椭圆的离心率离心率
椭圆离心率公式二级结论
椭圆离心率公式二级结论
椭圆离心率公式是用来计算椭圆形状的重要数学公式，它的二级结论指的是在已知椭圆形心坐标、长轴与短轴长度的情况下，推导出椭圆离心率的公式。
椭圆离心率是一个描述椭圆形状的重要参数，它表示椭圆形状的“扁平程度”，越接近1（也就是椭圆形和圆形越相似），扁平程度越小。
其计算公式为：
e = sqrt(1 - b^2 / a^2)
其中，e代表离心率，a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
当已知椭圆的中心坐标为（h，k）时，可以引入一个参数c来表示焦点到中心的距离，即：
c = sqrt(a^2 - b^2)
然后，就可以得到椭圆离心率的二级结论：
e = c / a
这个公式表示，椭圆离心率等于焦点到中心的距离与长轴的长度之比。
这个结论的意义在于，如果我们已知椭圆形心坐标、长轴与短轴长度，并求得椭圆的焦点到中心的距离c，就可以轻松地计算出椭圆的离心率，从而更完整地描述椭圆的形状特征。
高中椭圆离心率公式
高中椭圆离心率公式
椭圆是一种特殊的椭圆形图形，其余部椭圆是最常见的椭圆方程的特殊情况，它可以用离心率来表示。
离心率有两个量，一个是长轴，一个是短轴，并且它们的比值可以用离心率来表示。
离心率（e）是椭圆的两个轴之间的比值，用公
式表示可以写作e=c/a，其中a为长轴，c为短轴，则e的取值范围
为0≤e≤1，e=0时表示椭圆成为圆，e=1时表示椭圆变为双曲线，
一般而言，当e=0.5时，椭圆成为一个非常常见的近似圆形。
在高中物理教学中，可以采用椭圆离心率公式来描述椭圆的特征。
高中椭圆离心率公式的基本思想是，椭圆是一个经过两点的平行抛物线，它的长轴和短轴都是有一定的长度，这两点的投影被称作椭圆的焦点，两个焦点的中点称作椭圆的长轴中心。
公式的具体表述为：离心率e=√(a^2-b^2)／a；其中a为椭圆
的长轴，b为椭圆的短轴。
高中椭圆离心率公式在高中常被用来解决一些实际问题，例如，椭圆外切矩形面积的计算，在一定的条件下，该公式的作用可以用以计算物理问题的运动轨迹、质量及其相对垂直距离等问题。
此外，在数学分析学中，运用椭圆离心率公式可以求解各种椭圆和抛物线的标准方程，从而实现各种几何问题的解决，比如椭圆周长的计算、点到椭圆的距离等。
总之，椭圆离心率公式在高中教学中起着重要作用，可以用来解决多种数学和物理问题。
本文介绍了高中椭圆离心率公式的具体表达，
以及它的应用场景，希望能够对学习者们有所帮助。
椭圆的离心率标准方程
椭圆的离心率标准方程首先，我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
离心率描述了椭圆形状的“瘦胖”程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
接下来，我们来推导椭圆的离心率标准方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，即|PF1|+|PF2|=2a。
根据距离公式，可以得到：√((x-c)²+y²)+√((x+c)²+y²)=2a。
整理得到：(√((x-c)²+y²))²+(√((x+c)²+y²))²=4a²。
化简得到：(x-c)²+y²+(x+c)²+y²=4a²。
化简得到：2x²+2y²+2c²=4a²。
除以2得到：x²/a²+y²/b²=1。
这就是椭圆的标准方程。
在标准方程中，a和b分别代表椭圆的长轴半径和短轴半径，c代表焦距的一半。
通过标准方程，我们可以直观地看出椭圆的形状和大小，进而计算出椭圆的离心率。
最后，我们来计算椭圆的离心率。
根据前面的定义，椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
根据标准方程x²/a²+y²/b²=1，可以得到c²=a²-b²，代入离心率的定义式中，得到：e=√(1-b²/a²)。
椭圆离心率的公式ab
椭圆离心率的公式ab
椭圆离心率公式是用于描述椭圆形状的一个重要公式，它由椭圆的长轴a和短轴b计算得出。
在本文中，我们将详细介绍椭圆离心率的公式ab，并讨论其意义和用途。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是一个平面图形，由两个焦点和所有到这两个焦点距离之和相等的点组成。
椭圆还有两个主轴，一个长轴和一个短轴，分别穿过椭圆的两个焦点。
椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个参数，它可以用长轴a和短轴b来计算，公式为：
离心率e = (a² - b²) / a
该公式的意义是，椭圆的离心率是椭圆长轴a和短轴b的比值，再减去一个1。
也就是说，它表示了椭圆形状的“扁程度”，在0到1之间取值。
当离心率为0时，椭圆退化为圆形；当离心率为1时，椭圆变为一条线段。
