05数学建模-微分方程模型

[w0 w(t )] / w0 1 e
dt
dt
中一个重要的参数，由于a=A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，
2、容易证明，对于（1）式来说，当切仅当w*=a/d＜w0时有
*
dw 0 dt
这表明只有当w*＜w0时，才有可能产生减肥的效果．另外由（2）
式也可以看到 t 时，w(t ) w 也就是说（1）式的解渐进稳 定于w*=a/d．他给出了减肥过程的最终结果．因此我们不妨称w* 为减肥效果指标．注意到a和d的表达式可知由w*=A/(B+R)，由于B
令 V / r0
，不难理解τ给出了排尽湖水所需要的时间或称之为 湖水的保留时间．于是就得到了湖水污染的模型
pi p dp dt
三、模型分析
(1)
对于模型(1)的分析，我们需要关于输入函数的信息． pi (t ) 的不 同导致不同的结论． 情形I：设 pi (t ) K (常数)。可以认为它大致描述了自由污染 的情况，每天污染物以其平均值流入湖泊内． 如果已知在初始时刻t=0有 p(0) ps ，那么模型(1)可以解出为
dp p(t ) K 0 e t dt
（3）
若令p(0)＝K。，则(3)有解
不难证明p(t)或p(t)／K。，是t的单调减函数，并且有 lim p (t ) 0 t 它表明在污染源逐步得到控制的条件下，湖水的污染状况将会不断 得到改善． 在一般的情形下 p(0) ps 有解
是说湖中的污染状况与任何局部水体在湖中的位置无关．
(3)参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑． (4)湖水的体积保持定常，也就是说假设由降水等原因所引起的流 入物增量与被蒸发、渗漏所造成的损失量互相抵消．不考虑湖水体 积季节上的差异．
(5)不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用，污染物除流出外 不因腐烂、沉积或其它任何手段从湖水中消失．
一、模型假设
（1）由于人体的脂肪是能量的主要贮存和提供方式，而且也是减 肥的主要目标．所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重的标志．已 知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳 的能量，记D=4.2×107J/kg,称为脂肪的能量转换系数； （2）忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影
为 t ln(1 ) ，特别当β＝0.5时有 t1/ 2 ln 2 0.7 。即湖水 从清洁的水体污染到β＝0.5的水平所需的时间。对于一般 的情形，当 ps / K 1 时，水体达到污染水平β所需的时间为
t ln[( 0 ) /(1 )] 其中 0 ps / K 1
5.2
湖水污染问题
湖泊为人们提供了大量的水资源，还可以养鱼、运输， 也是人们旅游的场所．但是湖泊也承受着人们倾倒的垃圾、 废水、污物，它们越来越受到工业和生物污水的污染。 湖水污染的治理工作是困难的．因为一般湖水覆盖的区 域较大，周围的污染源较为复杂，很难指明所有污染的原因． 通常治理水体污染的办法靠水体本身的自净能力来缓解污染．
“速度”、“增长”、“衰变”、“边际”等。“改变”、“变
化”、“增加”、“减少”等词都是信号，要注意什么在变化，导 数也许用得上。其次想一想你所考虑的问题是否遵循什么原则或物 对这些问题的回答将直接引到你如何去处理问题。不少问题都遵循 着下面的模式： 净变化率=输入率－输出率
理定律？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导问题的合适结果？
这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是
行不通的．如何治理湖水污染，下面我们通过组建数学模型 来进行分析。
一、模型假设
（1）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流 入与流出湖泊之间的区别．只考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊 中的水流出对湖水污染程度的影响．因此可以把湖泊看成是一个单 流入、单流出的系统． (2)流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就
第五章
5.1
微分方程模型
减肥问题
5.2
5.3 5.4 5.5
湖水污染问题
传染病问题 经济增长问题 战争问题
5.6 香烟过滤嘴问题
5.7 万有引力定律的发现
微分方程建模
对于微分方程建模，虽Hale Waihona Puke Baidu我们得不到一种建立和解决所有 问题的通用法则，但我们可以注意以下几点：
（1）转化：在实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如
这表明减肥的效果是由控制饮食和增加消耗综合作用，相互协调的
结果.
