专升本工程力学第5章弹性变形体静力分析基础

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建筑力学课程教学大纲

《建筑力学》课程教学大纲一、本课程的地位、作用和任务《建筑力学》是水利水电建筑工程专业的一门重要的专业基础课，在本专业中起着承上启下的作用，为后续课程打基础。

《建筑力学》的任务是：教授学生掌握物体受力分析与静力平衡问题的求解方法；杆件及结构内力与变形的分析方法；关于构件的强度、刚度与稳定性的计算及构件应力、应变的方法。

通过本课程的学习，要求学生具备对常见结构、构件进行受力分析、内力与变形计算的能力，并初步具备对结构的实验分析能力。

二、教学内容和教学要求第一章绪论1、教学内容建筑力学的研究对象、研究方法、主要内容。

2、教学要求了解建筑力学课程的性质、地位和作用，了解建筑力学各部分的内容、了解建筑力学的学习方法。

第一篇、静力学第二章刚体静力分析基础1、教学内容2—1 力与力偶1）力的概念和性质2）力对点之矩3）力偶的概念和性质2—2 约束与约束反力1）约束与约束反力的概念2）工程中常见的约束与约束反力2—3 受力分析与受力图2、教学要求（1）理解力、力对点的矩、平面力偶的概念及静力学的四个公理，合力矩定理、刚体的概念；掌握平面力偶系合成的计算。

（2）了解约束的概念及荷载的分类；了解作用在构件上荷载的计算方法；掌握常见工程中的约束类型及其约束反力的确定；第三章平面力系1、教学内容3—1 平面力系向一点的简化1）力的平移定理2）平面力系向一点的简化3）力在坐标轴上的投影主矢与主矩的计算4）平面力系向一点简化结果的进一步分析3—2 平衡方程及其应用1）平面一般力系的平衡条件和平衡方程2）平面力系的几种特殊情形3）静定与超静定问题4）物体系的平衡问题2、教学要求（1）了解力的平移定理的内容；掌握力在坐标轴上的投影的概念及计算，掌握合力的投影定理；（2）理解平面一般力系的概念；了解平面一般力系向一点简化和简化结果分析。

（3）掌握平面一般力系、平面汇交力系、平面平行力系及平面力偶系的平衡方程及其应用，重点掌握常见物体支座反力的求法。

第5章弹性静力学基本概念

灰口铸铁的显微组织

弹性体模型的理想化
各向同性与各向异性均匀连续问题
普通钢材的显微组织

弹性体模型的理想化
各向同性与各向异性均匀连续问题
优质钢材的显微组织
弹性体受力与变形特点什么是内力
内力－变形引起的物体内部附加力
F1
F3
F1
F3
F2
Fn
假想截面
F2
分布内力
Fn
弹性体受力与变形特点内力与变形有关
变

形

不
协
调
一致

变形协调一致
结论与讨论
请判断下列简化在什么情形下是正确的，什么情形下是不正确的：
结论与讨论
请判断下列简化在什么情形下是正确的，什么情形下是不正确的：
结论与讨论
C
D
结论与讨论
第二篇
弹性静力学
第 5 章弹性静力学的基本概念
弹性体模型的理想化弹性体受力与变形特点结论与讨论
弹性体模型的理想化
各向同性与各向异性微观各向异性，宏观各向同性；微观各向异性，宏观各向异性。
均匀连续问题微观不连续，宏观连续。

弹性体模型的理想化
各向同性与各向异性均匀连续问题
F
F
F
FN=F
弹性体受力与变形特点
内力必须满足平衡条件
F1
F3
作用在弹性体上的外力相互平衡
F2
Fn
F1
假想截面
F3
内力与外力平衡。
F2
分布内力
Fn
弹性体受力与变形特点内力特点

工程力学第五章

图
qa2/2
MM
例题三
内力图
剪力、弯矩图直接画图法举例
FQ FQ
、
M 图
例题四
内力图
剪力、弯矩图直接画图法举例
FQ
、
M 图
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
可以通过积分方法确定剪力图、弯矩图上各点处的数值。
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。
矩图
平衡微分方程
dFQ y = q dx
dMz dx = FQy
d2Mz dx2
=
q
FQy +dFQy FQy
类似地在xz平面内，也可以得到类似的表达式，只是下标有所不同。
不失一般性，略去下标，写成
dFS = q; dx
dM dx
= FS
;
d 2M dx2
=q
平衡微分方程
此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。
平衡微分方程
平衡微分方程
考察 dx 微段的受力与平衡
FQ +dFQ FQ
平衡微分方程
FQ +dFQ FQ
ΣFy=0: FQy+q dx- FQy - d FQy =0 ΣMc=0: -Mz+(Mz+dMz)- FQy dx-
q dx .dx /2 =0 略去高阶项，得到: dFQ y = q
dx
q
例题5.2-6 续
D 解法2：1．确定约束力
B
4a
a qa
FBy
Fs （+）
（-） qa
7qa/4
2．确定控制面，即A 、B、D两侧截面。

第06章弹性变形体静力分析基础

第六章弹性变形体静力分析基础
弹性变形体静力分析基础
§6-1
变形固体的基本假设
变形固体：任何固体在外力作用下会产生形状和大小的变化。弹性变形：当外力不超过某一限度时，外力撤去后，变形随外力撤去而消失，这种变形称为弹性变形。塑性变形：当外力超过一定限度时，外力撤去后将遗留一部分不能消失的变形，称这部分变形为塑性变形，或称为残留变形或永久变形。构件按几何形状分为杆、板、壳和块体。
7
弹性变形体静力分析基础
二、截面法
N
利用截面法求内力的步骤：
N=F
欲求某一截面的内力，就沿该截面假想地把构件截为两部分保留其中一部分作为研究对象。用作用在截面上的内力，代替弃去部分对保留部分的作用。建立保留部分的平衡条件，确定未知内力。
8
弹性变形体静力分析基础
思考：
求mn截面的内力。
N
Qx
§6-3
一、变形
变形与应变
变形：构件在外力作用下，其几何形状和尺寸的改变。假想将构件分割成无数个微小正六面体
Δu
Δx 长度内总变形量
二、应变
为度量一点处变形强弱程度，引入应变的概念，若各点处的变形程度相同，则
ε =
Δu Δx
13
弹性变形体静力分析基础
若各点处的变形程度不相同，则 Δu du ε = lim = Δx → 0 Δ x dx 表示每单位长度的伸长或缩短，称为线应变当微小正六面体的各边缩小为无穷小时，通称为单元体。在变形过程中，相互垂直棱边的夹 γ 角发生改变，夹角的改变量为切应变。单元体的变形程度由线应变和切应变来度量。构件整体的变形，可理解为所有单元体线变形和角变形的组合。构件内一点处沿各方向上的线应变和任意两正交线段 14 的切应变的集合统称为一点的应变状态。

工程力学静力学基础

力系平衡实例
悬挂在天花板上的重物
重物受到重力和悬绳的拉力作用，这两个力相互抵消，合力为零，重物处于平衡状态。
静止在斜面上的物块
物块受到重力、斜面的支持力和摩擦力的作用，这些力相互抵消，合力为零，物块处于平衡状态。
04 刚体平衡
刚体平衡基本概念
平衡状态
刚体在力的作用下，如果保持静止或匀速直线运动，则称该刚体处于平衡状态。
静力学基本原理
二力平衡原理
作用在刚体上的两个力等大反向，使刚体平衡。
01
三力平衡定理
对于刚体上的三个不共线的力，如果其中两个力的合力与第三个力等大反向，则这三个力可以平衡。
02
03
力的平移定理
对于一个力，可以将其平移到任Hale Waihona Puke 一点，而不改变其对于物体的作用效果。
静力学问题分类
01
平面问题
物体在平面内的受力情况，可以通过平面图形表示。
平衡状态的概念
当物体处于静止或匀速直线运动状态时，称为平衡状态。
力系平衡条件
力的平衡条件
一个物体在两个力或多个力作用下处于平衡状态时，这些力相互抵消，合力为零。
力的平衡方程
对于一个物体在平面内的平衡，可以列出两个独立的平衡方程，求解未知的力或力矩。
力的平衡定理
对于一个物体在平面内的平衡，如果一个力系中的任意三个不共线的力都处于平衡状态，则该力系中的其他力也必然处于平衡状态。
刚体问题
物体在受力后不发生形变，可以视为刚体。
03
02
空间问题
物体在三维空间内的受力情况，需要使用三维图形表示。
弹性体问题
物体在受力后会发生形变，需要考虑弹性变形的影响。

