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新人教版九年级上册数学[随机事件和概率--知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）4）菱形既是中央对称图形又是轴对称图形；对称中央是对角线的交点（对称中央到菱形四条边的间隔相等）；对称轴有两条，是对角线地点的直线。
3.菱形的判定1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点九年级数学上册第三章知识点一、平行四边形1、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等（邻角互补）。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、矩形1、矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2、矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
）三、菱形1、菱形的性质定理：菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形的判定方法：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
）四、正方形1、正方形的性质定理：正方形的'四个角都是直角，四条边都相等。
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2、正方形的判定定理：l 有一个角是直角的菱形是正方形。
l 有一组邻边相等的矩形是正方形。
l 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l 对角线相等的菱形是正方形。
l 对角线互相垂直的矩形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形1、等腰梯形的性质定理：等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形的判定方法：定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
初三数学上册知识点内容
初三数学上册知识点内容初三数学上册知识点内容反比例函数1.形如y=k/x(k≠0)或y=kx^-1的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。
它的图像是双曲线。
^-1表示负一次。
2.在函数y=k/x(k≠0)，当k>0时，表达式中的想x、y符号相同，点(x，y)在第一、三象限，所以函数y=k/x(k≠0)的图像位于第一、三象限;当k<0时，表达式中的想x、y符号相反，点(x，y)在第二、四象限，所以函数y=k/x(k≠0)的图像位于第二、四象限。
3.在y=k/x(k≠0)中，当k>0时，在第一象限内，y随着x的增大而减小;若y的值随着x的值的增大而增大，则k的取值范围是k<0。
4.设P(a，b)是反比例函数y=k/x(k≠0)上任意一点，则ab的值等于k。
经过反比例函数上的任意一点P，分别向x轴、y 轴作垂线段，则所成的矩形面积为k;过P点向x轴或y轴作垂线段，连接OP，则所成的三角形面积为k/2。
二次函数1.形如y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)。
的函数叫做二次函数，它的图像是一条抛物线。
2.二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-b/2a，4ac-b^2/4a)，对称轴是直线x=-b/2a。
3.对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
图像与y轴的交点的坐标是(0，c)。
4.一元一次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解，可以看成函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标。
当b^2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。
当b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。
当b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
5.当a>0，且x=-b/2a时，函数y=ax^2+bx+c(a≠0)取得最小值，这个值等于4ac-b^2/4a;当a<0，且x=-b/2a时，函数y=ax^2+bx+c(a≠0)取得值，这个值等于4ac-b^2/4a。
初三数学上册四单元重要知识点
初三数学上册四单元重要知识点1500字初三数学上册四单元知识点如下：一、同长线段的构造：1. 根据已知线段及其延长线段的长度，用尺量出相应长度的线段。
2. 节点法构造线段：通过已知线段的两个节点，用画图工具把它重新画出。
3. 三线偏向构造线段：即用尺偏一点位置，在偏离初始点的方向上，用尺量出相应长度的线段。
二、正方形的特点和性质：1. 正方形是一个特殊的矩形，它的四条边相等且两两垂直。
2. 正方形具有的重要性质：周长、面积和对角线长度相等。
三、正方形的重要定理：1. 如果一个图形是正方形，那么它是菱形，反之不成立。
2. 如果一个图形是正方形，那么它是矩形，反之不成立。
3. 如果一个图形是正方形，那么它是平行四边形，反之不成立。
四、菱形的特点和性质：1. 菱形是一个特殊的平行四边形，它的四条边相等且两两相邻。
2. 菱形具有的重要性质：周长和对角线长度相等。
五、菱形的重要定理：1. 如果一个图形是菱形，那么它是平行四边形，反之不成立。
2. 如果一个图形是菱形，那么它是矩形，反之不成立。
六、直角三角形的特点和性质：1. 直角三角形是一个特殊的三角形，其中一个角是90°。
2. 直角三角形的斜边是其他两边中最长的一边。
七、三角形中的角度和边的关系：1. 三角形的内角和等于180°。
2. 三角形中，两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3. 钝角三角形中，最长边对应的角是最小的。
4. 锐角三角形中，最短边对应的角是最小的。
八、三角形的内切圆和外接圆：1. 内切圆是一个能与三角形的三条边相切的圆。
2. 外接圆是一个能与三角形的三条边的延长线相切的圆。
九、平行四边形的特点和性质：1. 平行四边形是一个有两对平行边的四边形。
2. 平行四边形具有的重要性质：对角线相互平分、对边相等。
十、菱形的面积和平行四边形的面积公式：1. 平行四边形的面积公式：S = 底边×高。
2. 菱形的面积公式：S = 对角线1 ×对角线2 / 2。
数学初三上册知识点归纳
数学初三上册知识点归纳【第一章实数】一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x≥0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。
4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义("三要素")②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。
