05数学建模-微分方程模型

这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是
行不通的．如何治理湖水污染，下面我们通过组建数学模型 来进行分析。
一、模型假设
（1）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流 入与流出湖泊之间的区别．只考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊 中的水流出对湖水污染程度的影响．因此可以把湖泊看成是一个单 流入、单流出的系统． (2)流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就
dw a dw dt w(0) w0
（1）
其中a=A/D，d=(B+R)/D，t=0模型开始考察时刻，即减肥问题的数 学模型． 模型求解有
w(t ) w0 e
dt
a dt (1 e ) d
（2）
三、模型分析
w(t ) w0 e dt
a (1 e dt ) d
（2）写出微分方程：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的 瞬时表达式，这是数学问题的核心。如果你看到了表示导数的关键 词。你就想要寻找y’，y及t之间的关系。首先把注意力集中在文字
形式的总关系式上，如“变化率=输入－输出”，写出这些关系式，
然后确信你填写好了式子中所有的项。
（3）单位：一旦你认为那些项应该列入微分方程中，你就要注 意每一项都采用同样的单位。 （4）给定初始条件：这是关于系统在某一特定时刻的信息。它 独立于微分方程而成立。在微分方程解出后，利用它来确定有关常 数。
入过低并致使无法维持他本人正常的生理功能的所需，这时减肥所
得到的结果不能认为是有效的，它将危及人的身体健康，是危险的
Ａ Ａ
l0
ｗ0B
Ｂ
l1
Ｃ W1B －Ｂ ０ R1 Ｒ
称w1为减肥的临界指标．另外，人们为减肥所采取的各种体力活动 对能量的消耗也有一个人所能承受的范围，我们记为0<R<R1于是 见图在R－A平面上由R=0，R=R1和A=0所界出的上半带形区内， 被直线l0:A=W0B+W0R和l1:A=W1B+W1R分割为三个区域A、B、C
（5）若K＝0，既没有污染物流入．这时湖水将会以最快的速
度得到净化．这时，式 t ln( ps / p(t )) 则给出了要把污染减少到
初始污染水平的百分比 p(t ) / p s 所需要的时间．如果取α＝0.5
也就是说把污染程度降低到目前水平的一半，则有 t 0.5 ln 2 pi (t ) K 0 e t , 0 ，它表明流入的污染物将逐年降 情形Ⅱ:设 低．它反映了污染状况正在逐步得到控制．于是模型将有
5.1 减肥问题
随着社会的进步和发展，小康社会的建立，人们的生活 水平在不断地提高．饮食营养摄入量的不断改善和提高、生 活方式的改变，使得“肥胖”成了一个社会关注的问题．无论 从健康的角度，还是从审美的角度，人们越来越重视减肥．
大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥
行列，盲目的减肥，使得人们感到很不理想。如何对待减肥 问题，我们也不妨通过组建模型，从数学的角度对有关的规 律作一些探讨和分析．
令 V / r0
，不难理解τ给出了排尽湖水所需要的时间或称之为 湖水的保留时间．于是就得到了湖水污染的模型
pi p dp dt
三、模型分析
(1)
对于模型(1)的分析，我们需要关于输入函数的信息． pi (t ) 的不 同导致不同的结论． 情形I：设 pi (t ) K (常数)。可以认为它大致描述了自由污染 的情况，每天污染物以其平均值流入湖泊内． 如果已知在初始时刻t=0有 p(0) ps ，那么模型(1)可以解出为
“速度”、“增长”、“衰变”、“边际”等。“改变”、“变
化”、“增加”、“减少”等词都是信号，要注意什么在变化，导 数也许用得上。其次想一想你所考虑的问题是否遵循什么原则或物 对这些问题的回答将直接引到你如何去处理问题。不少问题都遵循 着下面的模式： 净变化率=输入率－输出率
理定律？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导问题的合适结果？
第五章
5.1
微分方程模型
减肥问题
5.2
5.3 5.4 5.5
湖水污染问题
传染病问题 经济增长问题 战争问题
5.6 香烟过滤嘴问题
5.7 万有引力定律的发现
微分方程建模
对于微分方程建模，虽然我们得不到一种建立和解决所有 问题的通用法则，但我们可以注意以下几点：
（1）转化：在实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如
这表明减肥的效果是由控制饮食和增加消耗综合作用，相互协调的
结果.
