2.2.5线面平行与面面平行复习课
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
直线、平面平行的判定及其性质课件
思考6：设直线a，b为异面直线，经过
直线a可作几个平面与直线b平行？过a，
b外一点P可作几个平面与直线a，b都
平行？
a
b
p
b a a
p b
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.
A E B
F D
C
例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. （1）作出过直线AC且与直线BD1平行的
思考4：有一块木料如图，
E
P为面BCEF内一点，要求 过点P在平面BCEF内画一
F
P D
条直线和平面ABCD平行，
那么应如何画线？
A
C B
思考5：如图，设直线b在平面α内，直 线a在平面α外，猜想在什么条件下直线 a与平面α平行？
a
a//b
α
b
探究（二）：直线与平面平行的判断定理
思考1：如果直线a与平面α内的一条直 线b平行，则直线a与平面α一定平行吗？
D′
A′
P
C′
B′ D
C
A
B
例2 已知平面外的两条平行直线中的 一条平行于这个平面，求证另一条也 平行于这个平面.
如图，已知直线a，b
和平面α ，a∥b，
a
b
a∥α , a，b都在 平面α外 .
c α
求证：b∥α .
作业: P61练习，习题2.2A组：1，2. （做在书上） P62习题2.2A组：5，6. P63习题2.2B组：1，2.
由此可得什么推论？
推论 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一
a
b
α
个平面内的两条直
线，那么这两个平 β
线线平行、线面平行、面面平行讲义-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
线线平行、线面平行、面面平行证明线线平行的方法： 1. 平行四边形的对边 2. 同位角相等 3. 同旁内角互补 4. 内错角相等 5. 三角形中位线 6. 梯形中位线 7. 梯形两底边8. 平行于同一条直线（基本事实4平行的传递性） 9. 垂直于同一条直线 10. 分线段对应成比例 11. 线面平行的性质定理 12.面面平行的性质定理线线平行面面平行线面平行13. 垂直于同一个平面（线面垂直的性质定理）证明线面平行的步骤：找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线 证：证明与已知直线平行 结论：由判定定理得出结论 证明面面平行的方法： 定义法： 1. 无公共点 2. 判定定理 3. 转化为线线平行 4. 平行平面传递性空间等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补例1.如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.变式.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.例2.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点.求证：DE ∥平面ACC 1A 1.变式1.如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB .求证：MN ∥平面SBC .变式2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.变式3.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（）①//OM平面PCDOM平面PBC②//③//OM平面PDA ④//OM平面PBAA．1个B．2个C．3个D．4个例3.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥平面ANC.例4.如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.练习1.如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（）A．BM DECN平面AFB∥B．//C．ED与NF所成的角为60︒D．EN BC∥2.如图所示，D，E，F分别为三棱锥SABC的棱SA，SB，SC的中点，则下列说法错误的是（）A．DE//平面ABC B．EF//平面ABCC．平面DEF//平面ABC D．SA//BC3.在正方体1111-中，过11,,ABCD A B C DA C B三点的平面与底面ABCD的交线为l，则直线l与11A C的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）4.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．2B．98C．3D．625.如图，三棱锥P ABC-中，M是PC的中点，E是AM的中点，点F在线段PB上，满足//EF平面ABC，则BF FP=_______．:6.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N E 分别是11,,AB DD AA 的中点．(1)证明：平面//MNE 平面1BCD ；(2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值．8.已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；（2）若R 是AB 上的点，ARAB 的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，22DAAB BC CD ====，M 为PC 上一点，且2PM MC =．(1)求证：//PA 平面DMB ；(2)若PAD △为正三角形，PC PD =，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；(3)若点P 到底面ABCD 的距离为3，求三棱锥P DMB -的体积．10.查①②两个命题，①//m l m α⊂⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒l ∥α;②////l m m α⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒l ∥α.，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为_____.11。
线面.面面平行复习课
直线平面平行、面面平行复习课【学习目标】1、掌握空间线线、线面、面面平行位置关系2、掌握线面平行、面面平行的判定定理与性质定理3、培养学生空间想象能力，平行位置关系的相互转化。
