函数的最值与导数PPT课件
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3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
3.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习2
提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，
2025年高考数学总复习课件23第三章第二节第2课时导数与函数的极值、最值
当a>0时，令f ′(x)＝0，得x＝1a.
当x∈
0，
1
a
时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增；
当x∈
1
a
，+∞
时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减，
故函数f (x)在x＝1a处取得极大值，无极小值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点；当a>0时，f (x)有一个极大值点1a，无
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
解：由(1)知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0)．
当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时函数在定义域上无极值点．
y′>0，解得x<－7或x>1；令y′<0，解得－7<x<1，所以函数y＝13x3＋(a＋1)x2－(a2 ＋3a－3)x在(－∞，－7)，(1，＋∞)上单调递增，在(－7，1)上单调递减，所以x ＝1是函数的极小值点，符合题意．若a＝－3，则y′＝x2－4x＋3.令y′>0，解得
x<1或x>3；令y′<0，解得1<x<3，所以函数y＝13x3＋(a＋1)x2－(a2＋3a－3)x在(－ ∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，所以x＝1是函数的极大值 点，不符合题意．
A 解析：f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，
由题知f ′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
处的切线方程为y= x+b(其中a,b∈R,e是自然对数的底数),则
3
27e
f(x)在区间[-3,3]上的最大值为
,最小值为 0
解析:由 f(x)=
得 f′(x)=
- -
( )
=
依题可得f′(1)= = ,所以a=3.
故 f(x)=
.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2024·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函
数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
解:f(x)=xln x-a(x-1),则f′(x)=ln x+1-a,
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 或 a<- .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
利用导数解决函数的极值问题
角度一
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)
的图象如图所示,则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值
点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课件(50张)
这些命题中，真命题的个数是________． 【解析】 ②③正确． 【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
4.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习
【解析】选AC.根据导函数的图象可知, 当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0, 所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增, 可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确. 因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增, 可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C 正确,D错误.
条
件
在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,
右侧f'(x)<0
f'(x0)=0 在点x=x0附近的左侧f'(x)<0, 右侧f'(x)>0
图象
极值 极值点
f(x0)为极_大___值 x0为极_大___值点
f(x0)为极_小___值 x0为极_小___值点
微点拨 ①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不 确定. ②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
【解析】选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).
x
(0,2)
2
(2,+∞)
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
1．设f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为 ________． 解析：令φ(x)＝f(x)－sin x，当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，∴φ(x)在 [0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，∴φ(x)为R上的奇函数，∴φ(x)在 (－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R 上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)<sin x可化为 f(x)－sin x<0，即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)，故x>0，∴原不等式的解集为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)
分别是________，g(x)在(1,2)上的最小值和最大值________．
[记结论] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分 条件．
2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数 的最值点．
4 27
．若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a
的取值范围是________．
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数 为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必 须检验．
2．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)的图象关于直
考向1 根据函数图象判断函数极值
(2022·郑州模拟)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为
导数与函数的极值、最值(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
在导数的实际应用中经常用到.
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，
2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).
令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，
2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).
令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0,1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
高三一轮复习理科数学导数与函数的极值最值 PPT
b＝－4
经检验 a＝3，b＝－4 符合题意．
所以当 f(x)在 x＝3 处取得极值 2 时，a＝3，b＝－4.
2·已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R) (1)当 a<0 时，若函数极大值为 1，极小值为－3，试求 y＝f(x)的解
析式；
解：(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)，
考点技法 ·全面突破
利用导数解决函数得极值问题(☆☆☆☆)
[典例 1] (2011·安徽高考)设 f(x)＝1＋exax2，其中 a 为正实数． (1)当 a＝43时，求 f(x)的极值点；(节选)
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
[自主解答] 对f(x)求导得 f′(x)＝ex1＋1a＋x2a－x222ax，① (1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 解得x1＝32，x2＝12，
[典例3] 已知a∈R，函数f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e](其中e 是自然对数的底数)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； (2)求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln
x，所以f′(x)＝1－
1 x
＝
x－x 1，(x＞0)
故当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
二、函数得最值与导数
3、求函数y＝f(x)在[a,b]上得最大值与最小值得步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a,b)内得
;
极值
(2)将函数y＝f(x)得各极值与
比
较,其中最大得一个就是最大值,最端小点得处一得个函就数是值最f小(a值)、f(b)
1、判断下面结论就是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数在某区间上得极大值就是唯一得、( ) (2)函数得极大值不一定比极小值大、( ) (3对可导函数f(x),若f′(x0)＝0,则x0一定为极值点、( ) (4)函数得最大值不一定就是极大值,函数得最小值也不一定就 是极小值、( )
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT)
g′(x) g(x)
2 (-≦,- ) 3 2 3 2 (- ,4) 3
4
0 -16-m
(4,+≦)
+Байду номын сангаас
+
0
68 -m 27
-
↗
↘
↗
则函数g(x)的极大值为g( 2 )= 68 -m，极小值为g(4)=-16-m.