二、实数的运算1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2.运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。
三、应用举例(略)附：典型例题1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。
最新中心对称与中心对称图形知识点复习：必备的初三上册数学-word文档
中心对称与中心对称图形知识点复习：必备的初三上册数学学好知识就需要平时的积累。
知识积累越多，掌握越熟练，查字典数学网编辑了中心对称与中心对称图形知识点复习：必备的初三上册数学，欢迎参考!1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
3.中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形;(2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
三、轴对称与中心对称的区别与联系：轴对称中心对称有一条对称轴——直线有一个对称中心——点图形沿对称轴对折(翻折180o)后重合图形绕对称中心旋转180 o后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分四、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线;等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线;等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线;菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线;中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆对称中心：线段的对称中心是线段的中点;平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。
说明：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。
五、坐标系中的轴对称变换与中心对称变换：点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。
初三上册笔记数学
初三上册笔记数学一、函数1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它描述了每一个输入只对应一个输出。
2. 函数的表示方法：解析式法、列表法、图像法。
3. 一次函数：y=kx+b (k≠0)。
斜率k决定了函数的增减性，截距b决定了函数与y轴的交点。
4. 反比例函数：y=k/x (k≠0)。
当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。
5. 二次函数：y=ax^2+bx+c (a≠0)。
开口方向由a决定，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。
二、圆1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合。
2. 圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。
3. 圆的方程：标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O(a,b)，半径r。
4. 点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断。
5. 直线与圆的位置关系：通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断。
6. 圆与圆的位置关系：通过比较两圆的圆心距与两圆半径和或差来判断。
三、相似三角形1. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方。
3. 相似三角形的判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
四、锐角三角函数1. 正弦、余弦、正切的定义：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做角的正弦，记作sinA；锐角的邻边与斜边的比叫做角的余弦，记作cosA；锐角的对边与邻边的比叫做角的正切，记作tanA。
2. 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°的三角函数值需要熟记。
3. 三角函数的性质：正弦、余弦在第一象限为正，在第二象限为负；正切在第一、四象限为正，在第二、三象限为负。
北师大版九年级数学上册 知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
数学初三上册知识点归纳
数学初三上册知识点归纳一、一元二次方程1. 定义- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 一元二次方程的解法- 直接开平方法- 对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
- 例如方程(x - 3)^2=16，则x - 3=±4，解得x = 7或x=-1。
- 配方法- 步骤：- 把方程化为ax^2+bx + c = 0(a≠0)的形式。
- 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，即ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 配方，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。
- 化为(x + m)^2=n的形式，然后用直接开平方法求解。
- 例如用配方法解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 移项得x^2+6x = 7。
- 配方：x^2+6x+9 = 7 + 9，即(x + 3)^2=16。
- 解得x = 1或x=-7。
- 公式法- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 例如解方程2x^2-5x+3 = 0，其中a = 2，b=-5，c = 3，Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×3 = 25 - 24 = 1。
- 则x=(5±√(1))/(4)=(5±1)/(4)，解得x = 1或x=(3)/(2)。
- 因式分解法- 当一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解。
初三数学上册知识点内容
初三数学上册知识点内容一、数与式1.整除与质数整除：若a和b是整数(b≠0)，则存在唯一的整数q，使得$a=q\\cdot b$，则称a能够被b整除，记作b|a。
例如15|75。
质数：一个大于1的自然数，除了1和本身外，不能被其他自然数整除的数称为质数。
例如2、3、5、7、11等。
2.数的性质与运算数的符号：正数、负数、零绝对值：一个数的绝对值是这个数到原点距离的非负值。