椭圆离心率的公式ab在工程中有着广泛的应用。
在航天领域中，离心率可以用于描述卫星轨道的形状和轨道的稳定性。
如果轨道的离心率太高，卫星可能会偏离原本的轨道，造成通信中断或失去控制。
因此，离心率是卫星轨道设计中需要重点考虑的因素之一。
此外，在光学领域中，椭圆形的反射镜和折射镜常用于望远镜和激光器等设备中。
由于椭圆形的特殊性质，可以实现多种反射和折射
路径，从而实现光束的聚焦和成像。
离心率是决定椭圆镜形状的重要因素之一，其大小决定了镜面反射或折射的程度和方向，进而影响到光学系统的性能和精度。
总之，椭圆离心率的公式ab是描述椭圆形状的一个重要工具，在航天、光学等领域中得到广泛应用。
了解这个公式的意义和用途，能够帮助我们更好地理解和应用椭圆形状，进而提升工作效率和创新能力。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式是指双曲线的离心率有三种可能的表示形式：椭圆离心率，双曲线离心率和双曲线参数离心率。
首先，椭圆离心率是指双曲线的离心率的椭圆形式。
椭圆离心率的表示形式是C=a/b，其中C代表椭圆离心率，a代表双曲线的短半轴长，b代表双曲线的长半轴长。
第二种双曲线离心率表示形式是双曲线离心率。
双曲线离心率的表示形式是C=e，其中C代表双曲线离心率，e代表双曲线的离心率。
最后，双曲线参数离心率的表示形式是C=e/2，其中C代表双曲线参数离心率，e代表双曲线的离心率。
双曲线的三种离心率公式可以用来表示双曲线的各种形状，从而有助于我们对双曲线的研究。
椭圆离心率可以用来表示双曲线的轮廓，双曲线离心率可以表示双曲线的不同程度的弯曲，而双曲线参数离心率可以表示双曲线的不同程度的扭曲。
双曲线是很多几何图形的一种，它的三种离心率公式可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并且可以应用到许多数学问题中。
例如，可以使用双曲线离心率来计算两个双曲线之间的距离，可以使用双曲线参数离心率来计算双曲线的曲率，也可以使用椭圆离心率来计算双曲线的面积。
总之，双曲线的三种离心率公式可以用来帮助我们更好地理解双曲线的形状，它们也可以用来解决许多数学问题，这使得它们极具有实用价值。
离心率公式大全
离心率公式大全：e=c/a。
圆的离心率=0；抛物线的离心率：e=1；0<e<1, 椭圆；e>1, 双曲线
双曲线的离心率：e=c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
扩展资料
在椭圆的标准方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1中，如果a>b>0焦点在X轴上；如果b>a>0焦点在Y轴上。
这时，a代表长轴b代表短轴c代表两焦点距离的一半，存在a^2=c^2+b^2。
偏心率e=c/a (0<e<1)中，当e越大，椭圆越扁平。
椭圆的离心率（偏心率）（eccentricity）。
离心率统一定义是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
离心率公式
离心率公式，计算方法
偏心率，离心率
离心率统一定义是动点到左（右）焦点的距离和动点到左（右）准线的距离之比。
椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e表示，即e=c/a (c,半焦距；a,长半轴)
椭圆的离心率可以形象地理解为，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。
离心率=(ra-rp)/(ra+rp)，ra指远点距离，rp指近点距离。
圆的离心率=0
椭圆的离心率：e=c/a(0,1)（c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）
抛物线的离心率：e=1
双曲线的离心率：e=c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）
在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
椭圆上任意一点到两焦点的距离等于a±ex。
曲线形状
且离心率和曲线形状对照关系综合如下：
e=0, 圆
0<e<1, 椭圆
e=1, 抛物线
e>1, 双曲线。
椭圆曲线的离心率和扁率
椭圆曲线的离心率和扁率
椭圆曲线是数学中重要的曲线之一，它具有很多有趣的性质，
其中包括离心率和扁率这两个概念。
本文将介绍椭圆曲线的离心率
和扁率的定义和特性。
离心率
离心率是椭圆曲线的一个重要参数，用来描述椭圆曲线的形状。
离心率的定义如下：
离心率 = （长轴长度 - 短轴长度）/ 长轴长度
离心率的取值范围在0到1之间，0表示一个完全圆形的椭圆，而1表示一个无限长的直线。
离心率越接近于1，椭圆曲线的形状