第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理16K资料.doc

第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理(16K)资料.doc第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说,其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程(或偏微分方程),并在一定的边界条件下求得其解,这种解析方法,实际做起来往往遇到很大的困难,使许多工程实际问题的计算模型很难建立,满足不了实际需要｡自从五十年代直刚法问世以来,利用离散化的方法,将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体,即有限单元,再按照一定的过程进行计算,这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决,这种方法不受结构特殊几何形状的限制,因此,它的适应范围是相当广泛的｡有限元素法的提出和应用,是工程分析方法上的一次重大的变革,随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高,使得解的精确性不断地得到改进,以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具,无论对结构问题(如静力学､动力学)､非结构问题(如流体力学､光学､电磁学)以及许多边缘学科等都得到广泛的应用｡有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论,本章不再赘述｡- 53 -- 54 -变分原理是有限元素法的基础,要很好地理解有限元素法,则应该对能量变分原理有一个较系统地了解｡本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍,从一般常用的最小位能原理和最小余能原理,引深到引用拉格朗日乘子法(Lagrange Multiple Method)的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区(Sub-region)广义变分原理,这将涉及到以混合(Mixed)模型和杂交(Hybrid)模型为基础的变分原理｡在此基础上,针对不同变分原理,进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式,以及变分原理在结构分析中的若干应用实例,使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系｡§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中,坐标参数为)3,2,1(=i x i ,体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i ､应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij ｡由线弹性力学理论,我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式｡(1)力的平衡方程0,=+σij ij F (在V 内) (5-1)- 55 - 式中i F 表示体力,j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数(以下相同)｡(2)应变位移关系式(几何关系))(21,,ij j i ij u u +=ε (在V 内) (5-2) (3)应力应变关系式(物理关系)kl ijkl ij a ε=σ (5-3) kl ijkl ij b σ=ε (5-3’) 式中ijkl a 为弹性模量系数,ijkl b 为劲度系数,ijkl a 和ijkl b 都具有对称性｡ (4)在弹性体的边界上,表面S 可划分为两部分:外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ,前者称为力的边界,后者称为位移边界,即u S S S +=σ (5-4)在力的边界σS 上,i j ij T n =σ (5-5) 式中i T 为已知边界力,j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦｡在位移边界u S 上,i i u u = (5-6) 式中i u 为已知边界位移｡(5-5)式和(5-6)式统称为“边界条件”｡上述的诸方程共有15个,即3个平衡方程,6个应变位移关系方程,6个物理关系方程｡而未知变量也共计15个:6个应力分量ij σ,6个应变分量ijε和3个位移分量iu ｡因此该问题是可以求解的｡- 56 -小位移变形弹性体的应变能泛函(或应变能密度)A 和余应变能泛函(余应变能密度)B 可表示为klij ijkl ij a A εε=ε21)( (5-9) kl ij ijkl ij b B σσ=σ21)( (5-10) 不难看出,)(ij A ε和)(ij B σ有以下关系,)()(ij ij ij ij B A σ+ε=σε (5-11)并且容易证明ij ij ij B σ∂σ∂=ε)( (5-12) ij ij ij A ε∂ε∂=σ)( (5-13) (一)虚功原理与总位能原理这里用ij εδ和i u δ分别表示应变变分和位移变分,在虚功原理中可视为虚应变和虚位移｡则由虚功原理可写出虚功方程为0dS δdV δd δV i =--εσ⎰⎰⎰σS ii i V ij ij u T u F V (5-14) (5-14)式成立是有条件的,要求ij εδ和i u δ在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给定位移边界条件,即)δδ(21δ,,ij j i ij u u +=ε (在V 内) (5-15a) 0δ=i u (在u S 上) (5-15b)虚功原理表明,如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态,则对于为位移边界- 57 -条件所容许的任意虚位移,(5-14)式成立｡反过来,如果(5-14)式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立,则弹性体处于平衡状态｡值得提出的是,不管材料的应力应变关系是线性还是非线性,虚功原理都成立｡如果用下面泛函表示弹性体的总位能P∏,⎰⎰σ--ε=∏S ii V i i ij S u T V u F A d d ])([p (5-16) 对(5-16)式取驻值,即一阶变分等于零,⎰⎰σ=--εσ=∏S ii V i i ij ij S u T V u F 0d δd ]δδ[δP (5-17) 将(5-14)式与(5-17)式比较,显然,(5-17)式就是(5-14)式｡所以,可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式｡由于⎰⎰⎰σ=+σ=εσV ji ij i j j i V ij V ij ij V u V u u V d δd )δδ(21d δ,,, (5-18) 利用格林公式,上式等号右边积分可变换为⎰⎰⎰σ-σ=σV ij ij S i j ij V j i ij V u S u n V u d δd δd δ,, 并引用(5-15b)式,则(5-17)式可化为0d δ)(d δ)(,=σ-++σ⎰⎰σS i j ij i V i i j ij S u n T V u F 因为i u δ为独立量,则由总位能驻值条件可导出:平衡方程(5-1)即0,=+σi j ij F (在V 内)及力的边界条件(5-5)即i j ij T n =σ(在σS 上)｡(5-16)式表达了弹性体的最小位能原理:在满足应变位移关系(5-2)和位移边界条件(5-6)的所有容许的i u 中,实际的iu 使弹性体的总位能取最小- 58 -值｡(二)余虚功原理与总余能原理余虚功原理中,可取ij σδ表示弹性体内的应力变分,即虚应力｡另外,i T δ表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分｡与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为0d δd δ=-σε⎰⎰u S ii V ij ij S u T V (5-19) 余虚功原理是在满足平衡方程(5-1)式及力的边界条件(5-5)式的条件下成立,即满足(5-1)式和(5-5)式的变分形式的条件为0δ,=σj ij (在V 内) (5-20) 0δ=i T (在σS 上) (5-21)现在定义下面的泛函为弹性体的总余能c∏⎰⎰-σ=∏u S ii V ij S u T V B d d )(c (5-22) 现在对(5-22)式取驻值,即0δc=∏,则有0d δd )(δδc =-σ=∏⎰⎰u S ii V ij S T u V B (5-23) 利用格林公式,上式中的体积分项可化为⎰⎰⎰⎰⎰σ-σ=σ=σε=σV j ij i S ij j i V ij j i ij V ij V ij V u S n u V u V V B d δd δd δd δd )(δ,,考虑到(5-21)式后,(5-23)式可写成0d δd δ)(,=σ-σ-⎰⎰V jij i S j ij i i V u S n u u u (5-24) 再考虑到ij σδ应满足(5-20)式,且ij σδ为独立量,则由c ∏的驻值条件可以导出位移边界uS 上的协调条件为0=-ii u u (5-25)(5-22)式表达了弹性体的最小余能原理:在满足平衡方程(5-1)和力的边界条件(5-5)的所有容许的应力σ中,实际的应力ijσ使弹性体的总余能ij取最小值｡上面所讨论的变分原理,所提出的泛函是受一定条件约束的,如最小位能原理的泛函∏应满P足的条件是(5-2)式和(5-6)式,而最小余能原理的泛函∏应满足的条件是(5-1)式和(5-5)式｡这种变c分原理称为不完全变分原理,或称为带约束条件的变分原理｡§5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理§5.2.1 完全广义变分原理现在,让我们利用拉格朗日乘子法,导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理｡在§5.1节的讨论中,不论是总位能原理或总余能原理,其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的｡如果我们利用拉格朗日乘子法,将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去,则问题的性质就发生了变化,即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函｡