【基础自测】1．已知直线a，b，平面α，满足a⊂α，则使b∥α的条件为() A．b∥a B．b∥a且b⊄αC．a与b异面D．a与b不相交2．如果直线a∥平面α，则()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内的任意直线与a都平行3．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m∥α，n∥α，且m⊂β，n ⊂β，则α∥β；③m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．44．过三棱柱ABC－A1B1C 1棱A1C1、B1C1、BC、AC的中点E、F、G、H的平面与面________平行．【热点精讲】1、如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心．求证：PQ∥平面BCC1B.2、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD 外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【课后作业】1. 下列结论正确的是（）.A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l与平面α不相交，则l∥平面αC.,A B是平面α外两点，,C D是平面α内两点，若AC BD=，则AB∥平面αD.同时与两条异面直线平行的平面有无数个2.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A. α内所有直线都与直线a异面B、α内不存在与a平行的直线C、α内的所有直线都与相交D、直线a与平面α有公共点3.已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线（）A. 只有一条，不在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C. 只有一条，且在平面α内D. 有无数条，且在平面α内4. 如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（）.A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交5、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD 上各有一点P、Q且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.。
线面平行的判定与性质(高三复习课)
学科数学年级/班级高三（24）班授课教师赵尚平课题直线与平面平行的判定与性质课型复习课指导教师魏振河授课时间2014年12月18日下午第2节课课时安排1课时考纲解读以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理热点考查考查以直线与平面平行的判定和应用为主,重点考查空间想象能力及空间问题平面化的转化思想.以解答题形式出现.,分值约为12分趋势分析以多面体为载体,证明线面平行的题很有可能出现,2015年备考应予以高度关注教学方法启发诱导式、问题解决式教学用具多媒体教学过程设计[知识梳理]1.直线与平面的位置关系2. 直线与平面平行的判定与性质设计意图回顾线面平行的判定定理和性质定理教 学 过 程 设 计思想方法: 判断:(1)αα//,,//l m m l 则若⊂ ( ) (2)αα//,//,//a b b a 则若 ( ) (3) 若ββαα//,//,//a a 则 ( )[典例分析]探究点一 直线与平面平行的判定例1 [2013·新课标全国卷Ⅱ改编]如图,直三棱柱111C B A ABC -中,D ,E 分别是1,BB AB 的中点,AB CB AC AA 221===. 证明:CDA BC 11//平面利用中位线找线线平行利用平行线分线段成比例找线线平行练习: 如图,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E ,F 分别在P A ,BD 上.(1)若E ,F 分别是中点,求证: PBC EF 平面// (2)若FDBFEA PE =,求证:PBC EF 平面//举一反三: 已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内,P ,Q 分别是对角线A E,BD 上的点,且AP =DQ , 求证:CBE PQ 平面//.探究点二 直线与平面平行的性质例2如图，EF CD ==γαβα ,，αγβ//,AB AB =求证：CD ∥EF练习: 如图，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 中利用平行四边形或比例线段找线线平行利用线面的性质定理证明线线平行FBA CDEPQ。
线面、面面平行复习课
D1 A1 D A B B1
Q
C1 P C
小结：这一节高考主要考查以下内容：
①线线平行②线面平行③面面平行 而线面平行是空间中平行关系的该心，是高 考考查的重点，在应用线面平行的判定定理 证明线面平行时，要在平面内找（或作）一 条直线与已知直线平行，而这两条直线必需 共面，通常用到三角形的中位线或平行四边 形的对边，是否找到线线平行这是解题的关 键所在。
线线、线面和面面平行
一、直线与平面平行
1 定义 : 直线a与平面没有公共点 称直线a平行于平面 , 、 ， 记为a // . 2、判定方法 (用符号表示 若a 则a // ) ：
①判定定理 : 若平面外一条直线a与此平面内 的一条直线b平行， 则该直线 与此平面平行。 a 用符号表示： a // b a // b
// ②其它方法: a // a
3、 性质定理 : a a // b b a //
二、平面与平面平行：
1 定义 : 平面与平面没有公共点， 则称平面与平面平行 、 记为： // (用符号表示为 若 , 则// ) ：
立体几何中证明平行关系的思路：线线平行
判定 性质
线面平行
判定 性质
面面平行
题型一、线面平行的证明： 例1、如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，且E、F、G、 H分别是各边中点，求证：CD//平面EFGH
A
H E D B F C G
练习:1、如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点， 若ABCD是平行四边形，求证：MN//平面PAD
在△C1D1C中，P、Q分别为C1D1， C1C的中点，∴PQ//CD1，PQ 平 面BPQ,∴CD1//平面BPQ 1 D1Q D1C1 // AB 2 ∴四边形ABQD1为平行四边形 ∴AD1//BQ ∴AD1//平面BPQ AD1 D1C D1
线面平行,面面平行判定课件
O
C
PA // 面MDB
B
PA 面P AHG 面P AHG 面MDB GH
PA // GH
探究提高
判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用线面平行的定义(无 公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平 行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
变式训练 2
如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E，F， G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中 点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
(2)取 BG 的中点 K，连结 C1K. ∵H 为 B1C1 的中点，∴HG∥C1K.
