平面体系几何组成分析
结构力学之平面体系的几何组成分析 ppt课件
B
书写：二元体A-C-B。
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22
（二）二元体规则： 增加或去掉二元体不改变原体系的几何 组成性质。
C
A
B
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23
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A
B
D
E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
G
C
F
束的几何不变体系；依次
在其上增加二元体A-D-C、 C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
一、几何构造特性： （一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
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40
静定结构几何组成的特点是：
任意取消一个约束，体系就变成了 几何可变体系。
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41
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
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42
二、静力特性： （一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据 三个静力平衡条件确定全 部支座反力和内力，且解 答唯一。
用
表示。
几何不变部分
刚片
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5
三、自由度：
确定体系位置所需要的独立坐标数目。
点：
y
2
y
o
A( x, y )
平面内点的自由度为
2
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x
x
6
刚片：
平面内刚片的自由度为
3
y
( x, y )
y
o
A
3
x
x
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7
四、约束（联系）： 减少自由度的装置。
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四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
平面体系几何组成分析的方法(静定的概念)(建筑力学)
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下 地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此 原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系 构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体； （2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系， 判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个 杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。 （2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。 （3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。 （4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
不完全铰节点 1个单铰
13/73
2-1 几何构造分析的几个概念
四、约束 两个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 则两者被连为一体成为一个刚片，自由 度由6减少为3。 一个单刚结点相当于3个约束。 单刚结点
三个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 自由度由9减少为3。
由此类推:
复刚节点
连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n－1 个单刚结点或3(n－ 1)个约束。
A A
1 B
2 C B
1
3
2 C
B 1
A 2
C
几何可变 几何不变 有多余约束
几何不变 无多余约束
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
23/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律
二、两个刚片之间的联结方式
A 2 B I 3 C
A II B I 3 C
16/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I
C
A
II
