图的最短路径问题

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Dijkstra’s Algorithm Example
A Initial Process A Process C Process B 0 0 0 0 B 10 5 5 C 3 3 3 D 20 E
20 18 10 18
Process D
Process E
0
0
5
5
3
3
10 18
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Approach 2
void Dijkstra(Graph* G, int* D, int s) { int i, v, w; // v is current vertex DijkElem temp; DijkElem E[G->e()]; // Heap array temp.distance = 0; temp.vertex = s; E[0] = temp; // Initialize heap array minheap<DijkElem, DDComp> H(E, 1, G->e()); for (i=0; i<G.n(); i++) D[i] = INFINITY; D[s] = 0; for (i=0; i<G->n(); i++) {// Get distances do { if(!H.removemin(temp)) return; v = temp.vertex; } while (G->getMark(v) == VISITED); G->setMark(v, VISITED); if (D[v] == INFINITY) return; for(w=G->first(v); w<G->n(); w=G->next(v,w)) if (D[w] > (D[v] + G->weight(v, w))) { D[w] = D[v] + G->weight(v, w); temp.distance = D[w]; temp.vertex = w; H.insert(temp); // Insert in heap 13 }}}
依最短路径的长度递增的次序求得 各条路径
v1 v2
源点
…
其中，从源点到 顶点v的最短路径 是所有最短路径 中长度最短者。
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路径长度最短的最短路径的特点：
在这次短的最短路径的特点： 它只可能有两种情况：或者是直接从源
点到该点(只含一条弧)； 或者是从源点经
过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)。
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再下一条路径长度次短的最短路径的特点: 它可能有三种情况：或者是直接从源点到
该点(只含一条弧)； 或者是从源点经过顶点 v1，再到达该顶点(由两条弧组成)；或者是 从源点经过顶点v2，再到达该顶点。
其余最短路径的特点： 它或者是直接从源点到该点(只含一条 弧)； 或者是从源点经过已求得最短路径 的顶点，再到达该顶点。
…
依次类推，则 vi 至 vj 的最短路径应是 上述这些路径中，路径长度最小者。
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Floyd’s Algorithm
//Floyd's all-pairs shortest paths algorithm void Floyd(Graph* G) { int D[G->n()][G->n()]; // Store distances for (int i=0; i<G->n(); i++) // Initialize for (int j=0; j<G->n(); j++) D[i][j] = G->weight(i, j); // Compute all k paths for (int k=0; k<G->n(); k++) for (int i=0; i<G->n(); i++) for (int j=0; j<G->n(); j++) if (D[i][j] > (D[i][k] + D[k][j])) D[i][j] = D[i][k] + D[k][j]; }
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最短路径的定义
用记号d(A, B)表示从顶点 A 到 B 的最 短距离.
定义w(A, B)为边(A , B)的权.
– 如果两点之间没有边, 那么w(A, B) = .
3
• 求从某个源点到其余各点的 最短路径
• 每一对顶点之间的最短路径
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单源最短路径
在图 G 中给定一个顶点S,找出从S到G中所有其他 顶点的最短路径.
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求每一对顶点之间的最短路径
弗洛伊德算法的基本思想是：
从 vi 到 vj 的所有 可能存在的路径中，选 出一条长度最短的路径。
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若<vi,vj>存在，则存在路径{vi,vj} // 路径中不含其它顶点 若<vi,v1>,<v1,vj>存在，则存在路径{vi,v1,vj} // 路径中所含顶点序号不大于1 若{vi,…,v2}, {v2,…,vj}存在， 则存在一条路径{vi, …, v2, …vj} // 路径中所含顶点序号不大于2
每对顶点间的最短路径
对任意顶点的 u, v V, 计算 d(u, v) 的值. 一种解决方法是使用 |V| 次 Dijkstra’s 算法, 每次都从不同的顶点出发计算最短路径. 更好的方法是使用 Floyd’s 算法. 定义k-path 为任意一条从顶点v到u的、中间顶点 序号小于k 的路径.
Implementing minVertex
问题: 如何决定下一个最靠近的顶点? (也就是,寻找 未访问顶点最小D值 minVertex)
方法1:通过扫描整个包含|V|个元素的表来搜索最小 值.
– Cost: Q(|V|2 + |E|) = Q(|V|2).
方法 2: 将未被处理的顶点以D值大小为顺序保存在一
数据结构与算法分析
图的最短路径
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最短路径问题
输入: 每条边上标记了权(weights)或代价 (costs) 的图. 输出: 组成最短路径的边的序列. 例如:
– 寻找两个指定顶点之间的最短路径 – 寻找从一个顶点S到图中所有其他顶点的最短路径 – 寻找所有顶点对之间的最短路径
我们介绍的算法将仅计算最短路径的长度,而 不记录实际路径.
Try 1: 用某种顺序访问顶点, 计算了迄今为止所有 顶点的最短路径, 然后添加到下一个顶点x的最短 路径. 问题: 已经处理了的顶点的最短路径中有可能经过x. 解决方案: 如果以从 s 出发所到达的距离(递增)为顺 序，对各个顶点进行处理就能避免上述问题.
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求从源点到其余各点的最短路径
的算法的基本思想:
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Dijkstra’s Implementation
// Compute shortest path distances from s, // return them in D void Dijkstra(Graph* G, int* D, int s) { int i, v, w; for (i=0; i<G.n(); i++) D[i] = INFINITY; D[s] = 0; for (i=0; i<G->n(); i++) { // Do vertices v = minVertex(G, D); if (D[v] == INFINITY) return; G->setMark(v, VISITED); for (w=G->first(v); w<G->n(); w = G->next(v,w)) if (D[w] > (D[v] + G->weight(v, w))) D[w] = D[v] + G->weight(v, w); } } 10
个用最小堆实现的优先级队列中，可以使用Θ(log|V|) 次搜索找出下一个最近顶点。每次改变D(x)值时，都 可以通过先删除再重新插入的方法改变顶点x在堆中 的位置.
– Cost: Q((|V| + |E|)log|V|)
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Approach 1
// Find min cost vertex int minVertex(Graph* G, int* D) { int i, v; // Set v to an unvisited vertex for (i=0; i<G->n(); i++) if (G->getMark(i) == UNVISITED) { v = i; break; } // Now find smallest D value for (i++; i<G->n(); i++) if ((G->getMark(i) == UNVISITED) && (D[i] < D[v])) v = i; return v; }