平面体系几何组成分析
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y
B
A
o
x
§ 3—2 平面体系的自由度计算
⑵ 单铰： 连结两个刚片的铰称为单铰。 一个单铰相当于两个约束。
y
A
x
1
2
Ⅰ
Ⅱ
o
y
x
§ 3—2 平面体系的自由度计算
⑶复铰： 连结两个以上刚片的铰 称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相 当于(n－1)个单铰。
y
Ⅲ
x
A
3
1
Ⅰ
2
Ⅱ
y
o
x
3. 多余约束的概念
把体系上成为几何不变而必须的约束，称为必要约束；把 必要约束之外的约束则称为多余约束。
二元体： 两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。
铰结点
例：
刚
片
二元体
为没有多余约束的几何不变体系
结论：在一个体系上增加或拆除二元体， 不会改变原体系的几何构造性质。
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则:
两个刚片用一个铰
和一根不通过此铰的链杆
相联,为几何不变体系。
O.
铰
刚片Ⅰ
② ① 刚片Ⅰ
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点 间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由 刚片中的一条直线代表刚片。
B
A
§ § 3—2 平面体系的自由度计算 1. 自由度的概念
自由度是指物体运动时可以独立变化的几何参数 的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。
y
x
o
A
y x
⑴ 平面上的点(A)有两个
F
§3-1 概述 即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作
用下，会产生机械运动的体系，几何形状与位 置可变的体系。
F
§3-1 概述
判断体系是否几何不变，又称作几何组成分
析﹙或几何构造分析﹚。 刚片：一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平 面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并 且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。
刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为 间接联系，故不能用三刚片规则。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
§3－6 几何构造与静定性的关系
只有无多余联系的几何不变体系才是静定的。 或者说，静定结构的几何构造特征是几何不变且无 多余联系。
凡按基本简单组成规则组成的体系，都是静定 结构；而在此基础上还有多余联系的便是超静定结 构。
基础或三角形）出发，依次增加二元体，形成扩大的刚片；有 时可以先去掉二元体，使原体系简化, 再用其他规律分析。
(2) 基础视为刚片： 若某体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，则可以只
分析该体系本身；但当体系与基础之间的链杆多于三根，就需 要把基础也看成刚片分析。
§3-1 概述
研究平面体系几何组成分析的任务和目的： (１) 研究结构的基本组成规则，来判定体系是否可作为 结构以及选取结构的合理形式。 (２) 根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算 途径。
§3-1 概述 1. 自由度的概念
若干个杆件相互联结而组成的构造。 在任何荷载作用下，若不计杆件的变形， 其几何形状与位置均保持不变的体系。
杆AB、 EF、 CD 相联，为几
何不变体系。
Ⅱ
Ⅰ
§3—4 瞬变体系
原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系，这种体 系称为瞬变体系。瞬变体系也是一种几何可变体系。
例如:
o
.
瞬变体系
§3—4 瞬变体系
体系的形状和位置可以改变，并发生位移，这种体系称为常变体 系。瞬变体系和常变体系都是几何可变体系，不能用作结构。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
oⅡ,Ⅲ
三个虚铰将三个刚片两两连接，根据三刚片规则，体系 为几何不变。
有多余约束的几何不变体系
拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无多余约束的 几何不变体系，则去掉的约束数即是体系的多余约束数。
１ 切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去掉一个约束； ２ 切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当去掉两个约束； ３ 切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去掉三个约束； ４ 在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉一个约束。
简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。
应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则。 将体系简化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析； 分析过程中，规则中的四个要素均要明确表达，缺一不可。
总结
四 基本规律灵活应用的几个方面
(1) 二元体的应用： 对能用二元体分析的结构，有时可以从一个基本刚片（如
虚铰： O为相对转动中心。起 的作用相当一个单铰，称为虚铰。
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则: 或者两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆
． 相联，为几何不变体系。 O
Ｆ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
刚片Ⅰ
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则:
例如： 基础为刚片
Ⅰ，杆BCE 为刚片Ⅱ，用链
§3—5 平面体系几何组成分析应用举例
方法：首先计算自由度W，若W＞0,体系为几何可变； 若W≤0 ,应进行几何组成分析。
二元体规则要求： 二元体的两根杆不能在一条直线上。 二刚片规则要求：连接两个刚片的三根链杆不能汇交于一点，也不 能相互平行。 三刚片规则要求：连接三刚片的三个铰不能在一条直线上。
§ 3—2 平面体系的自由度计算