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
17/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
20/73
2-1 几何构造分析的几个概念
八、无穷远处的瞬铰
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
工程力学第五章平面体系的几何组成分析
3 6 (3 4 21 4)
H
0
方法2：此体系属于一般体系，只将ABCD 、AEFG 视为刚片m=2 g=0 h=1 b=4
W ' 3m'(3g'2h'b') 3 2 (3 0 2 1 4) 0
二、计算自由度与几何组成的关系 (了解)
1.实际自由度S
S =（各部件的自由度总和）-（必要约束）（2-4） 2.多余约束数n
W 3m (3g 2h b)
（2-2）
m—体系刚片的个数（不包括地基）， g—单刚结点个数 h—单铰结点个数（刚片之间的单铰结点个数） b—包括支座链杆数
★刚片·自由度·联系的概念 注意：
1、复连接要换算成单连接。
连四刚片h=3
连三刚片h=2
连两刚片h=1
2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带 有a个无铰封闭框，约束数应加3a个。
平面铰接体系：V 2 j b 3
[例1]：求图所示体系的计算自由度W。
方法1：此体系属于平面一
般体系，m=7 g=0 h=9 b=3
W 3m (3g 2h b)
3 7 (3 0 2 9 3) 0
注意：连接n个刚片的铰相当于（n-1）个单铰
采用（2-2）式计算时，复刚结点与复铰结点应转 换为单刚结点和单铰结点来计算。
§ 5-1 刚片自由度和约束的概念
体系的自由度是指该体系运动时，确定其位置 所需的独立坐标的数目。
平面内一点
x
n=2
y
平面刚体——刚片
B
x
n=3
A
y
地基是一个不动刚片，它的自由度为0
§ 5-1 刚片自由度和约束的概念
能够减少体系自由度的装置称为约束或联系。 能减少几个自由度就叫做几个约束。常用的约 束有链杆、铰（单铰、复铰）和刚结点。
平面体系的几何组成分析
§2.3 平面几何不变 体系的基本组成规律
§2.4瞬变体系
(1) 三个刚片的组成规则(三刚 片规则)
三个刚片，用不全在一条直线上 的3个单铰两两相连，组成无多 余约束的几何不变体系。
(a)
(b)
讨论
当三个单铰在一条直线上时，见图。若有荷 载作用在B铰上，B点可沿I、II两圆弧的公切 线做微小的移动，但移动后，三铰A,B,C不 再共线而成为几何不变体系，这种在某一瞬 时可产生微小运动的体系为几何瞬变体系。
W=3m-3g-2h-b
单铰：连接两个刚片的铰结点。 复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 n个刚片用一个铰连接，相当于（n-1）个单铰。
１
１ １
１ １
２
２
m＝４h＝４ b＝３
m＝7 h＝9 b＝３
W=3×４－（２×４)－３ Ｗ＝３×７－（２×９）－３
=１
＝０
刚片本身不 应包含多余约束
Ｗ=３×1－３＝０ Ｗ＝３×１－３－３＝－３
Ｗ＝－３
Ｗ＝３×１－５＝ห้องสมุดไป่ตู้２
超静定结构
二、铰接链杆体系的自由度计算
j：结点数 b: 链杆数
Ｗ＝２j－b
杆件两端用 铰连接组成 的体系
j=4 b=4+3 Ｗ＝２×４－４－３＝１
j=8 b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
三、自由度与几何体系构造特点
W 0 体系几何可变；
W 0 具有成为几何不变体系的约束数；
几何不变体系
几何可变体系
(2)机动分析
分析体系是几何不变还是几何 可变的工作即为机动分析或几 何构造分析。
(3)刚片
在机动分析中，不考虑材料的变 形，故可把一根杆件或几何不变 部分看作一个刚片。
第二章 平面体系的几何组成分析
(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B
平面体系的几何组成分析
⑶单铰与链杆的约束关系 一个单铰相当于两个链杆。
Ⅱ B Ⅱ 实铰 Ⅰ
O 虚铰、瞬心
Ⅱ
实铰
A Ⅰ
Ⅱ B D
平行
A
C
Ⅰ
Ⅰ
三、平面杆件体系自由度的计算
2
1、一般体系自由度的计 算 设：m—刚片数；
例题1
1 2
1
h—单铰数；
r—支座链杆数；
解： m= 5 h= 1+2+2+1=6 r=3 w=3×5－2×6－3=0
外围大三角形ABC几何不变， 几围小三角形DEF几何不变。
ABC与DEF两刚片，按二刚片 规则， 组成几何不变体系
例 分析图5-18所示体系的几何组成。
取AC为刚片1，BC为 刚片2，基础为刚片3。
如图所示，三刚片交点。 因此按三刚片规则， 组成几 何不变体系
例 分析图5-19a所示体系的几何组成。
将杆件AB、AC、BC分别视为刚片。运用三刚片规则，ABC 为几何不变体系。 结点D为加在刚片ABC上的二杆结点，按规则三，ABCD为 几何不变体系。 在ABCD上加二杆结点F，在刚片ABCDF上加结点E，因而 ABCDEF为几何不变体系。
将地面视为一刚片，按二刚片规则， ABCDEF与地面组成 几何不变体系
首先去掉D结点。如图b所示
按二刚片规则，三根链杆不平行亦不相交于一点，故 组成几何不变体系。
1、静定结构 几何特征是没有多余约束的几何不变体系； 静力特征是仅用静力平衡条件即可确定所有反力和内 力。 2、超静定结构
几何特征是有多余约束的几何不变体系；
静力特征是仅用静力平衡条件不能确定所有反力和 内力，还要使用变形协调条件才能求得所有反力和 内力。
