9.7静电场之均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场

(R < r)
在圆柱壳外取一点P0作为电势零点，该点到轴线距离为r0。 取一条从C开始到P0为止的电场线 UC = 作为积分路径，则C点的电势为
r0 R r0 R
r0
r0 2k λ ∫ E ⋅ ds = ∫ r dr = 2k λ ln r r r
r0
r
取一条从B到P0的电场线作为积分路径，B点的电势为
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
(1)一无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度的带电量 (电荷的线密度)为λ，求电荷产生的电场强度和电势，电场强 度和电势随距离变化的规律是什么？如果电荷均匀分布在同 样大小的圆柱体内，求解同样的问题。(2)一均匀带电圆柱壳， 内部是空腔，圆柱壳内外半径分别为R0和R，电荷的线密度仍 为λ，求空间各点的电场强度和电势。对于不同厚度的圆柱壳， 电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ R [解析](1)如图所示，由于电荷分布具有 轴对称性，所激发的电场也是轴对称的。 设λ > 0，不论场点在圆柱内还是在 圆柱外，由于对称的缘故，场点的 场强都沿着轴心到场点的连线。 r E E r
空腔内的电势是常数，圆柱壳中的电 势随距离的增加而加速减小，圆柱壳 外电势随距离的增加而减速减小。
取圆柱体表面的电势为零，则柱体内部 的电势为正，柱体外部的电势为负。 均匀带电圆柱体内的电势随距离的 增加而加速减小，柱体外电势与柱 面外电势的变化规律是相同的。
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
(2)一均匀带电圆柱壳，内部是空腔，圆柱壳内外半径分别为R0和 R，电荷的线密度仍为λ，求空间各点的电场强度和电势。对于不 同厚度的圆柱壳，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ [解析](2)带电柱圆壳的截面如图所 示，A、B、C三点代表三个区域。 均匀带电圆柱壳的电荷体密度为
R0 R r0 R
(R0 ≤ r ≤ R)
r
取一条从A到P0的电场线作为积分路径，A点的电势为
0 2k λ (r 2 − R02 ) 2k λ U A =∫ E ⋅ ds =∫ Edr + ∫ Edr + ∫ Edr =0 + ∫ dr + ∫ dr 2 2 r ( R − R0 ) r r r R0 R R0 R
Q 2k λ r
C rC SC B rB SB O R0 SA A rA R
(R < r)
当r→R时，EC→2kλ/R，圆柱壳外表面内外侧面的场强连续。
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
2k λ 2k λ (r 2 − R02 ) EA = 0 (r < R0) EB = EC = (R0 < r < R) 2 2 r r ( R − R0 )
0 2k λ (r 2 − R02 ) 2k λ U B = ∫ E ⋅ ds = ∫ Edr + ∫ Edr = ∫ dr + ∫ dr 2 2 r ( R − R0 ) r r r R r R
UB
r0 R 2k λ 1 2 2 2 [ ( R − r ) − R0 ln ] + 2k λ ln 2 2 R − R0 2 r R
r0
UA =
r R 2k λ 1 2 [ ( R − R02 ) − R02 ln ] + 2k λ ln 0 . R 2 − R02 2 R0 R
(r ≤ R0)
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
= [讨论] EA = 0，U A
2k λ (r 2 − R02 ) r0 R 2k λ 1 2 2 2 EB = , UB [ ( R − r ) − R0 ln ] + 2k λ ln = 2 2 2 2 r ( R − R0 ) R − R0 2 r R r0 2k λ (R0 < r < R) (R < r) EC = , U C = 2k λ ln r r
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
2k λ (r > R) E= r 在圆柱的外表面， E = 2k λ 0 场强大小为 R
对于圆柱面内的点P2，以轴线 为中线，过P2点做一个高为L、 半径r的圆柱面S2作为高斯面。 L S2 R P2 P1 O E E r S1
在P2取一个面积元dS，假设圆柱面内的场 强不为零，同样可求得电通量ΦE = Q/ε0 。 对于均匀带电圆柱面，高斯面内Q = 0， 根据高斯定理得E = 0 (r < R) 即：均匀带电圆柱面内的场强为零。 圆柱内外表面 的场强不连续。
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
