离散数学(1.4真值表与等价公式)
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P Q R PQ (P Q) ∧R
F F
F F T T T T
F F
T T F F T T
F T
F T F T F T
7
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
P F F F F T T T T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T PQ T T T T F F T T (P Q) ∧R F T F T F F F T
定义1.4.4(子公式)：如果X是wff A的 一部分,且X本身也是wff，则称X是A的 子公式。例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
定理1.4.1(置换定理Axiom of replacement)设X是wff A的子wff，若XY，则若将A中的X用Y来置换， 所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派,X与Y真值相同，所以Y 取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真 值也相同,所以AB。 注: 满足定理1.4.1的条件的置换称为等价置换(或等 价代换). 定义1.4.5(等值演算)：根据已知的等价公式,推演 出另外一些等价公式的过程称为等值演算.
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T F T T F F T T T F T T F
T T T T
6
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
• 练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。
P Q P F F T
P Q Q P Q T T T
(P Q)( Q P)
T
F T T
T F F
F
T
T
F
T
F
T
T
T T F
F
T
T
T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
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14
• •
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P F F T T
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
(P Q )
(P Q)
(P Q) ∧ Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
F F F F F
Q R P (Q R) (P ∧ Q R
T T F T T T T T T T T T T T T
T F T
T T F
F
T
T
F
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F
T
F
T T T
T
T
T
T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
由真值表可知，两个公式为等价式。
22
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
等值演算在计算机硬件设计中 , 在开关理论和电子元 器件中都占有重要地位. 小结: 本节介绍了真值表、公式等价、等值演算和等 价置换等概念，给出了常用的重要等价公式（24个）。 重点掌握用真值表法验证公式的等价性和等值演算法 推演两个公式等价。 作业：P17 1 c,e, 4 a,c, 7d,e, 8. 预习: 1.5, 1.6 思考题：9
4来自百度文库
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T
5
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
考虑：含有n个命题变元的公式共有多少组 不同的赋值？
定义1.4.2(真值表)在命题公式A中, 对于命题变元的每 一组赋值和由它们所确定的命题公式A的真值列成 表，称做命题公式A 的真值表。
3
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
对公式A构造真值表的具体步骤为： （1）找出公式中所有命题变元P1 , P2 ,…,Pn , 列出全部的2n组赋值。 （ 2 ）按从小到大的顺序列出对命题变元 P1 , P2 ,…,Pn ,的全部2n组赋值。 （ 3）对应各组赋值计算出公式 A的真值，并 将其列在对应赋值的后面。
F F T T
F T F T
T F F T
T F T T
T T F T
T F F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例3：判断公式 P(QR)、(P∧Q)R是否等价。
P Q R
F F F F F T F T F F T T T F F
P∧ Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1： 证明 Q→（P（PQ））Q→P 证: Q→（P（PQ））Q→P ~~~~~~~~~~~ P(吸收律) 例2： 证明 P┐QQ PQ 证： (P┐Q)Q(PQ)(┐QQ)(PQ)TPQ 例3：证明（P→Q）→（Q R ） PQR 证：（P→Q）→（Q R ） （┐PQ）→（QR） ┐（┐PQ）（QR） （P┐Q）（QR） （PQR）（┐QQR） P Q R
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。
P Q P F F
P Q Q P Q
(P Q)( Q P)
F T
T F
T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
(P Q )
T T F T
(P Q) F
F T F
(P Q) ∧ Q
F F F F
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 给定n个(n 1) 命题变元, 按合式公式的形 成规则可以形成无数多个命题公式, 但这 些无穷尽的命题公式中，有些具有相同的 真值表。考虑：由n个命题变元能生成??? 种真值
• 2、等值演算法(Equivalent Caculation)（利用 P15表1-4.8) • 重要的等价式(补充):
11. 蕴涵等值式: PQ ┐PQ 12. 等价等值式: PQ (P→Q)(Q→P) 13. 假言易位: PQ ┐Q ┐P 14. 等价否定等值式: PQ ┐P┐Q 15. 归谬论: (PQ ) ( P ┐Q) ┐P
Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P) F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P) P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
(表)不同的命题公式？
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn 为出现于A和B中的所有原子变元,若给P1 , P2 ,…,Pn 任一组真值指派, A和B的真值都相同,则称A和B是 等价的或逻辑相等.记作A B 注: (1) “ ”不是逻辑联结词. (2)命题公式之间的逻辑相等关系具有： 自反性：A A ；对称性：若A B，则B A； 传递性：若A B且B C，则A C。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
其中P, Q, R等代表任意命题公式. 这样上面的每一 个公式都是一个模式, 它可以代表无数多个同类 型的命题公式. 例如, P┐PT 中, 用(PQ)置 换P,则得 (PQ)┐(PQ)T ,用┐P置换P,则 得 (┐P)┐(┐P)T 。 等值演算中使用的一条重要规则：置换规则。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例4：验证P(QR) (P ∧ Q) R 证: 右 (P ∧ Q) ∨ R P∨Q∨R P ∨ ( Q ∨ R) P ∨ (Q R)) P (Q R) 练：1.((P Q) ∧(P R)) P (Q ∧ R) 2.(P ∧ Q) ∨( P ∧ Q) (P ∨ Q) ∧ (P ∧ Q)
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表 前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义. 定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,…,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,…,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.
