工程力学第8章梁的弯曲详解
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工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
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第八章 梁的弯曲
a
第一节 梁的平面弯曲
一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件 在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且 力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图81（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变 形称为弯曲变形，简称弯曲。
（a）
图 8-1
（b）
有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向 力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b） ，发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形， 此称为剪切弯曲或横向弯曲。
当xl 时
FSA
1 2
ql
FSB
1 ql 2
根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图8-12()所示。
x x 由式(2)知，M ( )是 的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，
应至少计算三个截面的弯矩值，方可描绘出曲线的大致形状：
当 x0 时 当x l 时
2
当 x l时
MA 0
x x 侧，即正弯矩画在 轴下方，负弯矩画在 轴上方，如图8-11所示。
图8-11
例8-4 如图8-12()所示，一简支梁受均布荷载作用，试画出梁的剪力图 和弯矩图。
解:(1)求支座反力
由对称关系可得：
FA
FB
1 ql 2
(2)列剪力方程和弯矩方程
取距A点(坐标原点)为处的任意截面，则梁的剪力方 程和弯矩方程为：
M
1
qa
a 2
Fa
0
得
FS1 13kN M1 18kN m
求得 FS1为正值，表示 FS1的实际方向与假定的方向相同；M1 为 负值，表示 M1的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力 的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。
a
第一节 梁的平面弯曲
一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件 在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且 力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图81（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变 形称为弯曲变形，简称弯曲。
（a）
图 8-1
（b）
有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向 力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b） ，发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形， 此称为剪切弯曲或横向弯曲。
当xl 时
FSA
1 2
ql
FSB
1 ql 2
根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图8-12()所示。
x x 由式(2)知，M ( )是 的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，
应至少计算三个截面的弯矩值，方可描绘出曲线的大致形状：
当 x0 时 当x l 时
2
当 x l时
MA 0
x x 侧，即正弯矩画在 轴下方，负弯矩画在 轴上方，如图8-11所示。
图8-11
例8-4 如图8-12()所示，一简支梁受均布荷载作用，试画出梁的剪力图 和弯矩图。
解:(1)求支座反力
由对称关系可得：
FA
FB
1 ql 2
(2)列剪力方程和弯矩方程
取距A点(坐标原点)为处的任意截面，则梁的剪力方 程和弯矩方程为：
M
1
qa
a 2
Fa
0
得
FS1 13kN M1 18kN m
求得 FS1为正值，表示 FS1的实际方向与假定的方向相同；M1 为 负值，表示 M1的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力 的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。
工程力学第八章：弯曲课件
§8–5 平面弯曲梁横截面上的正应力
8.5.1纯弯曲、剪切弯曲的概念
1、剪切弯曲： 各横截面内既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲或横 力弯曲。
2、纯弯曲 各横截面上剪力等于零，弯矩为一常数，这种弯曲称为纯 弯曲。为了更集中地分析正应力与弯矩之间的关系，先考虑 纯弯曲梁横截面上的正应力。
8.5.2梁的纯弯曲实验及简化假设 一、简化假设 （1）弯曲的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平