≨由y=f(x)的图象与y=
1 f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点， 3
3
27
68 2 g( ) m＞0, 得 3 27 解得-16＜m＜ 68 . 27 g 4 16 m＜0,
↗
+ ↗
0
4 27
-
f(x)
↘
1 )= 4 , f(x)极大值=f( 27 3
f(x)极小值=f(1)=0. 答案： 4
27
0
2.≧f(x)=x4-x3,≨f′(x)=4x3-3x2. 令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0. ≨x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
的交点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.由f′(x)=0得x=- 5 或x=1.
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x)
5 (-≦,- ) 3 5 3 5 (- ,1) 3
1 0 -1
(1,+≦) +
+
0
229 27
1.极小值点与极小值的定义
2 (-≦,- ) 3 2 3 2 (- ,4) 3
4
0 -16-m
(4,+≦)
+Байду номын сангаас
+
0
68 -m 27
-
↗
↘
↗
则函数g(x)的极大值为g( 2 )= 68 -m，极小值为g(4)=-16-m.
≨由y=f(x)的图象与y=
1 f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点， 3
3
27
68 2 g( ) m＞0, 得 3 27 解得-16＜m＜ 68 . 27 g 4 16 m＜0,
↗
+ ↗
0
4 27
-
f(x)
↘
1 )= 4 , f(x)极大值=f( 27 3
f(x)极小值=f(1)=0. 答案： 4
27
0
2.≧f(x)=x4-x3,≨f′(x)=4x3-3x2. 令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0. ≨x=0或x= 3 .
4
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：
的交点，求实数m的取值范围.
【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.由f′(x)=0得x=- 5 或x=1.
3
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x)
5 (-≦,- ) 3 5 3 5 (- ,1) 3
1 0 -1
(1,+≦) +
+
0
229 27
1.极小值点与极小值的定义
《函数的最值与导数》名师课件2-3e4a
x6
bx
例题讲解
例1、求函数 f (x) 1 x3 4x 4 在区间 [0, 3] 上的最大 值与最小值。 3
解：f (x) x2 4
令f (x) 0,解得x 2或x 2（舍去）
列表：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
归 纳 步 骤
f (x) －
0＋
f (x) 4
↘
4 极小值
巩固训练
1、求下列函数的最值： (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]． (2)因为 f(x)＝3ex－exx2， 所以 f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx) ＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， 因为在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函数 f(x)在区间[2，5]上单调递减， 所以 x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
例题讲解 例 3、已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718
28…为自然对数的底数．设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函
数 g(x)在区间[0，1]上的最小值．
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0，1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
当 x∈(0，1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1，2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(2，3)时，f′(x)＞0. 所以，当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c， 又 f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当 x∈[0，3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
函数的最值与导数(1)
y=f(x)
o
a x1
x2
x3 x4
b
x
若改为开区间( a, b ) 呢？
y y=f(x)
o
a x1
x2
x3 x4
b
x
最值需要注意的几个方面： 最值需要注意的几个方面： 最值是对整体而言的,是函数的什么性质？ （1）最值是对整体而言的,是函数的什么性质？ 函数是否一定有最值？在有最值的情况下，最值是否唯一？ （2）函数是否一定有最值？在有最值的情况下，最值是否唯一？ 最大值一定比最小值大吗？ （3）最大值一定比最小值大吗？ 的值， （4）最值点是 的值，最值是指 值; 函数的最值点在区间的内部还是区间的端点？ （5）函数的最值点在区间的内部还是区间的端点？
′( x) = −3 x2 + 6 x + 9 (2) f
舍去） 令 f ′( x) = 0 解得 x = −1或x = 3 （舍去） 变化时, 的变化情况如下表: 当 x 变化时 y ′ , y 的变化情况如下表
x −2 (−2, −1) f ′( x) -f ( x) 2 + a
−1
0 ↘ 极小值−5 + a
′ = x2 − 4 解: y
x 0 f ′( x)
f ( x) 4
令 y ′ = 0,解得 x = 2或x = −2 舍去） 解得 （舍去）
(0,2) －
↘
2
(2,3)
3
1
＋ 0 4 极小值 − ↗ 3
由表可知：当 x = 0 时，有最大值4 4 − 当x = 2 时，有最小值 3
函数的最值与导数
复习
1.导数与单调性的关系 导数与单调性的关系