又∵C1F 綊 BK.∴四边形 BFC1K 是平行四边形， ∴C1K∥BF，∴HG∥BF.
由 A1G∥BE，A1G∩HG＝G，BF∩BE＝B. ∴平面 A1GH∥平面 BED1F.
探究提高
证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互 转化．
证明
(1)连E＝2， ∴BG 綊 A1E，∴A1G∥BE.
又∵C1F 綊 B1G， ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形， ∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1， ∴四边形 A1GFD1 是平行四边形．
[高中教育]225线面平行与面面平行复习课
![[高中教育]225线面平行与面面平行复习课](https://img.taocdn.com/s3/m/1c4fbc4d1ed9ad51f01df2a0.png)
(3)若a∥β,a∥α,则α∥β
(4)若α∥β,β∥γ,则α∥γ
A、(1)(2)
B、(2)(3)
C、(1)(4)
D (1)(2)(3)
证“线面平行”问题
证“面面平行”问题 Q是C1C中点，证明面APO//面BDD1
作业：1
证面面平行：
教材58页第2题
2、 已知正方体ABCD A B C D 中，E , F是C D , BC中点. 1 1 1 1 1 1
∥ a a∥b b
即：面面平行，则线线平行
知识网络结构：
(1) (5)
线线平行
(3)
线面平行
(2)
(6)
(4)
面面平行
一.再现性题组：
1.直线和平面平行的条件是: 这条直线和平面内的（）
A、任意一条直线都不相交
B、无数条直线不相交 C、一条直线不相交 D、一组直线不相交 2.直线 a ∥平面α，直线 b∥平面α，则a 与 b的位置 关系是 .
求证 : EF ∥面BB1 D1 D
（方法一）线线平行→线面平行
∵ 点O、E分别是D1 B1、D1C 1中点， A1 1 OE∥B1C且OE B1C 1 2 1 而BF ∥B1C 1，且BF B1C 1， 2 OE∥BF且OE BF， 取B1 D1的中点O，连接OE，OB .
D1
D1
A1
E
C1
B1
D
A O B F
C
1D
E H
C1 B1
A1
D
C
F
A B
课前练习 空间四边形ABCD中，M、E、F 分别为BAC、 ACD、 ABD 的重心. (1) 求证: 面MEF // 面BCD; A (2) 求 S MEF 与 S BCD 面积的比值.
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
221222直线与平面平面与平面平行的判定定理PPT课件
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D1 M
A1
N
C1 B1
D A
C B
D
K
A
Q
C
P B
变式
例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.
证明：如图，连接BD1 ，
D1
C1
在△DBD1中，EF为三角形中位线，
所以EF//BD1 ，
又EF
故A1B//平面ADC1
A1
C1
B1
E
A
C
D B
例 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是 AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.
证明：取PD的中点H，连接HN，AH ， P
在三角形△PDC中，HN为三角形中位线， 所以HN//DC且 HN= 1 DC
H
2
D
又因为底面为正方形，且M为AB中点，
②从中你能得出什么结论？
A
B
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行.
1.直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.