2k λ r 2k λ (r < R) (r > R) E = E= 2 R r 取一条从P2开始到P0为止的电场线 作为积分路径，则P2的电势为
U=
r0
R P2 E P0 r0 r
∫ E ⋅ ds =
r
∫ Edr + ∫ Edr =
r R
R
r0
r R 2k λ 1 2 [ ( R − R02 ) − R02 ln ] + 2k λ ln 0 (r < R ) 0 R 2 − R02 2 R0 R
①当R0→0时，空腔缩为一线，圆柱壳就变成圆柱体。
r0 A点(轴线)的电势为 U A → k λ + 2k λ ln R
(r = 0)
r0 kλ 2 2 2k λ r U B → 2 ( R − r ) + 2k λ ln , EB → 2 B点 R R R 当r = 0时，UB = UA，EB = EA = 0。
蜒 ⋅ dS = ∫ ∫E
S
EdS = E ÑdS = E2πrL ∫S S
高斯面所包围的电量为Q = λL，
根据高斯定理ΦE = Q/ε0 当λ > 0时，场强的方向垂直 λ 场强大 E = 2k λ (r > R) 轴线向外；当λ < 0时，场强 = 的方向垂直轴线向内。 2πε 0 r r 小为 可见：均匀带电圆柱面或圆柱体外各点的场强与电 荷全部集中在轴线处的线电荷所激发的场强相同。
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
2k λ (r > R) E = 0 (r < R) E= r 如图所示，在圆柱外取一点P0作为参 考的电势零点，P0到轴线的距离为r0。 取一条从P1开始到P0为止的电场 线作为积分路径， P1的电势为 r0 r0 r0 2k λ r U = ∫ E ⋅ ds = ∫ Edr = ∫ dr = 2k λ ln 0 r r r r r 均匀带电圆柱面外各点的电势与电荷全部 集中在轴线处的点电荷所产生的电势相同。 如果λ > 0，当r > r0时U < 0；当r < r0时， U > 0。如果λ < 0，则结果相反。
②当R0→R时，圆柱壳就变成圆柱面。 利用罗必塔法则， U → 2k λ ln r0 与圆柱外表面 A 可得A点的电势 的电势相同。 R
不妨取圆柱壳内半径与外半径之比为0.5。 空腔内的场强为零，圆柱壳内的场强随距离增加而 增强，圆柱壳外的场强随距离的增加而减小。 在圆柱壳的内外表面，电场强度是连续的。
可以证明：圆柱面内任何一点的电势都与表 面的电势相同，圆柱内空腔是一个等势体。 R P1 P0 E r0 r
圆柱表面 的电势为
r0 U 0 = 2k λ ln R
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
对于均匀带电圆柱体，柱体外的电场强度和电势与电荷全 部集中在轴线处的线电荷所产生的电势相同。由于电荷的 体密度处处相等，柱体内的场强不为零，电势也不是常量。 高为L的圆柱体内的电量为Q = λL， 轴线处的场强为零，圆 柱内场强与半径成正比。 圆柱体的体积为VR= πR2L， 电荷的体密度为ρ = Q/VR， 高斯面内的体积为 Vr = πr2L，
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
在过B点柱面SB中，包围电荷体积为Vr = π(r2 – R02)L， 高斯面内 = ρV λ (r 2 − R02 ) L q = r 2 R 2 − R0 的电量为 根据高斯定理得圆柱体内场强 2k λ (r 2 − R02 ) q EB = = (R0 < r < R) r 2π( 0 rL ε ) R 2 − R02 当r→R0时，EB→0 = EA，即：圆 柱壳内表面内外的场强连续。 当r→R时，EB→2kλ/R，这是 柱壳外表面内侧的场强。 在过C点柱面SC中，包围的 = = EC 2πε 0 rL 电荷为Q = λL，所以场强为
r0 kλ 2 2 U ( R − r ) + 2k λ ln = 2 R R
2k λ r 2k λ dr + ∫ dr ∫ R2 r r R
R r0
(r < R)
可见：均匀带电圆柱体不是等势体，轴线处的电势最高。 r U → 2k λ ln 0 = U0 当r→R时，可得 R 这正好是圆柱外表面的电势。
圆柱面内部的场强为零，柱面外 部场强随距离的增加而减小。 在圆柱面的内外表面， 电场强度不连续。
均匀带电圆柱面内外的电势是连续的， 圆柱面内电势为零，柱面外电势随距 离的增加按自然对数的规律减小。
圆柱体内场强随距离成正比增强， 柱体外的电场强度与柱面外电场强 度的变化规律是相同的；在柱体的 内外表面，电场强度是连续的。
{范例9.7} 均匀带电圆柱面、圆柱体和圆柱壳的电场
对于圆柱外的点P1，以轴线为中线，过P1点做 一个高为L、半径r的圆柱面S1作为高斯面。 在P1点取一个面积元dS，其 法线方向与场强方向一致。 通过该面积元的电通量为dΦE = E·dS， 通过高斯面的电通量为 L O R P1 E r S1
ΦE =
ρ = λ Q Q = = 2 − 2 V 2π(R 2π( R0 ) L ) 2 R 2 − R0