Ａ Ａ
l0
ｗ0B
Ｂ
l1
Ｃ W1B －Ｂ ０ R1 Ｒ
A区表明能量的摄取量高于体重位W0时的摄入量A=W0B+W0R这 时体重不会从W0减少，我们称之为非减肥区；C区为危险区；B 区为有效减肥区．可以看到单一的减肥措施达不到减肥效果. 人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化。这 个模型虽然只揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但 它们对人们走出盲目减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值.
根据物质平衡原理，和假设(5)可知湖内污染物的改变量＝流入的污 染物量一流出的污染物量．于是对于充分小的△t,在时间(t，t+△t) 内有
p(t t )V p(t )V [ pi (t )ri (t ) p0 (t )r0 (t )]t
令△t→0得
dp V pi (t )ri (t ) p o (t )ro (t ) dt
是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿
进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数．于是我们就有如下 结论：减肥的效果主要是有两个因素控制的：由于进食而摄取的能 量以及由于活动消耗的能量．从而减肥的两个重要措施就是控制饮 食和增加活动量，这恰是通常人们对减肥的认识，是否就一定少吃
多练呢？
5.1 减肥问题
随着社会的进步和发展，小康社会的建立，人们的生活 水平在不断地提高．饮食营养摄入量的不断改善和提高、生 活方式的改变，使得“肥胖”成了一个社会关注的问题．无论 从健康的角度，还是从审美的角度，人们越来越重视减肥．
大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥
行列，盲目的减肥，使得人们感到很不理想。如何对待减肥 问题，我们也不妨通过组建模型，从数学的角度对有关的规 律作一些探讨和分析．
（5）若K＝0，既没有污染物流入．这时湖水将会以最快的速
度得到净化．这时，式 t ln( ps / p(t )) 则给出了要把污染减少到
初始污染水平的百分比 p(t ) / p s 所需要的时间．如果取α＝0.5
也就是说把污染程度降低到目前水平的一半，则有 t 0.5 ln 2 pi (t ) K 0 e t , 0 ，它表明流入的污染物将逐年降 情形Ⅱ:设 低．它反映了污染状况正在逐步得到控制．于是模型将有
响，人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)；
（3）由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以w(t)是连 续而且光滑的； （4）单位时间内人体通过各种活动来消耗自身能量与其体重成正 比，记r为每千克体重每小时某种活动所消耗的能量，(rJ/kg)/h；
（5）单位时间内人体用于基础代谢所消耗的能量与其体重成正 比，记b为每千克体重每小时所消耗的能量，(bJ/kg)/h； （6）人体每天摄入的能量是一定的，记为A． 二、建模与求解 如果以1天（=24小时）为时间的计量单位，于是每天基础代谢 的能量消耗量应为B=24b(J/d)，由于人的某种活动一般不会是全天
（2）
1、在（2）式中假设a=0，即假设停止进食，无任何能量摄入， 这时体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，于是有
1 e 给出，称之为 d （0，t）时间内的体重消耗率，特别当t=1时，1 e 给出了单位 dt 时间的体重消耗率．自然 e 应理解为（0，t）时间内体重的保
这表明在（0，t）内体重减少的百分率由 存率，它表明在时间t保存的体重占初始体重的百分率．a/d是模型 而d=(B+R)/D表示由于能量的消耗而失掉的体重（每单位体重中由 于基础代谢和活动而消耗掉的那部分），于是a/d就表示通过能量 的摄取对每1%的体重消耗所获得的体重的补充量．