例8－3 如图8－13(a)所示，一简支梁AB受均布载荷q作用，试 列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。
图8－13(a)
解：（1）首先求约束力。利用载荷与支座反力的对称性，
可直接得到约束力为
方（向2向）上按。图9－13(b)R所A =示RB，= q2列L 剪力方程和弯矩方程。由内力计
图8－5
(2)固定铰支座 能阻止支承处截面沿水平和垂直方向移动，但不能阻止其发
生转动的支座称为固定铰支座，其简化形式如图8－5(d)或(e)所 示。
(3)固定端支座（固定端） 这种支座使梁端既不发生移动也不发生转动。其简化形式及
支反力如图8－5（g）、图8－5（h）、图8－5（i）所示。图8－ 1(c)中的钻床横梁的左端以及长轴承、车刀刀架等均可简化为固 定端支座。
2.利用内力计算规则求指定截面上的内力
例8-2 如图8-11所示，悬臂梁作用有均布载荷q及力偶 ，求A点 右侧截面、C点左侧和右侧截面、B点左侧截面的弯矩。
图8-11
解：对于悬臂梁不必求支座反力，可由自由端开始分析。
截面B-上的内力，由截面右段梁，得 截面C+上的内力，由截面右段梁，得 截面C-上的内力，由截面右段梁，得 截面A+上的内力，由截面右段梁，得
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
工程力学--梁的弯曲
2013-7-25
11
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几节中，将以直梁的平面弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。
2013-7-25
12
第二节 梁的计算简图
一 梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
M
Q
１、Q 和 M 计算
a
m
P
A
m x
B
a
m
P
用截面法假想地在
横截面mm处把梁分
A
m x
B
为两段，先分析梁左段。
y
RA
m
Q
C
x
A
x
m
a
P
由平衡方程得
A
m
y0
RA Q 0
B
m x
可得
Q = RA
y
RA
Q 称为 剪力
A
x
m
Q
C
m
x
a
P
由平衡方程
m
mC 0
A
m x
B
M RA x 0
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
m
m
dx
转动趋势的剪力为负。
弯矩符号
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时， 横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸
+
M m
M
m （受拉）
_
m
（即该段的下半部受压）时，
清华出版社工程力学答案-第8章弯曲强度问题
eBook工程力学习题详细解答教师用书(第8章)2011-10-1范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题8－1 习题8－2 习题8－3 习题8－4 习题8－5 习题8－6 习题8－7 习题8－8 习题8－9 习题8－10 习题8－9 习题8－10习题8－11 习题8－12 习题8－13 习题8－14 习题8－15 习题8－16 习题8－17 习题8－18 习题8－19 习题8－20习题8－21工程力学习题详细解答之八第8章 弯曲强度问题8－1 直径为d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M 的力偶作用，如图所示。
若已知变形后中性层的曲率半径为ρ；材料的弹性模量为E 。
根据d 、ρ、E 可以求得梁所承受的力偶矩M 。
现在有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) ρ64π4d E M ＝(B) 4π64d E M ρ＝(C) ρ32π3d E M ＝(D) 3π32dE M ρ＝正确答案是 A 。
8－2 矩形截面梁在截面B 处铅垂对称轴和水平对称轴方向上分别作用有F P1和F P2，且F P1=F P2，如图所示。
关于最大拉应力和最大压应力发生在危险截面A 的哪些点上，有4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) +max σ发生在a 点，−max σ发生在b 点M习题8－1图A Ba b cd P2z固定端习题8－2图(B) +max σ发生在c 点，−max σ发生在d 点 (C) +max σ发生在b 点，−max σ发生在a 点 (D) +max σ发生在d 点，−max σ发生在b 点正确答案是 D 。
8－3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4种答案，请判断哪一种是正确的。
(A) 细长梁、弹性范围内加载；(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；(D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
工程力学第八章 梁的平面弯曲
在中性轴上，y=0，则正应力σ为零。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
梁的弯曲(应力、变形)
和梁的跨度、截面尺寸等因素。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲
弯曲的定义：承受的外力作用线垂直于杆轴线。
在这种外力作用下，杆轴线由直线变为曲线。
这种变形称之为弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线变成一条在纵向对称面内的平面直线，这类弯曲称之为平面弯曲。
