计量经济学-10时间序列分析

(autocorrel ation function, ACF )：
k k , k 0,1,2, 0
2 k k Y 对于Yt Yt 1 et , k k , k 1,2, 。 2 0 Y
由于只有随机过程的样本，只能根据样本数据计算出样本 自相关函数（Sample autocorrelation function) ：
（一）滞后算子 定义滞后算子(lag operator)L： LYt = Yt-1 其中Yt 和 Yt-1为随机过程中的元素，而 L2Yt = L[L(Yt)]= LYt-1= Yt-2 一般地，对任意正整数n，有LnYt = Yt-n， L0Yt = Yt
例如，Yt Yt 1 et 利用滞后算子可改写为： Yt LYt et 或 (1 L)Yt et
或者对其一阶差分后的形式：Yt (1 )Yt 1 et Yt 1 et 进行估计，检验 是否显著为0。 由于按通常方式计算的的t统计量不遵从t分布，将 之称为 统计量。通过查找 统计量表，根据与临 值的比较来决定是否拒绝 k 1的假设。 该检验称为迪基 富勒（DF )检验。 如果计算的 统计量的绝对值超过DF临界 的 绝对值，则不拒绝所给时间序列是平稳的假设， 反之，如果小于临界值的绝对值，则时间序列 是非平稳的。
（四）指数平滑模型
如果采用下式求得序列的平滑预测值：
ˆ ˆ ˆ yt yt 1 ( yt 1 yt 1 ) 则称此预测模型为指数平滑模型， 其中称为平滑常数， 1。 0 该式也可写为 ˆ ˆ yt yt 1 1 ）yt 1 （ 即预测只是前期实际智育预测值的加权和。
这里 Y 是时间不变量， Yt , Yt k )不依赖于时点t， cov( 仅依赖于两个随机变量之间的时间间隔k，因此 可以用 k 表示 cov(Yt , Yt k )。 k 是时间间隔k的函数, 且 k k。自协方差序列 k (k 1， 2， ）称为 随机过程Yt的自协方差函数(autocov ariance function)。
另一种方法是利用要预测的经济变量的过去值来预测其未来值， 而不考虑变量值产生的经济背景。这种方法假定数据是由随机 过程产生的，根据单一变量的观测值建立时间序列模型进行预 测。这种方法在短期预测方面是很成功的。
一、确定性时间序列模型
（一）移动平均模型
对于时间序列： y1 , y2 , yT yt yt 1 yt 2 yt N 1 ˆ 平均数 yt ,t N N
自协方差函数 k 本质上依赖于随机变量的计量单位。 例如，工资按美元和按美分计量的自协方差不同： E( Z t , Z t k ) E(100Yt ,100Yt k ) 10000 E(Yt , Yt k ) 将自协方差标准化：把每个 k除以随机过程的方差
0 Y , 可以得到自相关函数
称为时间序列yt的移动平均数序列。 该表达式的模型称为移动平均模型。 移动平均模型主要作用是消除干扰， 显示序列的趋势性变化，并用于趋势预测。
（二）加权移动平均模型 a0 yt a1 yt 1 a2 yt 2 aN yt N 1 ˆ 平均数 yt ,t N N 称为时间序列 yt 的加权移动平均数序列。
yT，称为一个时间序列。假设这些观测值是随机变量Y1， Y2， …， YT的实现，而随机变量Y1， Y2， …， YT是无穷随 机变量序列Yt0， Yt0+1， …， Y1， Y2， …的一部分(其中t0 可以是-)。这个无穷随机变量序列Yt，t=1，2，…，称 为一个随机过程。 一个具有均值为零和相同有限方差的的独立随机变量序列 et称为白噪声(white noise)。如果et服从正态分布，则称为高 斯白噪声。 例如，一个一阶自回归过程： Y Y e ，
使用滞后算子表示的多项式：
p ( L) 1 1 L 2 L2 | p Lp
可以把 Yt 1Yt 1 2Yt 2 | pYt p 简洁地写为： p ( L)Yt
（二）自回归模型（auto-regressive,AR）
1、AR模型 如果时间序列y1，y2，…，yT，的生成过程的形式为：
其中a0 ,a1 , , aN 为加权因子： ( ai ) / N 1
i 0 N 1
该式表达的模型称为加权移动平均模型， 其作用除消除干扰、显示序列的趋势变化外， 还可通过加权因子的选取，是趋势预测更加准确。
（三）二次移动平均模型
对经过一次移动平均产生的序列才进行移动平均，即：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yt yt 1 yt 2 yt N 1 , t N ˆ yt N 由此构成的序列程 为时间序列y t的二次移动 平均数序列，该式表达的模型称为二次移动 平均模型。
Yt Yt 1 et Yt 1 Yt 1 et Yt 1 2t Yt 1 et 其中t为时间或趋势变量。在以上形式中， 原假设均为 0，即存在单位根。 后面的两个式子式为了消除截距项和趋势 项的影响。
三、 AR、MA、ARMA模型
ˆ 样本协方差 k 样本方差ˆ0
（ Y Y )(Y
t
t k
Y )
（Yt Y ) 2 n
n
ˆk ˆ 样本自相关函数： k ˆ0
（三）平稳随机过程
并非所有随机过程的两个元素之间的协方差都只依赖于它 们的时间间隔。我们把任意两个元素之间的协方差都只依赖于 它们的时间间隔，且具有常数均值和有限方差的随机过程，称 为平稳过程(stationary process)：
1、 2、 、 p为自回归参数，是模型的待估计参数。