数轴：用于表示数并对数进行排序的一个直线。
加减乘除：加法与减法、乘法与除法3.代数式与多项式代数式：由数及表示数的运算符号构成的式子，用字母表示数或量。
多项式：由有限个代数式用加减法连接起来得到的式子二、方程与不等式1.一次方程与不等式一次方程：形如ax+b=0的方程，其中a eq0,b为常数，x为未知数。
一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a eq0,b为常数，x为未知数。
2.二次方程与不等式二次方程：形如ax2+bx+c=0的方程，其中a eq0,b,c为常数，x为未知数。
二次不等式：形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的不等式，其中a eq0,b,c为常数，x为未知数。
3.绝对值方程与不等式绝对值方程：形如|ax+b|=c的方程，其中a,b,c为已知数，x为未知数。
绝对值不等式：形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的不等式，其中a,b,c为已知数，x为未知数。
三、平面几何1.平面图形及其性质点、线、面、角、圆、多边形、三角形等2.图形的计算面积：扇形、三角形、四边形、圆、梯形、同心圆等周长：等边三角形、等腰三角形、正方形、矩形等3.相似与全等相似：两个图形的对应角相等，对应边成比例，两图形相似。
全等：两个图形的对应的三边和三角分别相等，两个图形全等。
四、统计与概率1.统计学基本概念平均数：算术平均数、中位数、众数基本概率：试验结果中期望发生的结果所占的比率。
初中九年级数学知识点总结
九年级数学上知识点人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概率五个章节的内容;第二十一章二次根式一．知识框架二．知识概念二次根式：一般地,形如√āa≥0的代数式叫做二次根式;当a＞0时,√a表示a的算数平方根,其中√0=0对于本章内容,教学中应达到以下几方面要求：1. 理解二次根式的概念,了解被开方数必须是非负数的理由；2. 了解最简二次根式的概念；3. 理解并掌握下列结论：1是非负数；2；3；4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算；5. 了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用;第二十二章一元二次根式一．知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式,只含有一个未知数一元,并且未知数的最高次数是2二次的方程,叫做一元二次方程．一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0a≠0．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0a≠0后,其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下,通过解方程来解决一些实际问题;1运用开平方法解形如x+m2=nn≥0的方程；领会降次──转化的数学思想．2配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；变形为x+p2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如的方程;这样的方程可以化为更为简单的形如的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解;进而举例说明如何解形如的方程;然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程,引出配方法;最后安排运用配方法解一元二次方程的例题;在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程;对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解;3一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根由方程的系数a、b、c而定,因此：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,•将a、b、c代入式子,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性;这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．第二十三章旋转一.知识框架二．知识概念1.旋转：在平面内,将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转;这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角;图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动,其中对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变;2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角旋转角小于0°,大于360°;3．中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合,那么我们就说,这个图形成中心对称图形; 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称;4.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形;关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分;关于中心对称的两个图形,对应线段平行或者在同一直线上且相等;本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念,探索旋转的性质,进一步发展空间观察,培养几何思维和审美意识,在实际问题中体验数学的快乐,激发对学习学习;第二十四章圆一．知识框架二．知识概念1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆;定点称为,定长称为;2.和：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;大于半圆的弧称为,小于半圆的弧称为;连接圆上任意两点的线段叫做弦;经过圆心的弦叫做;3.和：顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;4.和：过三角形的三个顶点的圆叫做的,其圆心叫做三角形的外心;和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的,其圆心称为内心;5.：在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形;6.圆锥侧面展开图是一个扇形;这个扇形的半径称为的;7.圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例设P是一点,则PO是点到圆心的距离,P在⊙O外,PO＞r；P 在⊙O上,PO＝r；P在⊙O内,PO＜r; 8.