越扁平，离心率越接近于0，椭圆曲线的形状越圆。
扁率
扁率是另一个描述椭圆曲线形状的参数，它反映了椭圆曲线的扁平程度。
扁率的定义如下：
扁率 = （长轴长度 - 短轴长度）/ 长轴长度
扁率的取值范围在0到1之间，0表示一个无限长的直线，而1表示一个完全圆形的椭圆。
扁率越接近于1，椭圆曲线的形状越扁平，扁率越接近于0，椭圆曲线的形状越接近于直线。
通过离心率和扁率的定义，我们可以对椭圆曲线的形状进行准确的描述。
在密码学和数学等领域中，离心率和扁率是非常重要的参数，它们可以用来定义和分析椭圆曲线算法的安全性和效率。
总结：离心率和扁率是描述椭圆曲线形状的两个重要参数。
离心率用来描述椭圆曲线的扁平程度，扁率用来描述椭圆曲线的形状的扁平程度。
在密码学和数学等领域中，离心率和扁率被广泛应用于椭圆曲线算法的分析和设计。
椭圆常用二级结论
椭圆常用二级结论椭圆是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用。
在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。
本文将介绍椭圆常用的二级结论，包括椭圆的标准方程、离心率、焦点、直径、半轴等内容。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是x/a + y/b = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
这个方程的中心在原点，椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
如果椭圆的中心不在原点，可以通过平移使其移动到原点。
二、离心率椭圆的离心率e定义为焦点距离与长轴的比值，即e = c/a，其中c为焦点距离。
离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的形状。
当e=0时，椭圆变成圆形；当0<e<1时，椭圆为非圆形的椭圆；当e=1时，椭圆变成抛物线；当e>1时，椭圆变成双曲线。
三、焦点椭圆的焦点是椭圆上到两个定点距离之和等于常数的点。
对于椭圆来说，焦点在长轴的两个端点上。
焦点是椭圆的重要性质之一，它具有广泛的应用。
例如，在椭圆反射望远镜中，焦点是光线汇聚的地方，用于聚焦光线。
四、直径椭圆的直径是椭圆上通过中心并且垂直于它的轴的线段。
椭圆的直径是椭圆的重要性质之一，它有许多重要的应用。
例如，在椭圆轨道的卫星运动中，直径是卫星运动的轨道。
五、半轴椭圆的半轴是椭圆的重要性质之一，它是椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的半轴具有广泛的应用。
例如，在椭圆轨道的卫星运动中，半长轴是卫星运动的轨道半径。
六、结论椭圆是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用。
本文介绍了椭圆常用的二级结论，包括椭圆的标准方程、离心率、焦点、直径、半轴等内容。
这些结论在许多领域都有着重要的应用，例如物理、工程、天文学等领域。
希望读者能够通过本文了解椭圆的基本性质，进一步了解椭圆的应用。
求椭圆、双曲线离心率
2
2 2 c c ,
2
e 2e 1 0
2
e 2 -1
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
2 2
e >1
2
（3）e的含义：
e
c 2 a
2
a b b 1 2 2 a a
椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： c 叫做椭圆的离心率。 e [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
c e a a 2 b2 a b 2 1 ( ) , a
4、椭圆的离心率
a
y
O
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就 越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就 越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 椭圆方程变为（？）
x 2 y2 B. 1 9 8 y2 x 2 D. 1 9 8
【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小. 点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),设点P为直 线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|
双曲线的一个焦点到一条渐近 线的距离等于其虚半轴长