平面体系的几何组成分析
第6章平面体系的几何组成分析6.1 几何组成分析的目的杆系结构是由若干杆件通过一定的互相联结方式所组成的几何不变体系，并与地基相联系组成一个整体，用来承受荷载的作用。
当不考虑各杆件本身的变形时，它应能保持其原有几何形状和位置不变，杆系结构的各个杆件之间以及整个结构与地基之间，不会发生相对运动。
受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，能够保持几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。
图6.1a所示即为这类体系的一个例子。
而如图6.1b所示的例子是另有一类体系，在受到很小的荷载F作用，也将引起几何形状的改变，这类体系不能够保持几何形状和位置不变的体系称为几何可变体系。
显然，土木工程结构只能是几何不变体系而不能采用几何可变体系。
上述体系的区别是由于它们的几何组成不同。
分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。
在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几何组成，以确定体系的几何不变性。
几何组成分析的目的是：1．判别给定体系是否是几何不变体系，从而决定它能否作为结构使用；2．研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出合理的结构；3．正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。
在本章中，所讨论的体系只限于平面杆件体系。
6.2平面体系的自由度为了便于对体系进行几何组成分析，先讨论平面体系的自由度的概念。
所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需独立的数目。
在平面内的某一动点A，其位置要由两个坐标x和y来确定(图6.2a)，所以一个点的自由度等于2，即点在平面内可以作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种移动来描述。
在平面体系中，由于不考虑材料的应变，所以可认为各个构件没有变形。
于是，可以把一根梁，一根链杆或体系中已经肯定为几何不变的某个部分看作一个平面刚体，简称为刚片。
一个刚片在平面内运动时，其位置将由它上面的任一点A的坐标x、y和过A点的任一直线AB的倾角ϕ来确定(图6.2b)。
平面体系的几何组成分析
F F1＝ 2 sin a
当 a 0时， sin a 0, F 1 ,
即瞬变体系在外载很小的情况下，可以发生很大内力。因此，在 结构设计中，即使是接近瞬变体系的计算简图，也应想法避免。 图3-2
4．刚片与刚片系 在体系的几何组成分析中，由于不考虑杆件本身的变 形，因此可以把一根杆件，或是已知几何不变部 分都可看作是一个刚体，在平面体系中又将刚体 称为刚片。 由刚片所组成的体系称为刚片系。也就是说，刚片可 大可小，它大至地球、一幢高楼，也可小至一片 梁、一根链杆。由此可知，平面体系的几何组成 分析，实际上就变成考察体系中各刚片间的连接 方式了。因此，能否准确、灵活地划分刚片，是 能否顺利进行几何组成分析的关键。 5．实铰与虚铰 由两根杆件端部相交所形成的铰，称为实铰，如图33a示。 由两根杆件中间相交或延长线相交形成的铰，称为虚 铰，如图3-3b、c示。之所以称这样的铰为虚铰， 是由于在这个交点O处并不是真正的相铰。图3-3 b、c所示虚铰的位置是在两根链杆的交点上；在 此，值得指出的是，实铰与虚铰的约束作用是一 样的。
第二节
平面体系的计算自由度
一、自由度与约束 1．自由度 为了分析体系是否几何不变，可先计算其自由度。所谓体系 的自由度，是指该体系运动时，用以完全确定其位置所 需的独立几何坐标的数目。 例如，一个点A在平面内运动时，可以完全确定其位置的独 立坐标，是该点的两个独立的坐标变量ｘ和ｙ（图34a）,所以一个点在平面内有两个自由度。 一个刚片在平面内运动则有三个自由度，这是因为刚片的位 置，可以由刚片上任意一点A的ｘ和ｙ坐标，以及刚片上 任一直线AB的倾角φ （图3-4b）来确定。 2．约束 约束是能够减少自由度的装置。如果能减少一个自由度， 就叫一个约束；如果能减少两个自由度，就叫两个约束。 约束亦叫联系。体系最常用的约束或联系为链杆和铰。
2平面体系的几何组成分析
例如三铰拱
大地、AC、无BC多为余刚几片何;A不、变B、C为单铰
减加二元体简组化成分结析构
如何减二元体？
试分析图示体是系什的么几何组成。 体系？
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
例1
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
例2
1,.3
2.,3 .1,2
就称为瞬变体系；反之则为常变体系。
应避C免设计常变体系，
A 也应避免设B 计A 成瞬变
B
0 0' 或接近瞬变瞬变的体体系的系两C个’ 特征：
P
M 0 0
(1) 多余约束的存在
N3 P r 0 (2) 很小的荷载引起很大的内
N1
N2
N3
N3
Pr
力；构件的微小变形引起体 系显著的位移。
第二章 平面体系的几何组成分析
Construction Analysis of Plan Structures
基本假定：不考虑材料的变形
几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可