按照支撑情况可以把梁分为悬臂梁、简支梁、外伸梁三种。
内力的计算一、内力方程：内力与截面位置坐标（x ）间的函数关系式。
Q=Q （x ）————剪力方程 M=M （x ）————弯矩方程 方法：截面法xY M m la l P Y Q Y A C A⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0PalAB1. 弯矩：M构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。
2. 剪力：Q构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
二、剪力图与弯矩图 1、求出支座反力2、写出剪力与弯矩的内力方程（含x 的方程）3、将写出的内力方程整理成含x 的已知函数关系，取特殊点描点连线即可。
（端点，与x 、y 轴的坐标点）弯曲构件横截面上的（内力）应力 1、弯矩M ———正应力σz I My=σ（弯曲正应力计算公式）maxZ Z y I W =(Wz —截面的抗弯截面系数) z t W M =max ,σ几种常见截面的 Iz 和 Wz 园截面： 644z d I π=323z d W π=空心截面： )1(6444z απ-=D I )1(3243z απ-=D W矩形截面： 123z bh I = 62z bh W =空心矩形截面： 12123300z bh h b I -= )2//()1212(03300z h bh h b W -=关于正应力的强度校核：① 校核强度： [m a xσ≤zW M② 设计截面尺寸：[m a xσM W z ≥③ 计算许可载荷：[max σz W M ≤2、剪力Q ——剪应力t*=zzbI QS 1τ其中Q 为截面剪力；S z 为y 点以下的面积对中性轴之静矩 Iz 为整个截面对z 轴之惯性矩；b 为y 点处截面宽度。
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力是指由于外力矩作用，使梁 发生弯曲变形时，在梁的横截面上产 生的应力。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
力学基础-(八) 梁的弯曲
ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
13
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
2.画剪力图和弯矩图的简便方法
（1）集中力作用处
剪力图有突变，突变幅值等于力 的大小，方向与力同向。
x
（4）集中力偶作用处 剪力图不变化。
弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，方向顺时针向上突变，反之 向下。
14
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示跨长为l的简支梁AB，中点C 作用集中力F，试用简便画法画
梁剪力图和弯矩图。
F
A
l/2 FA=F/ FQ 2 F/
C l/2
B FB=F/
MA
A FA
x
l
FQ
F
F B
x
M
Fl
x
从上例可以得出
结论1：无荷载作用的梁段上 剪力图为常量; 弯矩图为斜直线。
确定直线两点的坐标，A点的临近截 面A+的弯矩值
MA+=-Fl
B点的临近截面B -的弯矩值 MB-=-F·=0
12
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，画梁的
MA
A FA
x
l
FQ
F
M
-Fl
F
B
xC
FA
x
FQ
ql/
2
xM
l/2
ql/
工程力学课后习题答案第8章题解g
图（a2）
2 ∑ M D = 0 ， FA × 3 + FC × 2 = 0 ， FA = − kN (↓ ) 3 2 ∑ Fy = 0 ， F = 1 kN 3
b 解 图（b1）
FD = FC = 25 kN
图（b2）
FA = 75 kN ， M A = −200 kN ⋅ m
c 解 图（c1）见下页。
62
∑ M C = 0 ， FD = 0 ， ∑ Fy = 0 ， FC+ = 0
图（c2）
∑ M A = 0 ， FB × 2l − ql × 3l − q × 2l × l = 0 , F =
∑ F y = 0 ， FA =
d 解 图（d1） 图（d2）
5 ql 2
1 ql 2
FA = FC = ql (↑ ) FC+ = ql (↓ ) ， FB = 2ql , M B = −3ql 2
8-4 已知梁的剪力图和弯矩图，求各自的载荷图。
(a)
(b)
8-5 利用载荷与内力的微积分关系及对称性和反对称性作图示各梁的剪力图和弯矩图。
(a)
(b)
(c)
(d)
61
8-6
作图示各组合梁的剪力图和弯矩图。
(a)
(b)
a 解 图（a1）
∑ M E = 0 ， FC = 1 kN, ∑ Fy = 0 ， FE = 3 kN
c解
∑ M A = 0 ， − q × 2l × l + FB × 2l + ql 2 = 0 ， FB =
∑ Fy = 0 , FA + FB = 2ql ， FA =
3 ql (↑ ) 2
ql (↑) 2
2 ∑ M D = 0 ， FA × 3 + FC × 2 = 0 ， FA = − kN (↓ ) 3 2 ∑ Fy = 0 ， F = 1 kN 3
b 解 图（b1）
FD = FC = 25 kN
图（b2）
FA = 75 kN ， M A = −200 kN ⋅ m
c 解 图（c1）见下页。
62
∑ M C = 0 ， FD = 0 ， ∑ Fy = 0 ， FC+ = 0
图（c2）
∑ M A = 0 ， FB × 2l − ql × 3l − q × 2l × l = 0 , F =
∑ F y = 0 ， FA =