于是形成了下面的完全广义变分原理｡(1) 基于总位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理- 59 -- 60 -现在,让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式(5-2)和位移边界条件(5-6),分别乘以定义在体积V 内的和位移边界u S 上的拉格朗日乘子ij λ和j μ,并与总位能泛函p ∏相加组成新的泛函Gp ∏,Gp ,,1[()]d [()]d 2ij i i ij ij i j j i V V A Fu V u u V ελε∏=-+-+-⎰⎰ ⎰⎰-μ+σu S i i i S i i S u u S u T d )(d(5-26)式中经受变分的独立量是ij ε,i u ,ij λ及iμ,而不需要附加任何条件｡对这些独立量进行变分,有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ-μ-+μ+-+λ-λ+-ε+ελ+ε∂∂=∏S i i S i i i i i V i i V i j j i ij V ij i j j i ij V ij ij ij S u T S u u u V u F V u u V u u V A u d δd ]δ)(δ[d δd )δδ(21d δ)](21[d δ)(δ,,,,Gp引用(5-18)式及格林公式,上式第三个积分可化为 ⎰⎰⎰⎰λ-λ=λ=+λS V ij ij i j ij V j i ij V i j j i ij V u S u n V u V u u d δd δd δd )δδ(21,,,, 将上式代入Gpδ∏式中,得 ⎰⎰⎰σ+λ-μ-+λ-μ+-λ+λ+-ε+ελ+σ=∏S i i j ij S i i i i j ij i V i i j ij ij i j j i ij ij ij ij S u T n S u u u n V u F u u u d δ)(d ]δ)(δ)[(d ]}δ)(δ)(21[δ){(δ,,,Gp由0δGp =∏可以导出以下各式ij ij σ-=λ,)(21,,i j j i ij u u +=ε,0,=-λi j ij F (在V 内)(5-27a,b,c) j ij i n λμ=,ii u u = (在u S 上)(5-27d,e)- 61 - 0=+λi j ij T n (在σS 上) (5-27f)显然,(5-27c)式表示平衡方程,(5-27b)式表示应变与位移的关系式,将(5-27a)式代入(5-27d)式中,则得j ij i n σ-=μ,将(5-27a)式带入(5-27f)式得j ij n T σ=,表示力边界上的给定条件｡从以上的推导中,清楚地看到完全广义变分原理可导出平衡关系(5-1)､应变位移关系(5-2)､力的边界上的给定表面力(5-5)式及位移边界上的指定位移(5-6)式｡将乘子ij λ､j μ分别用ij σ-､j ij n σ-代替,则泛函Gp ∏可写成下列形式--σ+-ε-ε=∏⎰V ii ij i j j i ij ij V u F u u A }d )](21[)({,,Gp ⎰⎰-σ-σu S i i j ij S i i S u u n dS u T d )( (5-28)该式中经受变分的独立量是三类共15个,即ij ε､i u 和ij σ,而没有约束条件｡于是,(5-28)式表示的完全广义变分原理可叙述为:满足(5-1)式~(5-6)式的解i u ､ij ε､ij σ,必使得泛函Gp ∏有驻值｡(5-26)式和(5-28)式表示的广义原理,也称为胡海昌-鹫津原理｡现在再讨论另一种形式的完全广义变分原理,即Hellinger-Reissner 变分原理,同属于无约束条件的广义变分｡Hellinger-Reissner 泛函由下式定义,⎰⎰⎰μ-+--σ-σ=∏σuS iiiS ii Vii ijji ijS u u dS u T V u F B u d )(d ])([,R式中经受变分的独立量是ijσ､i u 和拉格朗日乘子iμ,而没有约束条件｡对上式泛函取一阶变分,由驻值条件,可得--σσ∂σ∂-σ=∏⎰⎰⎰Vii VijijijVji ij V u F V B V u d δd δ)(d δδ,Rd δd δ)(d δ=μ+μ-+⎰⎰⎰σuuS i i S i i i S i i S u S u u S u T (5-29)上式等号右边第一个积分,可以进一步用分部积分展开,可得⎰⎰⎰⎰+-=VVijji iVjij Sijijji ijV u V u S u n V u d δd δd δd δ,,,σσσσ (5-30)将(5-30)式代回(5-29)式,经过整理后,可得下式+σ+-σ∂σ∂-+σ-=∏⎰⎰VijVij ji ijijiijij V u u B V u F d δ)](21)([d δ)(δ,,,R0d δμ)(d δ)μ(d δ)(=-+σ++-σ⎰⎰⎰σuuS iiiS S i j ij i i i j ij S u u S u n S u T n从上式中可以导出以下条件0=+σi ijF (在V 内) 平衡方程 0=-σijijT n (在σS 上) 力边界条件 0=-i i u u (在uS 上) 位移边界条件并且可以得到拉格朗日乘子的涵意,jij i i n T σ-=-=μ如果引入关系式(5-12),即ijij ij B σσ∂=ε)(,则还可以得到)(21,,=+-εi j j i ij u u (在V 内) 应变位移关系从而验证了在泛函R∏极值条件下,导出了弹性力学各类基本方程｡将乘子iμ用jijn σ-代替,泛函R∏可以写为下列形式--σ-σ=∏⎰Vii ij j i ij V u F B u d ])([,R⎰⎰σ--σuS jij i i S ii S n u u dS u T d )((5-31)式中经受变分的独立量共9个,即ij σ和iu ,而没有约束条件｡从泛函R∏中不难看出,此种广义变分属于二类自变量的广义变分,ij σ和iu 是独立假设的｡Hellinger-Reissener 泛函在构造弯曲板有限元模型得到广泛的应用(参阅本书第六章§6.3节)｡实际上,将物理关系引入(5-28)式消去应变分量ijε,也可以得到(5-31)式｡通过分部积分,泛函(5-31)也可以写成另一形式如下:-+σ+σ=∏-⎰Vii j ij ij V u F B d ])()([,*R⎰⎰σ--σσuS ij ij S ii j ij S u n dS u T n d )((5-31’)(2) 基于总余能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在我们从总余能泛函c∏出发,将弹性体内的平衡条件(5-1)及力的边界条件(5-5)分别用定义在V 内和σS 上的拉格朗日乘子i λ和iμ引入,并形成下面的泛函⎰⎰⎰σ-μ-σ+λ+σ+ε-εσ=∏σuS i j ij S i i j ij Vi i j ij ij ij ij Su n S T n V F A d d )(d ])()([,Gc式中ijσ､ijε､iλ和iμ均作为独立变量｡对上式进行一阶变分,得+λ+σ+σλ-ε+εε-σ=∏⎰V F a ii j ij Vij j i ij ij kl ijkl ij d )δ(δ)(δ)[(δ,,Gc+σλ+μ+μ-σ⎰σS ijj i i i i j ij S n T n d ]δ)(δ)[(⎰σ-λuS ijj i i S n u d δ)((5-32)上式中d δ)(,=σλ-ε⎰Vijj i ij V ⎰σλ+λ-εViji j j i ij V d δ)](21[,, (5-33) 将(5-33)式代入(5-32)式,则由(5-32)式可以得到以下驻值条件:klijklija ε=σ,)(21,,i j j i ij u u +=ε,0,=+σij ij F (在V 内) (5-34a,b,c)jijin T σ=, iiλ-=μ (在σS上) (5-34d,e)ii u =λ(在uS 上) (5-34f)如果将上式得到的i μ和i λ代入Gc ∏式,则泛函Gc∏可以写为下列形式⎰⎰⎰σ--σ-+σ+ε-εσ=∏σuS ij ij S ii j ij Vii j ij ij ij ij S u n S u T n V u F A d d )(d ])()([,Gc(5-35)式中经受变分的独立量是三类共15个,即ij ε､iu 和ijσ,而没有约束条件｡于是,(5-35)式表示的完全广义变分原理可叙述为:满足(5-1)式~(5-6)式的解iu ､ijε､ijσ,必使得泛函Gc∏有驻值｡如果将平衡条件(5-1)及力的边界条件(5-5)分别用定义在V 内和σS 上的拉格朗日乘子i λ和iμ引入总余能泛函c∏,并形成下面的泛函⎰⎰⎰σμ-σ+σ-λ+σ+σ=∏S ii j ij S ij ij Vii j ij ij S T n S u n V F B ud )(d d ])()([,Gc1式中经受独立变分的量是ijσ､i λ和iμ｡可以证明,上述的泛函与(5-31’)式的泛函是相同的,即-+σ+σ=∏⎰Vii j ij ij V u F B d ])()([,Gc1⎰⎰σ--σσuS ij ij S ii j ij S u n dS u T n d )((5-36)这是一个属于二类自变量的广义变分,其中的ijσ和iu 是独立假设的｡实际上,将物理关系引入(5-35)式消去应变分量ijε,也可以得到(5-36)式｡下面我们将进一步证明(5-28)式与(5-35)式的等在价性｡将(5-28)式与(5-35)式相加,得到⎰⎰⎰σ-σ-σ+σ+=∏+∏σuS ij ij S ij ij Vij ij ij i j j i S u n S u n V u u u d d d ])(21[,,,GcGp 利用分部积分,⎰⎰⎰⎰σσ+σ=σ+σ=σ+σ+S S i j ij i j ij V i j ij ij j i V i j ij ij i j j i uSu n S u n Vu u V u u u d d d )(d ])(21[,,,,,从而得Gc Gp =∏+∏,或 GcGp∏-=∏ (5-37)(5-37)式证明了两种泛函的等价性｡所以,完全变分原理的两种泛函即Gp∏与Gc∏是等价的,只是有正､负之差,但这对取驻值没有关系｡从物理意义上也比较易于理解,由于小位移线性弹性系统的完全变分原理,在泛函中全部地概括了所有的条件,因此而构成其等价性｡而对于一般总位能泛函p∏与总余能泛函c∏,这一等价性并不成立,读者可以自行验证｡§5.2.2 有条件的不完全广义变分原理在§5.2.1节中,我们讨论了不附带任何条件的完全变分原理,对泛函取驻值,导出了所有的需要满足的条件｡但实际情况也并非如此,譬如我们可以不要求完全变分原理的泛函,而只是在满足部分的条件(即放松提出泛函的某些条件的要求),再引用拉格朗日乘子法,组成不完全变分原理的泛函｡不完全变分原理较多用于有限元素法中,如混合模型､基于位能原理的位移杂交模型或基于余能原理的应力杂交模型等｡对于基于总位能原理的不完全广义变分原理列举几例,概述如下｡