压缩感知_基于TV的去噪去模糊 以及GPSR方法的介绍.
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j 1
因此 则，目标函数1变为：
观察可知里面最小化问题的解为： 将上面的x代回到刚才的公式，则
( p , q )
min { P C (b L( p, q)) (b L( p, q)
2 F
b L( p, q) F }
2
故，若
是上面优化问题的解，则目标函数1的解为：
用梯度投影法即可求解该问题
xk PC ( xk 1
1 f ( xk 1 )) L( f )
GP算法
xk PC ( xk 1 1 f ( xk 1 )) L( f )
xk PC ( xk 1
1 f ( xk 1 )) L( f )
FGP算法
去模糊
去噪问题的核心就是求解问题：
梯度的方法进行除偏处理，目标函数为
使用目标函数当次迭代结果与其初始化计算结果的比值作为迭代停止 条件，迭代停止阈值用
基于CG除偏法步骤
Original (n = 4096, number of nonzeros = 160) 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0.5 0 -0.5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 500 1000 1500 2000 2500 3000 Minimum norm solution (MSE = 0.02893) 3500 4000 500 1000 1500 2000 2500 3000 Debiased (MSE = 5.235e-005) 3500 4000 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 GPSR reconstruction (k = 1024, tau = 0.0438, MSE = 0.00255)
注：上述OMP方法中，以小波基作为稀疏
基，测量矩阵为高斯随机矩阵，将图像按列 逐步处理；TV采用快速傅里叶变换技术实现 测量，非线性共轭梯度法实现重构。
视觉效果对比
利用TV恢复的图像明显 优于用OMP恢复的图像
重构方法GPSR
压缩感知中重构问题就是求解公式：
令
则有，
，其中
，
，
上式可化为标准BCQP:
F
L( f ) x y
F
F
T L max M 0 M0 x
F
TV与OMP重构对比
采样率 方法 时间(s) 峰值信噪比
60% 50% 30%
OMP
TV
OMP
TV
OMP
TV
7.8489 27.6108 5.8305 25.2130 2.9458 19.9112
28.4592 43.7244 26.7119 40.6278 12.2554 34.4614
根据ISTA方法需要求解式子：
L 1 xk PL ( xk 1 ) arg min{ x ( xk 1 f ( xk 1 )) 2 L xC
令 bk 1 xk 1 f ( xk 1 ) ，则
1 L
2
2 x
F
TV
}
PL ( xk 1 ) arg min{
其中，
GPSR-Basic
GPSR-Basic
1 Step 1 初始化：设置参数 z (0) , (0,1), (0, ),置k=0; 2 ( g ( k ) )T g k Step 2 计算：根据公式0 ( k ) T k 计算 0 ，并使用 mid (min , 0 , max )
2
L 1 x arg min{ x ( x f ( xk 1 ) 则可通过解 k k 1 2 L xC
TV ( x)} 获得重构图像。
F
？
问题一：求 f 问题二：求 L( f )
T f ( x) M 0 ( M 0 x y)
f ( x) f ( y)
x 1
两种TV范数
各项同性：
各项异性：
根据公式
可将TV范数改写为： 其中， T ( x, p, q )
[ p
i 1 j 1 m 1 i 1
m 1 n 1
i, j
( xi , j xi 1, j ) qi , j ( xi , j xi , j 1 )]
n 1
pi ,n ( xi ,n xi 1,n ) qm, j ( xm, j xm, j 1 )
( g 来自百度文库 Bg
替换 0 ；
2 Step 3 线性搜索：从序列 0 , 0 , 0 ,... 中选择第一个满足公式
F (( z ( k ) ( k )F ( z ( k ) )) ) F ( z ( k ) ) F ( z ( k ) )T ( z ( k ) ( z ( k ) ( k )F ( z ( k ) )) )
(k ) 的数作为 ，并置 z ( k 1) ( z ( k ) ( k )F ( z ( k ) ))；
Step 4 判断 ：若满足收敛条件，则停止，并以 z ( k 1)为最终近似解； 否则令k=k+1返回Step2.
GPSR-BB
基于共轭梯度的除偏法
使用梯度投影法得到的解向量为 最优解向量 。 ，则可以得到最终的
除偏后 重构误差减小
y=R*x+n Min solution是指 R’*y
GPSR与OMP
基于TV的去噪去模糊
基于TV的图像重构 重构方法GPSR
去噪
去噪问题的核心就是求解公式： 目标函数1
由于TV范数不光滑，作者引入了对偶法来解决该优化问题。 先定义了以下算子 ： 1.
2.
3.
4.
