函数的最值与导数PPT课件

又由于
f (0) 4 , f (3) 1
4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 3
应用 3 2 f ( x ) x 3 x 9 x a, 例2：已知函数
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
y
y





x0 o x 左正右负极大
o x x0 左负右正极小
x0 o x 左右同号无极值
复习
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数fˊ(x)； (2) 求解方程fˊ(x)=0； (3) 检查fˊ(x)在方程fˊ(x)=0的根的左右
的符号，并根据符号确定极大值与极小值
.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
所以函数的极大值为 2 a，极小值为 2 a
(2) 由（1）可知，函数在区间 [2, 3] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f ( 2) 2 a ， f (3) 18 a
所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18 a 曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点
2 (1) f ( x ) 3 x 3 令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 1 解: 当 x变化时,f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x (2, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) f ( x ) 0 + -0 -极大值 极小值 f ( x ) ↘ 2 a ↗ 2 a ↘
函数的最值与导数
复习
1、导数与单调性的关系
(1) f ( x ) 0 f ( x )为单调递增函数 (2) f ( x ) 0 f ( x )为单调递减函数
(3) x0为极值点 f ( x0 ) 0
2.极值的判定
(1) (2) (3)
y
f ( x ) 由正变负,那么 x0是极大值点; f ( x ) 由负变正,那么 x0是极小值点; f ( x ) 不变号,那么 x0 不是极值点。
2 解:(1) f ( x) 3 x 6 x 9 令f ( x ) 0 即 3 x 2 6 x 9 0
解得:x 1或x 3 (3, ) 所以函数的单调减区间为 (, 1)，
(2) f ( x) 3 x 2 6 x 9
令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 3 （舍去）
新课
求函数最值
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个 定义域区间上，哪个值最大或最小的问题这就 是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小 f(x3) y 值. f( x ) f(b)
1
a x1
g
f(a)
x2
0
g
x4 x3 b x
f(x2)
ຫໍສະໝຸດ Baidu y y=f(x) o y y=f(x)
y
y=f(x)
a
b x
o a
y y=f(x)
b
x
o
a
b x
o a
b x
归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有 间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值
2 a 0 18 a 0 即 2 a 18
练习
2、求函数f (x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值.
注： 求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数
课后作业
课本32页
第6 题
(1)(2)(3)
当 x 变化时,y, y 的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) f ( x ) -f ( x) 2 a
↘
1
0 极小值 5 a
( 1, 2)
2
↗ 22 a
5 a 所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为
22 a 20
即a 2
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
应用
1 3 例1、求函数 y x 4 x 4 在区间 [0, 3] 上的最大 3 值与最小值。 解: y x 2 4 令 y 0,解得 x 2或x 2 （舍去） 当x 变化时, y, y 的变化情况如下表: x 0 (0, 2) (2, 3) 3 2 f ( x ) － ＋ 0 4 f ( x) 4 ↘ 1 极小值 ↗ 3
最小值为 5 2 7
小结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值.
练习
1、已知函数 f ( x) x3 3 x a, x [2,3] (1)求 f ( x ) 的极值 (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点