(1) f ′( x) > 0 ⇒ f ( x)为单调递增函数 (2) f ′( x) < 0 ⇒ f ( x)为单调递减函数
o
a x1
x2
x3 x4
b
x
若改为开区间( a, b ) 呢？
y y=f(x)
o
a x1
x2
x3 x4
b
x
最值需要注意的几个方面： 最值需要注意的几个方面： 最值是对整体而言的,是函数的什么性质？ （1）最值是对整体而言的,是函数的什么性质？ 函数是否一定有最值？在有最值的情况下，最值是否唯一？ （2）函数是否一定有最值？在有最值的情况下，最值是否唯一？ 最大值一定比最小值大吗？ （3）最大值一定比最小值大吗？ 的值， （4）最值点是 的值，最值是指 值; 函数的最值点在区间的内部还是区间的端点？ （5）函数的最值点在区间的内部还是区间的端点？
′( x) = −3 x2 + 6 x + 9 (2) f
舍去） 令 f ′( x) = 0 解得 x = −1或x = 3 （舍去） 变化时, 的变化情况如下表: 当 x 变化时 y ′ , y 的变化情况如下表
x −2 (−2, −1) f ′( x) -f ( x) 2 + a
−1
0 ↘ 极小值−5 + a
′ = x2 − 4 解: y
x 0 f ′( x)
f ( x) 4
令 y ′ = 0,解得 x = 2或x = −2 舍去） 解得 （舍去）
(0,2) －
↘
2
(2,3)
3
1
＋ 0 4 极小值 − ↗ 3
由表可知：当 x = 0 时，有最大值4 4 − 当x = 2 时，有最小值 3
函数的最值与导数
复习
1.导数与单调性的关系 导数与单调性的关系
(1) f ′( x) > 0 ⇒ f ( x)为单调递增函数 (2) f ′( x) < 0 ⇒ f ( x)为单调递减函数
北师大版高中数学选择性必修第二册2.7.1-2实际问题中导数的意义与函数的最值【课件】
7．1 实际问题中导数的意义 7．2 实际问题中的最值问题
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准 运用导数解决一些实际问题．
学科核心素养
1.了解实际问题中导数的意义．(数学抽象) 2．利用导数解决实际问题中的最值问题．(数学建模、数学运算)
[教材要点]
要点一 导数的实际意义 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以 中 学 物 理 为 例 ， 速 度 是 __路__程____ 关 于 ___时_间____ 的 导 数 ， 线 密 度 是 ___质_量____关于__长__度____的导数，功率是___功_____关于__时__间____的导数 等． 要点二 最优化问题 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本 最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题．导数是解决最 优化问题的一个重要工具．
题型一 导数在实际问题中的意义 例1 如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是 时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率， 并解释它的实际意义；
(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．
∴f′(q)＝－14q＋21，∴f′(80)＝－14×80＋21＝1.
说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1.
题型二 实际问题中的最值问题 例2 某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，
该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建 好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预 算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x千米的相邻 两增压站之间的输油管道费用为(2＋ x)x万元．设余下工程的总费用 为y万元．
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准 运用导数解决一些实际问题．
学科核心素养
1.了解实际问题中导数的意义．(数学抽象) 2．利用导数解决实际问题中的最值问题．(数学建模、数学运算)
[教材要点]
要点一 导数的实际意义 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以 中 学 物 理 为 例 ， 速 度 是 __路__程____ 关 于 ___时_间____ 的 导 数 ， 线 密 度 是 ___质_量____关于__长__度____的导数，功率是___功_____关于__时__间____的导数 等． 要点二 最优化问题 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本 最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题．导数是解决最 优化问题的一个重要工具．
题型一 导数在实际问题中的意义 例1 如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是 时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率， 并解释它的实际意义；
(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．
∴f′(q)＝－14q＋21，∴f′(80)＝－14×80＋21＝1.
说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1.
题型二 实际问题中的最值问题 例2 某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，
该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建 好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预 算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x千米的相邻 两增压站之间的输油管道费用为(2＋ x)x万元．设余下工程的总费用 为y万元．
导数与函数的极值最值课件-2025届高三数学一轮复习
变式设问 若函数在上无极值点，则实数 的取值范围是________.
解析 若在上无极值点，则在上单调，即或 恒成立. 当时， ，显然不满足题意； 当时，，则或 恒成立的充要条件是，即，解得 . 故实数的取值范围是 .