d 解 图（d1） 图（d2）
5 ql 2
1 ql 2
FA = FC = ql (↑ ) FC+ = ql (↓ ) ， FB = 2ql , M B = −3ql 2
8-4 已知梁的剪力图和弯矩图，求各自的载荷图。
(a)
(b)
8-5 利用载荷与内力的微积分关系及对称性和反对称性作图示各梁的剪力图和弯矩图。
(a)
(b)
(c)
(d)
61
8-6
作图示各组合梁的剪力图和弯矩图。
(a)
(b)
a 解 图（a1）
∑ M E = 0 ， FC = 1 kN, ∑ Fy = 0 ， FE = 3 kN
c解
∑ M A = 0 ， − q × 2l × l + FB × 2l + ql 2 = 0 ， FB =
∑ Fy = 0 , FA + FB = 2ql ， FA =
3 ql (↑ ) 2
ql (↑) 2
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
建筑力学 第8章 梁的弯曲问题
Me l
M (x)
FA x
Me l
x
(0 x a) (0 x a)
CB段：
（3）画剪力图和弯矩图
从剪力方程中可以看出，剪力图是一条与x轴平行的 直线。从弯矩方程中可以看出，C点是分段函数的分界点， 也是弯矩图的分界点，弯矩图是两条互相平行的斜直线，
C点处弯矩出现突变，突变值等于力偶矩的大小。梁剪力 图和弯矩图分别如图8-15(b)、(c)所示。
等于集中力的大小，弯矩图是两条斜率不同的斜直线，在
集中力F的作用点C处相交，形成向下凸的尖角。梁剪力 图和弯矩图分别如图8-12(b)、(c)所示。
如果 a b，最大剪力发生在的集中力F的左侧一段梁
内， Fs
max
Fb l
；最大弯矩发生在集中力F的作用点C
处，
M max
Fab l
。
根据求出的各值，画出梁剪力图和弯矩图分别如图8-
8.2 梁的弯曲内力
8.2.1 剪力与弯矩
第一步，取梁整体为截离体，求出两端支座的约束反 力和。
第二步，用m—m截断杆件，取左半部分或右半部分为 截离 体，并在截离体上以正的方向标出截面的内力，如 图8-8(b)、(c)所示。
第三步，在截离体上建立平衡方程，根据静力平衡条 件求出截面的内力。
如果梁只受集中力的作用，不受集中力偶的作用，且集
中力的作用线都垂直于梁的轴线，这些外力称为横向外力。 平面弯曲梁在横向外力作用下发生的弯曲变形称为横力弯曲， 如图8-2(a)所示。如果平面弯曲梁只受平面力偶的作用，且 平面力偶都作用在梁的纵平面内，这时梁的变形称为纯弯曲， 如图8-2(b)所示。
工程力学 第八章 弯曲变形
( y
(+)
x
" 〈 0 )
(-)
M = ρ EI z
1
y
( y " 〉 0 )
M = ±y" EIz
或
E Iy " = ± M
如图： 与弯矩的符号相反 与弯矩的符号相反。 如图：y”与弯矩的符号相反。
EIy " = − M ( x )
§8-3用积分法求梁的变形
一.积分求梁的挠曲线方程
梁的挠曲线近似微分方程: 梁的挠曲线近似微分方程: 一次积分 两次积分
P
EIy" = −
2 y P 2 EIy ' = − x + C 4 P 3 EIy = − x + Cx + D 12
x
l 2
l 2
由边界条件： 由边界条件： x = 0时， y = 0
得：D = 0
Pl 2 得： C = 16
l 由对称条件： 由对称条件： x = 时，y ' = 0 2
CL9TU7
[例8-6]求图示梁 、D两处的挠度 yB、 yD 。 例 求图示梁B、 两处的挠度 求图示梁
CL9TU26
解：
q ( 2a ) qa ( 2a ) 14 qa (↓ ) yB = + = 8 EI 3EI 3EI
4 3 4
y B 2qa (2a ) 8qa (↓) yD = + = 2 48 EI 3EI
3 4
[例8-7]求图示梁C点的挠度 yC。 7]求图示梁C 求图示梁
解：
yc
5qa 4 1 = × 384EI 2
§8-5 梁的刚度条件
一、刚度条件
ymax f ≤[ ]; l l
(+)
x
" 〈 0 )
(-)
M = ρ EI z
1
y
( y " 〉 0 )
M = ±y" EIz
或
E Iy " = ± M
如图： 与弯矩的符号相反 与弯矩的符号相反。 如图：y”与弯矩的符号相反。
EIy " = − M ( x )
§8-3用积分法求梁的变形
一.积分求梁的挠曲线方程
梁的挠曲线近似微分方程: 梁的挠曲线近似微分方程: 一次积分 两次积分
P
EIy" = −
2 y P 2 EIy ' = − x + C 4 P 3 EIy = − x + Cx + D 12
x
l 2
l 2
由边界条件： 由边界条件： x = 0时， y = 0
得：D = 0
Pl 2 得： C = 16
l 由对称条件： 由对称条件： x = 时，y ' = 0 2
CL9TU7
[例8-6]求图示梁 、D两处的挠度 yB、 yD 。 例 求图示梁B、 两处的挠度 求图示梁
CL9TU26
解：
q ( 2a ) qa ( 2a ) 14 qa (↓ ) yB = + = 8 EI 3EI 3EI
4 3 4
y B 2qa (2a ) 8qa (↓) yD = + = 2 48 EI 3EI
3 4
[例8-7]求图示梁C点的挠度 yC。 7]求图示梁C 求图示梁
解：
yc
5qa 4 1 = × 384EI 2
§8-5 梁的刚度条件
一、刚度条件
ymax f ≤[ ]; l l
工程力学第8章梁的弯曲
2.简易法作内力图的步骤：
先求出约束反力； 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
建立 FS一x 和 M一x 坐标系，求出控制面的剪 力和弯矩并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的 坐标系中； 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图 和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
