高中数学选修2-2 北师大版 1.1归纳与类比类比推理 教案

类比推理

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；

（2）能利用类比进行简单的推理；

（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。

（二）、引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）、例题探析

例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？

解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。

解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体P -ABC

中，平面PAB 、平面PBC 、平面PCA 两两垂直

勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。

类比到空间就是：△ABC 面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。

即：2222PCA PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=

在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。

(四)、巩固练习：

练习1、已知实数加法满足下列运算规律：（1）a b b a +=+；（2）()()c b a c b a ++=++． 类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．

练习2、我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列?

(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；(2)探索等和数列{}n a 的奇数项和偶数项有什么特点；(3)等和数列{}n a 中,如果 求前n 项和. 练习3、若数列{}n a 是等差数列，且12...,n n a a a b n

+++=则{}n b 也是等差数列。类比上述性质，相应地，数列{}n c 是等比数列，且0n c >，___________n d =，则{}n d 也是等比数列（以上*n N ∈）

练习4、在ABC ∆中，若,,AC BC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆

的外接圆半径r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两互相垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =( )

A

B

C

D

12,a a a b

==

练习5、类比解答（1）、（2）：（1）求证：1tan tan 41tan x x x

π+⎛

⎫+= ⎪-⎝⎭；（2）设,x R a ∈为非零常数，且()1(),1()

f x f x a f x ++=-试问：()f x 是周期函数吗？证明你的结论。 （五）、小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

（六）作业：课本课本7P 练习：2．课本7P 习题1-1：4．

五、教后反思：