初三数学相交弦定理和切割线定理人教版
圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、订交弦定理之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日以及与圆有关的比例线段［进修目标］1.切线长概念切线长是在经由圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具罕见目标特色,而“切线”是一条直线,它不成以度量长度.2.切线长定理对于切线长定理,应明确（1）若已知圆的两条切线订交,则切线长相等；（2）若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径；（3）经由圆外一点引圆的两条切线,贯串衔接两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经由圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线,等分过这点向圆引的两条切线所夹的角.3.弦切角：顶点在圆上,一边和圆订交,另一边和圆相切的角.直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.5.弄清和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角.6.碰着圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理.7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法订交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于P.PA·PB＝PC·PD.贯串衔接AC、BD,证：△APC∽△DPB.订交弦定理的推论⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用订交弦定理.切割线定理⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB贯串衔接TA、TB,证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用订交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过必定点P向⊙O作任一贯线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径）,因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理.时间：二O二一年七月二十九日。
初三数学相交弦定理 人教版优选PPT
二 推论：如果弦与直径垂直相交，那么
答：圆O的半径为7cm。
格式 CD是弦，AB是直径，CD⊥AB，
格式 ∵AB是直径, AB
提
问
弦CD AB和CD交与O内一点P，则
∴ PA·PB=PC·PD
已知：如图，AB是圆O的弦，P是AB
成的两条线段长的积相等。
PA·PB=PC·PD
A
Ｃ
Ｄ
P OB
推论：
C
• 当两条弦中的一条是直径，另一
解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，
求作：线段c，使c2＝ab．
设圆O的半径O为xcPm，=PA-OA=8-5=3（cm）
C
O
B
P
D
答：OP=3cm。
例2 已知：线段a，b． 求作：线段c，使c2＝ab．
D
c
Aa
Bb
C
反思：这个作图题是作两已知线段的比例中项的问题，
可以当作基本作图加以应用．请同学们想一想，这到题还 有别的作法吗？
由相交弦定理得
x 3 2 -x = 1 2 1 6
3 2 x -x 2 = 1 9 2 x 2 -3 2 x + 1 9 2 = 0
12 x 16
( x -8 ) • (x -2 4 )= 0
故 x=8或 x=24
故另一段长为32－8=24 或32－24=8 答：另一弦被交点分成的两段长分别为8cm 、 24cm
O
B P DD
已知：如图AB是O的直径，ABCD，垂
足为P，CP=4cm，PB=2cm，求PO的长。
PA·PB=PC·PD
解:AB是直径，ABCD 格式 弦AB和CD交与 O内一点P，则
成的两条线段长的积相等。 设圆O的半径为xcm，
(完整版)圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。
几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。
2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。
解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。
相交弦定理切割线定理1
(2)CD2=AB2+MN2
M
C
N
A
O1
O2
B
M1 D
N1
3. ⊙O中弦AB和CD相交于 P,CP=2.5,PD=6,AB=8,那么AP,PB的长是 那个一元两次方程的两个根( )
A. x2 8x 15 0 B. x2 8x 15 0
C. x2 8x 15 0 D. x2 8x 15 0
4.如图:⊙O的弦AB,CD相交于 P,PA=4,PB=3,PC=6,EA切⊙O 于点A,AE与CD的延长交于点
复习之四
相交弦定理 切割线定理
一.复习目标:
1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握切割 线定理及其应用.
3.了解相交弦,切割线定理的证明.4.掌 握割线定理及其应用.
二、复习指导：回忆知识点，会的直接 填写，不会的可翻书填写，边填边记， 比谁能正确填写，并能运用它们做对习 题.
三,知识要点:
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线
段的积
.
2.从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是
这点到割线与圆交点的线段长的
.
3.过圆内(或圆外)一点任意画圆的一条割线,
这一点到割线与圆的两个交点之间的两条线
段长
等于定值,如果用d,r表示这一点
到圆心的距离和圆的半径,那么这个定值等
于
.
四,检测练习:
1.如图:PA切⊙O于A,PBC,PDE是过P点
E,AE=2 5,求PE的长?