变或如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以 作为结构。同时几何分析能为结构受力分析提供合理途径。
§2-1 几何组成分析的几个概念 一、几何不变体系和几何可变体系
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
例6
A
B C DE F
第16章 平面体系的几何组成分析
1.化简体系
（1）拆除二元体 2.观察约束
（2）等效代换
1）外部约束少于3个时，上部与基础之间缺少必要的约束数，整 体一定是几何可变体系。
2）外部约束等于3个时，若不符合二刚片规则，整体一定是几何 可变体系；若符合二刚片规则，整体的几何组成性质取决于上 部，应先从上部入手分析。
a)
b)
c)
几何可变体系
造成几何可变的原因是缺少约束或约束不当。
实用文档
几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位 置不能改变的体系。
a)
b)
c)
只有几何不变体系才能作为结构使用。
实用文档
判断体系几何组成性质，叫做对体系进行几何组成分析。
判断体系几何组成性质其目的是： 1）判定体系是否几何不变，从而确定其能否作为结构。 2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出各种合理结构。 3）判定结构是静定的还是超静定的，以便选择合适的计算方法。
所以体系是无多余约束的几何不变实用体文档系。
例16-4 对图示体系作几何组成分析。
a)
b)
解：
（1）由于外部约束正好为3个，且符合二刚片规则。所以，整体的性 质取决于上部。应从上部入手分析。
（2）铰接三角形ABD，逐次增加7个二元体（ACB 、CEB 、BGE 、 DFG 、EHG、GJH、FIJ ），视为一个大刚片1；用同样的方法
实用文档
16.2 平面体系自由度的概念
1.刚片
一个梁、一个柱、一根链杆都可看作一个刚片； 已肯定为几何不变的部分可视为一个刚片； 与结构相连的基础通常也视为刚片。
a) 刚片
b) 非刚片
实用文档
c) 刚片
平面体系的几何组成分析
平面体系的几何组成分析平面体系是指在二维平面上展示和分析的几何结构，可以是二维图形、图表或者平面上的线条、点等。
几何组成分析是对平面体系中组成要素的形态和关系进行研究、描述和解释的过程。
在平面体系的几何组成分析中，主要包括以下几个方面的内容：1.几何形态分析：几何形态分析是对平面体系中的形状、大小、比例关系等几何特征进行分析和描述的过程。
在几何形态分析中，可以通过测量、标注、计算等方法获取图形的尺寸信息，并通过比较、计算等方法揭示出图形的相似性、对称性等几何特征。
2.几何结构分析：几何结构分析是对平面体系中各个组成要素之间的关系进行研究和解释的过程。
在几何结构分析中，可以根据图形之间的相对位置、相互连接关系等，判断图形的层次结构、组合关系等几何关系，并通过分析这些几何关系揭示出图形之间的相互作用和约束关系。
3.几何变换分析：几何变换分析是对平面体系中的图形进行变换、平移、旋转等操作，以研究和揭示几何要素之间的关系和规律的过程。
在几何变换分析中，可以通过变换操作改变图形的形态、位置等几何特征，并观察这些变换对图形的几何关系和性质的影响，进而揭示出图形之间的变换关系和对称性等几何规律。
4.几何拓扑分析：几何拓扑分析是对平面体系中的点、线、面等几何要素之间的拓扑关系进行研究和表示的过程。
在几何拓扑分析中，可以通过判断要素之间的相交、包含、连接等关系，建立起点、边、面等要素之间的拓扑关系，并通过分析这些拓扑关系揭示出图形的几何拓扑特征和性质。
5.几何组合分析：几何组合分析是对平面体系中的各个组成要素进行组合、排列等操作，以研究和描述图形的整体特征和性质的过程。
在几何组合分析中，可以将各个组成要素进行组合或排列，形成新的图形，并通过分析这些组合或排列揭示出图形的组成特征、数量关系等几何特征。
几何组成分析不仅可以帮助我们理解和描述平面体系中的几何特征和规律，还可以应用于许多领域，如建筑设计、工程规划、地理信息系统等。
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研究平面体系几何组成分析的任务和目的：(１) 研究结构的基本组成规则，来判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式。
(２) 根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径。
1. 自由度的概念若干个杆件相互联结而组成的构造。
在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，其几何形状与位置均保持不变的体系。
F即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，会产生机械运动的体系，几何形状与位置可变的体系。
F判断体系是否几何不变，又称作几何组成分析﹙或几何构造分析﹚。
刚片：一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。
在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。
所以可由刚片中的一条直线代表刚片。
BA自由度是指物体运动时可以独立变化的几何参数的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。