(1)在满足位移边界条件(5-6)的所有允许变量ijσ､ijε､i u 中,只有当ij σ､ij ε､iu 为真实解时,使下面的泛函为驻值,d d }]λ)(21[)({,,mp1⎰⎰--+-+=∏σεεS ii Vii ij i j j i ij ij S u T V u F u u A (5-38) 式中ijσ､ijε､iu 均为独立变量｡当对(5-38)式取驻值,有⎰-λ--ε+ελ+ε∂∂=∏Viji j j i ij ij ij iju u A δ)2121(δ)[(δ,,mp1⎰=-λuS i i i j i ij S u T V u F u 0d δ]d δ-δi , (5-39)利用格林公式,并引入ijijA σ=ε∂∂,可以得到⎰⎰⎰λ-λ=λVVij ij Sijijji ijV u S u n V u d δd δd δ,,将上式代入(5-39)式,同时注意到泛函是在满足位移边界(5-6)的条件下提出的,故上式等号右边第一项中的表面S 只包含力的边界,(5-39)式变为⎰+λ--ε+ελ+σ=∏Viji j j i ij ij ij ij u u δ)2121(δ)[(δ,,mp1⎰σ=+λ--λs i i j ij i i j ij S u T n V u F 0d δ)(d ]δ)(, (5-40)因为ijεδ､ijλδ､iu δ均为独立变量,由(5-40)式可导出在体积V 内ijijσ-=λ,)(21,,i j j i ij u u +=ε,0,=+σij ij F (5-41a,b,c) 在力的边界σS 上jijin T λ-= (5-41d) 将(5-41a)式代入(5-41d)式中,得jijin T σ= (5-41d’) 将式(5-41a)式代入(5-38)式,则得泛函m p1∏为⎰⎰σ--σ+-ε-ε=∏S ii Vii ij i j j i ij ij S u T V u F u u A d d }])(21[)({,,mp1(5-38’) (2)在满足应变位移关系式(5-2)的所有容许的变量中,只有真实解使下面的泛函取驻值 ⎰-ε=∏Vii ijV u F A d ])([mp2⎰σ-S ii S u T d ⎰μ-+uS ii i S u u d )( (5-42)现在对m p2∏取驻值,即0δm p2=∏,有+--εε∂∂=∏⎰⎰σS i i Vi i ij ijS u T V u F Ad δd ]δδ[δmp20d ]δ)(δ[=μ-+μ⎰uS i i i i S u u u(5-43)引入(5-13)式,再利用格林公式,上式等号右边第一个积分中的第一项可化为⎰⎰⎰⎰-==Vi j ij S i j ij Vj i ij Vij ij Vu S u n V u V ud δd δd δd δ,,σσσεσ将上式代入(5-43)式,得+-σ++σ-=∏⎰⎰σS i i j ij Vi i j ij S u T n V u F d δ)(d δ)(δ,mp20d ]δ)(δ)[(=μ-+μ+σ⎰S u u u n uS iiii i j ij因为iu δ､iμδ为独立变量,故由上式可以导出以下条件,在体积V 内: 0,=+σijij F(5-44a)在力的边界σS 上: jij i n T σ=(5-44b)在位移u S 边界上: j ij i n σ-=μ,ii u u =(5-44c,d)现在将(5-44c)代入(5-42)式,可得泛函m p2∏为⎰-ε=∏Vii ij V u F A d ])([mp2⎰σ-S ii S u T d ⎰μ-+uS ii i S u u d )( (5-42’)(3)设位移边界条件为)3,2,1(==i u u ii｡在满足其中一个位移边界条件如11u u =的所有容许的i u ､ij ε､ijσ中,只有当i u ､ij ε､ijσ为真实解时,使下面的泛函有驻值⎰--σ+-ε-ε=∏V i i ij i j j i ij ij V u F u u A d })](21[)({,,mp3⎰σS i i S u T d ⎰σ-+σ--uS jjj j S n u u n u u d ])()[(333222 (5-45)这种不完全满足位移边界的泛函,可以只满足其中一部分位移边界条件,如式(5-45)那样,也可以满足其中的两个位移边界条件,而形成相应的泛函｡具体推导读者可自行完成｡(4)在满足一个应变位移关系01,111=-εu 的所有容许的位移i u ､应变ij ε及应力ij σ中,真实的i u ､ij ε､ijσ必使下列泛函为驻值--σ-ε+σ+-ε-ε=∏⎰Vii ij i j j i ij ij V u F u u u A d })()](21[)({111,111,,mp4⎰⎰σσ--S S jij i i ii uS n u u S u T d )(d(5-46)基于总余能原理的不完全广义变分原理,其基本处理方法与上面类似,仍是利用拉格朗日乘子法,使一部分条件乘以拉格朗日乘子作为泛函的一部分,参与到泛函中去,而将另一部分条件作为泛函提出的条件｡按泛函提出满足不同的条件,也可以划分为以下几种｡(1/)在满足力的边界条件(5-5)的所有容许的位移i u ､应变ij ε及应力ij σ中,只有真实的i u ､ij ε､ijσ使下面的泛函有驻值⎰⎰σ-λ+σ+ε-σε=∏uS ij ij Vii j ij ij ij ij S u n V F A d d ])()([,mc1(5-47)式中ij σ,ij ε和拉格朗日乘子iλ均作为独立变量｡在引用了(5-13)式和(5-3)式,即ijkl ijkl ij ijijij a A A εε=εε∂ε∂=εδδ)()(δ 及格林公式,使⎰⎰⎰σλ-σλ=σλVij j i Sij j i Vj ij i VS n V d δd δd δ,,后,对(5-47)式取驻值,可得到下式⎰⎰=σ-λ-λ+σ+σλ-ε+εε-σ=∏uS ij j i i Vi i j ij ij j i ij ij kl ijkl ij S n u V F a 0d δ)(d ]δ)(δ)(δ)[(δ,,mc1因为ijεδ､λδ､ijσδ都是独立变量,故由上式可导出以下驻值条件,在体积V 内:kLijkLija ε=σ, 0,=+σij ij F (5-48a,b) 由⎰⎰=σλ-=σλ-εVVijj i i ijj i ij V u V 0d δ)(d δ)(,,可知,在体积V 内,iiu λ= (5-48c) 而在位移边界uS 上,ii u =λ (5-48d) 将(5-48c)及(5-48d)代入(5-47)式中,得⎰⎰σ-+σ+ε-σε=∏uS ij ij Vii j ij ij ij ij S u n V u F A d d ])()([,mc1(5-47’)(2/)在满足平衡方程式(5-1)的所有容许的iu ､ijε､ijσ中,只有当i u ､ij ε､ijσ为真实解时,使下面泛函有驻值⎰⎰⎰σ-μ-σ+ε-σε=∏σuS ij ij S ii j ij Vijij ij S u n S T n V A d d )(d )]([mc2(5-49)式中应力ijσ,应变ijε,乘子iμ是作为独立变量｡对泛函(5-49)取驻值,⎰⎰⎰=σ-+δσ+μ+μ-σ+σ-εε-σ=∏σuS ij j i i S ij j i i i i j ij Vj ij i ij kl ijkl ij S n u u S n u T n V u a 0d δ)(d ])(δ)[(d ]δδ)[(δ,mc2推导上式,我们用了格林公式,使⎰⎰⎰⎰σ-σ=σ=σεVj ij i Vij j i Vij j i Vij ij Vu S n u V u V d δd δd δd δ,,由此可导出以下各式0,=ε-σklijkljij a (在V 内) j ij i n T σ=,i i u -=μ (在σS 上)i i u u = (在uS 上) (5-50a,b,c,d)现在将(5-50c)式代入(5-49)式中,可得出泛函mc2∏为 ⎰⎰⎰σ--σ-ε-σε=∏σuS ij ij S ii j ij Vijij ij S u n S u T n V A d d )(d )]([mc2(5-49’)(3/)在满足一个(譬如全部共有三个)给定力边界条件如jjn T 11σ=的所有容许的iu ､ijε､ijσ中,只有真实的i u ､ij ε､ijσ使下列泛函为驻值-σ-+σ+ε-σε=∏⎰⎰uS ij ij Vii j ij ij ij ij S u n V u F A d d ])()([,mc3⎰σ-σ+-σS j j j j S u T n u T n d ])()[(333222 (5-51)同样,如果要求的泛函满足二个以上给定力边界条件时,可以参考(5-51)式,也不难求出其泛函表达式｡读者可以自行推导｡§5.3 小位移弹性理论的分区变分原理传统变分原理采用整体插值,而有限元素法是把整体分割为有限个元素的集合体,采用的是分区插值｡将分区概念引入变分原理,用分区插值代替整体插值,并且放松各个分区交界面上的连续性要求,就得到所谓的分区变分原理｡分区变分原理是变分原理与分区概念相结合的产物,为建立新型的有限元模型提供了坚实的理论基础｡设一个连续的弹性体被划分为若干个分区或单元(如图5-1所示),其体积分别为),,3,2,1(N e V e=｡任一分区e 的体积力为e iF ,表面为e S ,eS 一般由三部分组成:*e e eue e S S S S 'σ∑++=其中,ue S 为e S 中包含给定位移iu 的边界面,e S σ为eS 中包含给定表面力iT 的边界面,*e e S '为eS 与相邻分区e '的交接面｡在分区变分原理中,各个分区按需要可任意定为位能区(如图5-1中的分区(p1V ,p2V , p3V )或余能区(如图5-1中的分区c3c2c1,,V V V )｡各个分区中独立变分的量可以任意定为三类变量(位移i u ,应力ij σ,应变ijε)或两类变量(i u 和ij σ)或一类变量(i u 或ijσ)｡相邻分区的交接面分为pp S ､cc S ､pc S 三类,pp S 表示其两侧都是位能区,ccS 的两侧都是余能区,pcS 的一侧是位能区,另一侧是余能区｡各个分区的各类变量不仅可以独立变分,而且在边界面上可以要求或不要求满足给定的位移或面力边界条件,在分区的交接面上也可以要求或不要求满足交接面上位移或面力的连接条件(即位移相容条件和力平衡条件)｡小位移弹性理论的分区变分原理的泛函一般可写成下面形式图5-1 分区示意图∑∑∑∑∑---∏-∏=∏pcccppcppccc pp c p S S S V V H H H (5-52)上式等式右边各项的涵义为,第一项为各位能区pV 的总位能p∏或广义的总位能Gp∏之和,第二项为各余能区c V 的总余能c ∏或广义的总余能Gc∏之和,第三､四､五项分别表示相邻分区交接面处的附加能量之和,取决于交接面的类型｡根据分区的性质,我们可以把分区变分原理归结为以下三类,(1)位能分区变分原理｡弹性体在整体上被分割成有限个位能区的集合体,并基于最小位能原理导出的修正变分原理｡(2)余能分区变分原理,弹性体在整体上被分割成有限个余能区的集合体,并基于最小余能原理导出的修正变分原理｡