q A
第 8 章 弯曲
8.1 工程中的弯曲构件 一、工程实例
工厂厂房的吊车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁
阳台的挑梁
二、弯曲的概念
弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线， 那么杆的轴线由直线变为一条曲线。 这种变形称为弯曲变形 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。
Fb l
C
l
Fb FQ1 x l Fa B FQ2 x l Fb M1 x x l Fa l x M 2 ( x) l x
* 集中力作用处剪力 图有突变，突变值的 大小等于集中力的大 小。弯矩图有折角。
M
Fa l Fab l
x
例 题
图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力 偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 b Me a A FA
P
q
M
FA
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
FB
三、梁的约束与类型
1.支座形式与支反力
（1）活动支座
FR FRx
FRy
（2）固定铰支座 （3）固定端
FRx FRy M
2. 静定梁的基本形式
基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
8.2 梁的内力—剪力与弯矩 一、计算梁内力的方法 计算内力仍采用截面法 ： 在截面m-m处假想地把梁切为两段 取左端为研究对象，由于左端作 用着外力FRA则在截面上必有与FRA 大小相等,方向相反的力FQ, 由 于该内力切于截面, 因此称为剪 力。又由于FRA 与FQ形成一个力偶, 因此在截面处必存在一个内力偶M 与之平衡, 该内力偶称为弯矩。 FQ = FRA M = FRA ·x 截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面 的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主 矩）。
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变化的函数式 FQ FQ ( x )
反映梁的横截面上的弯矩随截面位置
变化的函数式 M M (x)
注意
不能用一个函数表达的要分段列出剪力和弯矩方程
确定分段点的原则：
分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
例题
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试求出 梁的剪力方程和弯矩方程。
q
A
B
FA
l
FB
解：1.确定约束力
ql FA FB 2
2.确定分段点
q
x
A
B
FA
x
l
FB
3.建立 A-x 坐标轴
4.列剪力方程和弯矩方程
Fy 0 FQ x FA qx 0
q A
M(x)
MC
0
FQ
x
ql 2
qx
(0
M x FA x qx
FAy=49kN；FE=32kN
FAy q
M0 M1
2) 截面法求内力
A
BC
FQ1
Fy FAy 4q FQ1 0
FQ1 FAy （ 4q） 13KN
M1c FAy 7m 4q 5m M0 M1 0
M1 FAy 7m （ 4q 5m）（ M 0） 115KN m
Fa l
M1x
Fb l
x
x
M2
(
x)
Fa l
l
x
* 集中力作用处剪力
图有突变，突变值的
Fab l
大小等于集中力的大
x 小。弯矩图有折角。
x 2
xl
0
)
FA
x
FQ(x)
M x qlx qx2 ( 0 x l )
22
二、剪力图与弯矩图
q
A
FA
x
l
FQ
x
ql 2
qx
M x qlx qx2
22
B FB
(0 x l )
(0 x l )
ql 2 ql2 8
q
ALeabharlann FQll/2M
FQ
x
重要结论：
(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上 外力的代数和。 左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负
左上右下， 剪力为正
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力对该截面形心的力矩之代数和。 左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针的力矩为负。 右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。
P
q
M
FA
FB
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
三、梁的约束与类型 1.支座形式与支反力
（1）活动支座
（2）固定铰支座 （3）固定端
FR
FRx
FRy
FRx M
FRy
2. 静定梁的基本形式
基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
8.2 梁的内力—剪力与弯矩
一、计算梁内力的方法 计算内力仍采用截面法 ：
在截面m-m处假想地把梁切为两段 取左端为研究对象，由于左端作 用大于着小该外相内力等力F,切R方A于则向截在相面截反,面的上力因必F此Q有,称与为由F剪RA 力因。此又在由截于面F处RA必与存F在Q形一成个一内个力力偶偶M, 与之平衡, 该内力偶称为弯矩。
