外，马科维茨组合理论还引入了投资组合的方差来衡量风险，方差公式如下：Var(Rp) = ∑(i=1)^(N) ∑(j=1)^(N) wi * wj * σij其中，Var(Rp)表示投资组合的方差，σij表示第i个资产和第j个资产之间的协方差。
为了达到最优投资组合，投资者需要在预期收益和风险之间做出权衡。
马科维茨通过引入风险厌恶系数（λ）来控制风险和收益的权衡关系，从而得到最优投资组合。
最优投资组合可以通过求解以下公式得到：min λ * Var(Rp) - E(Rp)约束条件如下：∑(i=1)^(N) wi = 1wi ≥ 0该优化问题需要使用数学优化算法进行求解，例如线性规划、二次规划或有效前沿算法等。
在实际应用中，投资者可以通过历史数据或专业机构提供的数据来估计资产的预期收益和风险。
通过不断调整投资组合的权重，投资者可以根据自身的风险偏好和投资目标来选择最优投资组合。
需要注意的是，最优投资组合公式仅是一个数学模型，其结果可能受到多种因素影响，包括资产预期收益和风险的准确性、相关性的变化、投资者的风险偏好以及投资时段等。
最优投资组合的计算
最优投资组合的计算案例:设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-r ，标准差分别为%301=σ,%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6％,求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：min （1221222221212σσσx x x x ++）,S 。
T 。
---=--++P f r r x x r x r x )1(212211。
令L=（1221222221212σσσx x x x ++）+[λ--Pr ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件： =∂∂λL --P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得26825.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.0212211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算).说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
投资学-6投资组合有效边界计算
6最优投资组合选择最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。
然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。
虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。
这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。
下面分别讨论。
一、一个无风险资产和一个风险资产的组合当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为：f P r w r w r )1(-+=其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。
这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式：f P r w r wE r E )1()()(-+=σσw P =(因为122222122)1(2)1(σσσσw w w wP -+-+=,2112122,0σσρσσ===0)其中σ为风险资产的标准差。
根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：P ff P r r E r r E σσ-+=)()( 3-1当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。
在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。
随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。
具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。