B
C
E DP
A
5.如图:⊙O的两条弦AB与CD相交
于点M,且OM⊥CD,作ON⊥AB,N
为垂足,已知CD=6,BM=9,ON= 11,
相交弦定理、切割线定理是什么初中还是高中的知识
相交弦定理、切割线定理是什么初中还是高中的知识相交弦定理、切割线定理是什么初中还是高中的知识是初中知识。
【相交线定理】圆内两条弦AB、CD相交于圆内一点P，则：PA×PB=PC×PD【切割线定理】过圆外一点P，作圆的割线PAB、PCD，和圆的切线PT，则：PA×PB=PC×PD=PT²急！圆的切割线定理和相交弦定理是什么1、相交弦定理。
设AB和CD是圆内的两条相交弦，交点为P，则PA×PB=PC×PD；2、切割线定理。
过圆外一点P，作圆的切线PT和割线PAB，切点为T，割线与圆的交点为A、B，则PT²=PA×PB。
能具体说说割线定理，切割线定理，相交弦定理吗？切割线定理如图:hiphotos.baidu./get%5Fon/pic/item/e39387f9d1672352252d f291.jpg， ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC ∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=AT·BT 割线定理如图:hiphotos.baidu./get%5Fon/pic/item/e3a17897b3a27e6655fb 9691.jpg，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD ∴由圆周角定理，得∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP什么叫相交弦定理？什么叫切割线定理相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
中考数学复习相交弦定理切割线定理2课件
相交弦 定理
一.复习目标:
1.熟练掌握相交弦定理 及其应用.
2.熟练掌握切割线定理 及其应用.
3.掌握与其它知识的联 系,综合应用.
二,检测题:
1.已知⊙O的半径为4,过
一点P作⊙O的割线PAB,
若PA=4,PB=2,则OP的距
离2.如为图:已知同心.
圆⊙O,AB是大圆的
E G
直径,交小圆于
B
M
5.已知如图, ⊙O的直径
AB的延长线与弦CD的延
长线相交于P,E为⊙o上
一点, AE=AC,DE交AB于
点F,求 E
证:PF×PO=PA×PB
A
FB O
P
D C
D
C,D,EC⊥AB交大圆 A C O B
于E,连接ED交小圆
于G,设大圆半径为
3.如图:⊿ABC是⊙O的内接
正三角形,弦PQ过AB,AC的中 点D,E,求PQ:BC的值. A
4.如图:已知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AD切⊙O于D,
割线ACB交
⊙O于点C,B,
线段
A
AP=AD,PC交
⊙O于N,PB交
P
Q DE
B
C
D
C N
O•
九年级数学切割线定理
B
推论: 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半
是它分直径所成的两条线段的比例中项． PC2=PA· PB
• 练习 : ⊙o的弦 CD平分AB于P, 且AB=12cm,CD=13cm • 试求: PC 和 PD 的长.