et ~ N (0, ), 且et 与yt 1、yt 2、 、yt p不相关。
2 e
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由此可知，可以利用OLS 估计自回归参数。
2、AR模型的自协方差函数和自相关函数
p阶自回归序列： yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p et 的自协方差函数为 rk cov(yt , yt k ) E ( yt yt k ) E[ yt (1Yt k 1 2 yt k 2 p yt k p et k )] 1 E ( yt yt k 1 ) 2 E ( yt yt k 2 ) p E ( yt yt k p ) 1rk 1 2 rk 2 p rk p 因此，自相关函数为： rk k 1 k 1 2 k 2 p k p r0
(1) E (Yt ) （2） var(Yt ) (3) cov(Yt , Yt k ) E[(Yt )(Yt k )] k
显然，白噪声过程是一个平稳过程， 而Yt Yt 1 et （ | | 1 ）也是一个平稳过程。
如果随机过程不满足上述条件，则称为非平稳随机过程。 平稳随机过程产生的时间序列，为平稳序列。平稳性是时 间序列的一个重要的特性，它保证了随机过程基本上没有结构
的选择：选择不同的带入模型，计算预
测值序列。以实际值与预测值之差的平方 和最小为原则确定的值。
（五）二次指数平滑模型
在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算， 即构成二次指数平滑模型。同样可以构成三次指数平滑模型。
二、随机时间序列模型的特征
（一）随机过程（stochastic process） 一个特定的变量在不同的时点或时期的观测值y1，y2，…，
第十章 时间序列分析
我们对经济量进行分析的最终目的，是为了预测某些经济 变量的未来值。进行预测的方法有两种。一种是根据一定的经 济理论，建立各种相互影响的经济变量之间的关系模型，根据 观测到的经济数据估计出模型参数，利用模型来预测有关变量 的未来值。这种方法的优点在于精确地考虑到了各经济变量之 间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不完备，经济 模型和经济计量模型不可能真正准确地反映了经济现实，因而 得到的结果不可能是相当准确。
具有这种形式的随机过程称为p阶自回归过程， 生成的时间序列yt为它前期值和白噪声的线性函数： yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p et 或 (1 1 L 2 L2 p Lp ) yt et 则称该时间序列为自回归序列。 上式表示的模型为p阶自回归模型，缩写为AR( p )。
变动，而结构变动会给预测带来困难，甚至不可预测。
（四）平稳性的检验
1、博克斯-皮尔斯（Box-Pierce)Q统计量
平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间隔k的增 大而衰减，因此，对时间序列的样本自相关函数是否显著地不 为零，来检验序列的平稳性。
Q 统计量定义为： ˆ Q n k2 , 其中n为样本容量，m为滞后长度。
Yt 1Yt 1 2Yt 2 pYt p et 其中et为白噪声：E (et ) 0, 且s t时 cov(et es ) 0。 用滞后算子可表示为： (1 1 L 2 L2 p Lp )Yt et 或 p ( L)Yt et
1 1, et是白噪声：
t
t 1
t
E (et ) 0, var(et ) e 0, 且 cov(et , es ) 0( s t )
假定改随机过程的起点为 t0= - ∞，可以证明E(Yt)=0， var(Yt)=σy。这里每个随机变量的取值都依赖于其前期水平， 这是依据现在和过去的观测值预测未来值的基础。因此，度量 时间序列元素之间的依赖性的协方差在序列特性描述方面非常 重要。
k 1 m
Q 统计量近似（大样本）遵循自由度为m的 2分布。 如果计算的Q统计量大于一定显著水平下的临界值， 则拒绝 k同时为零的假设，序列为非平稳序列。 2、单位根检验（Unit root test)
考虑以阶自回归模型：
Yt Yt 1 et , 其中e t白噪声。如果 1，则为 非平稳时间序列。因此可对Yt Yt 1 et 作回归 ˆ ，检查是否显著等于1。若 1则存在单位根。
（二）自协方差函数和自相关函数
自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具。
一个随机过程Yt的两个元素Yt 和Yt k 之间的协方差为： cov(Yt , Yt k ) E ([Yt E (Yt )][Yt k E (Yt k )]) 称为自协方差（auto cov ariance）协方差度量了单一随 机过程两个元素之间的线性依赖关系。 对于Yt Yt 1 et , 协方差 cov(Yt , Yt 1 ) E ([Yt 0][Yt k 0]) Y 对于非负整数 k，有 cov(Yt , Yt k ) E (YtYt k ) E[Yt ( Yt k 1 et k 1 )] E (Yt Yt k 1 ) E (et k 1 ) E (YtYt k 1 ) E[Yt ( Yt k 2 et k 2 )] 2 E (YtYt k 1 ) k Y