2.2 可靠性理论

Rs (t ) Ri (t )
n
s (t ) i (t )
i 1
i 1 n
串联系统的可靠度是指所有单元都正常工作的概率。因此，系统总的可
靠度等于各单元可靠度的积。应注意的是上述数学模型是基于各工作单元彼 此相互独立（都是独立故障），若不独立，相关联单元的概率用条件概率表 述。
复杂产品，不论组成部分的故障 是什么分布，只要在故障后即予 维修，且修后如新，则产品的故
障分布就近似指数分布。
指数分布因其简单得到广泛 F(t) t F(t)、R(t)和f(t)三者的关系 R(t) t 而有时不恰当的应用，常见的分 布形式还有威尔布分布、对数正
态分布等。
f(t)服从指数分布下的分布函数 服从指数分布的密度函数f(x)为：
MTBFs 1 1 s (t ) i (t )
1
t= MTBF时：
可靠度： Rs (t ) e
串联模型计算示列：
例1：已知振荡器的电感和电容故障率λL = λC= 10-6/h,振荡器寿命
服从指数分布，求振荡器的故障率λS；MTBF S及可靠度R S（t）。
λ(t) 故障率
MTBF MTTF 维修度 MTTR A(t) 可用度
2.2.3 可靠性串联模型和并联模型
可靠性模型是用以预计或估计产品可靠性的一种模型。建立产品 系统级、分系统级或设备级的可靠性模型，便于定量分配、估计和评 价产品的可靠性。 可靠性模型包括：可靠性方框图和可靠性数学模型。 典型的可靠性模型有：串联模型和并联模型 串联模型：组成产品的所有单元中任一单元发生故障都会导致整 个产品故障的模型。 并联模型：组成产品所有单元同时工作时，只要还有一个单元不 发生故障，产品就不会发生故障，也称工作贮备模型（冗余模式）。
当Δt 趋近于 0 时：
(t )
r (t ) dNf (t ) N 0dR(t ) N 0 dR(t ) f (t ) N s (t )t N s (t )dt N s (t )dt N s (t ) dt R(t )
低故障的元器件常以 10-9/h 为故障率的单位，称之为菲特（Fit） 如果产品服从指数分布，故障率为常数λ，此时可靠度为R(t)=e-λt 。
可靠性工程的重要性主要表现在三个方面：


1. 高科技的需要 2. 经济效益的需要 3. 政治声誉的需要
总之，无论是人民群众的生活，国民经济建设 的需要出发，还是从国防、科研的需要出发，研究 可靠性问题是具有深远的现实意义。
2.2.1可靠性的概念及指标
a.可靠性定义 可靠性：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。
dx e
x
t
e t 1 F (t )
2.2.2可靠性的基本概念及常用度量——可靠度
可靠度：
N 0 r (t ) R(t ) N0
N0为产品总数，r(t)为工作到t时刻产品发生的故障数。
可靠度计算示例： 例：设t=0时，投入工作的10000只灯泡，当t=365天时，发现有 300只灯泡坏了，求一年时的工作可靠度。 参考答案：R（年）=0.97 F(t)=1-0.97=0.03
R(t )、F (t )、f (t )、 (t )
之间的相互关系
设在规定的 t 时间内发生故障的产品数为 Nf (t ) ，未发生故障的产品数 为 Ns (t ) ，产品总数为 N 0 ，则有：Ns (t ) Nf (t ) N 0
N s (t ) N 0 Nf (t ) Nf (t ) R(t ) 1 1 F (t ) N0 N0 N0 dR(t ) f (t ) F ' (t ) [1 R(t )]' dt Nf (t ) dNf (t ) dR(t ) [1 ]' N0 N0
2.2.2可靠性的基本概念及常用度量——故障（失效）率
（二）故障（失效）率
产品工作到某时刻尚未发生故障，在该时刻后一个单位时间发生故 障的概率，称为产品故障（失效）率（或瞬时故障率） 。 产品故障率一般用λ(t)表示。
(t )
r (t ) N s (t )t
Δr(t)— t 时刻后，Δt 时间内发生故障的产品数 Δt—所取时间间隔 NS(t)—在t 时刻没有发生故障的产品数
高质量电子产品其故障率曲线在其寿命 内基本是一条平稳的直线。 质量低劣产品要么存在大量早期故障要 么很快进入耗损故障阶段。 产品的使用寿命与产品规定条件 和规定的可接受故障有关。 规定的允许故障率越高，产品使 用寿命越长，反之寿命越短。 1、产品使用很 长时间以后。 2、故障迅速上 升，直至极度。 3、主要由老化， 废劳、磨损、腐 蚀引起。 4、可通过试验 数据分析确定耗 损起始点，并通 过预防维修延长 产品的寿命。
A
B A B C L(电感）
C
串联模型 可靠性框图 并联模型 产品原理图：表示产品中 各单元之间的物理关系。 产品原理图
C(电容）
L
C
可靠性框图 可靠性框图：表示产品中 各单元之间逻辑功能关系。
e.掌握可靠性串联模型和并联模型的计算 串联模型的数学模型 （1）可靠度是产品各单元可靠度的积 （2）故障率是产品各单元故障率的和
第2.2节 可靠性理论
可靠性工程发展及其重要性