A
C P •O
B
D
A
D P • C
PA · PB = PD · PC
B
G
O•
F
思考题: 若延长PE交圆O于F,BF交CD于G 求证: PC•BG=PD • BC
C
交端×交端=交端×交端
PA· PB = PD· PC 相 交 弦 定 理 PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理
PA AB PC CD 2 PT PA AB
PC· PD =PA· PB
P
PM· PN =PC2
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上。过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作 圆O2的切线PD切圆O2于D。求证：PC =PD。
B o1 • A C
o2
•
D
P
是BA的延长线上一点。PC，PD，PE …分别与圆o1，圆o2，圆 o3 …相切于C，D，E … ，求证：C，D，E … 在同一个圆上。
T
练习一: 如下图,圆o的两条弦AB和CD相交于点E,AC和DB 的延长线交于P,下列结论成立的是( D ). (A) PC • CA=PB • BD (B) CE • AE=BE • ED (C) CE • CD=BE • BA (D) PB • PD=PC • PA
PA· PB = PD· PC
PB = 4
初三数学相交弦定理和切割线定理人教版
初三数学相交弦定理和切割线定理一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1.[例yBP=，则y关于x的函数关系式为。
解：由相交弦定理得xy2236-=，即xy27=，其中93≤≤x.OABPCD[例证明：作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF由切割线定理，CBCACE⋅=2DADBDF⋅=2∵AC=DB ∴CB=DA ∴22DFCE=CE=DF∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴DNMCEM∆≅∆（AAS）∴CM=MD[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：连AB ，∴ ∠1=∴EF CE =由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PB PA PC ⋅=2（2）若证明：（1）延长CP解：（2）易知321==OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，36128±-=x （舍负）∴ AP 长为36128+-[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。
九年级数学切割线定理
例3 已知:如图, ⊙O的割线PAB交
解:设⊙O的半径为r,PO和它的延长线交⊙O于
C、D，由切割线定理的推论，有：
⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8 cm， PO=10.9cm，求⊙O的半径。
PA· PB = PD· PC
PA=6 PB=6+8=14 PC=10.9-r
８
１０．９
切 割 线 定 理
四川省阆中东风中学校
宋兴军
D
已知：线段a，b． 求作：线段c，使c2＝ab．
A
c
a B b C
反思：这个作图题是作两
已知线段的比例中项的问 题，可以当作基本作图加 以应用．请同学们想一想， 这到题还有别的作法吗？
C
c
A
O
a
D
b
B
相交弦定理： 圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相 等． PA· PB = PD· PC
B
G
O•
F
思考题: 若延长PE交圆O于F,BF交CD于G 求证: PC•BG=PD • BC
C
交端×交端=交端×交端
PA· PB = PD· PC 相 交 弦 定 理 PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理
PA AB PC CD 2 PT PA AB
PC· PD =PA· PB
PT2 =PA· PB
PC· PD =PA· PB
练习二：
• 1. 过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6。则CD= ? CD = 4.4 • 2。 已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？
人教版九年级数学课件：切割线定理
作
业
PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理
PT =PB· BA × PA· = PD· AB CD
2
PC· =PA· PD PB
切 割 推 线 定 论 理
×
作业 P132
11 ， P133 12 ，13．
PT2 =PA· PB
PC· =PA· PD PB
练习二：
1.
过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6．则CD= ? CD = 4.4 2．
已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？
PB = 4
法二： 连接CD ,射影定理． A D •O
BC2=BD•BA
Rt△ABC中 AC=3; BC=4. BD=3.2 (cm) AB=5 BC=4
B
C
提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是
PA的中点，DC交圆O于E． 求证：1）PD2=DE•DC；2） ∠1= ∠C．
分析： 1. PD=DA
PA· = PM· PB PN
P
PM· =PC2 PN
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上．过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作 圆O2的切线PD切圆O2于D．求证：PC =PD．
B o1 • A C
o2
•
D
P
提示：PC = PD = PE …