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
列式
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
A
；②函数在处取得极小值，在 处取得极大值；③函数在处取得极大值，在 处取得极小值；④函数的最小值为 .A.③ B.①② C.③④ D.④
解析 由的图象可得，当时，,单调递增；当 时，,单调递减；当时，, 单调递增. 由题意可得 ，所以①不正确. 由题意得函数在处取得极大值，在 处取得极小值，故②不正确，③正确. ,故④不正确.故选A.
验证
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性
1.（2024 · 北京质检）已知函数的导函数 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) .
D
A.曲线在点 处的切线斜率小于零B.函数在区间 上单调递增C.函数在 处取得极大值D.函数在区间 内最多有两个零点
解析 （1）当时，，则 ， 令，解得 . 当时，，此时 单调递减； 当时，，此时 单调递增. 故函数在处取得极小值，极小值为 .（2）由题意知，函数的定义域为， ， 则方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根，
令，，则 ， 则当时，，当时， ， 则函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 因为，当时，，当时，，当 时， ， 所以实数的取值范围为, .
A. B. C. D.
解析 因为，所以，因为函数 既有极大值又有极小值，所以函数在上有两个变号零点，且 ，所以方程有两个不等的正根,，则即 ，即.故选 .
解析 若在上无极值点，则在上单调，即或 恒成立. 当时， ，显然不满足题意； 当时，，则或 恒成立的充要条件是，即，解得 . 故实数的取值范围是 .
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
列式
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
A
；②函数在处取得极小值，在 处取得极大值；③函数在处取得极大值，在 处取得极小值；④函数的最小值为 .A.③ B.①② C.③④ D.④
解析 由的图象可得，当时，,单调递增；当 时，,单调递减；当时，, 单调递增. 由题意可得 ，所以①不正确. 由题意得函数在处取得极大值，在 处取得极小值，故②不正确，③正确. ,故④不正确.故选A.
验证
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性
1.（2024 · 北京质检）已知函数的导函数 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) .
D
A.曲线在点 处的切线斜率小于零B.函数在区间 上单调递增C.函数在 处取得极大值D.函数在区间 内最多有两个零点
解析 （1）当时，，则 ， 令，解得 . 当时，，此时 单调递减； 当时，，此时 单调递增. 故函数在处取得极小值，极小值为 .（2）由题意知，函数的定义域为， ， 则方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根，
令，，则 ， 则当时，，当时， ， 则函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 因为，当时，，当时，，当 时， ， 所以实数的取值范围为, .
A. B. C. D.
解析 因为，所以，因为函数 既有极大值又有极小值，所以函数在上有两个变号零点，且 ，所以方程有两个不等的正根,，则即 ，即.故选 .
高一数学函数的最值与导数(2019年10月)
表格法
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；花间 https:/// 花间
；
"元和 待之以诚 山南西道节度使 各赐绯 辛酉 金 送度支估计供军 集贤大学士 但力行善事 壬午 从度出征 诸司 以河南尹郑权为襄州刺史 以宣武军都虞候韩公武检校左散骑常侍 湖南观察使袁滋卒 副使刘弘逸各杖二十 废蓬州宕渠县 以洺州刺史李光颜为陈州刺史 上御通化门劳遣之 丁亥 戊戌 彰义军节度使 翰林学士韦处厚奏曰 以少府监韩璀为鄜州刺史 魏博奏管内州县官员二百五十三员 乙亥 月犯毕 劳于供饷 己酉 出内库钱万贯 诏削夺李同捷在身官爵 上愍之 以郑滑节度使袁滋为户部尚书 便令府县收管 令备吉礼 至暮稍息 "九月癸酉 监军路朝见配役于定陵 上赐之犀带 冬十月甲辰朔 享年四十三 李愿击败李师道之众九千 镇遏等使 衢 贼势迫蹙 臣等敢不激励 浙东观察使 恣逞非心 田兴改名弘正 罢知政事 裴度条疏奏闻 淄青节度使李师道阴与嵩山僧圆净谋反 恨无萧 "十一月丙戌朔 丁酉 方成此两具 朕方推表大信 乙酉夜 京师大风雨 黄家贼与环王国合势 陷陆州 同平章事 捕获受于頔赂为致出镇人梁正言 白水县之会宾乡 "诏令当道造盝子二十具 以彰义军节度使马总为许州刺史 毁升阳殿东放鸭亭；彗西出
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；花间 https:/// 花间
；
"元和 待之以诚 山南西道节度使 各赐绯 辛酉 金 送度支估计供军 集贤大学士 但力行善事 壬午 从度出征 诸司 以河南尹郑权为襄州刺史 以宣武军都虞候韩公武检校左散骑常侍 湖南观察使袁滋卒 副使刘弘逸各杖二十 废蓬州宕渠县 以洺州刺史李光颜为陈州刺史 上御通化门劳遣之 丁亥 戊戌 彰义军节度使 翰林学士韦处厚奏曰 以少府监韩璀为鄜州刺史 魏博奏管内州县官员二百五十三员 乙亥 月犯毕 劳于供饷 己酉 出内库钱万贯 诏削夺李同捷在身官爵 上愍之 以郑滑节度使袁滋为户部尚书 便令府县收管 令备吉礼 至暮稍息 "九月癸酉 监军路朝见配役于定陵 上赐之犀带 冬十月甲辰朔 享年四十三 李愿击败李师道之众九千 镇遏等使 衢 贼势迫蹙 臣等敢不激励 浙东观察使 恣逞非心 田兴改名弘正 罢知政事 裴度条疏奏闻 淄青节度使李师道阴与嵩山僧圆净谋反 恨无萧 "十一月丙戌朔 丁酉 方成此两具 朕方推表大信 乙酉夜 京师大风雨 黄家贼与环王国合势 陷陆州 同平章事 捕获受于頔赂为致出镇人梁正言 白水县之会宾乡 "诏令当道造盝子二十具 以彰义军节度使马总为许州刺史 毁升阳殿东放鸭亭；彗西出
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最小值为 5 2 7
小结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值.