若
，则
文章以定理的形式给出了最优化问题的解： 若 的解为 是以下优化问题的解，则目标函数1在TV=TVI时 ，其中，
xC
L x bk 1 2
2 F
2 x
TV
}
与之前去噪公式相比， 因此，可将去模糊问题看做是一系列迭代去噪问题，而bk即为 含噪图像。
GPB算法
图像重构
基于TV的图像重构目标就是求解最优化问题：
其中，
根据梯度算法，迭代公式为： 同时，
分析讨论
图像复原：
图像重构：
令f(x)= 1 2 M 0 x y 2 , g ( x) TV ( x) 2
因此 则，目标函数1变为：
观察可知里面最小化问题的解为： 将上面的x代回到刚才的公式，则
( p , q )
min { P C (b L( p, q)) (b L( p, q)
2 F
b L( p, q) F }
2
故，若
是上面优化问题的解，则目标函数1的解为：
用梯度投影法即可求解该问题
xk PC ( xk 1
1 f ( xk 1 )) L( f )
GP算法
xk PC ( xk 1 1 f ( xk 1 )) L( f )
xk PC ( xk 1
1 f ( xk 1 )) L( f )
FGP算法
去模糊
去噪问题的核心就是求解问题：
梯度的方法进行除偏处理，目标函数为
使用目标函数当次迭代结果与其初始化计算结果的比值作为迭代停止 条件，迭代停止阈值用
基于CG除偏法步骤
Original (n = 4096, number of nonzeros = 160) 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0.5 0 -0.5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 500 1000 1500 2000 2500 3000 Minimum norm solution (MSE = 0.02893) 3500 4000 500 1000 1500 2000 2500 3000 Debiased (MSE = 5.235e-005) 3500 4000 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 GPSR reconstruction (k = 1024, tau = 0.0438, MSE = 0.00255)
注：上述OMP方法中，以小波基作为稀疏
基，测量矩阵为高斯随机矩阵，将图像按列 逐步处理；TV采用快速傅里叶变换技术实现 测量，非线性共轭梯度法实现重构。
视觉效果对比
利用TV恢复的图像明显 优于用OMP恢复的图像
重构方法GPSR
压缩感知中重构问题就是求解公式：
令
则有，
，其中
，
，
上式可化为标准BCQP:
F
L( f ) x y
F
F
T L max M 0 M0 x
F
TV与OMP重构对比
采样率 方法 时间(s) 峰值信噪比
60% 50% 30%
OMP
TV
OMP
TV
OMP
TV
7.8489 27.6108 5.8305 25.2130 2.9458 19.9112
28.4592 43.7244 26.7119 40.6278 12.2554 34.4614
根据ISTA方法需要求解式子：
L 1 xk PL ( xk 1 ) arg min{ x ( xk 1 f ( xk 1 )) 2 L xC
令 bk 1 xk 1 f ( xk 1 ) ，则
1 L
2
2 x
F
TV
}
PL ( xk 1 ) arg min{
其中，
GPSR-Basic
GPSR-Basic
1 Step 1 初始化：设置参数 z (0) , (0,1), (0, ),置k=0; 2 ( g ( k ) )T g k Step 2 计算：根据公式0 ( k ) T k 计算 0 ，并使用 mid (min , 0 , max )
2
L 1 x arg min{ x ( x f ( xk 1 ) 则可通过解 k k 1 2 L xC
TV ( x)} 获得重构图像。
F
？
问题一：求 f 问题二：求 L( f )
T f ( x) M 0 ( M 0 x y)
f ( x) f ( y)
x 1
两种TV范数
各项同性：
各项异性：
根据公式
可将TV范数改写为： 其中， T ( x, p, q )
[ p
i 1 j 1 m 1 i 1
m 1 n 1
i, j
( xi , j xi 1, j ) qi , j ( xi , j xi , j 1 )]
n 1
pi ,n ( xi ,n xi 1,n ) qm, j ( xm, j xm, j 1 )
( g 来自百度文库 Bg
替换 0 ；
2 Step 3 线性搜索：从序列 0 , 0 , 0 ,... 中选择第一个满足公式
F (( z ( k ) ( k )F ( z ( k ) )) ) F ( z ( k ) ) F ( z ( k ) )T ( z ( k ) ( z ( k ) ( k )F ( z ( k ) )) )
(k ) 的数作为 ，并置 z ( k 1) ( z ( k ) ( k )F ( z ( k ) ))；
Step 4 判断 ：若满足收敛条件，则停止，并以 z ( k 1)为最终近似解； 否则令k=k+1返回Step2.
GPSR-BB
基于共轭梯度的除偏法
使用梯度投影法得到的解向量为 最优解向量 。 ，则可以得到最终的
除偏后 重构误差减小
y=R*x+n Min solution是指 R’*y
GPSR与OMP
基于TV的去噪去模糊
基于TV的图像重构 重构方法GPSR
去噪
去噪问题的核心就是求解公式： 目标函数1
由于TV范数不光滑，作者引入了对偶法来解决该优化问题。 先定义了以下算子 ： 1.
2.
3.
4.
若
，则
文章以定理的形式给出了最优化问题的解： 若 的解为 是以下优化问题的解，则目标函数1在TV=TVI时 ，其中，
xC
L x bk 1 2
2 F
2 x
TV
}
与之前去噪公式相比， 因此，可将去模糊问题看做是一系列迭代去噪问题，而bk即为 含噪图像。
GPB算法
图像重构
基于TV的图像重构目标就是求解最优化问题：
其中，
根据梯度算法，迭代公式为： 同时，
分析讨论
图像复原：
图像重构：
令f(x)= 1 2 M 0 x y 2 , g ( x) TV ( x) 2