离散数学(1.4真值表与等价公式)
离散数学讲义
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什么是离散数学？
离散数学将日常的概念、判断、 推理用数学符号来表示，用数学方法 进行思维。其目标是掌握严密的思维 方法、严格证明的推理能力和演算能 力，掌握处理各种具有离散结构的事 物的描述工具与方法，适应学习其他 专业课程的各种需要，为学习其它计 算机课程提供必要的数学工具。
设P，Q是两命题，其条件命题是一个复合命题，记做P→Q， 读做“如果P，则Q”。
P 1
真值关系：
Q 1 0 1
PQ 1 0 1
“善意的推定”
1 0
0
0
1
28
1-2 联结词（续）
5、双条件
设P，Q是两命题，其双条件命题是一个复合命题， 记做P↔Q，读做“如果P，则Q”。
P 1 真值关系： 1 0 0
命题：能够判断真假的陈述语句。
例：‘中国是一个国家’， ‘9为素数’。
原子命题：不能分解成更简单的陈述语 句的命题。 复合命题：由连结词、标点符号和原子 命题复合构成的命题。
一般用字母“T”表示“真”，“F”表示 “假”。也经常用“1”表示“真”，“0” 表示“假”。
13
1-1 命题及其表示法（续）
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
命题的形式化描述：(P↔Q)。
35
1-3 命题公式及翻译（续）
例题3： （自学）
例题4： （自学）
例题5： （自学） 例题6： （自学）
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习题：
* 各章节后习题中的双号大题中的双 号小题。
离散数学第1章 命题逻辑
TT F
T
TF T
F
F P、Q真值相同时为F，否则为T
T 原命题与 (P Q)真值相同
FT T
F
T
(P Q)
FF F
T
F
总结：命题公式翻译的原则（即本质的东西）：
• 列出在各种指派下的原命题的取值。
• 翻译出来的公式如果与原命题的值一致，则翻译正确，否则， 翻译的公式则是错误的。
(4) 只有有限次地应用（1）、（2）、（3）所得的结果才是公式。
其中（1）为基础，（2），（3）为归纳，（4）为界限，这是一 个递归的定义。
例如：判别下列式子是否是公式？
(P Q) (PQ (P (P Q)) (P Q) (((P Q) R) (P Q)) (PQ R) (P Q)R)
(1)以离散量为研究对象，以讨论离散量的结构和相互之间的关 系为主要目标，这些对象一般是有限个或可数个元素，充分描述了 计算机科学离散性的特点，与我们以前学过的连续数学如高等数学、 数学分析、函数论形成了鲜明对比。
(2)它是数学中的一个分支，因而它有数学的味道，比如用一 些符号、引进一些 定义、运用定理推导等等。因而学习离散数学， 对提高我们的抽象能力，归纳能力、逻辑推理能力将有很大帮助。
（5）：我正在说谎。 若它是命题，则应有确定的真值。 若为T，则我确定说谎，我讲的是真话，与说谎矛盾。 若为F，则我不在说谎，我说的是真话，原命题成立，则“我 确实是在说谎” ，与“不在说谎”矛盾。 所以它不是命题，不能确定真假，是悖论。
1-1 命题及其表示法
（6）：X=3 不是命题 不能判断真假。
应用
Image segmentation
离散数学第一章数理逻辑
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
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例 （解）
真值表与等价公式
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学重要公式定理汇总
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
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conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学(1.4真值表与等价公式)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表 前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义. 定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,…,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,…,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
(P Q )
(P Q)
(P Q) ∧ Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
F F F F F
Q R P (Q R) (P ∧ Q R
T T F T T T T T T T T T T T T
T F T
T T F
F
T
T
F
T
F
T
F
Байду номын сангаас
T T T
T
T
T
T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
由真值表可知，两个公式为等价式。
F F T T
F T F T
离散数学第一章
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
1-4真值表与等价公式
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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2、等价公式－证明(真值表法)
例题 5 证明 PQ(PQ)(QP)
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
11
2、等价公式－汇总
下面的命题定理（表1-4.8）都可以用真值表 予以验证:
对合律 等幂律 结合律 交换律 分配律 吸收律 德·摩根律 同一律 零律 否定律
从真值表可见，上述两个命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同。
同理如： (PQ)(PQ)与PQ。
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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2、等价公式－概念
定义：1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派， A和B的 真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。 记作AB。
PQ F F F T
(PQ) (PQ) T F F T
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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小结