计算平面体系自由度时，应注意： （1）确定体系的刚片数m 时，将每一根杆都视为一 个刚片。 （2）单铰数目h 仅包含刚片之间互相连接的铰，不 包括刚片与支座或支座链杆相连接的铰。复铰须拆 成单铰。
§ 3—2 平面体系的自由度计 算
（3）对于体系的复杂结点时，即不完全铰结点，应 具体分析。
§ 3—2 平面体系的自由度计算
一个平面体系 ,通常由若干个刚片
彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。
w = 3m － 3g － (2h + r)
式中：W — 计算自由度 m— 刚片数目 g — 单刚结点片数目 h — 单铰数目 r — 链杆数目
§ 3—2 平面体系的自由度计算
(4）单刚结点:
一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。
例如:
常变体系
§3—4 瞬变体系
瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产生
无穷大内力。因此，瞬变体系 或接近瞬变的体系都是严禁作 为结构使用的。
瞬变体系一般是总约束数满 足但约束方式不满足规则的一 类体系，是特殊的几何可变体 系。
FNAB =FNAC =FP 2FNsina=FP FN =FP /(2 sina )
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为 间接联系，故不能用三刚片规则。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
g:单刚节点片数目
例题
w = 3m－3g- (2h + r)
2
2
刚片个数
m=9
单铰个数
h = 12
3
3
链杆个数
r=3
1
1
单刚结点片数 g＝0
W = 3×9 —（12×2 + 3） =0
Leabharlann Baidu讨论： 体系虽然 W=0, 但其上部有多余联系，
而下部又缺少联系，仍为几何可变。
§ 3—2 平面体系的自由度计算 任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有
片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、
C 不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。
例 3－3 作几何组成分析。
Ⅲ
解：地基视为刚片Ⅰ。 AB梁与地基按“两刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。 刚片Ⅱ与梁BC按 “两刚片规则”相联，又构成一个更扩大的刚片 Ⅲ。CD梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相联。则此体系为几何不变， 且无多余约束。
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
§3—3 几何不变体系的组成规则
1. 基本的三刚片规则（三角形规则）: 三个刚片用不共线的三个单铰两两相联组成的体系为几何不变。
例:
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C
两两铰连接组成的，为几何不变。
§3—3 几何不变体系的组成规则
2. 二元体规则:
在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变体系。
以下三种情况：
⑴ w＞0, 体系缺少足够的联系，为几何可变。
⑵ w＝0, 体系具有成为几何不变所必需的最少 联系数目。
⑶ w＜0, 体系具有多余联系。
则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但 这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的 合理组成规则。
§3—3 几何不变体系的组成规则
1. 基本的三刚片规则（三角形规则）: 三个刚片用不共线的三个单铰两两相连接组成的体系为几何不变。
例3－1 对下列图示 体系作几何组成分析。
解： 此体系的支座连
杆只有三根，且不完 全平行也不交于一点 ，故可只分析体系本 身。
当拆到结点６时，二元体的两杆共线，故此体 系为瞬变体系，不能作为结构。
.O1
例 3－2
作几何组成分析。
解：
Ⅰ
. O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF 和BECG 这两部分都是几何不变的，作为刚
自由度, 独立变化的几何参 数为：x、y。
§ § 3—2 平面体系的自由度计算 ⑵ 平面上的刚片有三个自由度
y B
x A
y
x
o
独立变化的几何参数为：x、y、。
§ 3—2 平面体系的自由度计算 2.约束的概念 减少自由度的装置（又称为联系）。 凡是减少一个自由度的装置称为一个约束。
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
例3－5 对下列图示体系作几何组成分析。
例3－6 对下列图示体系作几何组成分析。
总结
三 基本规律
1. 一个刚片与一点用两根链杆相连，且两链杆不共线，则 组成几何不变体系, 且无多余约束。
2. 两个刚片用一铰和一链杆相连，且三铰不共线，则组成 几何不变体系，且无多余约束。
3. 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不共线，则组 成几何不变体系，且无多余约束。
4. 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆(的延长线）不共 点， 则组成几何不变体系，且无多余约束。
总结
一 本章基本要求 １.了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的
自由度、虚铰、约束及多余约束的概念； ２.重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活
应用到对体系的分析中。
二 简单规则应用要点
B
A
o
x
§ 3—2 平面体系的自由度计算
⑵ 单铰： 连结两个刚片的铰称为单铰。 一个单铰相当于两个约束。
y
A
x
1
2
Ⅰ
Ⅱ
o
y
x
§ 3—2 平面体系的自由度计算
⑶复铰： 连结两个以上刚片的铰 称为复铰。 连结n 个刚片的复铰相 当于(n－1)个单铰。
y
Ⅲ
x
A
3
1
Ⅰ
2
Ⅱ
y
o
x
3. 多余约束的概念
把体系上成为几何不变而必须的约束，称为必要约束；把 必要约束之外的约束则称为多余约束。
二元体： 两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。
铰结点
例：
刚
片
二元体
为没有多余约束的几何不变体系
结论：在一个体系上增加或拆除二元体， 不会改变原体系的几何构造性质。
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则:
两个刚片用一个铰
和一根不通过此铰的链杆
相联,为几何不变体系。
O.