如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。
最优投资组合
无风险储蓄和借款——无风险证 劵
• 通过方差的公式我们可以得到，投资组合 的波动路只是风险证劵组合的波动率的一 部分，它等于投资于风险证劵组合的比例 乘以风险证劵组合的波动率。
无风险储蓄和借款——无风险证 劵
大投资组合中的波动率
• 我们可以将投资组合的协方差写成：
大投资组合中的波动率
• 这个公式中表明，投资组合的方差等于组 合中所有两两配对股票的回报率的协方差 与他们各自在组合中的投资权重的乘积之 和。也就是说，投资组合的总体波动性取 决于组合中全部股票的总体互动。
风险与回报率：选择有效投资组
合
• 考虑英特尔和可口可乐公司，英特尔在9604年均回报率为25.6%，波动率为48%，同 期可口可乐公司的年均回报率为6.3%，波 动率为27%，并且两公司相关系数为0
期望回报率
26% 6% 2%
投资组合
波动率
股票间的相关系数 英特尔 可口可乐 波尔实业
50%
1
0
0
25%
0
1
0
25%
0
0
1
多种股票构成的投资组合
股票从2只增加到3只，投资机会集随之扩大，有效边界就得以改进。
无风险储蓄和借款——无风险证 劵
• 考虑回报率为Rp的任意风险证劵投资组合， 如果将x比例的资金投资于风险证劵组合， 而将剩余（1-x)比例的资金投资于回报率为r 的无风险债券，则期望回报率为
波动率的增加，相应的期望回报率将增加 多少。也就是说，对于给定的波动率的增 加，如果投资组合能够提供最大的期望回 报率的增加，他就是有效的投资组合。 为了确定现有投资组合P是否具有最大夏普比 率，我们可以通过增加投资i到投资组合中 检验
投资组合值计算公式
投资组合值计算公式投资组合值是指投资者在持有多种资产组合中所拥有的总价值。
计算投资组合值的公式可以帮助投资者更好地了解他们的投资组合表现，并帮助他们做出更明智的投资决策。
在本文中，我们将讨论投资组合值的计算公式，以及如何使用这些公式来评估投资组合的表现。
首先，让我们来看看投资组合值的基本定义。
投资组合值是指投资者在持有的多种资产中所拥有的总价值，这些资产可以包括股票、债券、房地产、商品等。
投资者通常会持有多种不同类型的资产，以分散风险并实现更稳定的投资回报。
因此，了解投资组合值对于投资者来说至关重要。
投资组合值的计算公式可以根据不同的情况而有所不同。
然而，最常见的计算投资组合值的方法是加权平均法。
这种方法可以帮助投资者更好地了解他们的投资组合表现，并对不同资产的贡献进行权衡。
投资组合值的加权平均法可以使用以下公式来计算：投资组合值 = Σ（资产价值×权重）。
在这个公式中，Σ代表求和，资产价值表示每种资产的市值，权重表示每种资产在投资组合中所占的比重。
通过计算每种资产的市值乘以其权重，并将所有结果相加，投资者可以得到他们整个投资组合的总价值。
举个例子来说，假设一个投资者持有以下三种资产：股票、债券和房地产。
他们的市值分别为10000美元、5000美元和3000美元，而它们在投资组合中的权重分别为40%、30%和30%。
那么投资组合值可以通过以下公式计算得出：投资组合值 = (10000 × 0.4) + (5000 × 0.3) + (3000 × 0.3) = 4000 + 1500 + 900= 6400。
通过这个计算，投资者可以了解他们整个投资组合的总价值为6400美元。
这个数字可以帮助他们更好地了解他们的投资表现，并做出相应的投资决策。
除了加权平均法之外，投资者还可以使用其他方法来计算投资组合值，比如市值加权法和等权法。
市值加权法是指根据每种资产的市值来确定其权重，而等权法则是指每种资产在投资组合中所占的权重都是相等的。
最优投资组合公式
最优投资组合公式
投资是为了获取回报而进行的行为，每个投资者都希望通过找到最优的投资组
合来最大化他们的回报。
在金融领域，有许多方法和公式可用于寻找最优投资组合。
其中一个常用的最优投资组合公式是马科维茨模型。
马科维茨模型是由美国经
济学家哈里·马科维茨于20世纪50年代提出的。
该模型基于投资组合理论的核心
思想是通过合理分配不同资产之间的权重来最大化投资回报并降低风险。
马科维茨模型中的最优投资组合可以通过以下公式计算得出：
E(Rp) = w1 * E(R1) + w2 * E(R2) + ... + wn * E(Rn)
其中，E(Rp)代表整个投资组合的预期收益率，E(Ri)代表第i个资产的预期收
益率，wi代表第i个资产在投资组合中的权重。
通过调整不同资产的权重，投资者可以找到最优投资组合，以获得最大的预期收益率。