例如，美国的宇宙飞船阿波罗工程有700万只元器 件和零件，参加人数达42万人，参予制造的厂家达 1万5千多家，生产周期达数年之久。象这样庞大的 复杂系统，一旦某一个元件或某一个部件出现故障， 就会造成整个工程失败，造成巨大损失。所以可靠 性问题特别突出，不专门进行可靠性研究是难于保 证系统可靠性的。
MTBF MTTF R(t )dt
0

当产品的寿命服从指数分布时：MTBF = MTTF = 1/λ
平均故障间隔时间MTBF计算示例： 例：设有一个电子产品累计共工作10万小时，共发生故障50次，问 该产品的 MTBF的观测值？如果该批产品服从指数分布，问其故障率 是多少？ MTBF内的可靠度是多少？
b.“三个规定”的含义
规定条件是指使用时的环境条件和工作条件。环境条件越恶劣，工作 条件越不正常，可靠性越低。 规定时间内是指产品可以完成规定动能的工作时间内所预定的寿命。 这里的“时间”是广义的概念，除时间外，还包括：里程、次数等。 可靠性是随时间的递减函数（不能理解为成反比）。 规定功能是指产品规格书中给出了正常工作的性能指标。
可靠度函数与累计故障分布函数的关系为：
R（t）+ F（t）=1 由于F(t)=1-R(t),因此，累积故障分布函数通常也成为不可靠度。
故障概率密度函数f（t）是累积故障分布函数的导数，它表示在t 时刻后一个单位时间内产品发生故障的概率。
根据故障实验统计数据 f(t) （对数正态分布）
一个由若干组成部分构成的
2.2.2可靠性的基本概念及常用度量——可靠度函数 ， 累计故障(失效)分布函数
可靠度：产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。 可靠度是可靠性的度量指标， 是随时间变化的函数，用R(t)来表示。R(t)
可靠度函数的表达式：
随时间递减的函数
R（t）= P（T＞t） T 是产品发生故障（失效）时
f(t) λ
e f ( x) 0
x
x0 x0
0 指数分布的概率密度函数
t
当故障率f(t)服从指数分布时：
F (t ) e
0 t
t
x
dx (e
0
t
x
)dx e
x
t 0
1 e t
R(t ) e
x
1、早期故障降至最低，产品耗损期到来之前， 是产品的主要使用期。 2、故障率基本平稳，可近似看作一个常数。 3、由偶然因素引起的。 4、可以通过统计方法来预测。
总结！！！最常用的可靠性定量指标
可靠性指标是可靠性设计的目标，也是检验产品可靠性的依据。 常用的可靠性指标为： ① MTBF； ② 使用寿命。 主要的可靠性指标
间，当产品失效时，T 也称寿命。
t 为规定的时间。
可靠度函数 t
累计故障（失效）分布函数是 故障的度量指标，也是随时间变化
F(t) 不可靠度
的函数，通常用F（t）表示。
累计故障（失效）分布函数数 学表示为：
随时间递增的函数
F（t）= P（T≤t）
累计故障（失效）分布函数
t
假定产品要么处于正常工作状态，要么处于故障状态，可靠性与故 障可以表述为两个对立的事件。
t
Var ( x )

2
( x)
1

平均寿命计算示例 例：设有5个不可修复产品进行寿命试验，它们发生失效的时间 分别是1000h、1500h、2000h、2200h、2300h，问该产品的MTTF的
观测值？若已知该产品服从指数分布，则其故障率是多少？在平均
寿命内的可靠度是多少？
2.2.2可靠性的基本概念及常用度量——平均故障间隔时间MTBF
设N0个不可修复的产品在同样条件下进行试验，测得其全部失效时
间为 t1，t2……tNO，其平均寿命（失效前时间）为：
1 MTTF N0
t
i 1
No
i
对于不可修复的产品，失效时间即产品的寿
命，因此，MTTF即为平均寿命。当产品服从指 数分布时：
E ( x)
1

1
MTTF

0
e dt 1
指数分布：
f (t ) (t ) R (t )
e
e
t
t

注意：若给出指数分布概率密度函数的图形，λ是当 t=0时，f(t)的取值
故障率计算示例： 例1：上题若一年后第一天又有一只灯泡坏了，求此时的故障率。 Δt= (天)， Δr(t)= (只)，Ns(t)= (只)