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点;9.两圆之间有5种位置关系：无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫；有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切；有两个公共点的叫;两圆圆心之间的距离叫做;两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r;10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;11.切线的性质：1经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线;2经过切点垂直于切线的直线必经过圆心;3圆的切线垂直于经过切点的半径;12.垂径定理：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;13.有关定理：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等．在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．14.圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/18015.扇形面积S=πR^2-r^2 5.圆锥侧面积S=πrl第二十五章概率知识框架本章内容要求学生了解事件的可能性,在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性,学会计算概率;九年级数学下知识点人教版九年级数学下册主要包括了二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图四个章节的内容;第二十六章 二次函数一．知识框架 二．.知识概念1.二次函数：一般地,自变量x 和y 之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+ca≠0,a、b 、c 为常数,则称y 为x 的二次函数;2.二次函数的解析式三种形式; 一般式 y=ax 2+bx+ca ≠0 顶点式 2()y a x h k =-+ 交点式 12()()y a x x x x =-- 3.二次函数图像与性质 2b x a=-对称轴：标：24(,)24b ac b a a-- 顶点坐与y 轴交点坐标0,c4.增减性：当a>0时,对称轴左边,y 随x 增大而减小；对称轴右边,y 随x 增大而增大当a<0时,对称轴左边,y 随x 增大而增大；对称轴右边,y 随x 增大而减小 5.二次函数图像画法：勾画草图关键点：错误!开口方向 错误!对称轴 错误!顶点 错误!与x 轴交点 错误!与y 轴交点 6.图像平移步骤1配方 2()y a x h k =-+,确定顶点h,k 2对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减 7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形,有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x += 8.根据图像判断a,b,c 的符号 1a ——开口方向2b ——对称轴与a 左同右异 9.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0a ≠0的根; 抛物线y=ax 2+bx+c,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x 轴有一个交点；24<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x轴没有交点b ac二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目;因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力;第二十七章相似一．知识框架二.知识概念：1.相似三角形：对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形;互为相似形的三角形叫做相似三角形2.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断;对应边成比例,对应角相等错误!.平行于三角形一边的直线或两边的延长线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；错误!.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；错误!如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；错误!如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；3.直角三角形相似判定定理:错误!.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似;错误!.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,并且分成的两个直角三角形也相似;4.相似三角形的性质:错误!.相似三角形的一切对应线段对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等的比等于相似比;错误!相似三角形周长的比等于相似比;错误!.相似三角形面积的比等于相似比的平方;本章内容通过对相似三角形的学习,培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力;第二十八章锐角三角函数一．知识框架二．知识概念△ABC中1∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA＝错误! 2∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦,记作cosA＝错误! 3∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA＝错误! 4∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切,记作cota＝错误!2.特殊值的三角函数：a sinacosatanacota30°45°1160°本章内容使学生了解在直角三角形中,锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义;并能应用这些概念解决一些实际问题;第二十九章投影与视图知识框架本章内容要求学生经历实践探索,了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；。
初三数学上册第一章知识点归纳
初三数学上册第一章知识点归纳第一章证明一、等腰三角形、概念：有两边相等的三角形是等腰三角形。
二、性质：1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”）3等腰三角形的两底角的平分线相等。
（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高7等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