此外，马科维茨模型还考虑了投资组合的风险。
通过计算投资组合的方差或标
准差，投资者可以评估投资组合的风险水平，并根据自己的风险偏好选择合适的投资组合。
不过，需要注意的是，马科维茨模型是基于一些假设和前提条件，例如假设资
产收益率服从正态分布，且过去的收益率可以用来预测未来的收益率。
在实际应用中，投资者需要根据自己的情况和市场状况对模型进行适当的调整和修正。
总结来说，最优投资组合公式是通过权衡不同资产的预期收益率和风险来寻找
最佳的投资组合。
马科维茨模型是一种常用的方法，但在实际应用中需要谨慎处理，并结合实际情况进行调整。
通过合理分配资产权重，投资者可以优化投资组合，以实现预期的回报目标。
投资学之最优投资组合与有效边界
MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
7
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
则有：E(rP ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 P
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov(rD , rE )
有效组合 E
F C
B 可行组合，但非有效
D A
0.40
0.60
0.80
组合标准差
1.00
1.20
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集 合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
EP(rP
) wD
wD D
E
(rD )
wE E
wE
E
(rE
)
(1) ( 2)
wD wE 1
( 3)
则有：
2 P
(wD D
wE E )2
即： P wD D wE E
令wD D - wE E 0
wD
E D E
, wE
1 wD
D D E
结论： 1时组合P的风险可降至零 10
情况三
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
11
组合的机会集与有效集
4最优投资组合与有效边界
投资组合优化的五种形式 1C=F+P 2P=D+E 3C=F+D+E 4P=S1+S2+…+Sn 5C=F+ 4P=S1+S2+…+Sn
购买十只股票的最优投资组合
作业二:购买十只股票得最优投资组合1、理论基础马科维茨讨论了投资者将一笔资金在给定得持有期进行投资得问题,也就就是选择一个最优得证券组合。
由于每种证券(从而证券组合)未来得收益率就是未知得,因此,不可能做出一个保证获得最高收益得决策。
尽管可以估计每种证券未来得收益率(期望收益率),仍然不能满足上面得要求,这就是因为,基于期望收益率得决策最多只能获得最高平均收益率(组合得期望收益率)。
正就是因为对收益率得不确定性(风险)在决策中得关注,马柯维茨指出,任何一位投资者在追求“高收益”得同时,还希望“收益尽可能就是确定得”。
决策目标应该有两个:第一,“尽可能高得收益率”;第二,“尽可能低得不确定性(风险)”。
1、1 收益与风险得度量有关风险与收益得度量,本文用期望度量收益,用方差(或标准差)度量风险。
具体得用历史数据估计期望收益率与方差——样本均值与样本方差。
假设收益率得概率分布就是恒定得,那么,实际收益率就就是来自同一概率分布得抽样样本。
因而,可以用样本均值与样本方差对期望收益率与方差进行估计。
假设从时刻到得实际收益率就是,这就就是由收益率得时间序列所构成得样本,则样本均值与样本方差为:∑=--=ni i r r n 122)(11σ 1、2 证券之间得关联性协方差与相关系数用分别表示证券A 与证券B 得收益率,则其联合分布通常表示为:证券A 与证券B 得协方差由下式计算:协方差反映两种证券协同变化得数量,数值大小依赖于证券收益率与自身期望收益率得偏离程度。
然而,协方差得数值大小并不能完全反映证券间得关联关系。
为了对相关程度做出衡量,应将上面得偏离程度进行标准化,标准化后得协方差就就是相关系数。
数学公式如下:,其中,分别就是证券A 与证券B 得标准差。
1、3 证券投资组合得期望方差计算证券投资组合得方差与期望得确定要计算组合得期望收益率与方差,除了要知道证券A 与B 得期望收益率与方差外,还必须知道证券A 与B 之间得相关系数(或协方差)。
投资组合优化的数学模型与算法
投资组合优化的数学模型与算法第一章：概述投资组合优化是指在投资市场中，选择一系列资产组合，在满足规定约束条件的前提下，最大化投资回报或最小化风险的过程。