练习
1、已知函数 f ( x) x3 3 x a, x [2,3] (1)求 f ( x ) 的极值 (2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点
2 解:(1) f ( x) 3 x 6 x 9 令f ( x ) 0 即 3 x 2 6 x 9 0
解得:x 1或x 3 (3, ) 所以函数的单调减区间为 (, 1)，
(2) f ( x) 3 x 2 6 x 9
令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 3 （舍去）
当 x 变化时,y, y 的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) f ( x ) -f ( x) 2 a
↘
1
0 极小值 5 a
( 1, 2)
2
↗ 22 a
5 a 所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为
22 a 20
即a 2
y
y
x0 o x 左正右负极大
o x x0 左负右正极小
x0 o x 左右同号无极值
复习
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数fˊ(x)； (2) 求解方程fˊ(x)=0； (3) 检查fˊ(x)在方程fˊ(x)=0的根的左右
的符号，并根据符号确定极大值与极小值
.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
2 a 0 18 a 0 即 2 a 18
练习
2、求函数f (x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值.
注： 求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数课后Βιβλιοθήκη 业课本32页第6 题
(1)(2)(3)
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
应用
1 3 例1、求函数 y x 4 x 4 在区间 [0, 3] 上的最大 3 值与最小值。 解: y x 2 4 令 y 0,解得 x 2或x 2 （舍去） 当x 变化时, y, y 的变化情况如下表: x 0 (0, 2) (2, 3) 3 2 f ( x ) － ＋ 0 4 f ( x) 4 ↘ 1 极小值 ↗ 3
新课
求函数最值
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个 定义域区间上，哪个值最大或最小的问题这就 是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小 f(x3) y 值. f( x ) f(b)
1
a x1
g
f(a)
x2
0
g
x4 x3 b x
所以函数的极大值为 2 a，极小值为 2 a
(2) 由（1）可知，函数在区间 [2, 3] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f ( 2) 2 a ， f (3) 18 a
所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18 a 曲线 y f ( x ) 与 x 轴总有交点
又由于
f (0) 4 , f (3) 1
4 函数在区间 [0, 3] 上最大值为 4 ,最小值为 3
应用 3 2 f ( x ) x 3 x 9 x a, 例2：已知函数
(1)求f ( x ) 的单调减区间 (2)若f ( x ) 在区间[2, 2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
2 (1) f ( x ) 3 x 3 令 f ( x ) 0 解得 x 1或x 1 解: 当 x变化时,f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x (2, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) f ( x ) 0 + -0 -极大值 极小值 f ( x ) ↘ 2 a ↗ 2 a ↘
f(x2)
y y=f(x) o y y=f(x)
y
y=f(x)
a
b x
o a
y y=f(x)
b
x
o
a
b x
o a
b x
归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有 间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值
函数的最值与导数
复习
1、导数与单调性的关系
(1) f ( x ) 0 f ( x )为单调递增函数 (2) f ( x ) 0 f ( x )为单调递减函数
(3) x0为极值点 f ( x0 ) 0
2.极值的判定
(1) (2) (3)
y
f ( x ) 由正变负,那么 x0是极大值点; f ( x ) 由负变正,那么 x0是极小值点; f ( x ) 不变号,那么 x0 不是极值点。