特殊的等腰三角形等边三角形、概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。
（注意：假设三角形三条边都相等那么说那个三角形为等边三角形，而一样不称那个三角形为等腰三角形）。
二、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。
⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每一个角的角平分线相互重合。
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等、直角三角形全等的判定有种：（1）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）（2）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）（3）、三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（4）、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（AAS）（）、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等；（HL）二、在直角三角形中，如有一个内角等于30&rd;，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4垂直平分线：垂直于一条线段而且平分这条线段的直线。
初三上册最新数学知识点归纳总结
初三上册最新数学知识点归纳总结初三上册数学知识点归纳(一)不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法。
不等式基本性质1、不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：1去分母2去括号3移项4合并同类项5将x项的系数化为1.一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法1分别求出不等式组中各个不等式的解集。
2利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形
九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
九年级上册数学知识点总结
九上数学知识点知识点总结、考点梳理2.二次函数y=ax²的性质（1）抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y=ax²的图像与a的符号关系.①当a0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点；②当a0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²（a≠0）.3.二次函数y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：y=a（x - h）²+k的形式，其中5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax²；②y=ax²+k；③y=a （x - h）²；④y=a（x - h）²+k；⑤y=ax²+bx+c.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：∴顶点是:对称轴是直线:（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax²中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线，故：①b=0时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c=0，抛物线经过原点;②c0，与y轴交于正半轴；③c0，与y轴交于负半轴.以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y=a（x - h）²+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式:y=a(x-x1)(x-x2).12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线X=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点（h,ah²+bh+c）（3）抛物线与轴的交点二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点Û△0Û抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）Û△=0Û抛物线与x轴相切；③没有交点Û△0Û抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根.（5）一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时L与G有两个交点;②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)，由于x1、x2是方程ax²+bx+c=0的两个根，故旋转圆知识点梳理：概率初步。
初三数学上册第一章知识点归纳
初三数学上册第一章知识点归纳初三数学上册第一章通常是为后续学习打下基础的重要章节，包含了许多关键的数学概念和方法。
以下是对这一章知识点的详细归纳。
一、正数和负数1、正数：大于 0 的数叫做正数。
例如：5、105、20% 等都是正数。
2、负数：小于 0 的数叫做负数。
比如：－3、－58、－10% 等。
3、 0 既不是正数，也不是负数。
0 是正数和负数的分界点。
4、具有相反意义的量：为了区分具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负。
例如：向东走 5 米记为＋5 米，那么向西走 8 米就记为－8 米。
二、有理数1、有理数的分类（1）按定义分类：有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
（2）按性质分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。
2、数轴（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（3）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
3、相反数（1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例如：5 和－5 互为相反数。
（2）一般地，a 的相反数是 a，0 的相反数是 0。
4、绝对值（1）定义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。
（2）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。
即：如果 a ＞ 0，那么｜a| ＝ a；如果 a ＝ 0，那么｜a| ＝ 0；如果a ＜ 0，那么｜a| ＝ a。