铰
刚片Ⅰ
② ① 刚片Ⅰ
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点 间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由 刚片中的一条直线代表刚片。
B
A
§ § 3—2 平面体系的自由度计算 1. 自由度的概念
自由度是指物体运动时可以独立变化的几何参数 的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。
y
x
o
A
y x
⑴ 平面上的点(A)有两个
F
§3-1 概述 即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作
用下，会产生机械运动的体系，几何形状与位 置可变的体系。
F
§3-1 概述
判断体系是否几何不变，又称作几何组成分
析﹙或几何构造分析﹚。 刚片：一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平 面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并 且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。
刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为 间接联系，故不能用三刚片规则。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
§3－6 几何构造与静定性的关系
只有无多余联系的几何不变体系才是静定的。 或者说，静定结构的几何构造特征是几何不变且无 多余联系。
凡按基本简单组成规则组成的体系，都是静定 结构；而在此基础上还有多余联系的便是超静定结 构。
基础或三角形）出发，依次增加二元体，形成扩大的刚片；有 时可以先去掉二元体，使原体系简化, 再用其他规律分析。
(2) 基础视为刚片： 若某体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，则可以只
分析该体系本身；但当体系与基础之间的链杆多于三根，就需 要把基础也看成刚片分析。
§3-1 概述
研究平面体系几何组成分析的任务和目的： (１) 研究结构的基本组成规则，来判定体系是否可作为 结构以及选取结构的合理形式。 (２) 根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算 途径。
§3-1 概述 1. 自由度的概念
若干个杆件相互联结而组成的构造。 在任何荷载作用下，若不计杆件的变形， 其几何形状与位置均保持不变的体系。
杆AB、 EF、 CD 相联，为几
何不变体系。
Ⅱ
Ⅰ
§3—4 瞬变体系
原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系，这种体 系称为瞬变体系。瞬变体系也是一种几何可变体系。
例如:
o
.
瞬变体系
§3—4 瞬变体系
体系的形状和位置可以改变，并发生位移，这种体系称为常变体 系。瞬变体系和常变体系都是几何可变体系，不能用作结构。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
oⅡ,Ⅲ
三个虚铰将三个刚片两两连接，根据三刚片规则，体系 为几何不变。
有多余约束的几何不变体系
拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无多余约束的 几何不变体系，则去掉的约束数即是体系的多余约束数。
１ 切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去掉一个约束； ２ 切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当去掉两个约束； ３ 切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去掉三个约束； ４ 在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉一个约束。
简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。
应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则。 将体系简化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析； 分析过程中，规则中的四个要素均要明确表达，缺一不可。
总结
四 基本规律灵活应用的几个方面
(1) 二元体的应用： 对能用二元体分析的结构，有时可以从一个基本刚片（如
虚铰： O为相对转动中心。起 的作用相当一个单铰，称为虚铰。
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则: 或者两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆
． 相联，为几何不变体系。 O
Ｆ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
刚片Ⅰ
§3—3 几何不变体系的组成规则
3.两刚片规则:
例如： 基础为刚片
Ⅰ，杆BCE 为刚片Ⅱ，用链
§3—5 平面体系几何组成分析应用举例
方法：首先计算自由度W，若W＞0,体系为几何可变； 若W≤0 ,应进行几何组成分析。
二元体规则要求： 二元体的两根杆不能在一条直线上。 二刚片规则要求：连接两个刚片的三根链杆不能汇交于一点，也不 能相互平行。 三刚片规则要求：连接三刚片的三个铰不能在一条直线上。
§ 3—2 平面体系的自由度计算
计算平面体系自由度时，应注意： （1）确定体系的刚片数m 时，将每一根杆都视为一 个刚片。 （2）单铰数目h 仅包含刚片之间互相连接的铰，不 包括刚片与支座或支座链杆相连接的铰。复铰须拆 成单铰。