真值表
完整性
等价公式
等价公式表1-4.8 等价置换
命题公式（合式公式）证明方法
列真值表法 利用等价公式
离散数学 第3章 基于归结原理的推理证明
4
第三章：基于归结原理的推理证明
主要内容：谓词公式与子句集的概念,斯柯林(Sko
lem)标准范式及其求取过程,海伯伦（Herbrand） 理论的H域及其解释,置换与合一,命题和谓词归结 原理,归结过程的控制策略。
教学要求：深刻理解和掌握归结原理的基本概念
和基本归结过程。
重点：归结原理的基本概念和基本归结方法 难点：归结原理的实现方法 。 实践活动：归结原理的程序实现
离散数学讲义之
数理逻辑
主讲:邱晓红
数理逻辑简介
• 数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的科学。 数学方法即符号方法，故数理逻辑又称符号 逻辑。包含命题逻辑、谓词逻辑、证明论、 模型论、递归函数、公理化集合论、归纳逻 辑、模态逻辑、多值逻辑和时态逻辑等内容， 与计算机有密切关系。
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各知识点关联图
命题逻辑 简单命题 命题 复合命题 对偶式 命题公式 真值表 主合取范式 主析取范式 合取范式 析取范式 蕴含式 前提引入 P 规则 置换等 T 规则 推理规则 推理系统 置换 归结原理 自动推理 合一 量词引入规则 量词消去规则
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（5）把全称量词全部移到公式的左边，并使每个量词的辖域包括这个量词后面公式的整 个部分。 （6）母式化为合取范式：任何母式都可以写成由一些谓词公式和谓词公式否定的析取的 有限集组成的合取。 需要指出的是，由于在化解过程中，消去存在量词时作了一些替换，一般情况下，公式 G 的 Skolem 标准型与 G 并不等值。
(x1 )(x2 )...(xn )M ( x1, x2 ,...,xn )
其中，M(x1,x2,…,xn)是一个合取范式，称为 Skolem 标准型的母式。
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将谓词公式 G 化为 Skolem 标准型的步骤如下： （1）消去谓词公式 G 中的蕴涵（→）和双条件符号（） ，以A∨B 代替 A→B，以(A∧ B)∨(A∧B)替换 AB。 （2）减少否定符号（）的辖域，使否定符号“”最多只作用到一个谓词上。 （3）重新命名变元名，使所有的变元的名字均不同，并且自由变元及约束变元亦不同。 （4）消去存在量词。这里分两种情况，一种情况是存在量词不出现在全称量词的辖域内，此 时，只要用一个新的个体常量替换该存在量词约束的变元，就可以消去存在量词；另一种情况 是，存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，这时需要用一个 Skolem 函数替换存在量词 而将其消去。
离散数学等价公式表16个
离散数学等价公式表16个一、双重否定律。
1. “非非A等于A”。
就好像说“不是不喜欢那就是喜欢啦”，A和两个否定后的A是一回事儿，这就是双重否定律。
二、幂等律。
2. “A和A做合取（并且）还是A”，就像你说“苹果是水果并且苹果是水果”，这其实就等于说“苹果是水果”，这就是A合取A等价于A。
3. “A或A做析取（或者）还是A”。
好比“今天要么是晴天要么是晴天”，这和说“今天是晴天”是一样的，A析取A等价于A。
三、交换律。
4. “A和B做合取，等于B和A做合取”。
这就像说“小明是男生并且小红是女生”和“小红是女生并且小明是男生”是一样的，合取里A和B的顺序换一换不影响结果。
5. “A或B做析取，等于B或A做析取”。
比如说“要么吃苹果要么吃香蕉”和“要么吃香蕉要么吃苹果”是一样的道理，析取时A和B交换顺序结果不变。
四、结合律。
6. “A和（B和C）做合取，等于（A和B）和C做合取”。
这就好比三个人站一起，不管是先把后面两个人看成一组再和前面的组合，还是先把前面两个人看成一组再和后面的组合，最后都是这三个人站一起的关系，合取的这种组合方式结果一样。
7. “A或（B或C）做析取，等于（A或B）或C做析取”。
例如去旅游，不管是先想“去北京或者（去上海或者去广州）”，还是“（去北京或者去上海）或者去广州”，其实都是在考虑这三个地方去其中一个的选择，析取的这种组合结果相同。
五、分配律。
8. “A和（B析取C）等于（A和B）析取（A和C）”。
可以想象成你有一堆苹果（A），要分给两组人，一组是喜欢香蕉或者橙子（B析取C）的人，这就相当于把苹果分给喜欢香蕉的人（A和B）或者分给喜欢橙子的人（A和C）。
9. “A或（B合取C）等于（A或B）合取（A或C）”。
比如参加比赛，你可以是数学好（A）或者（语文好并且英语好（B合取C）），这就相当于（数学好或者语文好（A或B））并且（数学好或者英语好（A或C））。
六、德摩根律。
10. “非（A和B）等于非A或非B”。
_离散数学重要公式定理汇总
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
有关绝对补集的性质 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E ⑹A-B=A∩~B ⑺~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B ⑼AB ~B~A ⑽ ~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ
有关对称差的性质
2018/10/12 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yRx)
从关系有向图看对称性:在两个不同的结 点之间，若有边的话Байду номын сангаас则有方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
离散数学命题逻辑 第一章(1)
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么 多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我 不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学 逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人 前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间 漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是 红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置 弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后， 请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人 将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下 的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商 人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽 子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