B o1 • A D E P o2 • o3•
P P
D 1
E
A
且DA2=DE • DC 2. PD:DE=DC:PD ∠ PDE= ∠ CDP 则: △PDE∽ △CDP 从而: ∠ 1= ∠ C
初三数学切割线定理(“定理”相关文档)共7张
讲课人：王兆群
复习：相交弦定理:
弦AB, CD相交于P AP•BP=CP•DP
Ｂ Ｃ
Ｐ
Ａ
Ｄ
AP•BP=CP•DP
（2）已知：PAB是圆O的割线，
PAAP=•B4P，=CPPT=•D6P，
则PA圆=4O，的P面T积=6＝，
。
A则P圆•BOP的=C面P积•D＝P
。
（31）已知PATB是、圆POC的D是切圆线O，的割线，
B
PA=6 ，AB=4 ，PO=
D A O
（3）已知PT是圆O的切线，
T
PA=4， PT=6 ， 则圆O的面积＝
O
。
A P
C
P
P
例3 已知：弦AB 、CD相交于E，过点E作BC的平行 线PE交AD延长线于点P，PG与圆O相交于点G 求证：PG=PE
P
D G
A
B
E
C
（12）已知P：APBA、BP是C圆DO是的圆割O线的，割线，
（AP2•）BP已=知CP：•DPPAB是圆O的割线，
（3）已知PT是圆O的切线，
弦AB, CD相交于P
切割线定理的应用
例1 、 填空
B
（1）已知PAB、PCD是圆O的割线，
PA=3 ， AB==5 CD=2，则PC＝
（2）已知：PAB是圆O的割线，
（PA2=）4，已知PT：=6PA，B是圆O的割线，
（AP1•）BP已=知CPP•ADBP、PCD是圆O的割线，
APAP=•B4P，=CPPT=•D6P，
（PA2=）6 已，知AB：=P4A，BP是O圆=1O0的，割线，
（则3圆）O已的知面P积T＝是圆O的切线，。
P（A2=）4，已知PT：=6PA，B是圆O的割线，
九年级数学相交弦定理切割线定理PPT优秀课件
A. x2 8 x 1 5 0B. x28x 1 5 0
C. x28x 1 5 0 D. x28x 1 5 0
4.如图:⊙O的弦AB,CD相交于 P,PA=4,PB=3,PC=6,EA切⊙O 于点A,AE与CD的延长交于点
复习之四
相交弦定理 切割线定理
一.复习目标:
1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握切割 线定理及其应用.
3.了解相交弦,切割线定理的证明.4.掌 握割线定理及其应用.
二、复习指导：回忆知识点，会的直接 填写，不会的可翻书填写，边填边记， 比谁能正确填写，并能运用它们做对习 题.
三,知识要点:
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线
E,AE=2 5 ,求PE的长?
B
C
E DP
A
5.如图:⊙O的两条弦AB与CD相交
于点M,且OM⊥CD,作ON⊥AB,N
为垂足,已知CD=6,BM=9,ON= 11, 求⊙O的半径和OM的长.
A
C
M
DN
O
B
6、M是⊙O1与⊙O2的公共弦AB上的 一点,CE,DF分别是⊙O1, ⊙O2的弦, 它们相交于M,
的两条割线,连结AE交PC于F,用数学
式子表示上述定理:(1)相交弦定
理
,(2)切割线定理 ,(3)割
线定理Leabharlann .E DP
B O•
FC
A
1、过⊙O外一点P的一条割线 PAB交⊙O于A、B两点，PO交 ⊙O于C，且AB=7，PA=4，设 ⊙O半径为10，求PO的长
A
B
第一章 §2 2.4 & 2.5 切割线定理 相交弦定理
2．4&2.5 切割线定理 相交弦定理对应学生用书P23]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1] 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨] 本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析] (1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB.②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知＝，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝ .解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用[例2]O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析] 连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O 的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.答案：相交弦定理与切割线定理的综合应用[例3]，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨] 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED ∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.由切割线定理得PA2＝PB·PC.∴PA2＝×.∴PA＝.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE.证明：(1)∵EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是»DB上的圆周角，∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴＝.即EF2＝FA·FD.由割线定理得FA·FD＝FG·FC.∴EF2＝FG·FC，即＝.又∵∠EFG＝∠CFE，∴△EFG∽△CFE.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意] 本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试] (1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：选B 设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为( )A． B．