（2）写出微分方程：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的 瞬时表达式，这是数学问题的核心。如果你看到了表示导数的关键 词。你就想要寻找y’，y及t之间的关系。首先把注意力集中在文字
形式的总关系式上，如“变化率=输入－输出”，写出这些关系式，
然后确信你填写好了式子中所有的项。
（3）单位：一旦你认为那些项应该列入微分方程中，你就要注 意每一项都采用同样的单位。 （4）给定初始条件：这是关于系统在某一特定时刻的信息。它 独立于微分方程而成立。在微分方程解出后，利用它来确定有关常 数。
候的，不妨假设每天活动h小时，则每天由于活动所消耗的能量应
为R=rh(J/d)．在时间段(t，t+△t）内考虑能量的改变， 体重改变的能量变化＝[w(t+△t)－w(t)]D 摄入与消耗的能量之差＝[A－(B+R)w(t)] △t
由能量平衡原理，有
［w(t+△t)－w(t)]D＝[A－(B+R)w(t)] △t 取 t 0 ，可得
（3）称β＝p(t)/K为湖水在t时刻的污染水平。β＝1位标准污染水
平；β＞１时称超标准污染水平，这是污染物的浓度将不断下降β＜ 1时湖水的污染状况不断加重。 （4）若 p s 0 ，即对于一湖清水，则t时刻的污染水平
(t ) 1 e t /
而对于给定的水平β＜1，湖水的污染程度达到水平β所需要的时间
二、建模 根据假设(1)，我们令： ri (t ) －t时刻流入湖水的流速; pi (t ) －t时刻流入湖水的污染物的浓度 ;
r0 (t ) －t时刻流出湖水的流速;
p0 (t ) －t时刻流出湖水的污染物的浓度;
p(t ) －t时刻湖水的污染物的浓度;
V (t ) －t时刻湖水的湖水的体积。
由假设(3)，它们都是连续而且充分光滑的； 由假设(4)可知V(t)=V（常数）
p(t ) ( ps K )e t / K
（2）
从这个结论可以看到： （1）当 ps K 时，污染物的浓度将逐渐减少；当 ps K 时污染 物的浓度随时间而增加，而且有 lim p(t ) K 称K为该湖泊的最终 t 污染状况。 （2）由（1）可以看出，当流入浓度K给定时，湖水污染物浓度 的变化速率只依赖于湖水的保留时间τ，并与τ的大小成反比。
Ａ
l0
Ａ
ｗ0B
Ｂ
l1
Ｃ W1B
－Ｂ
０
R1
Ｒ
3、进一步讨论能量摄取量A与消耗量R对减肥的效果w*影响．显然 A=w*B+w*R，它是R－A坐标系中过（－B，0）点斜率位w*的直
线．根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于
用于维持人体正常生理功能所需要的能量．因此作为人体体重极限 值的减肥效果指标一定存在一个下限w1，当w*<w1时表明能量的摄
由于V为常数，故有 ri (t ) r0 (t ) ，另外根据假设(2)，流出的污 染物应与湖水中污染物有相同的浓度 r0 (t ) p(t ) ．进一步我们假定 从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有 ri (t ) r0 (t ) r0 ．这样, 我们得到
dp V r0 ( p i (t ) p (t )) dt
入过低并致使无法维持他本人正常的生理功能的所需，这时减肥所
得到的结果不能认为是有效的，它将危及人的身体健康，是危险的
Ａ Ａ
l0
ｗ0B
Ｂ
l1
Ｃ W1B －Ｂ ０ R1 Ｒ
称w1为减肥的临界指标．另外，人们为减肥所采取的各种体力活动 对能量的消耗也有一个人所能承受的范围，我们记为0<R<R1于是 见图在R－A平面上由R=0，R=R1和A=0所界出的上半带形区内， 被直线l0:A=W0B+W0R和l1:A=W1B+W1R分割为三个区域A、B、C
dw a dw dt w(0) w0
（1）
其中a=A/D，d=(B+R)/D，t=0模型开始考察时刻，即减肥问题的数 学模型． 模型求解有
w(t ) w0 e
dt
a dt (1 e ) d
（2）
三、模型分析
w(t ) w0 e dt
a (1 e dt ) d