(3)混合分区变分原理,弹性体在整体上被分割成有限个位能区和余能区的集合体,是上述两类修正变分原理的混合｡分区变分原理是基于传统变分原理的一种修正变分原理,与§5.2节的完全与不完全变分原理不同的是,后者可以看作是在单元水平上进行修正与混合,而分区变分原理则是在弹性体整体水平上进行修正与混合｡下面我们将在传统变分原理的基础上,为有限元素的集合体进行分区变分原理的公式推导｡§5.3.1 位能分区变分原理为了以后方便,现在用aV 和b V 表示两个任意的相邻元素,用abS 表示a V 和bV 的交接面,如图5-2所示｡另外引用两个符号}{*aab abV S S ∂∈=和}{*bab baV S S ∂∈=来区别交接面属于a V 的还是属于b V 的(这里a V ∂表示aV 的整个边界)｡(1)修正最小位能原理设每个元素的广义位移表示为)1(i u ,)2(i u ,…,)(a i u ,)(b i u ,…,)(N iu ; 3,2,1=i如果选择的每一个元素的位移函数满足下列要求:(ⅰ)在元素内,是连续的和单值的;(ⅱ)在元素的交接面上,满足位移相容条件,即在abS 上,)()(b ia i u u = (5-53) (ⅲ)如若元素的边界包含有uS ,则该元素的位移函数应满足位移边界条件(5-6)｡则这些位移函数的集合可以作为最小位能原理泛函的容许位移函数,那么,元素集合体的最小位能原理的泛函就由下式给出∑⎰⎰∑--=∏=∏}d ]d )([{pImp aaS ii V ii i S u T V u F u A σ (5-54)式中经受变分的独立量是)(a iu ,p∏是由(5-16)式确定图5-2 a V 、b V 、abS的元素aV 的总位能泛函｡ (2)修正位能原理如果我们放松元素交接面上的位移相容条件(5-53)式,将约束条件(5-53)利用定义在abS 上的拉格朗日乘子iλ引入到(5-54)式的泛函表达式中,则形成下面的泛函:∑⎰∑--∏=∏abS ib ia i S u u d λ)()()(pImp1 (5-55)式中的)(a iu 和iλ是经受变分的独立变量,并带有约束条件(5-6)｡对(5-55)式取驻值,+-++-=∏⎰∑⎰}d δ)(d δ)({δ,Imp1aaS i i j ij V i i j ij S u T n V u F σσσ∑⎰⎰-++-**d δ)λ(d δ)λ({)()()()()()(baabS b iib jb ij S a iia ja ijS u n S u n σσ⎰=-abS ib ia i S u u 0}d δλ)()()(由以上的驻值条件,可导出下列的关系式,0,=+σi j ij F (在aV 内)(5-56a)j ij i n T σ= (在aS σ上)(5-56b))()(a j a ij in σ=λ(在*abS 上),)()(λb j b ij in σ-=(在*baS 上) (5-56c) 0)()(=-b ia i u u (abS 上)(5-56d)式中)(a i n 与)(b i n 分别表示沿*ab S 与*baS 上外法线方向的方向余弦,对同一点来说,有)()(b j a j n n -=显然,(5-56a)为平衡方程(5-1)式,(5-56b)为力的边界(5-5)式,(5-56c)为乘子iλ,(5-56d)为位移相容条件｡令)(a iT 和)(b iT 分别等于)()(a j a ij n σ及)()(b jb ij n σ,即有)()()(a ja ij a in T σ= , )()()(b jb ij b in T σ= (5-57) (5-57)式指明了拉格朗日乘子i λ的物理意义,即iλ就等于ab S 上的表面力)(a i T (注意)(a iT 是)(a iu 的函数,和记作)()()()(a ia ia i u T T =)｡将)(a ii T =λ代入(5-55)式,得到 ∑∑-∏=∏1pp p Imp1H(5-58)而⎰-=abS b ia i a iS u u T H d )()()()(1pp 或⎰-abS a ib i b iS u u T d )()()()( (5-59)(5-58)式给出的原理称为放松连续性要求的第一修正位能原理,因为在1Im p ∏中放松了(5-53)式的要求,每一个元素的位移函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的位移相容条件的要求｡这里要指出的是,这个修正原理不再是最小原理了,而仅仅保持其驻值性质｡泛函1Im p ∏还可以作进一步的处理｡若我们引进两个函数)(a iλ与)(b iλ,它们分别定义在*abS 与*baS 上,且服从下列关系式:0)()(=λ+λb ia i(A)由(A)式的条件,可见:)(a iiλ=λ , )(b iiλ=λ- (B) 现在将(B)式代入(5-55)式中,等号右边末项积分的被积函数就变为以下形式)()()()(b ib ia ia iu u λ+λ (C)并附带约束条件(A)｡因此,可以引入一个定义在abS 上新的拉格朗日乘子iμ将约束条件(A)加入到泛函(5-55)中,于是(5-55)式可改写为下面等价形式: ∑∑-∏=∏2pp p 2Imp H (5-60) 而⎰+-+=abS b ia i ib ib i a i a i S u u H d )]λλ(μλλ[)()()()()()(2pp⎰⎰-+-=**d )μ(λd )μ(λ)()()()(baabS ib ib i S ia ia i S u S u (D)(5-60)式称为放松连续性要求的第二修正位能原理,式中经受变分的独立量是)(a iu ､)(a iλ和iμ,带有约束条件(5-6)式｡其中,在元素aV 中的)(a i u 及在*ab S 上的)(a iλ与在元素bV 中的)(b i u 及在*ba S 上的)(b iλ都可以独立选取,但必须在元素交接面ab S 上有共同的iμ,以保证交接面处位移的协调性｡取(5-60)式的驻值,可得 +-+--=∏⎰∑⎰}d δ)(d ]δ)[({δ,2Imp aaS ii j ij V ii j ij S u T n V u F σσσ∑⎰⎰--+-**d δ)λ(d δ)λ({)()()()()()(baabS b ib i b iS a ia i a iS u T S u T +---⎰⎰**d δλ)μ(d δλ)μ()()()()(baabS b iib iS a iia iS u S u}d δμ)λλ()()(⎰+abS ib ia i S(E)由此得到在abS 上的下列驻值条件:)()(a ia iT =λ,)()(b ib iT =λ (5-61a,b) )(a iiu =μ, )(b iiu =μ (5-61c,d) 及0)()(=λ+λb i a i(5-61e)(5-61)式的物理意义十分明显｡将(5-61a,b)代入(5-61e),得0)()(=+b ia iT T (5-61f) (5-61f)表示在交接面abS 上,力是平衡的｡如果将驻值条件(5-61a,b)引入2ab H 中消去)(a iλ和)(b iλ,就可以把2pp H 改写成另一形式如下⎰⎰-+-=**d )μ(d )μ()()()()(3pp baabS ib ib iS ia ia iS u T S u T H (F)并得到∑∑-∏=∏3pp p Imp3H (5-62)这个原理称为放松连续性要求的第三修正位能原理,式中经受变分的独立量是)(a iu 和iμ,带有约束条件(5-6)式｡在这些变分的量中,aV 内的)(a iu 与bV 内的)(b iu 都可以独立选择,但是iμ对于*ab S 和*baS 必须是共同的｡(3)修正广义位能原理下面我们将从Im p2∏出发,导出一种修正广义变分原理｡即满足平衡方程(5-1)､应变位移关系式(5-2)､物理关系式(5-3)､位移边界条件(5-5)及力的边界条件(5-6)及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解,使下列泛函有驻值:-+-εσ--ε=∏∑⎰aV ji ji ijijii ijV u u u F A d )]}(21[)({{,,ImGp1∑⎰⎰--σ-σ2pp }d )(d H S u u n S u T uaaS i i j ij S i i (5-63)式中经受变分的独立量是)(a ijε､)(a ijσ､)(a iu ､)(a iλ和iμ,而不带约束条件｡可以证明,在abS 上,m Gp1∏的驻值条件也给出(5-61a,b,c,d,e)式表示的方程｡因此,我们可以把ImGp1∏写成另一等价形式如下:-+-εσ--ε=∏∑⎰aV ji j i ij ij i i ij V u u u F A d )]}(21[)({{,,ImGp2∑⎰⎰--σ-σ4pp }d )(d H S u u n S u T uaaS i i j ij S i i (5-64) 式中⎰⎰-+-=**d )μ(d )μ()()()()(4pp baabS i b i b i S i a i a i Su T S u T H (G)(5-64)式中经受变分的独立量是)(a ijε､)(a ijσ､)(a iu 和iμ,而不带约束条件｡(4)修正Hellinger-Reissner 原理利用应变位移关系式(5-2),从泛函ImGp2∏中消去应变分量ijε就导致修正Hellinger- Reissner 泛函: --σ---σ-σ=∏⎰⎰∑⎰σ}d )(d ])([{,ImRuaaaS ii j ij S ii V ii ij j i ij S u u n dS u T V u F B u ∑⎰+-+abS b ia i ib ib ia ia iS T T u T u T d )](μ[)()()()()()((5-65)式中经受变分的独立量是)(a ij σ､)(a iu 和iμ,而不带约束条件｡利用分部积分,可以得到修正Hellinger-Reissner 泛函的另一表达式如下:--σ-σ+σ=∏-⎰∑⎰σaaS iijijV iijij ijdS u T n V u F B )(d ])()([{,*ImR∑⎰⎰+-abuaS ib ia iS ij ijS T T S u n d μ)(}d )()(σ (5-66)式中经受变分的独立量是)(a ijσ､)(a iu 和iμ,没有约束条件｡§5.3.2 余能分区变分原理我们也可以从最小余能原理出发,导出有限元集合体的最小余能原理､修正余能原理以及修正广义变分原理等｡用下列记号来表示每个元素中的应力:)1(ijσ,)2(ijσ,…,)(a ijσ,)(b ijσ,…,)(N ijσ; 3,2,1=j i ，如果选择的每一个元素的应力函数满足下列要求:(ⅰ)在元素中,是连续的和单值的,并且满足平衡方程(5-1);(ⅱ)在元素的交接面上,满足平衡条件,即在ab S 上, 0)()(=+b ia i T T (5-67) 式中)(a i T 和)(b iT 是由(5-57)式定义的;(ⅲ)如若元素的边界包含有σS ,则该元素的应力函数应满足力边界条件(5-5)｡这些满足上述条件的应力函数的集合可以作为最小余能原理泛函的容许函数,那么,元素集合体的最小余能原理的泛函就可以由下式给出。