这个问题可以被看作一个数学优化问题，需要通过数学建模和算法求解来获得最优解。
本文将介绍投资组合优化的数学模型和算法，涵盖了传统的均值方差模型和更先进的风险预测模型。
第二章：均值方差模型均值方差模型是投资组合优化中最经典的模型。
该模型假设所有资产的收益率服从正态分布，且各资产之间的收益率无相关性。
在这个模型中，资产权重的计算公式如下：minimize: w'Σwsubject to: w'μ=r , w≥0, ∑wi=1其中，w是资产权重的向量，μ是资产收益率的向量，Σ是资产收益率协方差矩阵，r是投资者的预期回报率。
针对这个问题，可以使用基于拉格朗日乘数法的二次规划算法进行求解。
另外，可以使用更加高效的理论，如广义矩阵不等式和半定规划等方法，来求解该问题。
这些方法可以显著提高算法的效率。
第三章：风险预测模型均值方差模型并不考虑资产收益率的非正态性和相关性。
在现实世界中，资产的收益率可能呈现出长尾分布或偏态分布，且资产之间的收益率可能存在相关性。
因此，一些研究者提出了基于如GARCH模型或Copula函数等风险预测模型的投资组合优化方法。
这些模型的公式比较复杂，不再列出。
在实际应用中，通常需要使用极大似然法或贝叶斯方法等来对参数进行估计。
然后，可以使用理论或数值方法来求解最优投资组合。
第四章：多目标优化模型投资组合优化往往需要同时考虑回报和风险这两个目标。
除此之外，不同的投资者还可能有其他的目标，如资金流动性、大宗交易风险等等。
这就涉及到了多目标优化问题。
常见的多目标优化方法包括权重法、约束法和优先级法等等。
这些方法往往需要根据不同的目标制定不同的优化目标函数和约束条件。
一些最优化算法，如NSGA-Ⅱ和Pareto-SC等，可以有效地求解这类问题。
凯利公式 投资组合
凯利公式投资组合
投资组合是指将不同的资产按一定比例组合在一起，以达到投资目标的一种投
资策略。
凯利公式是一种用于计算最优投资组合比例的数学公式，旨在最大化投资收益并控制风险。
凯利公式最初由美国数学家、贝尔实验室的研究员约翰·凯利（John Kelly）在1956年提出。
该公式通过平衡预期收益率和资产风险，为投资者提供了一种理性
的方法来决定资产配置比例。
凯利公式的计算公式如下：
f* = (bp - q) / b
其中，f*表示最优投资比例，p表示资产的获利概率，q表示资产的亏损概率，b表示获利情况下的平均获利与亏损情况下的平均亏损的比值。
凯利公式的核心思想是基于预期收益率和风险来决定投资比例，通过精确计算
获利和亏损的概率以及获利与亏损的比值，从而找到最优的投资策略。
这样可以最大程度地提高投资回报率，并控制投资组合的风险。
然而，凯利公式也存在一些限制。
首先，该公式假设投资者能够准确估计资产
的获利概率和亏损概率，但实际上这是相当困难的。
其次，凯利公式没有考虑资产之间的相关性，忽略了多资产组合中的分散效应。
最后，该公式也没有考虑到投资者的风险偏好和资金限制等因素。
因此，在应用凯利公式时，投资者需要谨慎考虑其局限性，并结合自身的风险
偏好、投资目标和资金限制等因素，灵活调整投资组合的比例。
同时，监控和评估投资组合的表现，进行及时调整和优化，以实现最佳的资产配置和投资收益。
投资组合优化的数学模型
投资组合优化的数学模型投资组合优化是指通过对投资资产进行适当配置，以使得投资组合的风险降低，同时收益最大化。
在实际投资中，很多投资者会面临如何合理配置资金的问题，而数学模型可以提供一种科学的方法来解决这个问题。
1. 投资组合优化的基本原理在投资组合优化中，我们首先需要确定一组可选的投资资产，每个资产都有相应的收益和风险。
然后，我们需要选择一个适当的优化目标，例如最小化风险或最大化收益。
接下来，我们需要建立一个数学模型来描述投资组合的收益和风险之间的关系。
2. 投资组合优化的数学模型最经典的投资组合优化模型是马科维茨模型，它是由诺贝尔经济学奖得主哈里·马科维茨提出的。
该模型将投资者的目标定义为最小化投资组合的方差或标准差，并在给定风险水平下，最大化投资组合的预期收益。
马科维茨模型的数学表示如下：假设有n个投资资产，每个资产的收益率为ri，投资组合的权重为wi，投资组合的预期收益率为E(Rp)，协方差矩阵为Σ。
那么，投资组合的方差可以表示为：Var(Rp) = wTΣw其中，w为权重向量，T表示转置。
通过求解上述方程，可以得到最优权重向量w*，使投资组合的方差最小。
3. 投资组合优化的约束条件在实际投资中，我们通常会面临一些约束条件，例如资产分配比例、最大持仓限制、风险控制约束等。