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2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句 非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假， 也不能又真又假。
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3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。 土星上有生物。 ３＋２≥9。 1+101=110 请关门！ 你要出去吗？ 如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。 我正在撒谎。
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第一章 命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的 可推导关系。
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第一章 命题逻辑
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命题及其表示方法 联结词
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学
第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）重点：如何判断语句是否为命题。
1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点：五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化：所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。
命题符号化的重要性命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。
重点：命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。
②句子中连词是否为命题联结词。
③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。
1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式（必须掌握）(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点：等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。
离散数学右箭头真值表
离散数学右箭头真值表
一、合式公式
原子命题：不可再分的命题，即不包含任何逻辑联结词的命题命题变元：公式中没有确定真值的变量，其真值只能在 0,1 两者中选择
合式公式（递归定义法）：
①真值 1 和 0 是合式公式；
②原子命题公式是一个合式公式；
③如果 A 是合式的公式，那么¬A是合式公式；
④如果 A 和 B 均是合式的公式，那么A∧B,A∨B,A→B,A↔B 都是合式公式；
⑤当且仅当有限次地应用①至④条规则由逻辑联结词、圆括号所组成的有意义的符号串是合式的公式。
我们把合式的公式简称为命题公式。
一般一个命题公式的真值是不确定的，只有用确定的命题去取代命题公式中的命题变元，或对其中的命题变元进行真值指派时，命题公式才成为具有确定真值的命题。
二、真值表
设 A 为一命题公式，对其中出现的命题变元做所有可能的每一组真值指派S，连同公式 A 相应S(A) 的取值汇列成表，称为 A 的真值表。
一个真值表由两部分构成：
①表的左半部分列出公式的每一种解释；
②表的右半部分给出相应每种解释公式得到的真值。
为构造的真值表方便和一致，有如下约定：
（1）命题变元按字典序排列。
（2）对公式的每种解释，以二进制数从小到大或者从大到小顺序排列。
（3）若公式复杂，可先列出各子公式的真值（若有括号从里层向外展开），最后列出所给公式的真值。
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(P Q )
T T F T
(P Q) F
F T F
(P Q) ∧ Q
F F F F
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 给定n个(n 1) 命题变元, 按合式公式的形 成规则可以形成无数多个命题公式, 但这 些无穷尽的命题公式中，有些具有相同的 真值表。考虑：由n个命题变元能生成??? 种真值
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F F F F F
Q R P (Q R) (P ∧ Q R
T T F T T T T T T T T T T T T
T F T
T T F
F
T
T
F
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F
T T T
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T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
由真值表可知，两个公式为等价式。
• 2、等值演算法(Equivalent Caculation)（利用 P15表1-4.8) • 重要的等价式(补充):
11. 蕴涵等值式: PQ ┐PQ 12. 等价等值式: PQ (P→Q)(Q→P) 13. 假言易位: PQ ┐Q ┐P 14. 等价否定等值式: PQ ┐P┐Q 15. 归谬论: (PQ ) ( P ┐Q) ┐P
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
等值演算在计算机硬件设计中 , 在开关理论和电子元 器件中都占有重要地位. 小结: 本节介绍了真值表、公式等价、等值演算和等 价置换等概念，给出了常用的重要等价公式（24个）。 重点掌握用真值表法验证公式的等价性和等值演算法 推演两个公式等价。 作业：P17 1 c,e, 4 a,c, 7d,e, 8. 预习: 1.5, 1.6 思考题：9
Q PQቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ→P P→Q (P→Q)(Q→P) F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P) P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