⑴平面上的点(A )有两个自由度, 独立变化的几何参数为：x 、y 。
xyA x y o 1. 自由度的概念⑵平面上的刚片有三个自由度独立变化的几何参数为：x 、y 、ϕ。
x y x yoA Bϕ§3—2 平面体系的自由度计算2.约束的概念减少自由度的装置（又称为联系）。
凡是减少一个自由度的装置称为一个约束。
⑴链杆: 一根链杆相当一个约束。
A x yo B§3—2 平面体系的自由度计算ⅠⅡx yAx yϕ1ϕ2o ⑵单铰：连结两个刚片的铰称为单铰。
一个单铰相当于两个约束。
§3—2 平面体系的自由度计算ⅠⅡx yA x y ϕ1ϕ2o Ⅲϕ3⑶复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。
连结n 个刚片的复铰相当于(n －1)个单铰。
3. 多余约束的概念把体系上成为几何不变而必须的约束，称为必要约束；把必要约束之外的约束则称为多余约束。
§3—2 平面体系的自由度计算一个平面体系,通常由若干个刚片彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。
w = 3m －3g －(2h + r)式中：W—计算自由度m—刚片数目g —单刚结点片数目h —单铰数目r —链杆数目§3—2 平面体系的自由度计算(4）单刚结点:一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。
§3—2 平面体系的自由度计算计算平面体系自由度时，应注意：（1）确定体系的刚片数m 时，将每一根杆都视为一个刚片。
（2）单铰数目h 仅包含刚片之间互相连接的铰，不包括刚片与支座或支座链杆相连接的铰。
复铰须拆成单铰。
§3—2 平面体系的自由度计算（3）对于体系的复杂结点时，即不完全铰结点，应具体分析。
g:单刚节点片数目例题刚片个数m = 9单铰个数h = 12链杆个数r = 3W = 3×9 —（12×2 + 3）= 0113322讨论：体系虽然W=0, 但其上部有多余联系，而下部又缺少联系，仍为几何可变。
单刚结点片数g ＝0w = 3m －3g-(2h + r)§3—2 平面体系的自由度计算任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有以下三种情况：⑴w＞0, 体系缺少足够的联系，为几何可变。
⑵w＝0, 体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。
⑶w＜0, 体系具有多余联系。
则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。
§3—3 几何不变体系的组成规则1. 基本的三刚片规则（三角形规则）:三个刚片用不共线的三个单铰两两相连接组成的体系为几何不变。
ⅡⅢⅠ§3—3 几何不变体系的组成规则1. 基本的三刚片规则（三角形规则）:三个刚片用不共线的三个单铰两两相联组成的体系为几何不变。
例:ⅡⅢⅠ此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C 两两铰连接组成的，为几何不变。
§3—3 几何不变体系的组成规则2. 二元体规则:在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变体系。
二元体：两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。
结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。
刚片铰结点例：为没有多余约束的几何不变体系二元体§3—3 几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联,为几何不变体系。
虚铰：O 为相对转动中心。
起的作用相当一个单铰，称为虚铰。
铰O 刚片Ⅰ刚片Ⅰ①②.§3—3 几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:或者两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。
刚片ⅠＡO ＢＣＤＥＦ．§3—3 几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:例如：基础为刚片Ⅰ，杆BCE 为刚片Ⅱ，用链杆AB、EF、CD相联，为几Ⅱ何不变体系。
Ⅰ§3—4 瞬变体系原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系，这种体系称为瞬变体系。
瞬变体系也是一种几何可变体系。
例如:.o瞬变体系§3—4 瞬变体系体系的形状和位置可以改变，并发生位移，这种体系称为常变体系。
瞬变体系和常变体系都是几何可变体系，不能用作结构。
例如:常变体系§3—4 瞬变体系瞬变体系的静力特性：在微小荷载作用下可产生无穷大内力。
因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的。
瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的一类体系，是特殊的几何可变体系。
F NAB =F NAC =F P2F N sin a=F PF N =F P /(2sin a )§3—5 平面体系几何组成分析应用举例方法：首先计算自由度W，若W＞0,体系为几何可变；若W≤0 ,应进行几何组成分析。