为了使模型更贴近实际情况，我们需要将这些约束条件加入到数学模型中。
通常，这些约束条件可以表示为一个线性约束条件矩阵A和一个约束条件向量b。
例如，最大持仓限制可以表示为：Aw ≤ b通过将约束条件引入数学模型，可以保证得到的最优解符合实际的投资要求。
4. 投资组合优化的计算方法求解投资组合优化模型的一种常用方法是使用数值计算的优化算法，例如线性规划、二次规划、遗传算法等。
线性规划方法适用于线性约束条件的模型，可以通过求解线性方程组来得到最优解。
二次规划方法适用于马科维茨模型等非线性模型，可以通过求解二次规划问题来得到最优解。
投资组合值计算公式
投资组合值计算公式投资组合值是指投资者持有的所有资产的总价值。
计算投资组合值的公式可以帮助投资者了解他们的投资组合在特定时间点的价值，从而进行有效的资产配置和风险管理。
本文将介绍投资组合值的计算公式，并对其应用进行分析。
投资组合值的计算公式可以表示为：PV = ΣWi Pi。
其中，PV代表投资组合值，Wi代表第i个资产在投资组合中的权重，Pi代表第i个资产的价格。
这个公式的含义是，投资组合值等于各个资产的权重乘以其价格的总和。
在这个公式中，Wi通常表示为投资者在投资组合中持有的每个资产的比例。
例如，如果一个投资者持有股票、债券和现金，那么他们可以根据其投资金额来确定每个资产在投资组合中的权重。
假设投资者持有10000美元的股票、5000美元的债券和2000美元的现金，那么股票的权重为10000 / (10000 + 5000 + 2000) =0.555，债券的权重为5000 / (10000 + 5000 + 2000) = 0.278，现金的权重为2000 / (10000 + 5000 + 2000) = 0.167。
Pi代表每个资产的价格。
对于股票和债券，其价格可以通过市场报价来获取；对于现金，其价格可以视为1。
因此，我们可以将股票、债券和现金的价格分别表示为Pstock、Pbond和Pcash。
将权重和价格代入投资组合值的计算公式中，我们可以得到：PV = Wstock Pstock + Wbond Pbond + Wcash Pcash。
将权重和价格的具体数值代入公式中，就可以计算出投资组合的总价值。
例如，如果Wstock = 0.555，Pstock = 50，Wbond = 0.278，Pbond = 100，Wcash = 0.167，Pcash = 1，那么投资组合的总价值为：PV = 0.555 50 + 0.278 100 + 0.167 1 = 27.75 + 27.8 + 0.167 = 55.717。
最优投资组合公式
最优投资组合公式（原创版）目录1.引言：投资组合的重要性2.最优投资组合公式的定义3.最优投资组合公式的计算方法4.最优投资组合公式的应用实例5.总结：最优投资组合公式的意义和价值正文1.引言：投资组合的重要性在投资领域，如何合理分配资产、降低风险、提高收益，一直以来都是投资者关心的问题。
投资组合理论应运而生，它通过组合不同类型的资产，达到降低风险、提高收益的目的。
投资组合的优化，有助于投资者在复杂的市场环境中实现资产的最优配置。
2.最优投资组合公式的定义最优投资组合公式是指在一定风险水平下，收益最高的投资组合，或者在一定收益水平下，风险最低的投资组合。
投资组合的优化，可以帮助投资者在风险与收益之间找到最佳的平衡点。
3.最优投资组合公式的计算方法计算最优投资组合公式的方法有多种，其中最常用的是马克维茨投资组合理论。
该理论使用均值 - 方差分析方法，通过权衡资产的预期收益和风险，找到最优投资组合。
具体计算步骤如下：(1) 确定投资目标：明确投资者的风险承受能力和收益期望。
(2) 选择资产：列出可供选择的资产及其预期收益、风险（标准差）等参数。
(3) 计算资产组合的预期收益和风险：计算不同资产组合的预期收益和风险。
(4) 找到最优投资组合：在所有资产组合中，找到满足投资者风险承受能力和收益期望的最优投资组合。
4.最优投资组合公式的应用实例假设投资者有 10 万元资金，可以选择投资 A、B、C 三个项目的股票。
项目的预期收益和风险如下表所示：| 项目 | 预期收益（万元） | 风险（标准差） || --- | --- | --- || A | 0.12 | 0.04 || B | 0.15 | 0.06 || C | 0.20 | 0.08 |根据马克维茨投资组合理论，可以计算出最优投资组合为：投资 A 项目 3 万元，投资 B 项目 3 万元，投资 C 项目 4 万元。
这样的投资组合可以在风险相对较低的情况下，实现较高的收益。