2C． D．解析：选B 设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC，所以AB>BC>AC，因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以AB>CE>CD.故选A.二、填空题5．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3，则BD的长为．解析：由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.答案：46．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2，PC＝4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为．解析：记圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，PB＝＝2，BC＝PC－PB＝2，所以R＝＝2.答案：27．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝ .解析：由切割线定理得AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5；易知＝＝，又∠A＝∠A，故△ABD∽△AEC，故∠BCE＝∠BDA＝90°，＝.在直角三角形ABD中，BD＝＝，∴CE＝＝＝2.答案：5 28.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，AE＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝×＝，所以CE＝.答案：三、解答题9．如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即＝，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长．(2)求∠ABE＋2∠D的度数．(3)求的值．解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，所以C是AB的中点．因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点．所以OC是△ABD的中位线．所以BD＝2OC＝10.(2)连接AE.由(1)知C是AB的中点．同理F是BE的中点．即AB＝2BC，BE＝2BF，由切线长定理得BC＝BF.所以BA＝BE.所以∠BAE＝∠E.因为∠E＝∠D，所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.(3)连接BO，在Rt△OCB中，因为OB＝13，OC＝5，所以BC＝12，AB＝24.由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.因为∠BGO＝∠AGB，所以△BGO∽△AGB.所以＝＝.11.如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.(1)若∠E＝30°，求证：BC·BD＝r·ED.(2)若BD＝3，DE＝4，求AE的长．解：(1)证明：取AB的中点为O，△ABC是直角三角形，AB是斜边，O是外接圆的圆心，连接CO，所以BO＝CO，∠BCO＝∠OBC，因为BC是∠DBE的平分线，所以∠DBC＝∠CBA，所以∠OCB＝∠DBC，所以OC∥DB(内错角相等，两直线平行)，所以＝，把比例式化为乘积式得BD·CE＝DE·OC，因为OC＝r，所以BD·CE＝DE·r.因为∠D＝90°，∠E＝30°，所以∠DBE＝60°，所以∠CBE＝∠DBE＝30°，所以∠CBE＝∠E，所以CE＝BC，所以BC·BD＝r·ED.(2)过点C作CH⊥OE，垂足为H.BD＝3，DE＝4，根据勾股定理，BE＝5，OC＝OA ＝r，因为OC∥DB，所以△OCE∽△BDE，所以＝＝，即＝＝，解得OE＝r，CE＝r.CH＝＝r，因为BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，所以BH＝BD＝3，则HE＝2.在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CH2＋EH2＝CE2，即2＋22＝2，解得：r＝，则AE＝BE－2r＝5－＝.。
初三数学切割线定理
Ｃ O • 求证：PC •PD=PE• PF
1
O • 求证： PA PB=PC PD1
已知：PT切O于T,PAB交圆O
Ｎ
PA=4， PT=6 ，
Ｄ
例3 已知：弦AB 、CD相交于E，过点E作BC的 平行线PE交AD延长线于点P，PG与圆O相交于 点G 求证：PG=PE
P
D G
A
B
E
C
切割线定理
讲课人：王兆群
复习：相交弦定理:
弦AB, CD相交于P AP•BP=CP•DP
Ｂ Ｃ
ＰＡΒιβλιοθήκη Ｄ从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段的长的积相等
Ｄ
已知： PAB交圆O于AB，
PCD交圆O于C D
Ｃ
求证： PA PB=PC PD
Ｐ
Ａ
Ｂ
几何表达式：
PAD、 PCD为圆O的割线 PA PB=PC PD
B
PA=6 ，AB=4 ，PO=10 ，
则PC＝
；
；
D A O
（3）已知PT是圆O的切线，
T
PA=4， PT=6 ， 则圆O的面积＝
O
。
A P
C
P
P
求（PPAACP证3D•P）BB交：P已==圆PPC知TCOP2PP•于=DTD例线P是CPA圆DPBO2上的切已的线，知一点：，圆OPC1、D圆是O圆2 O相1交的于割A线、，BP，EFP是是圆BOA延2的长 割线， 求证：PT2 =PA PB
（2）已知：PAB是圆O的割线，
求证：PC •PD=PE• PF 求证： PA PB=PC PD
PA=3 ， AB==5 CD=2，则PC＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学相交弦定理和切割线定理
一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理
二. 重点、难点：
1.