§ 3—2 平面体系的自由度计 算
（3）对于体系的复杂结点时，即不完全铰结点，应 具体分析。
§ 3—2 平面体系的自由度计算
一个平面体系 ,通常由若干个刚片
彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。
w = 3m － 3g － (2h + r)
式中：W — 计算自由度 m— 刚片数目 g — 单刚结点片数目 h — 单铰数目 r — 链杆数目
§ 3—2 平面体系的自由度计算
(4）单刚结点:
一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。
例如:
常变体系
§3—4 瞬变体系
瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产生
无穷大内力。因此，瞬变体系 或接近瞬变的体系都是严禁作 为结构使用的。
瞬变体系一般是总约束数满 足但约束方式不满足规则的一 类体系，是特殊的几何可变体 系。
FNAB =FNAC =FP 2FNsina=FP FN =FP /(2 sina )
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为 间接联系，故不能用三刚片规则。
例3－4 对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束 的恰当选择的影响）
g:单刚节点片数目
例题
w = 3m－3g- (2h + r)
2
2
刚片个数
m=9
单铰个数
h = 12
3
3
链杆个数
r=3
1
1
单刚结点片数 g＝0
W = 3×9 —（12×2 + 3） =0
Leabharlann Baidu讨论： 体系虽然 W=0, 但其上部有多余联系，
而下部又缺少联系，仍为几何可变。
§ 3—2 平面体系的自由度计算 任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有
片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、
C 不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。
例 3－3 作几何组成分析。
Ⅲ
解：地基视为刚片Ⅰ。 AB梁与地基按“两刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。 刚片Ⅱ与梁BC按 “两刚片规则”相联，又构成一个更扩大的刚片 Ⅲ。CD梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相联。则此体系为几何不变， 且无多余约束。
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
§3—3 几何不变体系的组成规则
1. 基本的三刚片规则（三角形规则）: 三个刚片用不共线的三个单铰两两相联组成的体系为几何不变。
例:
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C
两两铰连接组成的，为几何不变。
§3—3 几何不变体系的组成规则
2. 二元体规则:
在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变体系。
以下三种情况：
⑴ w＞0, 体系缺少足够的联系，为几何可变。
⑵ w＝0, 体系具有成为几何不变所必需的最少 联系数目。
⑶ w＜0, 体系具有多余联系。
则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但 这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的 合理组成规则。
§3—3 几何不变体系的组成规则
1. 基本的三刚片规则（三角形规则）: 三个刚片用不共线的三个单铰两两相连接组成的体系为几何不变。
例3－1 对下列图示 体系作几何组成分析。
解： 此体系的支座连
杆只有三根，且不完 全平行也不交于一点 ，故可只分析体系本 身。
当拆到结点６时，二元体的两杆共线，故此体 系为瞬变体系，不能作为结构。
.O1
例 3－2
作几何组成分析。
解：
Ⅰ
. O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF 和BECG 这两部分都是几何不变的，作为刚
自由度, 独立变化的几何参 数为：x、y。
§ § 3—2 平面体系的自由度计算 ⑵ 平面上的刚片有三个自由度
y B
x A
y
x
o
独立变化的几何参数为：x、y、。
§ 3—2 平面体系的自由度计算 2.约束的概念 减少自由度的装置（又称为联系）。 凡是减少一个自由度的装置称为一个约束。
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
例3－5 对下列图示体系作几何组成分析。
例3－6 对下列图示体系作几何组成分析。
总结
三 基本规律
1. 一个刚片与一点用两根链杆相连，且两链杆不共线，则 组成几何不变体系, 且无多余约束。
2. 两个刚片用一铰和一链杆相连，且三铰不共线，则组成 几何不变体系，且无多余约束。
3. 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不共线，则组 成几何不变体系，且无多余约束。
4. 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆(的延长线）不共 点， 则组成几何不变体系，且无多余约束。
总结
一 本章基本要求 １.了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的
自由度、虚铰、约束及多余约束的概念； ２.重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活
应用到对体系的分析中。
二 简单规则应用要点