由平衡方程∑Mc=0 计算弯矩 M ，式中，C为所切 横截面的形心。
例题
q
已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN·m， 求梁的1-1截面内力。
M0
F
1
解：1）求约束反力：
A
B C 1 D E x Fy=FAy+FE-F-4q=0
FAy
4m 2m 2m 4m 7m
FE MA(F )=12FE+M0-8F-4q×2=0
左顺右逆, 弯矩为正
左上右下， 剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
8.3 剪力图与弯矩图
一、 剪力方程与弯矩方程
q
FQ ( x ) qx, ( 0 x l ) A
B
x x
M (x) 1 qx2, ( 0 x l ) 2
q
L
M
FQ
1.剪力方程 2.弯矩方程
反映梁的横截面上的剪力随截面位置
0 x a
aF
b
A FA
CB段
C
x
M2(x)
FQ2(x)
B
FB B FB
FQ2 x
FB
Fa l
a x l
M2x
FB (
l
x
)
Fa l
l
x
a x l
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
C
Fb
l
FQ
l
Fa l
M
FQ1x
Fb l
B
FQ2x
MM
上凹下凸
M
M
表示方法
引起的变形
使梁上压下拉的弯矩为正。
左顺右逆 ,弯矩为正
MM
上凸下凹
M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。 左逆右顺, 弯矩为负
三、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩
需求内力的截面处，假想地将梁切开，并选切 开后的任一段为研究对象； 画出所选梁段的受力图，图中，剪力FQ与弯矩M 可假设为正； 由平衡方程∑Fy =0 计算剪力 FQ;
例题
图示简支梁受集中荷载F作用。试作 梁的剪力图和弯矩图。
aF
b
A
C
B
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
Fb l
FB
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
x
FA
A
FA
x
AC 段
C M1(x)
FQ1(x)
FQ1x
Fb l
M1x
Fb l
x
B FB
0 x a
ql 2
qx
B
M
x
qlx
qx2
22
ql FQ ,max 2
x
ql 2
Mmax 8
x
1.剪力图：表示剪力随截面位置的变化规律的图形称 为剪力图。
2.弯矩图：表示弯矩随截面位置的变化规律的图形称 为弯矩图。
3.用剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的步骤 先求出约束反力； 确定分段点； 分段列出剪力方程和弯矩方程； 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图 和弯矩图；
FQ = FRA M = FRA ·x
截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面 的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主 矩）。
二、剪力与弯矩的正负号规则
1. 剪力的正负号
FQ FQ
FQ FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下，剪力为正 左下右上，剪力为负
顺时针为正
逆时针为负
2. 弯矩的正负号
第 8 章 弯曲
8.1 工程中的弯曲构件 一、工程实例
工厂厂房的吊车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁
阳台的挑梁
二、弯曲的概念
弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线， 那么杆的轴线由直线变为一条曲线。 这种变形称为弯曲变形
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。
反映梁的横截面上的弯矩随截面位置
变化的函数式 M M (x)
注意
不能用一个函数表达的要分段列出剪力和弯矩方程
确定分段点的原则：
分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
例题
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试求出 梁的剪力方程和弯矩方程。
q
A
B
FA
l
FB
解：1.确定约束力
ql FA FB 2
2.确定分段点
q
x
A
B
FA
x
l
FB
3.建立 A-x 坐标轴
4.列剪力方程和弯矩方程
Fy 0 FQ x FA qx 0
q A
M(x)
MC
0
FQ
x
ql 2
qx
(0
M x FA x qx
FAy=49kN；FE=32kN
FAy q
M0 M1
2) 截面法求内力
A
BC
FQ1
Fy FAy 4q FQ1 0
FQ1 FAy （ 4q） 13KN
M1c FAy 7m 4q 5m M0 M1 0
M1 FAy 7m （ 4q 5m）（ M 0） 115KN m
Fa l
M1x
Fb l
x
x
M2
(
x)
Fa l
l
x
* 集中力作用处剪力
图有突变，突变值的
Fab l
大小等于集中力的大
x 小。弯矩图有折角。
x 2
xl
0
)
FA
x
FQ(x)
M x qlx qx2 ( 0 x l )
22
二、剪力图与弯矩图
q
A
FA
x
l
FQ
x
ql 2
qx
M x qlx qx2
22
B FB
(0 x l )
(0 x l )
ql 2 ql2 8
q