最优投资组合公式
最优投资组合公式最优投资组合是指在给定的市场条件下，通过合理的资产配置，使得投资者实现最大化预期收益或最小化预期风险的投资组合。
最优投资组合的计算可以采用多种方法，其中最常用的包括马科维茨均值方差模型、均值-协方差模型和风险调整资本资产定价模型等。
马可维茨均值方差模型是最经典的最优投资组合公式之一、该模型通过考虑各个资产的期望收益率、协方差矩阵以及投资者的风险偏好，计算出各种资产的权重，从而得到最优投资组合的权重分配结果。
具体的计算步骤如下：1.收集数据：收集各个资产的历史收益率数据。
2.计算期望收益率：计算各个资产的历史平均收益率，作为期望收益率的估计。
3.计算协方差矩阵：根据历史收益率数据，计算各个资产之间的协方差矩阵。
协方差矩阵反映了资产之间的相关性。
4.设定风险偏好：投资者通过设定风险偏好系数来表达对风险的接受程度。
风险偏好系数越大，投资者越愿意承担风险。
5.计算有效前沿：在给定的风险偏好系数下，通过找到所有可能的资产组合，计算出各种组合的预期收益率和标准差，构建出有效前沿。
有效前沿是一组在给定风险水平下最大化预期收益的投资组合。
6.确定最优投资组合：在有效前沿上选择出最优的组合，即在给定风险水平下，预期收益最高的投资组合。
此外，均值-协方差模型也是一种常用的最优投资组合计算方法。
该模型通过构建资产组合的收益率和方差，利用拉格朗日乘子法求解最优权重。
与马可维茨模型相比，均值-协方差模型较为简单，计算速度更快。
风险调整资本资产定价模型是一种基于投资组合的风险和收益之间的关系，通过调整资产的权重来达到最优投资组合。
该模型考虑到了投资组合的系统性风险，即市场风险，并采用资本资产定价模型来估计资产的预期回报。
总结起来，最优投资组合是通过考虑资产的期望收益率、协方差矩阵和投资者的风险偏好，计算出各种资产的权重分配，以达到最大化预期收益或最小化预期风险的投资组合。
具体的计算可以采用马可维茨模型、均值-协方差模型或风险调整资本资产定价模型等方法。
投资组合公式范文
投资组合公式范文投资组合是指一个投资者的资产组合，由不同类型的资产或投资工具组成，如股票、债券、房地产、黄金等。
通过组合不同的资产，在实现预期收益的同时，可以降低投资风险。
投资组合公式是指计算投资组合的预期收益和风险的数学公式，以下是几个常用的投资组合公式。
1. 预期收益率（Expected Return）：预期收益率是指投资组合在一定时期内的平均收益率。
计算投资组合的预期收益率可以使用加权平均法，即每种资产的收益率乘以相应资产在组合中的比例，然后再求和。
公式为：其中，Rp为投资组合的预期收益率，Ri为每种资产的收益率，Wi为每种资产在组合中所占的比例。
2. 总风险（Total Risk）：总风险是指投资组合的波动性和风险程度。
可以使用标准差来衡量投资组合的总风险。
公式为：其中，σp为投资组合的总风险，σi为每种资产的标准差，Wi为每种资产在组合中所占的比例，ρij为不同资产之间的相关系数。
3. 预期收益和风险的权衡（Risk-Return Tradeoff）：在构建投资组合时，投资者往往会存在预期收益和风险之间的权衡。
投资者可以使用夏普比率来评估投资组合的预期收益与风险的权衡关系。
夏普比率的公式为：其中，Rp为投资组合的预期收益率，Rf为无风险收益率（如国债利率），σp为投资组合的标准差。
夏普比率越高，表示单位风险下获得的收益越高，投资组合风险越小。
4. 最优投资组合（Efficient Portfolio）：最优投资组合是指在给定风险水平下，获得最大预期收益的投资组合。
可以使用马科维茨组合理论来构建最优投资组合。
马科维茨组合理论基于投资组合的均值-方差模型，通过计算不同资产的预期收益率、标准差和相关系数，以及投资者的风险偏好，来选择最优投资组合。
最优投资组合的构建可以使用优化模型，如最大化预期收益、最小化风险、最大化夏普比率等。
以上是几个常用的投资组合公式，投资者可以根据自身的投资目标和风险偏好，使用这些公式来选择合适的投资组合，以实现最大的收益和最小的风险。
最优投资组合公式
最优投资组合公式最优投资组合公式是指在给定风险水平下，找到一个投资组合，使得预期回报最大化或波动最小化。
这个公式通常被用于资产组合管理和投资决策中，以帮助投资者在不同资产之间进行权衡和决策。
以下是两个常用的最优投资组合模型和公式：马科维茨模型和夏普比率。
1.马科维茨模型马科维茨模型是一个经典的投资组合优化模型，由哈里·马科维茨于1952年提出。
该模型的基本假设是投资者对预期收益和风险都有风险偏好，并且希望通过合理分配资金来实现最优化目标。