x y 1、过双曲线 2 2 1的一个焦点F作它的渐近线 a b 的垂线，垂足为 A，延长FA交y轴于点B, 若A为 FB的中点，则双曲线的离 心率是
2
数学离心率知识点总结
数学离心率知识点总结一、离心率的定义离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它反映了椭圆的偏心程度。
在数学中，离心率通常表示为e，对于一个给定的椭圆，离心率e的定义如下：e = c / a其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距之一。
从定义可以看出，离心率e是一个无单位的数值，它的取值范围是[0,1)，当e=0时，表示椭圆退化为一个圆，当e=1时，表示椭圆退化为一条直线。
离心率e越接近0，表示椭圆越接近圆形；离心率e越接近1，表示椭圆的偏心程度越大。
二、离心率的计算对于一个给定的椭圆，要计算其离心率，可以根据椭圆的半长轴a和焦距c来确定。
首先确定椭圆的焦点F1和F2，然后计算焦距c，最后根据离心率的定义计算出离心率e。
具体的计算步骤如下：1. 确定椭圆的焦点F1和F2对于一个给定的椭圆，其焦点F1和F2的坐标可以通过椭圆的标准方程确定。
2. 计算焦距c椭圆的焦距c可以通过半长轴a和半短轴b来计算得到：c = √(a^2 - b^2)3. 计算离心率e根据离心率的定义，离心率e可以通过焦距c和半长轴a计算得到：e = c / a通过以上计算步骤，就可以得到一个给定椭圆的离心率e。
三、离心率的性质离心率在椭圆的研究中有着重要的作用，它的一些性质也是非常有用的。
下面将介绍一些关于离心率的性质：1. 离心率与椭圆形状的关系离心率e反映了椭圆的偏心程度，当e=0时，表示椭圆为圆；当0 < e < 1时，表示椭圆为椭圆；当e=1时，表示椭圆为抛物线；当e>1时，表示椭圆为双曲线。
2. 离心率与周长的关系对于一个给定的椭圆，其周长L可以通过椭圆的半长轴a和离心率e来计算得到：L = 4aE(e)其中E(e)表示第二类椭圆积分，它是一个与离心率e有关的特殊函数。
3. 离心率与焦点之间的距离对于一个给定的椭圆，其焦点F1和F2到椭圆上任意一点P的距离之和是一个常数，这个常数就等于椭圆的长度轴2a。
具体的关系可以表示为：PF1 + PF2 = 2a通过上述性质，可以看出离心率在描述椭圆形状以及计算其周长等方面都有着重要的作用。
ggb探究椭圆的离心率
ggb探究椭圆的离心率椭圆是很多几何图形中较为普遍的一种，是几何学中十分重要的几何对象，它具有多种极其复杂而又有趣的几何特性，其中之一就是椭圆的离心率。
离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它体现了椭圆形状内圆曲线和外椭圆曲线及其所包含的线段之间的关系，是用来确定椭圆形状的参数因此，熟练掌握椭圆离心率的概念对于理解椭圆能力改进有重要意义。
那么，到底什么叫椭圆的离心率呢？椭圆的离心率定义为椭圆的两个焦点到其中心的距离除以其中心到椭圆曲线上某点的距离。
换句话说，它是椭圆的两个焦点到其最长半轴的比率。
这里，最长半轴又称第二半径，他被定义为在两个焦点之间的距离，这一距离与椭圆曲线上任意一点所在的半径是一致的，可以用符号e来表示，数值越接近1，椭圆形状就越接近圆形。
显然，在侧面看来，椭圆的离心率可以用正弦公式来表示：e=c/a，其中c为两个焦点到其中心的距离，a为其中心到椭圆曲线上某一点的距离。
有了以上知识，我们可以在GeoGebra中进行一些更加具体的操作，深入了解椭圆的离心率。
首先，在GeoGebra中画出一个椭圆，在该椭圆上画出两个支点，调整椭圆的焦距，通过这两个支点控制椭圆形状，然后开启探究模式，计算椭圆离心率。
此外，GeoGebra还可以提供绘画椭圆的另一种方式——参数方程，如果能够计算出椭圆的2个焦点和最大半径，那么就可以使用参数方程了。
最终通过计算离心率e=c/a即可得出椭圆的离心率。
通过GeoGebra，让我们在课堂中更好地掌握和熟悉椭圆离心率的概念，更好地认知椭圆的几何性质，以及利用GeoGebra绘制和探究椭圆。
正是因为拥有了这些，在进行更高级的几何探究时，才可以有更深入的认知和掌握椭圆几何特性，才能进行更有效的。
椭圆双曲线离心率范围
椭圆和双曲线都是二次曲线，其形状和性质由其离心率确定。
离心率是一个表示椭圆或双曲线的独特属性，它在[0, 1)范围内取值。
对于椭圆来说，离心率介于0到1之间。
当离心率为0时，椭圆为一个圆形；当离心率接近1时，椭圆的形状趋近于一个细长的椭圆。
对于双曲线来说，离心率大于等于1。
当离心率等于1时，双曲线为一个抛物线；当离心率大于1时，双曲线的形状趋近于两支无限延伸的曲线。
总结起来，椭圆的离心率范围是[0, 1)，而双曲线的离心率范围是大于等于1。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率余弦公式推导
