黄昆 固体物理 讲义 第七章

+
K =k ⋅
m
K p
)unk K
K (r )
=
[En
K (k )
−
K =2k 2 2m
]unk
K (r )
，同时利用周期性函数解的条件，即
可以得到电子的全部能量 En (k ) 。
K k
⋅
K p
微扰法的中心思想：如果已知
K k0
处的解，利用微扰法则可以得到
K k
的解，即原则上布里渊区其
它任一点的解 u K 可以用 u K 来表示。
§7.2 半导体中的杂质 理想的半导体材料是没有缺陷或没有杂质，半导体中的载流子只能是激发到导带中的电子和价带中 的空穴。
对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。因此实际的半导体中除了与能带对应的电子 共有化状态以外，还有一些电子可以为杂质或者缺陷原子所束缚，束缚电子具有确定的能级，杂质 能级位于带隙中接近导带的位置，在一般温度下即可被激发到导带中，从而对半导体的导电能力产 生大的影响。 设想一个第 IV 族元素 Ge（4 价元素）被一个第 V 族元素 As（5 价元素）所取代的情形，As 原子和 近邻的 Ge 原子形成共价键后尚剩余一个电子。如图 XCH007_000_01~02 所示。
)2
有效质量的计算
——
K k
⋅
K p
微扰法
晶体中电子的波函数可以写成布洛赫波：ψ nk
=
e ikK⋅rK
unk
(
K r
)
电子的布洛赫波满足：
[
K p
2
2m
+V
K (r
)]e
ikK⋅rK
unk
K (r )
=
En
K (k
)e
ikK⋅rK
unk
K (r )
动量算符：
K p
=
−i=∇
将动量算符作用于布洛赫函数：
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固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406
本征边附近光的跃迁
1） 竖直跃迁—— 直接带隙半导体
K
K KK
k 空间，电子吸收光子从价带顶部 k 跃迁到导带底部状态 k ' ，且 k ' = k ，此过程除了满足能量守恒
KK 以外，还要满足准动量守恒的选择定则： =k '− =k =
−
k0x )2
+
∂2E
(
∂k
2 y
)k0 y
(ky
−
k0 y
)2
+
∂2E (
∂kz2
)k0 z
(kz
−
k0z )2 ]
⎜⎛ m*x
由有效质量的定义： ⎜ 0
⎜ ⎝
0
0 m*y 0
0 ⎟⎞
⎜⎛ =2 ⎜
/
∂2E
∂k
2 x
⎜
0 ⎟=⎜ 0
m
* z
⎟ ⎠
⎜ ⎜
⎜0
⎝
0
=2
/
∂2E
∂k
2 y
0
0 ⎟⎞
⎟
⎟
0⎟
的动量太小，忽略不计，所以单纯吸收光子不能使电子由价带顶跃迁到导带底。因此电子在吸收光 子的同时伴随着吸收或者发出一个声子，以满足动量守恒关系。
该过程的能量守恒为： ∆Ek = =ω ± =Ω —— 电子能量差＝光子能量 ± 声子能量
REVISED TIME: 05-5-23
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=
e ikK⋅rK
(
K p
2
2m
+
K =2k 2 2m
+
V
K (r )
+
K =k
⋅
K p
K
m )unk (r )
REVISED TIME: 05-5-23
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e ikK⋅rK
(
K p
2
2m
+
K =2k 2 2m
+V
+
=2 2m*z
(kz
−
k0z )2
REVISED TIME: 05-5-23
-5-
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所以
K n0 p n0
=0
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∑∑ K
能量二级修正： ∆E1(2) (k )
=
=2 m2
ij
n'
n0
pi n'0 n'0 p j En (0) − En' (0)
直接带隙半导体：GaAs, InSb
间接带隙半导体：Ge, Si
零带隙半导体：α－Sn —— 带隙宽度为零
半导体带隙宽度和类别可以通过本征光吸收进行测定，还可 以用电导率随温度的变化来测定。
电子－空穴对复合发光
电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级，发出 能量约为带隙宽度的光子。如图 XCH007_001_03 所示的跃迁过程。
InAs
0.46 eV
0.02 m
23
InSb
0.26 eV
0.013 m
20
K
KK K
∑ K
k0
≠
0
的情况，使
K k0
总是沿着对称轴的方向（111
等）： 1 mi*
=
1 m
+
2 m2
n'
nk0 pi nK' k0 n' k0 Kpi nk0 En (k0 ) − En' (k0 )
有效质量往往是各向异性的。沿着对称轴方向的有效质量 ml 称为纵有效质量，垂直于对称轴方向的 有效质量 mt 称为横向有效质量。因为在纵向和横向方向上有贡献的 n’能带不同，所以纵向有效质量
⎟
=2
/
∂2E
∂k
2 z
⎟ ⎟ ⎠
m*x
=
(= 2
/
∂2E
∂k
2 x
) k0 x
,
m
* y
=
(=2
/
∂2E
∂k
2 y
)k0 y
,
m
* z
=
(=2
/
∂2E
∂k
2 z
)k0z
K E(k )
=
K E(k0 )
+
=2 2m*x
(kx
− k0x )2
+
=2 2m*y
(k y
−
k0y
)2
+
=2 2m*z
(kz
− k0z
∑ K
E(k )
≈
K E (k0 )
KK
+
[∇k
E
(
k
)]K k0
(k
−
K k0 )
+
1 2
3 i =1
KK
[∇
2
ki
E
(k
)]K k0
i
(
ki
−
K k0i )2
K
K
在极值
k
0
处，能量具有极值，
[∇
k
E
(k
)] K k0
=0
K E(k )
≈
K E (k0 )
+
1 2
∂2E
[(
∂k
2 x
)k0 x
(kx
几种半导体材料的带隙宽度与有效质量
Material GaAs InP GaSb
Eg (T = 0 K ) m *
1.5 eV
0.07 m
1.3 eV
0.07 m
0.8 eV
0.04 m
(m / m*)Eg
21 19 17
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pKψ nk
=
e
ikK⋅rK
(
K p
+
K p
2ψ
nk
=
e
ikK⋅rK
(
K p
2
=+kK2)=ukKnk⋅(pKrK
) +
K =2k 2
)unk
K (r )
将
K p
2ψ
nk
=
e ikK⋅rK
(
K p
2
+
K 2=k
⋅
K p
+
=
2
K k
2
)unk
(
K r
)
代入薛定谔方程：
K p
2
[
2m
+
V
(
K r
)]ψ
nk
nk
nk0
K 讨论布里渊区中心 k0 = 0 的情况
K 已知晶体中电子在 k0
=
0 的所有状态：ψ n0
=
e
ikK⋅rK
u
nk
K (r
)
=
un
0
(
K r
)
和
E
n
(0)
满足的方程：(Βιβλιοθήκη K p22m
+
V
K (r )un0
K (r )
=
En
(0)un0