ALeabharlann FQll/2M
FQ
x
重要结论：
(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上 外力的代数和。 左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负
左上右下， 剪力为正
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力对该截面形心的力矩之代数和。 左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针的力矩为负。 右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。
P
q
M
FA
FB
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
三、梁的约束与类型 1.支座形式与支反力
（1）活动支座
（2）固定铰支座 （3）固定端
FR
FRx
FRy
FRx M
FRy
2. 静定梁的基本形式
基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
8.2 梁的内力—剪力与弯矩
一、计算梁内力的方法 计算内力仍采用截面法 ：
在截面m-m处假想地把梁切为两段 取左端为研究对象，由于左端作 用大于着小该外相内力等力F,切R方A于则向截在相面截反,面的上力因必F此Q有,称与为由F剪RA 力因。此又在由截于面F处RA必与存F在Q形一成个一内个力力偶偶M, 与之平衡, 该内力偶称为弯矩。
由平衡方程∑Mc=0 计算弯矩 M ，式中，C为所切 横截面的形心。
例题
q
已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN·m， 求梁的1-1截面内力。
M0
F
1
解：1）求约束反力：
A
B C 1 D E x Fy=FAy+FE-F-4q=0
FAy
4m 2m 2m 4m 7m
FE MA(F )=12FE+M0-8F-4q×2=0
左顺右逆, 弯矩为正
左上右下， 剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
8.3 剪力图与弯矩图
一、 剪力方程与弯矩方程
q
FQ ( x ) qx, ( 0 x l ) A
B
x x
M (x) 1 qx2, ( 0 x l ) 2
q
L
M
FQ
1.剪力方程 2.弯矩方程
反映梁的横截面上的剪力随截面位置
0 x a
aF
b
A FA
CB段
C
x
M2(x)
FQ2(x)
B
FB B FB
FQ2 x
FB
Fa l
a x l
M2x
FB (
l
x
)
Fa l
l
x
a x l
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
C
Fb
l
FQ
l
Fa l
M
FQ1x
Fb l
B
FQ2x
MM
上凹下凸
M
M
表示方法
引起的变形
使梁上压下拉的弯矩为正。
左顺右逆 ,弯矩为正
MM
上凸下凹
M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。 左逆右顺, 弯矩为负
三、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩
需求内力的截面处，假想地将梁切开，并选切 开后的任一段为研究对象； 画出所选梁段的受力图，图中，剪力FQ与弯矩M 可假设为正； 由平衡方程∑Fy =0 计算剪力 FQ;
例题
图示简支梁受集中荷载F作用。试作 梁的剪力图和弯矩图。
aF
b
A
C
B
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
Fb l
FB
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
x
FA
A
FA
x
AC 段
C M1(x)
FQ1(x)
FQ1x
Fb l
M1x
Fb l
x
B FB
0 x a
ql 2
qx
B
M
x
qlx
qx2
22
ql FQ ,max 2
x
ql 2
Mmax 8
x
1.剪力图：表示剪力随截面位置的变化规律的图形称 为剪力图。
2.弯矩图：表示弯矩随截面位置的变化规律的图形称 为弯矩图。
3.用剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的步骤 先求出约束反力； 确定分段点； 分段列出剪力方程和弯矩方程； 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图 和弯矩图；
FQ = FRA M = FRA ·x
截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面 的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主 矩）。
二、剪力与弯矩的正负号规则
1. 剪力的正负号
FQ FQ
FQ FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下，剪力为正 左下右上，剪力为负
顺时针为正
逆时针为负
2. 弯矩的正负号
第 8 章 弯曲
8.1 工程中的弯曲构件 一、工程实例
工厂厂房的吊车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁
阳台的挑梁
二、弯曲的概念
弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线， 那么杆的轴线由直线变为一条曲线。 这种变形称为弯曲变形
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。