马科维茨模型的关键公式是最优投资组合的切线条件：E(R_p)=R_f+σ_p*λ_p其中：-E(R_p)是投资组合的预期回报-R_f是无风险资产的预期回报-σ_p是投资组合的标准差-λ_p是投资组合的风险系数这个公式表示在最优投资组合上，预期回报应等于无风险资产的预期回报加上投资组合的标准差与风险系数的乘积。
通过调整不同资产的权重，可以寻找最优投资组合，使得预期回报最大化或波动最小化。
2.夏普比率夏普比率是由诺贝尔经济学奖得主威廉·夏普提出的一种投资评价指标，主要衡量投资组合投资风险与预期收益之间的权衡。
夏普比率越高，说明投资组合风险调整后的收益越高，投资组合的效果越好。
夏普比率的公式为：Sharpe Ratio = (E(R_p) - R_f) / σ_p其中：-E(R_p)是投资组合的预期回报-R_f是无风险资产的预期回报-σ_p是投资组合的标准差夏普比率的计算结果可以用来评估投资组合的绩效，并根据不同风险水平选择合适的投资组合。
夏普比率越高，表明预期收益相对风险更高，从而越具有吸引力。
需要注意的是，以上公式在实际应用时需要考虑到各种限制和约束，如流动性、成本、风险偏好、投资目标等。
此外，投资者还应该定期调整投资组合，以适应市场变化和个人需求。
最优投资组合的选择是一个动态的过程，需要综合考虑多种因素，并且可能随着时间的推移而调整。
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最优投资组合的计算
案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-
r ，标准差分别为%301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%，求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2
005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：
第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：
min(1221222221212σσσx x x x ++),
S.T.---=--++P f r r x x r x r x )1(212211.
令L=(1221222221212σσσx x x x ++)+[
λ--P r ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件：
=∂∂λL --
P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得268
25.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.02
12211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-
P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。
说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
风险资产最优组合的收益率和标准差为：
()()()%
06.3206.062.038.024.062.03.038.02%
2.26
3.062.02.038.022221221222221212211=⨯⨯⨯+⨯+⨯=++==⨯+⨯=+=σσσσx x x x R E x R E x R E r r 第二步，构造投资者的最优投资组合（设y 为风险资产组合投资占比例，（1-y ）为无风险资产投资占比例）：
1.设目标函数()2005.0P P A R E MaxU σ-=
约束条件为S.T ：
()()()y
y y
y y r y Rr yE R E r P f P 3206.0202.006.006.0)1(262.0122==+=-+=-+=σσ
2.将约束条件代入目标函数，得： ()2
3206.04005.0202.006.0y y U ⨯⨯-+= 3.将目标函数对y 求一阶导数，并令其等于零得
0.202-0.020*2*0.32062y=0
Y=0.49
4.三种资产组合的收益率=0.06+0.202*0.49=1
5.9%
三种资产组合的标准差为0.3206*0.49=15.7%
5.无风险资产占比51%，风险资产1占比为0.38*0.49=18.62%，风险资产2占比为0.62*0.49=30.38%。