Ａ Ａ
l0
ｗ0B
Ｂ
l1
Ｃ W1B －Ｂ ０ R1 Ｒ
A区表明能量的摄取量高于体重位W0时的摄入量A=W0B+W0R这 时体重不会从W0减少，我们称之为非减肥区；C区为危险区；B 区为有效减肥区．可以看到单一的减肥措施达不到减肥效果. 人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化。这 个模型虽然只揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但 它们对人们走出盲目减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值.
dp p(t ) K 0 e t dt
（3）
若令p(0)＝K。，则(3)有解
不难证明p(t)或p(t)／K。，是t的单调减函数，并且有 lim p (t ) 0 t 它表明在污染源逐步得到控制的条件下，湖水的污染状况将会不断 得到改善． 在一般的情形下 p(0) ps 有解
5供了大量的水资源，还可以养鱼、运输， 也是人们旅游的场所．但是湖泊也承受着人们倾倒的垃圾、 废水、污物，它们越来越受到工业和生物污水的污染。 湖水污染的治理工作是困难的．因为一般湖水覆盖的区 域较大，周围的污染源较为复杂，很难指明所有污染的原因． 通常治理水体污染的办法靠水体本身的自净能力来缓解污染．
（3）称β＝p(t)/K为湖水在t时刻的污染水平。β＝1位标准污染水
平；β＞１时称超标准污染水平，这是污染物的浓度将不断下降β＜ 1时湖水的污染状况不断加重。 （4）若 p s 0 ，即对于一湖清水，则t时刻的污染水平
(t ) 1 e t /
而对于给定的水平β＜1，湖水的污染程度达到水平β所需要的时间
二、建模 根据假设(1)，我们令： ri (t ) －t时刻流入湖水的流速; pi (t ) －t时刻流入湖水的污染物的浓度 ;
r0 (t ) －t时刻流出湖水的流速;
p0 (t ) －t时刻流出湖水的污染物的浓度;
p(t ) －t时刻湖水的污染物的浓度;
V (t ) －t时刻湖水的湖水的体积。
由假设(3)，它们都是连续而且充分光滑的； 由假设(4)可知V(t)=V（常数）
响，人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)；
（3）由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以w(t)是连 续而且光滑的； （4）单位时间内人体通过各种活动来消耗自身能量与其体重成正 比，记r为每千克体重每小时某种活动所消耗的能量，(rJ/kg)/h；
（5）单位时间内人体用于基础代谢所消耗的能量与其体重成正 比，记b为每千克体重每小时所消耗的能量，(bJ/kg)/h； （6）人体每天摄入的能量是一定的，记为A． 二、建模与求解 如果以1天（=24小时）为时间的计量单位，于是每天基础代谢 的能量消耗量应为B=24b(J/d)，由于人的某种活动一般不会是全天
候的，不妨假设每天活动h小时，则每天由于活动所消耗的能量应
为R=rh(J/d)．在时间段(t，t+△t）内考虑能量的改变， 体重改变的能量变化＝[w(t+△t)－w(t)]D 摄入与消耗的能量之差＝[A－(B+R)w(t)] △t
由能量平衡原理，有
［w(t+△t)－w(t)]D＝[A－(B+R)w(t)] △t 取 t 0 ，可得
根据物质平衡原理，和假设(5)可知湖内污染物的改变量＝流入的污 染物量一流出的污染物量．于是对于充分小的△t,在时间(t，t+△t) 内有
p(t t )V p(t )V [ pi (t )ri (t ) p0 (t )r0 (t )]t
令△t→0得
dp V pi (t )ri (t ) p o (t )ro (t ) dt
一、模型假设
（1）由于人体的脂肪是能量的主要贮存和提供方式，而且也是减 肥的主要目标．所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重的标志．已 知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳 的能量，记D=4.2×107J/kg,称为脂肪的能量转换系数； （2）忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影
为 t ln(1 ) ，特别当β＝0.5时有 t1/ 2 ln 2 0.7 。即湖水 从清洁的水体污染到β＝0.5的水平所需的时间。对于一般 的情形，当 ps / K 1 时，水体达到污染水平β所需的时间为
t ln[( 0 ) /(1 )] 其中 0 ps / K 1
是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿
进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数．于是我们就有如下 结论：减肥的效果主要是有两个因素控制的：由于进食而摄取的能 量以及由于活动消耗的能量．从而减肥的两个重要措施就是控制饮 食和增加活动量，这恰是通常人们对减肥的认识，是否就一定少吃
多练呢？
由于V为常数，故有 ri (t ) r0 (t ) ，另外根据假设(2)，流出的污 染物应与湖水中污染物有相同的浓度 r0 (t ) p(t ) ．进一步我们假定 从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有 ri (t ) r0 (t ) r0 ．这样, 我们得到
dp V r0 ( p i (t ) p (t )) dt
是说湖中的污染状况与任何局部水体在湖中的位置无关．