二元体规则要求：二元体的两根杆不能在一条直线上。
二刚片规则要求：连接两个刚片的三根链杆不能汇交于一点，也不能相互平行。
三刚片规则要求：连接三刚片的三个铰不能在一条直线上。
例3－1 对下列图示体系作几何组成分析。
解：此体系的支座连杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，故可只分析体系本身。
当拆到结点６时，二元体的两杆共线，故此体系为瞬变体系，不能作为结构。
例3－2作几何组成分析。
解：ADCF 和BECG 这两部分都是几何不变的，作为刚片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。
而联结三刚片的O 1、O 2、C 不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。
O 1ⅡO 2ⅠⅡⅢ..解：地基视为刚片Ⅰ。
Ⅲ刚片Ⅱ与梁BC 按“两刚片规则”相联，又构成一个更扩大的刚片Ⅲ。
AB 梁与地基按“两刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。
CD 梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相联。
则此体系为几何不变，且无多余约束。
例3－3 作几何组成分析。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。
（说明刚片和约束的恰当选择的影响）例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。
（说明刚片和约束的恰当选择的影响）刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，故不能用三刚片规则。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。
（说明刚片和约束的恰当选择的影响）刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，故不能用三刚片规则。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。
（说明刚片和约束的恰当选择的影响）§3－6 几何构造与静定性的关系只有无多余联系的几何不变体系才是静定的。
或者说，静定结构的几何构造特征是几何不变且无多余联系。
凡按基本简单组成规则组成的体系，都是静定结构；而在此基础上还有多余联系的便是超静定结构。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。
（说明刚片和约束的恰当选择的影响）三个虚铰将三个刚片两两连接，根据三刚片规则，体系为几何不变。
o Ⅱ,Ⅲ有多余约束的几何不变体系拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体系的多余约束数。
１切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去掉一个约束；２切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当去掉两个约束；３切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去掉三个约束；４在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉一个约束。
例3－5 对下列图示体系作几何组成分析。
例3－6 对下列图示体系作几何组成分析。
总结三基本规律1. 一个刚片与一点用两根链杆相连，且两链杆不共线，则组成几何不变体系, 且无多余约束。
2. 两个刚片用一铰和一链杆相连，且三铰不共线，则组成几何不变体系，且无多余约束。
3.三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不共线，则组成几何不变体系，且无多余约束。
4. 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆(的延长线）不共点，则组成几何不变体系，且无多余约束。
一本章基本要求１.了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束的概念；２.重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活应用到对体系的分析中。
二简单规则应用要点简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。
应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则。
将体系简化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则中的四个要素均要明确表达，缺一不可。
四基本规律灵活应用的几个方面(1) 二元体的应用：对能用二元体分析的结构，有时可以从一个基本刚片（如基础或三角形）出发，依次增加二元体，形成扩大的刚片；有时可以先去掉二元体，使原体系简化, 再用其他规律分析。
(2) 基础视为刚片：若某体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，则可以只分析该体系本身；但当体系与基础之间的链杆多于三根，就需要把基础也看成刚片分析。