三、有理数的加减法1、有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如：＋5 ＋＋3 ＝＋8，－5 ＋－3 ＝－8。
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如：＋5 ＋－3 ＝ 2，－5 ＋＋3 ＝－2。
（3）一个数同 0 相加，仍得这个数。
2024年初三数学上册课本知识点总结(二篇)
2024年初三数学上册课本知识点总结初三数学上册课本主要包含以下几个知识点：知识点一：分式的化简与运算这一部分主要介绍了如何对分式进行化简和运算。
分式是指有分子和分母的数，可以用来表示有理数的除法运算。
化简分式就是把分子和分母的公因式约去，使分式简化为最简形式。
而分式的运算包括加减乘除四则运算，需要注意分母的处理。
知识点二：二次根式二次根式是指开方后含有根号的表达式。
这一部分主要介绍了二次根式的基本性质和运算规律。
其中包括二次根式的化简、加减乘除等运算，以及二次根式的应用问题。
知识点三：比例与相似比例是指两个量之间的相对关系，可以用等比例或不等比例关系来表示。
比例的性质有比例恒等式、比例分配定理等。
而相似是指两个图形的形状相似，但尺寸不同。
相似的判定条件有AAA相似判定、对应边成比例、对应角相等等。
相似的应用问题包括影子问题、海伦公式等。
知识点四：平面直角坐标系平面直角坐标系是指通过两条相互垂直的坐标轴建立平面上的坐标系。
这一部分主要介绍了平面直角坐标系的建立和性质，以及直线、线段的坐标表示和距离公式的应用。
知识点五：平行线与比例线段平行线是指在平面上永远不相交的直线。
这一部分主要介绍了平行线的性质，如同位角、内错角、外错角等。
同时也介绍了平行线上的比例线段，包括比例分割定理、垂直分割定理等。
知识点六：等腰三角形与全等三角形等腰三角形是指两边相等的三角形，全等三角形是指对应边角都相等的三角形。
这一部分主要介绍了等腰三角形和全等三角形的性质与判定条件，包括等腰三角形的基本性质、全等三角形的AAA、SAS、SSS等判定条件。
知识点七：数中的代数思想这一部分主要介绍了代数运算与代数式的应用。
代数运算包括加减乘除运算，以及指数运算等。
代数式的应用包括解方程、列方程、应用题等。
此外，课本还包括了大量的例题和练习题，用来巩固和练习所学的知识点。
通过反复练习，可以提高解题的能力和思维的灵活性。
另外，还有一些拓展性和综合性的题目，用来培养学生的解决问题的能力和综合运用所学知识的能力。
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初三数学上册知识点第一章实数一、重要概念1．数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则： 1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。
（表为：x≥0）性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3．倒数：①定义及表示法②性质： A.a ≠ 1/a（a≠±1）;B.1/a 中， a≠ 0;C＜.0a＜1 时 1/a＞1;a＞1 时， 1/a ＜1;D.积为 1。
4．相反数：①定义及表示法②性质： A.a ≠0时， a≠-a;B.a与-a 在数轴上的位置 ;C.和为 0,商为 -1。
5．数轴：①定义（“三要素”）②作用： A.直观地比较实数的大小 ;B.明确体现绝对值意义 ;C.建立点与实数的一一对应关系。
6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数： 2n-1偶数： 2n（n 为自然数）7．绝对值：①定义（两种）：代数定义：几何定义：数 a 的绝对值顶的几何意义是实数 a 在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│ a│≥符0,号“││”是非负数”的标志 ; ③数 a 的绝对值只有一个 ; ④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
二、实数的运算1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2．运算定律（五个—加法 [乘法 ]交换律、结合律 ;[乘法对加法的 ]分配律）3．运算顺序： A.高级运算到低级运算 ;B.（同级运算）从“左”到“右”（如 5÷×5）;C.(有括号时 )由“小”到“中”到“大”。
三、应用举例（略）附：典型例题1．已知： a、b、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│ +│x-b=b-a.2.已知： a-b=-2 且 ab<0，（ a≠0，b≠0），判断 a、b 的符号。
第二章代数式★ 重点★ 代数式的有关概念及性质，代数式的运算☆ 内容提要☆一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。
（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开 ;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式类别时，是从外形来看。
如，=x, = │等x│。
4.系数与指数区别与联系：①从位置上看 ; ②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同 ; ②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断 ; ②区别：、是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.算术平方根⑴正数 a 的正的平方根（ [a ≥ 0与—“平方根”的区别 ]）;⑵ 算术平方根与绝对值①联系：都是非负数， =│ a│②区别：│ a中│， a 为一切实数 ;中， a 为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式 ; ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数⑴ (—幂，乘方运算 )①a＞ 0 时，＞ 0; ②a＜0 时，＞ 0（n 是偶数），＜ 0（n 是奇数）⑵零指数： =1（a ≠0）负整指数： =1/（a≠0,p是正整数）二、运算定律、性质、法则1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2．分式的性质⑴基本性质： =（m≠0）⑵ 符号法则：⑶繁分式：①定义 ; ②化简方法（两种）3．整式运算法则（去括号、添括号法则）4．幂的运算性质：①?= ; ②÷ = ; ③= ; ④= ; ⑤技巧：5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6．乘法公式：（正、逆用）（a+b）（ a-b）=(a ± b) =7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。
8．因式分解：⑴定义 ;⑵方法： A.提公因式法 ;B.公式法 ;C.十字相乘法 ;D.分组分解法 ;E.求根公式法。
9．算术根的性质：＝ ; ; (a≥ 0,b≥ 0);＞(a0)(正≥用0,b、逆用)10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则 ;⑶分母有理化： A. ;B. ;C. .11．科学记数法：（ 1≤a＜10,n 是整数＝三、应用举例（略）四、数式综合运算（略）第三章统计初步★ 重点★☆ 内容提要☆一、重要概念1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。
