§4用向量讨论垂直与平行

B
C
C1
M
A1 B, DM 为平面BDM内的两条相交直线,
18
B1
教后反思
19
l
a
m l // m a // b a b
b
a
u
l // l a u au 0

v

u
// u // v u v
C
B A
向量法
AB' AB BB ' b a BC ' BA AC CC ' c a b
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练习： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中，
C' A'
B'
底面是正三角形，AA ' 底面ABC， A ' C AB ', 求证：BC ' AB ' 0 A ' C AB ' (c a) (b a) 2 c b c a a b a 2 1 a c b 2
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练习： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中， 底面是正三角形，AA ' 底面ABC， A ' C AB ', 求证：BC ' AB '
设底面边长为2, 高为h, 如图建立空间直角坐标系. A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (0,1,0).
坐标法
C
C' A'
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E
例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
评注： 本题若用一般法证明， 容易证A’F垂直于BD， 而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难， 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
8
平面A1 BD // 平面CB1 D1.
例2.在正方形ABCD - A B1C1 D1中, 1 求证 : 平面A BD // 平面CB1 D1 1
D A B Z
C
C1
D1
评注： A1 B1 X 由于三种平行关系可以相互转化， 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
B1
17
作业： 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A
A1
D
则CD A1 B 0, CD DM 0. CD A1 B, CD DM . CD 平面BDM .
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为 a b ， ， 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线平行 l // m a // b a b 线面平行 l // a u a u 0 面面平行 // u // v u v

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l
a
l
b
l m a b a b 0
a
u
m
l a // u a u

u
v
u v u v 0
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三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。
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四 、 作 业
作业： 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
Z
E
F
Y
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C' D' 中. E,F分别是CC ', BD的中点.
Z
求证：A ' F 平面BDE. A ' F ( 1,1, 2), F Y DB (2,2,0), DE (0,2,1) A ' F DB ( 1,1, (2,2,0) 0, X 2) A ' F DE ( 1,1, (0,2,1) 0 2) A ' F DB, A' F DE, 又DB DE D A F 平面BDE . '
C
B A
BC ' AB' (c a b) (b a) (c a 2a b) (b a) (2a b) (b a) 2 2 2 2 2 a a b b 2a b 1 1 0
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Y
（二）用向量处理垂直问题 例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
证明:如图 取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 X 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2.
A
A1
解: 如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
C
D
C1
M
B 2 1 1 2 D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 2 1 1 1 1 CD ( , , ), A1B ( 2, 1, 1)， (0, , ), DM 2 2 2 2 2
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（2）垂直关系
二、新课
（一）用向量处理平行问题
（二）用向量处理垂直问题
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（一）用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF 为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E
B
C
N 且FM AN .求证：MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D BE AB, FM AN , , FB AC 存在实数 , 使FM FB, AN AC. MN MF FA AN BF EB AC ( BE BA AB AD) EB ( BE AD) EB ( BE BC ) BE ( 1) BE BC.
E Z
F X
Y
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练习： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中， A ' C AB ', 求证：BC ' AB '
C' A'
B'
底面是正三角形，AA ' 底面ABC，
证明：设底面边长为1, 设a AA', b AB, c AC a b 0, a c 0, b c 1 / 2. A' C A' A AC c a
利用向量解决平行与垂直问题
1
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为 向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （回到图形 （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题）
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Fra Baidu bibliotek
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF 为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M
E
B
N
C
且FM AN .求证：MN // 平面EBC MN、 、 共面. BE BC
A
D
M 平面EBC , MN // 平面EBC
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
B'
B A
A' ( 3 ,0, h), B' (0,1, h), C ' (0,1, h). AB ' ( 3,1, h), A ' C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h) 0 AB ' A ' C 3 1 h 2 , h 2 2. 2 AB ' BC ' 0 2 h 0. BC ' AB '
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（1）平行关系
设直线l，m的方向向量分别为 a b ， ， 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线垂直 l m a b a b 0 线面垂直 l a // u a u 面面垂直 u v u v 0
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例2.在正方形ABCD - A B1C1 D1中, 1 求证 : 平面A BD // 平面CB1 D1 1
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D
证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1 D
C
B
D1
C1
B1
C (0, 0,1), D (0, 0,1) 则A1 D ( 1, 0,1), B1C ( 1, 0,1) A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C，
A1
Y
则A1 D // 平面CB1 D1.同理右证：A1 B // 平面CB1 D1.