第4章弹性变形体静力分析基础

拉伸
F
F
压缩
F
F
二、剪切杆在一对大小相等，方向相反且力的作用线相距很近的横向力作用下所发生的相互错动。 F
F 三、扭转杆受一对大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面垂直于杆轴线。 m m
四、弯曲杆受一对大小相等，方向相反的力偶，力偶作用面是包含轴线的纵向面。
m
m
杆件的复杂变形(组合变形)均可由这四种基本变形组合而成。
τ k ΔA
1Pa = 1N / m
2
1MPa = 106 Pa = 106 N / m 2 = 1N / mm 2 1GPa = 10 Pa = 10 MPa
9 3
§4--3 变形与应变
一、变形与位移
变形：物体在外力作用下其形状或几何尺寸发生的变化称为变形。变形位移：物体受力后点的位置的改变称为位移。位移变形与位移的关系：变形可以用点的位移来描述。变形位移刚体位移：物体无变形位移变形位移：物体有变形 F θ
试验表明 (胡克定律 )：
σ = Eε (当处于比例阶段时，正应力 ∝ 相应的线应变， E称为弹性模量 ) τ = Gγ (当处于比例阶段时，剪应力 ∝ 相应的剪应变， G称为剪变模量 )
4.应变的单位
ε ：无单位
γ
：度或弧度
m/m
§4--4 杆件变形的形式
一、轴向拉伸或压缩杆在一对大小相等，方向相反且力的作用线与杆轴线相重合的力作用下所发生的伸长或缩短。
y
[例]
m
求构件m-m截面上的内力
B
m
a
Fs
FN
m
M
m O
x a
A
F1
A
F2 解： ) 截开：假想沿 m − m 截面将构件截开为两部分 (1

