2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）

及答案

（时间：5月16日18：40～20：40）

满分：120分

一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

1．已知

M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且

P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）

A. M

B. N

C. P

D.P M 2.函数()1

42-+

=x

x x x f 是（ ）

A 是偶函数但不是奇函数

B 是奇函数但不是偶函数

C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数

3.已知不等式m 2

＋(cos 2

θ－5)m ＋4sin 2

θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）

A . 0≤m ≤4

B . 1≤m ≤4

C . m ≥4或x ≤0

D . m ≥1或m ≤0

4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若

0sin cos 2sin cos =+-

+B B A A ，则

c

b

a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a

b >>, 那么 2

1

()

a b a b +

- 的最小值是

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C

B

A

C A

cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是

（ ）

A. (0,)+∞

B.

C.

D. )+∞．

二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）

7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|

cos sin |2sin )(x x e

x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

个

个

9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =

2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

10.正方体的六个面所在平面把空间分成 部分

11．已知数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大

角的大小是 .

12.已知1009921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于

13.设{}

2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =

14.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： ①

⎭

⎪⎬⎪

⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；；②

⎭

⎪⎬⎪

⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；③

⎭

⎪⎬⎪

⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α

④

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；⑤

⎭

⎪⎬⎪

⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；. ⑥

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b

其中正确的命题是 (将正确命题的序号都填上)．

15、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则

12111

...n

a a a ++= 16.在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为 ．

三、解答题（本大题共3小题，每题的解答均要求有推理过程，17小题13分,18小题13分,19题14分，满分40分）

17．（本题满分16分）已知向量)23sin ,23

(cos x x =，)21sin ,21(cos x x -=，

且]2

,0[π

∈x . （1）求⋅及||b a +；

（2）求函数=)(x f ⋅-||b a +的最小值。 18已知数列{}n a 中各项为：

12、1122、111222、 (111)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅222n

⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 、 ……

（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （Ⅱ）求这个数列前n 项之和S n .

19．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2014f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，求(2014)f 的值． 答案 1．已知

M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且

P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ B ）

A. M

B. N

C. P

D. P M

2.函数()1

42-+

=x x x x f 是（ A ）

A.是偶函数但不是奇函数

B.是奇函数但不是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数

3已知不等式m 2

＋(cos 2

θ－5)m ＋4sin 2

θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 C

A . 0≤m ≤4

B . 1≤m ≤4

C . m ≥4或x ≤0

D . m ≥1或m ≤0

4

在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若

0sin cos 2sin cos =+-

+B B A A ，则

c

b

a +的值是 A. 1 B. 2 C. 3 C. 2 解：由0sin cos 2sin cos =+-

+B B A A 得，0)

4

sin(22)4

sin(2=+

-

+π

π

B A 即1)4

sin()4

sin(=+

+

π

π

B A ，由正弦函数的有界性及B A ,为三角形的内角可知，

1)4sin(=+

π

A 且1)4

sin(=+

π

B ，从而4

π

=

=B A ，∴2

π

=

C

∴2sin sin =+=+B A c

b

a 5. 设 0a

b >>, 那么 21

()

a b a b +

- 的最小值是答: [ C ]

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解：由 0a b >>, 可知2221

0()()424

a a

b a b b a <-=--≤,