专升本工程力学第5章 弹性变形体静力分析基础

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5.1 变形固体的基本假设
变形固体的基本假设： •连续性假设：认为组成固体的物质毫无间隙地充满物体的几 何容积。 •均匀性假设：认为固体各部分的力学性能都是完全相同的。 •各向同性假设：认为固体沿各个方向的力学性能都是相同的。
➢小变形：指构件的变形量远小于其原始尺寸。 ➢因此，在确定构件的平衡和运动时，可不计其变形量，仍 按原始尺寸进行计算，从而简化计算过程。
机电工程学 弹性变形体静力分析基础
5.1 变形固体的基本假设 5.2 内力与应力 5.3 变形与应变 5.4 杆件变形的形式
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5.1 变形固体的基本假设
变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形 两类。
➢弹性变形：在外力撤去后能消失的变形称为弹性变形。 ➢塑性变形：在外力撤去后不能消失而遗留下的变形。 ➢完全弹性体：当所受外力不超过一定限度时，绝大多数工 程材料在外力撤去后，其变形可完全消失，具有这种性质的 变形固体称为完全弹性体。 ➢部分弹性体：当所受外力撤去后，其变形可部分消失，而 遗留一部分不能消失的变形，这种变形固体称为部分弹性体。
➢平衡：列出留下部分的平衡方程，求出未知内力。
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5.2.2 截面法
【例5.1】求构件m-m截面上的内力。
解 假想沿截面m-m把构件截开，取构件的下半部分为研究对
象。在构件A端作用的外力有F1和F2。欲使下半部分保持平 衡，则m-m截面上必有内力作用。显然，内力是水平方向的
➢线应变ε和切应变γ是度量构件内一点处 变形程度的两个基本量，它们都是量纲为 1的量， γ的单位是rad（弧度）。
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5.3 变形与应变
➢胡克定律：当正应力σ未超过某一极限值时，正应力σ与其相 应的线应变ε成正比。有
E
式中的比例常数E称为弹性模量。它与材料的力学性能有关， 是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。其单位与应力的 单位相同。
m
u x
称为线段Δx的平均线应变，当Δx趋近于
零时，平均线应变的极限值称为M点处
沿x方向的线应变，用εx表示，即
x
lim
x0
u x
du dx
同样可定义M点处沿y和z方向的线应变εx和εz
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5.3 变形与应变
➢当构件变形后，上述正六面体除棱边的长度改变外，原来互 相垂直的平面，例如Oxz平面与Oyz平面间的夹角也可能发生 改变，直角的改变量γ称为M点处的切应变。
第5章 弹性变形体静力分析基础
5.1 变形固体的基本假设 5.2 内力与应力 5.3 变形与应变 5.4 杆件变形的形式
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5.3 变形与应变
➢变形：构件在外力作用下，其几何形状和尺寸的改变，统称
为变形。
➢围绕构件内M点取一微小正六面体，设其沿x轴方向的棱边
长为Δx，变形后边长为Δx+Δu，Δu称为Δx的线变形。比值
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5.2.3 应力
构件某一截面上的内力是分布内力系的主矢和主矩，它只表示 截面上总的受力情况，还不能说明分布内力系在截面上各点处 的密集程度（简称集度）。 在材料相同的情况下，判断杆件破坏的依据不是内力的大小， 而是内力分布的集度。
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5.2.3 应力
➢内力：由于外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作 用力的改变量，程为“附加内力”，简称内力。
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5.2 内力与应力
5.2.1 内力的概念 5.2.2 截面法 5.2.3 应力
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5.2.2 截面法
求构件内力的基本方法是截面法。步骤如下：
➢截开：沿需要求内力的截面假想地把构件截开，分成两部分。 ➢代替：任取其中的一部分（一般取受力较简单的部分）为研 究对象，弃去另一部分。按照连续性假设，内力应连续分布于 整个切开的截面上，将该分布内力系向截面上某一点简化后得 到内力的主矢和主矩（以后就称它为截面上的内力），并用它 代替弃去部分对留下部分的作用。
设在受力构件的m-m截面上，围绕M点取微面积ΔA，ΔA上分
布内力的合力为ΔF，则在ΔA范围内的单位面积上内力的平均
集度为
pm
F A
pm称为ΔA上的平均应力。为消除所取面积ΔA大小的影响，可 令ΔA趋于零，取极限，这样得到
p
lim
A0
pm
lim F A0 A
dF dA
p称为M点处的应力。
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5.4 杆件变形的形式
➢轴向拉伸与压缩 ➢剪切 ➢扭转 ➢弯曲
力FS、铅直方向的力FN和力偶M。 列出平衡方程
Fx 0, F1 FS 0 FS F1 Fy 0, FN F2 0 FN F2 MO 0, F1a F2b M 0
M F1a F2b
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5.2 内力与应力
5.2.1 内力的概念 5.2.2 截面法 5.2.3 应力
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5.1 变形固体的基本假设 5.2 内力与应力 5.3 变形与应变 5.4 杆件变形的形式
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5.2 内力与应力
5.2.1 内力的概念 5.2.2 截面法 5.2.3 应力
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5.2.1 内力的概念
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5.2.3 应力
p是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常 把应力p分解成垂直于截面的法向分量σ和与截面相切的切向 分量τ。 σ称为M点处的正应力， τ称为M点处的切应力。
应力的单位为Pa（帕斯卡），1Pa=1N/m2。 kPa、MPa、GPa
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5.3 变形与应变
➢剪切胡克定律：当切应力τ未超过某一极限值时，切应力τ与 其相应的切应变γ成正比。有
G
式中的比例常数G称为剪切模量。其单位与应力的单位相同。
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