[例
y
BP=，则y关于x的函数关系式为。
解：由相交弦定理得
x
y
2
23
6-
=，即
x
y
27
=，其中9
3≤
≤x
.O
A
B
P
C
D
[例
证明：
作DN∥EC，交MF于N，则∠
1=∠2，∠C=∠4
由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF
由切割线定理，CB
CA
CE⋅
=
2DA
DB
DF⋅
=
2
∵AC=DB ∴CB=DA ∴2
2DF
CE=CE=DF
∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴DNM
CEM∆
≅
∆（AAS）∴CM=MD
[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：
设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）
由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(2
2
++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：
连AB ，∴ ∠1=∴
EF CE =由切割线定理得：1441692
=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12
[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：
（1）PB PA PC ⋅=2
（2）若证明：
（1）延长CP
解：
（2）易知32
1
==
OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有20462
2
2
=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+
=x y 代②得，0203
162=-+x x ∴ 0601632
=-+x x ，3
61
28±-=
x （舍负）
∴ AP 长为
3
61
28+-
[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=
2
5
，求AB 长。
解：
设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K
由相交弦定理，ED CE BE EK ⋅=⋅，故a r r 3)2
5)(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ⋅=-=2
22 ∴ )6(3)2
5(62
2
a r +=-- ② 由②—①得：018522
=--r r ，2
9
1=
r ，22-=r （舍） ∴ 32)2
529(62
22=--=AB ，AB=24
[例7] 如图，⊙O 中直径AE ⊥BF ，M 为OE 中点，BM 延长交⊙O 于C ，连AC ，求ABC ∆中三个内角的正切值。
解：易知︒=∠=
∠452
1
BOA C ∴ 145tan tan =︒=C 连CF 、CE ∵ BF 为直径 ∴ ︒=∠90BCF 又 ∵ ︒=∠90BOM ∴ BCF BOM ∆∆~
∴ 2tan tan ==
=
∠=∠OM
OB FC
CB F BAC
∵ ︒=⋂
⋂
90m
BE
AB ∴ ︒=∠=∠4521
作MH ⊥AC 于H 点 则3tan tan =====
∠=∠ME
AM
HC AH MH AH CE AC E ABC
[例8] 如图，已知ABC ∆中︒=∠90ACB ，以C 为圆心，作圆与AB 相切于点D ，且AD=9，BD=16
（1）求⊙C 的半径 （2）求F ∠tan 的值
解：连CD 、ED ，则CD ⊥AB ，︒=∠90EDF
（1）由射影定理，1692
⨯=⋅=DB AD CD ∴ 12169=⨯=
CD ∴ EF=24 ∴ ⊙C 半径为12
（2）由弦切角定理，F ADE ∠=∠，故ADF AED ∆∆~ ∴ AD
AE
DF DE F =
=
∠tan 设x AE =，由AF AE AD ⋅=2
得：)24(92
+=x x ，故081242=-+x x
31=x ，272-=x （舍） ∴ =
∠F tan 3
193=
（答题时间：45分钟） 一. 选择题：
1. 如图，PT 切⊙O 于T ，PBA 、PDC 为⊙O 的割线，则下列等式成立的是（ ）
A. PC PD BA PB ⋅=⋅
B. PD PC PT ⋅=2
C.
AC
BD
PC PA =
D. PC CD PA AB ⋅=⋅
⊙O 半径长为 。
4. 如图，若⊙O 的半径为OA=5，P 在OA 上，PA=2，MN 过P 点，使2:1:=PN MP ，则弦心距OQ 的长为 。
参考答案
一. 选择题：
1. B
2. B
3. A
4. A
5. C 二. 填空题： 1. 2或9 2. 21 3. 7或1 4. 7 5. 2.4
三. 解答题： 1. 证明：
∵ CD ∥AB ∴ ∠1=∠2 ∵ BG 与⊙O 相切 ∴ ∠3=∠2 ∴ ∠3=∠1 又 ∵ GFB PFE ∠=∠ ∴ PFE ∆∽GFB ∆ ∴
FG
PF
BF EF =
∴ FB PF FG EF ⋅=⋅ 又由相交弦定理得FD CF FB PF ⋅=⋅ ∴
FD CF FG EF ⋅=⋅ ∴ FG FD CF EF ::=
2. 解：
由弦切角定理知31∠=∠，又 ∵
21∠=∠ ∴ 32∠=∠ ∴ AC=BC
由切割线定理，92
==NB
NA NC ∴ 5=-=NB NC BC ∴ AC=5 又由C ∠=∠4知NAB ∆∽NCA ∆，故NA
NB
AC AB =
∴ 3
10
564=⨯=⋅=
AC NA NB AB。