弹性变形体静力分析基础分析课件

尺寸无关。
泊松比的定义
材料在横向拉伸或紧缩变形时，横向应变与纵向应变的比值
。
泊松比的性质
泊松比是材料常数，与材料的性质有关，与材料的形状和尺
寸无关。
材料的本构关系
本构关系的定义
描述材料的应力-应变关系的方程。
本构关系的分类
根据材料性质的不同，本构关系可以分为线性本构关系和非线性本构关系。
弹性变形体内力和外力必须满足平衡条件。
截面法
通过截面法计算弹性变形体内各点的应力和应变。
应力集中
应力集中现象会导致局部应力增大，需特别关注。
04
弹性变形体的弹性稳定性分析
弹性稳定性概念及判别方法
弹性稳定性定义
描述弹性体在受到外力作用后，其形状和尺寸的相对变化程度。
弹性稳定性判别方法
通过计算和分析弹性体的特征值和特征向量，判断其在外力作用下的稳定性。
弹性稳定性分析的基本原理和方法
弹性稳定性基本原理
基于弹性力学和线性代数的相关知识，通过建立系统的平衡方程，求解其特征值和特征向量。
弹性稳定性分析方法
常用的方法包括直接法、摄动法、能量法等，根据问题具体情况选择合适的方法。
弹性变形体在静力作用下的稳定性分析
弹性变形体稳定性分析的重要性
01
对于工程实际中涉及到的弹性体，其稳定性直接关系到其使用
随着科学技术的发展，弹性变形体静力分析基础在许多领域都有广泛的应用，如航空航天、机械制造、土木工程、生物医学等。未来，随着计算机技术的进步和数值模拟方法的发展，这一领域的应用前景将更加广阔。
未来研究方向和展望
研究方向
未来的研究将更加深入地探讨弹性变形体静力分析的基础理论和方法，研究新的数值模拟技术和算法，发展更加精确、高效的计算方法和模型。

工程力学第5章答案

习题5-1图习题5-2图习题5-3图第二篇弹性静力学第5章静力学基本原理与方法应用于弹性体5－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。

试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

（A ）)(d d Qx q xF =；Q d d F x M=；（B ）)(d d Qx q xF -=，Qd d F x M-=；（C ）)(d d Qx q xF -=，Qd d F x M=；（D ）)(d d Qx q xF =，Qd d F x M-=。

正确答案是 B 。

5－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪几种是正确的。

正确答案是 b 、c 、d 。

5－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。

为确定b 、d 二截面上的弯矩M b 、M d ，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。

（A ）)(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M -+=；（B ）)(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M --=；（C ）)(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M --=；（D ）)(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M -+=。

上述各式中)(Q F b a A -为截面a 、b 之间剪力图的面积，以此类推。

正确答案是 B 。

5－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 m a x Q ||F 、maxM。

解：（a ）0=∑A M ，l MF B 2R =（↑）0=∑y F ，lM F A2R -=（↓）F R AF R BF R BABABCDCEF R AF R B F R Al MF 2||m a x Q =， M M 2||max =（b ）0=∑A M022R 2=⋅+⋅+⋅--l F l ql lql ql BqlF B41R =（↑）=∑y F ，ql F A 41R -=（↓）2R 4141ql l ql l F M B C =⋅=⋅=（＋）2ql M A =ql F 45||max Q =, 2max ||ql M =（c ）0=∑y F ，ql F A =R （↑）0=∑A M ，2ql M A =0=∑D M ，022=-⋅-⋅+D M lql l ql ql223ql M D=ql F =max Q ||, 2max 23||qlM =（d ）0=∑B M 0232R =⋅-⋅⋅-⋅l ql ll q l F Aq lF A 45R =（↑）0=∑y F ，qlF B 43R =（↑）0=∑B M ，22l q M B= 0=∑D M ，23225ql M D=ql F 45||max Q =, 2max 3225||ql M =（e ）0=∑y F ，F R C = 0 0=∑C M ，0223=+⋅+⋅-C M lql l ql2ql M C =0=∑B M ，221ql M B ==∑y F ，ql F B =Qql F =max Q ||, 2max ||ql M =M ACF R ABABACF R BF R AF R CBAF R AF R CM CCABC习题5-6图（f）0=∑AM，qlF C21R=（↑）=∑y F，qlF A21R-=（↓）=∑y F，021Q=-+-BFqlqlqlF B21Q==∑DM，042221=+⋅-⋅DMllqlql，8D, 8EqlF21||maxQ=,2max81||qlM=5－5其剪力图如图所示。

工程力学中的弹性力学分析

工程力学中的弹性力学分析弹性力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。

它的应用广泛，涉及到许多领域，如结构设计、材料科学等。

本文将介绍弹性力学的基本概念、应力和应变的关系以及一些常见的弹性力学分析方法。

一、弹性力学的基本概念1.1 响应函数在弹性力学中，响应函数描述了物体对外力的响应。

它是外力和物体的变形之间的关系，通常用应力-应变关系表示。

响应函数的形式根据物体的几何形状和材料的性质而定。

1.2 弹性力学模型弹性力学模型用于描述物体的变形行为。

常见的模型有胡克定律、泊松比等。

胡克定律指出应力和应变成正比，泊松比描述了材料在受拉伸或压缩时横向收缩或扩张的程度。

1.3 应力集中与材料破坏应力集中是指物体中某一点受到的应力远大于其周围区域的应力。

当应力集中超过了材料的极限强度时，材料可能发生破坏。

弹性力学分析常考虑应力集中和材料的极限强度，以保证结构的安全性。

二、应力和应变的关系应力和应变是弹性力学中的核心概念，用于描述物体受力后的变形行为。

应力是单位面积上的力，可以分为正应力、剪应力等。

应变是物体长度或体积相对变化的度量，可以分为线性应变、剪应变等。

三、常见的弹性力学分析方法3.1 静力学方法静力学方法是最基本的弹性力学分析方法之一，根据力平衡定律和物体的几何特征来求解应力和位移。

通常适用于简单的静力学问题，如梁的弯曲和轴的伸缩。

3.2 弹性势能法弹性势能法是一种能量方法，将物体的变形看作是内能的变化。

通过最小化弹性势能的原理，可以得到物体的平衡位置和应力分布。

这种方法适用于复杂的弹性力学问题，如结构的稳定性分析。

3.3 有限元方法有限元方法是一种数值分析方法，将实际物体离散为有限数量的单元，通过求解单元边界的约束条件来获得整个物体的应力和位移分布。

这种方法适用于复杂的几何形状和材料非均匀性的问题。

四、弹性力学在工程中的应用弹性力学在工程领域有广泛的应用。

例如，在结构设计中，弹性力学分析用于确定结构的强度和稳定性。

工程力学第5章静力学应用于弹性体

∑ F ＝0， ∑M
y
C
＝0，
得到 FQ y＋q（x）dx－F Q y－dF Q y ＝ 0
dx －M z − FQy dx－q ( x )dx + M z + dM z＝0 2
6
略去上述方程中的二阶微量，得到
dFQy dx
＝ q( x )
(a) (b)
dM z ＝FQy dx
图 5－2 杆件横截面上的内力与内力分量
工程计算中有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，称为内力分量（components of internal forces ）。图 5－2b 中所示的 FN x、FQ y、FQ z 。和 Mx、My、Mx 分别为主矢和主矩在 x、y、z 轴方向上的分量。其中： FN x 或 FN 称为轴力（normal force），它将使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。 FQ y、FQ z 称为剪力（shearing force），二者均将使杆件产生剪切变形。 Mx 称为扭矩（torsionalmoment，torque），它将使杆件产生绕杆轴转动的扭转变形。 My、Mz 称为弯矩（bending moment），二者均使杆件产生弯曲变形。为简单起见，本书在以后的叙述中，如果没有特别说明，凡是内力均指内力分量。
§５—１弹性体在外力作用下产生的附加内力
当弹性体承受外部力系作用时，如处于平衡状态，则作用在其上的力系必须满足平衡条件。在外力作用下，弹性体由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产生相互作用力，这种相互作用力力称为内力（internal force）。因为，弹性体发生变形之前，组成弹性体部分之间已经存在相互作用的内力，所以，由变形而引起的内力，不同于弹性体固有的内力，而是一种附加内力，简称为内力。如果组成弹性体的物质在弹性体中的分布是均匀而且连续的，则弹性体内各部分的内力组成连续分布的力系。