(1)用该定理判断直线a和平面平行，须具备三个条件：
“面外、面内、平行”
a
a
即
b
a
//
a // b
EF和面BCD哪一条直线平行呢？ 直线BD
EF D
C
证明：连接BD，
B
∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点
线面、面面平行的性质定理
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似 三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平 面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
线面平行的判定与性质(高三复习课)
,求证: EF // 平面PBC
(1)证明: 连接AC, 则EF为APC的中位线
所以, EF // PC
又EF 平面PBC, PC 平面PBC
所以, EF // 平面PBC
第40讲 直线与平面平行的判定与性质
[6/14]
练习: 如图,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E,F 分别在 PA,BD 上. (1) 若 E,F 分别是中点,求证: EF // 平面PBC (2) 若
PM EP QN BQ , AB EA CD BD
F P B Q A D C
AP DQ, EA BD, AB CD
PM QN
故四边形PMNQ为平行四边形
PQ // MN
PQ 平面CBE, MN 平面CBE
PQ // 平面CBE
第40讲 直线与平面平行的判定与性质
E
证法一:延长AQ与BC延长线交于点G, AG与CD 交于点H, 连接EG,
易知ADQ∽ GBQ
DQ AQ QB QG
F P B Q A D C
AP DQ, AE DB
AP DQ AQ PE QB QG
PQ // EG
又 PQ 平面CBE, EG 平面CBE
CD // EF
总结:本题主要考查线面平行的性质定理以及公理4(平行公理) 的应用
第40讲 直线与平面平行的判定与性质
[10/14]
例 3 如图， ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 的平面交平面 BDM 于 GH， 求证： PA // GH
[9/14]
线面,面面平行的判定习题课
在解题过程中，能够准确地分析题目条 通过本课程的学习，对于空间几何中线
件，找出关键信息，并选择合适的定理 面、面面平行的关系有了更深入的理解，
进行证明。
同时也提高了自己的空间想象能力和逻
辑推理能力。
下一步学习建议
深入学习空间几何中其他相关的知识点，如线面垂直、面面垂直等，构 建完整的知识体系。
根据平行关系的定义和性质，寻 找可能的证明途径。
通过逐步推导和分析，得出正确 的证明过程。
综合法
结合观察法和分析法的优点，综 合运用各种方法。
在解题过程中，灵活运用平行关 系的判定定理和性质。
通过不断尝试和调整，找到最合 适的证明方法，并给出完整的证
明过程。
06 课程回顾与展望
关键知识点回顾
线面平行的判定定理
06
教师点评：教师对学生的讨论进行点评和总结，指出学生 在解题过程中的优点和不足，提出改进意见。
05 解题技巧与方法总结
观察法
观察题目中给出的图形，注意 线线、线面、面面的位置关系。
通过观察，判断是否存在平行 关系，并尝试证明。
利用已知条件和观察结果，逐 步推导出所需证明的结论。
分析法
仔细阅读题目，分析已知条件和 所求结论。
02
如果一条直线平行于一个平面内 的一条直线，并且这条直线不在 该平面内，则这条直线与该平面 平行。
性质与应用举例
性质
线面平行具有传递性，即如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这 条直线也与另一个平面平行。
应用举例
在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性和美观性，经常需要判断建筑物的某 些线条是否与地面平行。这时，我们可以利用线面平行的判定定理和性质来进 行判断。
第3节 空间直线、平面的平行--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点.连接MD,
∵D为BC的中点,
∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知,D1C1∥BD且D1C1=BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,
因为AB∥CD,AB=CG=2,
所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.
因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,
所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,
所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
[对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,
证明 如图,连接 OC,OD.因为 C 为 上靠近 A 的三等分点,D 为 上靠近 B
的三等分点,所以 =
π
,则∠AOC=∠BOD=3,
∴△AOC,△BOD均为正三角形,∴∠OAC=∠OBD,∴AC∥BD.
∵BD⊂平面PBD,AC⊄平面PBD,
∴AC∥平面PBD.又平面PAC∩平面PBD=l,AC⊂平面PAC,∴AC∥l.
由平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,所以D1为A1C1的中点.
同理,AD1∥C1D.又AD∥C1D1,
所以四边形ADC1D1是平行四边形,
所以
1
AD=D1C1=2A1C1.
又 AC=A1C1,所以
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AA1B1B 面，
∴ＰＱ∥面 AA1B1B .