3.样本：从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）二、计算方法1.样本平均数：⑴;⑵若，， , ，,则(a—常数，，， , ，接近较整的常数 a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。
通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
2．样本方差：⑴;⑵若, ,,, ,则（ a—接近、、 , 、的平均数的较“整”的常数） ; 若、、 , 、较“小”较“整”，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3．样本标准差：三、应用举例（略）第四章直线形★ 重点★ 相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆ 内容提要☆一、直线、相交线、平行线1．线段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2．线段的中点及表示3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）4．两点间的距离（三个距离：点 -点;点-线;线-线）5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）6．互为余角、互为补角及表示方法7．角的平分线及其表示8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）9．对顶角及性质10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性） ; ②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12．定义、命题、命题的组成13．公理、定理14．逆命题二、三角形分类：⑴按边分 ;⑵ 按角分1．定义（包括内、外角）2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论 ; ②外角和 ; ③n边形内角和 ; ④n边形外角和。
⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
⑶角与边：在同一三角形中，3．三角形的主要线段讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质① 高线② 中线③ 角平分线④ 中垂线⑤ 中位线⑴ 一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质 5．全等三角形⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）⑵ 特殊三角形全等的判定：① 一般方法② 专用方法6．三角形的面积⑴ 一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线⑴中点配中点构成中位线 ;⑵加倍中线 ;⑶添加辅助平行线8．证明方法⑴ 直接证法：综合法、分析法⑵ 间接证法—反证法：① 反设② 归谬③ 结论⑶ 证线段相等、角相等常通过证三角形全等⑷ 证线段倍分关系：加倍法、折半法⑸ 证线段和差关系：延结法、截余法⑹ 证面积关系：将面积表示出来三、四边形分类表：1．一般性质（角）⑴内角和： 360 °⑵ 顺次连结各边中点得平行四边形。
推论 1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论 2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和： 360 °2．特殊四边形⑴研究它们的一般方法 :⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定⑶ 判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形┗ →菱形——↑⑷ 对角线的纽带作用：3．对称图形⑴轴对称（定义及性质） ;⑵中心对称（定义及性质）4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2② 三角形、梯形的中位线定理③ 平行线间的距离处处相等。
（如，找下图中面积相等的三角形）5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线 ; ②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6．作图：任意等分线段。
四、应用举例（略）第五章方程（组）★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法 ;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）☆ 内容提要☆一、基本概念1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2．分类：二、解方程的依据—等式性质1．a=b←→ a+c=b+c2．a=b←→ ac=bc (c≠ 0)三、解法1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成 1→解。
2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：① 代入法② 加减法四、一元二次方程1．定义及一般形式：2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵ 配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶ 公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3．根的判别式：4．根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5．常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1．分式方程⑴ 定义⑵ 基本思想：⑶ 基本解法：① 去分母法② 换元法（如，）⑷ 验根及方法2．无理方程⑴ 定义⑵ 基本思想：⑶ 基本解法：① 乘方法（注意技巧！！）② 换元法（例，）⑷ 验根及方法3．简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程（组）解应用题一概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：⑴ 审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵ 设元（未知数）。
① 直接未知数② 间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶ 用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷ 寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。