椭圆离心率公式及推导过程1椭圆离心率计算方法椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值，用e 表示，即e=c/a (c,半焦距；a,长半轴)椭圆的离心率可以形象地理解为，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。
离心率=(ra-rp)/(ra+rp)，ra指远点距离，rp指近点距离。
圆的离心率=0椭圆的离心率：e=c/a(0,1)（c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）抛物线的离心率：e=1双曲线的离心率：e=c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
椭圆上任意一点到两焦点的距离等于a±ex。
2椭圆离心率范围e=0,圆0<e<1,椭圆e=1,抛物线e>1,双曲线离心率统一定义是在圆锥曲线中，动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
既然是距离，就不会出现负数了。
余弦定理公式推导过程在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2，b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2，b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2，b2=c2+a2-2accosB，cosB=(c2+a2-b2)/2ac。
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b
0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
二、椭圆
简单的几何性质
1、范围：ax22 1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组y成的矩形中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
焦距是： 2 5
焦点坐标是： (0, 5)
。短轴长是： 2
30
.离心率等于： 6 。顶点坐标是：(0, 6)
。 。 (。1, 0)
外切矩形的面积等于： 4 6
。
其标准方程是 x2 y 2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ； 3
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
．1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标 轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
离心率
a、b、c的 关系
e c a
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
ec a
a2 b2
b2
1
a2
a2
标准方程 范围
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成
中心对称
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
焦点坐标
(c,0)、(-c,0)
半轴长
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
（2）长轴长等于 20 ,离心率等于 5 ．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．（2）由已知，2a 20 ，e c 3 9 4
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
所以椭圆的标准方程为
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
3
焦距是： 6
。 离心率等于：5 。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, 4。)
外切矩形的面积等于：
80
。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习1. 已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是：2 6
-2 -3
B1
-4
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
A2 (a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。