第五章：弹性变形体基本知识

3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力 4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力
3．应力为了引入应力的概念，参照图1-5，首先围绕K点取微小面积，有分布内力的合力，应力定义为
ΔP p ΔA
应力是一个矢量平均应力——某个范围内，单位面积上的内力的平均集度 K点的应力——当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到 P dP p lim dA A0 A
物理和理论力学：运动的一般规律（质点、刚体）
质刚
不变）
点：只有质量，没有大小体：有质量，有大小，但没有变形（相对位置
变形体：有质量，有大小，有变形（相对位置变化）变形：物体内部各质点之间的相对位置变化、尺寸和形状的改变质点 —— 刚体 —— 变形体，人类的认识深化
对构件的三项基本要求具有足够的强度构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。例如储气罐不应爆破。具有足够的刚度
F kx 或 x F / k
它只揭示了变形同外力成正比，至于金属丝的粗细和长短、何种材料的影响，一概不知道其实，不难想象：变形同外力成正比时，还应当同金属丝的长短 l 成正比、粗细 (面积 A）成反比
x Fl / A
引入比例常数1/E，得到
x Fl /(EA)
很幸运，实验表明：E 只同材料有关，称为杨氏模量，因为英国物理学家 Thomas Young（1773-1829）于 1807年提出“弹性模量”的概念，其实瑞士科学家欧拉（Leohard Euler，1707-1783）1727年早于他80年提出把上式整理一下，得到
单向应力状态的本构关系（Constitutive
relations of uniaxial stress phase ) 在弹性范围内，有变形 x 与外力 F 成正比的弹性定律

工程力学电子教案(第三版)第4章弹性变形体静力分析基础

图4－4
§4－4 杆件变形的形式
（2）剪切在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的相邻横截面发生相对错动(图4－5)。
图4－5
§4－4 杆件变形的形式
（3）扭转在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴的外力偶作用下，杆件的任意两个横截面发生相对转动(图4－6)。
图4－6
列出平衡方程
得
∑Fx=0，F1－FS=0 FS =F1
∑Fy=0，FN－F2=0
得
FN=F2
得
∑MO=0，F1a－F2b－M=0 M=F1a－F2b
§4－2 内力与应力
图4－1
§4－2 内力与应力
4－2－3 应力
构件某一截面上的内力是分布内力系的主矢和主矩，它只表示截面上总的受力情况，还不能说明分布内力系在截面上各点处的密集程度(简称集度)。
改变外，原来互相垂直的平面，例如Oxz平面与 Oyz平面间的夹角也可能发生改变(图4－3b)，直
角的改变量称为M点处的切应变。
§4－3 变形与应变
图4－3
§4－3 变形与应变
●线应变和切应变是度量构件内一点处
变形程度的两个基本量，它们都是量纲为1的量，
的单位是rad(弧度)。
§4－3 变形与应变
构件在外力作用下，其几何形状和尺寸的改变，统称为变形。一般地说，构件内各点处的变形是不均匀的。为了研究构件的变形以及截面上的应力分布规律，还必须研究构件内各点处的变形。
m

u x
§4－3 变形与应变
1.线应变
围绕构件内M点取一微小正六面体(图4－3a)，设其沿x轴方向的棱边长为Δx，变形后边长为 Δx+Δu，Δu称为Δx的线变形。比值

《工程力学》9 变形体静力学基础

F
二.拉压内力——轴力和轴力图拉压内力轴力和轴力图
图示杆长为L，作用，方向如图，例图示杆长为，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试求距杆件左端为x截面上的轴力。左端为截面上的轴力。截面上的轴力 q(x) L q(x) x
图示杆长为L，作用，方向如图，例图示杆长为，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试求距杆件左端为x截面上的轴力。左端为截面上的轴力。截面上的轴力 q(x) L q 解: x q(x) x
5.4 杆件的基本变形
杆件：某一方向尺寸远大于其它向尺寸的构件。杆件：某一方向尺寸远大于其它向尺寸的构件。
基本变形
轴向拉压
扭
转
弯曲
5.5 杆的轴向拉伸和压缩
一. 基本概念
轴向拉伸
轴向压缩
轴向拉压的外力特点：
外力的作用线与杆的轴线重合。外力的作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：轴向拉压的变形特点：
FN(x)
FN ( x )dx d (∆l ) = EA ( x )
x dx
∆L =
∫
L
d (∆l ) =
∫
L
FN ( x )dx EA ( x )
段例杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2， BD段段为钢制，横截面积段为钢制为铜，为铜，A2=800mm2， E钢=210GPa；E铜=100GPa；；； l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量∆AD。。求杆各段的应力、应变和总伸长量求内力( 解：1)求内力(轴力)，求内力轴力) 画轴力图。画轴力图 2)求各段应力：求各段应力：求各段应力 σAB=FNAB/A1 =40×103N/(320×10-6)m2 × × =125×106Pa=125MPa ×

专升本工程力学第1-2章绪论和刚体静力分析基础

模型一：质点——具有质量而形状、大小可忽略不计的力学模型。模型二：刚体——在受力时保持形状、大小不变的力学模型。
一个物体究竟应该看作质点还是刚体，完全取决于所研究问
题的性质，而不决定于物体本身的形状和尺寸。
模型三：变形体——当分析强度、刚度和稳定性问题时，由于这些问题都与变形密切相关，因而即使极其微小的变
形也必须加以考虑。
9
机电工程学院
2013-7-25
1.2 工程力学的力学模型与研究方法
2）工程力学的研究方法
理论分析试验分析计算机分析
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本章小结
1.1 工程力学的研究对象与基本任务
相对于地球静止或以速度远小于光速而运动的宏观物体 3个基本任务
1.2 工程力学的力学模型与研究方法
F1 F1 C F3 O A FR B F2 F2
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2.1 力与力偶
2.1.1 力的概念和性质 2.1.2 力对点之矩
2.1.3 力偶的概念和性质
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2.1.2 力对点之矩
1）力矩的概念人们从生产实践活动中得知，力不仅能够使物体沿某方向移动，还能够使物体绕某点产生转动。转动效应的大小不仅与F的大小和方向有关，而且与O点到F作用线的垂直距离d有关。
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第1章绪论
1.1 工程力学的研究对象与基本任务 1.2 工程力学的力学模型与研究方法
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1.2 工程力学的力学模型与研究方法
1）工程力学的力学模型研究对象复杂，必须根据研究问题的性质，抓住其主要特征，忽略一些次要因素，抽象出力学模型。

《工程力学》8 变形体静力学基础

2．各向同性假设：认为材料在各方向上的力学性质相同。使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化
3．小变形假设：受力后构件尺寸的变形大小远远小于构件原始尺寸。
在考虑受力构件的平衡时，以原始尺寸为依据，而不考虑变形的影响。
小变形条件:
l1 = l1
l2 = l2
基于此，固体力学研究的最基本问题是：均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题。上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的理想化模型。
前面四章，将物体视为刚体，讨论其平衡。事实上，总有变形发生，还可能破坏。本章起讨论的研究对象是变形体。

第五章第六章第七章第八章
变形体静力学基础材料的力学性能圆轴的扭转梁的平面弯曲
第五章
5.1
5.2 5.3
变形体静力学基础
变形固体的力学分析方法
基本假设内力、截面法
5.4Fxຫໍສະໝຸດ CA zx
Fz
a Mz Mx b
最一般情况：截面内力有6个分量。
基本变形
轴向拉压
扭
转
弯
曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁) 作业：4.1(f) (g)
FA=k(hA-h) FB=k(h-hB)
a 2 2 hk - 1) x= ( L W
--(4) --(5)
x
hA A
hB B
FA
FB
W
FN=0
将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。
结果讨论与分析见P81
研究变形体力学问题的主线是：
hA hB A