证法二：如图所示，连接ＡＤ１，ＡＢ１，在△AB1D1中， 显然Ｐ，Ｑ分别是ＡＤ１，D1Ｂ１的中点, ∴PQ∥ＡＢ１，且ＰＱ＝ 1 ＡＢ１. ∵PQ 平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，
2
ＡＢ１ １Ｂ１Ｂ， ∴ＰＱ∥平面ＡＡ Ｂ Ｂ.
１ １
证法三：如图所示，取Ａ１Ｄ１的中点Ｅ，分别连接Ｐ Ｅ，ＥＱ，由题知ＰＥ∥ＤＤ１，ＤD1∥ＡＡ１， ∴PE∥AA1，∵ＥＱ∥A1B1，又∵ＰＥ∩EQ=E, PE ＡＡ１ Ａ１Ｂ１ 又∵PQ
１Ｂ１Ｂ， １Ｂ１Ｂ１，
∴面ＰＥＱ∥面ＡＡ１Ｂ１Ｂ.
∴ＰＱ∥面AA1B1B.
面ＰＥＱ，
小结:
1.理解概念,熟悉定理
线面平行与面面平行复习课
教学目标：
1.理解线面平行与面面平行的概念 2.熟练立体几何三种语言的转化 3.掌握线面平行与面面平行的判定 和性质定理并能熟练应用 4.培养空间想象能力
1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个 平面平行.
（方法一）线线平行→线面平行
∵ 点O、E分别是D1 B1、D1C 1中点， A1 1 OE∥B1C且OE B1C 1 2 1 而BF ∥B1C 1，且BF B1C 1， 2 OE∥BF且OE BF， 取B1 D1的中点O，连接OE，OB .
D1
O D A
E
C1 B1
C B
F
四边形OEFB是平行四边形， OB∥EF 又 ∵ OB 面B1 BDD1，EF 面B1 BDD1 EF ∥面BB1 D1 D
∥ a a∥b b
即：面面平行，则线线平行
知识网络结构：
(1) (5)
线线平行
(3)
线面平行
(2)
(6)
(4)
面面平行
例 1、 已知正方体ABCD A1 B1C 1 D1中，E , F是C 1 D1 , BC中点.
求证 : EF ∥面BB1 D1 D
3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内两条相 交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
a∥ , b∥ a b A ∥ a ,b
b β
A
a
α
即：线面平行，则面面平行
4、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同 时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
AC / / AC 1 1
AC 面BAC 1 1 AC 1 1 面BAC 1 1
D1
AC / / 面BAC 1 1
A1 B1 P M D N
C1
又 面ACP 面BAC 1 1 MN
AC / / MN
C
又
AC 面ABCD；MN 面ABCD
A
MN//面ABCD
B
例3 设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ１的面ＡＡ１Ｄ１Ｄ、 面A1B1C1D1的中心.证明：ＰＱ∥平面AA1B1B
a b
α
a∥b b α a∥α a α
即：线线平行，则线面平行
2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个 平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线就和交线平行
β
a b α
a β a∥b αβ b a∥ α
即：线面平行，则线线平行
【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1 的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ. ∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１ Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点， ∴ＭＰ∥AD, MP= 1 AD,NQ∥A1D1，
1 ＮＱ＝ 2 Ａ１Ｄ１. 2
∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ. ∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.
∴ＰＱ∥ＭＮ.
2.三种语言的转化,三种平行的互推
3. 多角度分析问题
（方法二）
面面平行 → 线面平行
取CD的中点H，连接EH，FH
D1
E
CD中点 EH ∥D1 D C 1∵ E , H是C 1 D1，
又 ∵ H , F是CD , BC中点 HF∥DB 又D1 D DB D，EH HF H， D1 D , DB 面DBB1 D1，EH , HF 面EHF
A1
H
B1
D
面EHF∥面DD1 B1 B ,又 ∵ EF 面EHF
C EF ∥面BB1 D1 D F
B
A
小结：熟悉定理，打通思路来自例2、长方体 ABCD－A1B1C1D1中，点P BB （异于 B、B1） 1 证法 1 PA BA 1 M , PC BC 1 N, 求证：MN // 平面ABCD