工程力学第8章梁的弯曲详解

左顺右逆, 弯矩为正
左上右下， 剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
8.3 剪力图与弯矩图
一、 剪力方程与弯矩方程
q
FQ ( x ) qx, ( 0 x l ) A
B
x x
M (x) 1 qx2, ( 0 x l ) 2
q
L
M
FQ
1.剪力方程 2.弯矩方程
反映梁的横截面上的剪力随截面位置

Fa l
M1x

Fb l
x
x
M2
(
x)

Fa l
l

x
* 集中力作用处剪力
图有突变，突变值的
Fab l
大小等于集中力的大
x 小。弯矩图有折角。
x 2
xl
0
)
FA
x
FQ(x)
M x qlx qx2 ( 0 x l )
22
二、剪力图与弯矩图
q
A
FA
x
l
FQ
x

ql 2

qx
M x qlx qx2
22
B FB
(0 x l )
(0 x l )
ql 2 ql2 8
q
A
FQ
l
l/2
M
FQ
x
P
q
M
FA
FB
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
三、梁的约束与类型 1.支座形式与支反力
（1）活动支座
（2）固定铰支座 （3）固定端
FR
FRx
FRy
FRx M
FRy
2. 静定梁的基本形式
基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
8.2 梁的内力—剪力与弯矩
一、计算梁内力的方法 计算内力仍采用截面法 ：
在截面m-m处假想地把梁切为两段 取左端为研究对象，由于左端作 用大于着小该外相内力等力F,切R方A于则向截在相面截反,面的上力因必F此Q有,称与为由F剪RA 力因。此又在由截于面F处RA必与存F在Q形一成个一内个力力偶偶M, 与之平衡, 该内力偶称为弯矩。
q
A
B
FA
l
FB
解：1.确定约束力
ql FA FB 2
2.确定分段点
q
x
A
B
FA
x
l
FB
3.建立 A-x 坐标轴
4.列剪力方程和弯矩方程
Fy 0 FQ x FA qx 0
q A
M(x)

MC

0
FQ
x

ql 2

qx
(0
M x FA x qx

MM
上凹下凸
M
M
表示方法
引起的变形
使梁上压下拉的弯矩为正。
左顺右逆 ,弯矩为正
MM
上凸下凹
M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。 左逆右顺, 弯矩为负
三、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩
需求内力的截面处，假想地将梁切开，并选切 开后的任一段为研究对象； 画出所选梁段的受力图，图中，剪力FQ与弯矩M 可假设为正； 由平衡方程∑Fy =0 计算剪力 FQ;
例题
图示简支梁受集中荷载F作用。试作 梁的剪力图和弯矩图。
aF
b
A
C
B
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA

Fb l
FB

Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
aF
b
A
x
FA
A
FA
x
AC 段
C M1(x)
FQ1(x)
FQ1x
Fb l
M1x

Fb l
x
B FB
0 x a
0 x a
aF
b
A FA
CB段
C
x
M2(x)
FQ2(x)
B
FB B FB
FQ2 x
FB


Fa l
a x l
M2x

FB (
l

x
)

Fa l
l

x
a x l
3、作剪力图和弯矩图
aF
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b
A
C
Fb
l
FQ
l
Fa l
M
FQ1x
Fb l
B
FQ2x

ql 2

qx
B
M
x


qlx

qx2
22
ql FQ ,max 2
x
ql 2
Mmax 8
x
1.剪力图：表示剪力随截面位置的变化规律的图形称 为剪力图。
2.弯矩图：表示弯矩随截面位置的变化规律的图形称 为弯矩图。
3.用剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的步骤 先求出约束反力； 确定分段点； 分段列出剪力方程和弯矩方程； 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图 和弯矩图；
FAy=49kN；FE=32kN
FAy q
M0 M1
2) 截面法求内力
A
BC
FQ1
Fy FAy 4q FQ1 0
FQ1 FAy （ 4q） 13KN
M1c FAy 7m 4q 5m M0 M1 0
M1 FAy 7m （ 4q 5m）（ M 0） 115KN m
变化的函数式 FQ FQ ( x )
反映梁的横截面上的弯矩随截面位置
变化的函数式 M M (x)
注意
不能用一个函数表达的要分段列出剪力和弯矩方程
确定分段点的原则：
分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
例题
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试求出 梁的剪力方程和弯矩方程。
重要结论：
(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上 外力的代数和。 左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负
左上右下， 剪力为正
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力对该截面形心的力矩之代数和。 左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针的力矩为负。 右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。
FQ = FRA M = FRA ·x
截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面 的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主 矩）。
二、剪力与弯矩的正负号规则
1. 剪力的正负号
FQ FQ
FQ FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下，剪力为正 左下右上，剪力为负
顺时针为正
逆时针为负
2. 弯矩的正负号
由平衡方程∑Mc=0 计算弯矩 M ，式中，C为所切 横截面的形心。
例题
q
已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN·m， 求梁的1-1截面内力。
M0
F
1
解：1）求约束反力：
A
B C 1 D E x Fy=FAy+FE-F-4q=0
FAy
4m 2m 2m 4m 7m
FE MA(F )=12FE+M0-8F-4q×2=0
第 8 章 弯曲
8.1 工程中的弯曲构件 一、工程实例
工厂厂房的吊车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁
阳台的挑梁
二、弯曲的概念
弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线， 那么杆的轴线由直线变为一条曲线。 这种变形称为弯曲变形
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。