2
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
比如:对公式(PQ)∧R,赋值FTT(即令P=F,Q=T,R=T) 为 (PQ)∧R 的 成 真 赋 值 ; 另 一 组 赋 值 FTF 为 (PQ)∧R 的 成 假 赋 值 ； 还 有 FFF ， FFT ， TTT……
F F
F F T T T T
F F
T T F F T T
F T
F T F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
P F F F F T T T T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T PQ T T T T F F T T (P Q) ∧R F T F T F F F T
定义1.4.4(子公式)：如果X是wff A的 一部分,且X本身也是wff，则称X是A的 子公式。例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
定理1.4.1(置换定理Axiom of replacement)设X是wff A的子wff，若XY，则若将A中的X用Y来置换， 所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派,X与Y真值相同，所以Y 取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真 值也相同,所以AB。 注: 满足定理1.4.1的条件的置换称为等价置换(或等 价代换). 定义1.4.5(等值演算)：根据已知的等价公式,推演 出另外一些等价公式的过程称为等值演算.
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T F T T F F T T T F T T F
T T T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
• 练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。
P Q P F F T
P Q Q P Q T T T
(P Q)( Q P)
T
F T T
T F F
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F
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F
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P F F T T
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
(P Q )
(P Q)
(P Q) ∧ Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
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Q R P (Q R) (P ∧ Q R
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
由真值表可知，两个公式为等价式。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
等值演算在计算机硬件设计中 , 在开关理论和电子元 器件中都占有重要地位. 小结: 本节介绍了真值表、公式等价、等值演算和等 价置换等概念，给出了常用的重要等价公式（24个）。 重点掌握用真值表法验证公式的等价性和等值演算法 推演两个公式等价。 作业：P17 1 c,e, 4 a,c, 7d,e, 8. 预习: 1.5, 1.6 思考题：9
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
考虑：含有n个命题变元的公式共有多少组 不同的赋值？
定义1.4.2(真值表)在命题公式A中, 对于命题变元的每 一组赋值和由它们所确定的命题公式A的真值列成 表，称做命题公式A 的真值表。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
对公式A构造真值表的具体步骤为： （1）找出公式中所有命题变元P1 , P2 ,…,Pn , 列出全部的2n组赋值。 （ 2 ）按从小到大的顺序列出对命题变元 P1 , P2 ,…,Pn ,的全部2n组赋值。 （ 3）对应各组赋值计算出公式 A的真值，并 将其列在对应赋值的后面。
F F T T
F T F T
T F F T
T F T T
T T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例3：判断公式 P(QR)、(P∧Q)R是否等价。
P Q R
F F F F F T F T F F T T T F F
P∧ Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1： 证明 Q→（P（PQ））Q→P 证: Q→（P（PQ））Q→P ~~~~~~~~~~~ P(吸收律) 例2： 证明 P┐QQ PQ 证： (P┐Q)Q(PQ)(┐QQ)(PQ)TPQ 例3：证明（P→Q）→（Q R ） PQR 证：（P→Q）→（Q R ） （┐PQ）→（QR） ┐（┐PQ）（QR） （P┐Q）（QR） （PQR）（┐QQR） P Q R
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。
P Q P F F
P Q Q P Q
(P Q)( Q P)
F T
T F
T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
(P Q )
T T F T
(P Q) F
F T F
(P Q) ∧ Q
F F F F
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 给定n个(n 1) 命题变元, 按合式公式的形 成规则可以形成无数多个命题公式, 但这 些无穷尽的命题公式中，有些具有相同的 真值表。考虑：由n个命题变元能生成??? 种真值
• 2、等值演算法(Equivalent Caculation)（利用 P15表1-4.8) • 重要的等价式(补充):
11. 蕴涵等值式: PQ ┐PQ 12. 等价等值式: PQ (P→Q)(Q→P) 13. 假言易位: PQ ┐Q ┐P 14. 等价否定等值式: PQ ┐P┐Q 15. 归谬论: (PQ ) ( P ┐Q) ┐P
Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P) F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P) P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
(表)不同的命题公式？
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn 为出现于A和B中的所有原子变元,若给P1 , P2 ,…,Pn 任一组真值指派, A和B的真值都相同,则称A和B是 等价的或逻辑相等.记作A B 注: (1) “ ”不是逻辑联结词. (2)命题公式之间的逻辑相等关系具有： 自反性：A A ；对称性：若A B，则B A； 传递性：若A B且B C，则A C。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
其中P, Q, R等代表任意命题公式. 这样上面的每一 个公式都是一个模式, 它可以代表无数多个同类 型的命题公式. 例如, P┐PT 中, 用(PQ)置 换P,则得 (PQ)┐(PQ)T ,用┐P置换P,则 得 (┐P)┐(┐P)T 。 等值演算中使用的一条重要规则：置换规则。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例4：验证P(QR) (P ∧ Q) R 证: 右 (P ∧ Q) ∨ R P∨Q∨R P ∨ ( Q ∨ R) P ∨ (Q R)) P (Q R) 练：1.((P Q) ∧(P R)) P (Q ∧ R) 2.(P ∧ Q) ∨( P ∧ Q) (P ∨ Q) ∧ (P ∧ Q)
离散数学(Discrete Mathematics)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表 前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义. 定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,…,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,…,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
比如:对公式(PQ)∧R,赋值FTT(即令P=F,Q=T,R=T) 为 (PQ)∧R 的 成 真 赋 值 ; 另 一 组 赋 值 FTF 为 (PQ)∧R 的 成 假 赋 值 ； 还 有 FFF ， FFT ， TTT……