(表)不同的命题公式？
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• • 1.4.2 等价公式 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn 为出现于A和B中的所有原子变元,若给P1 , P2 ,…,Pn 任一组真值指派, A和B的真值都相同,则称A和B是 等价的或逻辑相等.记作A B 注: (1) “ ”不是逻辑联结词. (2)命题公式之间的逻辑相等关系具有： 自反性：A A ；对称性：若A B，则B A； 传递性：若A B且B C，则A C。
F F T T
F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例3：判断公式 P(QR)、(P∧Q)R是否等价。
P Q R
F F F F F T F T F F T T T F F
P∧ Q
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
(P Q )
(P Q)
(P Q) ∧ Q
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
练习2：构造公式 (P Q ∧Q 真值表。
P
F F T T
Q
F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。
P Q P F F
P Q Q P Q
(P Q)( Q P)
F T
T F
T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1. 给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
┐(PQ) (┐P┐Q)
P Q PQ ┐(PQ) ┐P┐ Q F F F T T F T T F T T F F T T T F T T F
T T T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
P Q R PQ (P Q) ∧R
F F
F F T T T T
F F
T T F F T T
F T
F T F T F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式 例2：构造公式 (P Q) ∧R的 真值表。
P F F F F T T T T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T PQ T T T T F F T T (P Q) ∧R F T F T F F F T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例1： 证明 Q→（P（PQ））Q→P 证: Q→（P（PQ））Q→P ~~~~~~~~~~~ P(吸收律) 例2： 证明 P┐QQ PQ 证： (P┐Q)Q(PQ)(┐QQ)(PQ)TPQ 例3：证明（P→Q）→（Q R ） PQR 证：（P→Q）→（Q R ） （┐PQ）→（QR） ┐（┐PQ）（QR） （P┐Q）（QR） （PQR）（┐QQR） P Q R
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
例4：验证P(QR) (P ∧ Q) R 证: 右 (P ∧ Q) ∨ R P∨Q∨R P ∨ ( Q ∨ R) P ∨ (Q R)) P (Q R) 练：1.((P Q) ∧(P R)) P (Q ∧ R) 2.(P ∧ Q) ∨( P ∧ Q) (P ∨ Q) ∧ (P ∧ Q)
考虑：含有n个命题变元的公式共有多少组 不同的赋值？
定义1.4.2(真值表)在命题公式A中, 对于命题变元的每 一组赋值和由它们所确定的命题公式A的真值列成 表，称做命题公式A 的真值表。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
对公式A构造真值表的具体步骤为： （1）找出公式中所有命题变元P1 , P2 ,…,Pn , 列出全部的2n组赋值。 （ 2 ）按从小到大的顺序列出对命题变元 P1 , P2 ,…,Pn ,的全部2n组赋值。 （ 3）对应各组赋值计算出公式 A的真值，并 将其列在对应赋值的后面。
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• •
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
• 证明公式等价的方法： • 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 • 例1. ┐(PQ) (┐P┐Q) 见真值表例题1. • 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P F F T T
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
比如:对公式(PQ)∧R,赋值FTT(即令P=F,Q=T,R=T) 为 (PQ)∧R 的 成 真 赋 值 ; 另 一 组 赋 值 FTF 为 (PQ)∧R 的 成 假 赋 值 ； 还 有 FFF ， FFT ， TTT……
离散数学(Discrete Mathematics)
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表 前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义. 定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,…,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,…,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.
定义1.4.4(子公式)：如果X是wff A的 一部分,且X本身也是wff，则称X是A的 子公式。例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
定理1.4.1(置换定理Axiom of replacement)设X是wff A的子wff，若XY，则若将A中的X用Y来置换， 所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派,X与Y真值相同，所以Y 取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真 值也相同,所以AB。 注: 满足定理1.4.1的条件的置换称为等价置换(或等 价代换). 定义1.4.5(等值演算)：根据已知的等价公式,推演 出另外一些等价公式的过程称为等值演算.
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式