2020年九年级数学中考复习专题课件和切线有关的证明和计算共24张
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人教版九年级上册 24.2.4 切线长定理 课件
探究一：切线长定理 问题1：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的
切线，这点和切点之间的 线段的长叫做切线长．
A
O P
2.切线长与切线的区别在哪里？
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部．
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
O C
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分 别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
易错点
(1)切线是直线，不能度量.
(2)切线长是线段的长，可以度量.
A
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O的半径为2 （1）若四边形OABP的周
2 30°
长为10，则PA= 3 。
2
（2）若∠APB=60°，则PA=
。B
3.如图，PA、PB、CD分别切⊙ O于A、B、E，CD交 PA，PB于C、D，已知PA=7cm，求△PCD的周长．
O 最大的圆与三角 形三边都相切
问题2：如何画出这个圆呢？
已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
N
O
B
D
作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和 CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. M 3.以O为圆心，OD为半径作 圆O.
2020年新人教版初三数学上册24.2.2-切线的判定课件
2、切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
●
O
┐
A
l
条件：一条直线是圆的切线
结论：这条直线：（1）经过切点 （2）垂直于半径
符号：∵直线l是⊙O的切线，点A为切点
∴ l⊥OA
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。
A
T
３、切线垂直于过切点的半径。
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点. ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
下课
结束寄语 不经历风雨，怎能见彩虹！
∵直线L是⊙O的 反过切来线,，如A果是L切是点⊙。O 的切∴线L⊥,切O点A为于AA,点那 么 半径OA与直线L是不 是一定一垂定直垂直呢?
经过半径的外端并且 垂直这条半径的直线是 圆的切线
.O
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
结论
切线的性质定理
（3）若直线和圆相切于某个点时：连半径得垂直。
1.已知圆的切线时，连接切点和圆心， 利用垂直构造直角三角形解题。
2.要证切线看情况：公共点已知与未知， 已知公共点连半径证垂直， 未知公共点作垂直证半径。
我能行：
60号.（中考题）Ａ、Ｂ是⊙O上的两点，
O
ＡＣ是⊙O的切线， ∠B=70°，
Ｂ
则∠OAB=__7_0_°，∠BAC=_2_0°___ Ａ （1） C
（2）直线与这条半径垂直。
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ×）
(2)与半径垂直的直线是圆的切线。（ ×）
直径
直径 ( √ )
(3)过半径的端点且与该半径垂直的直线是
圆的切线.（ ）×
方法
小结 判定直线与圆相切有哪些方法？
●
O
┐
A
l
条件：一条直线是圆的切线
结论：这条直线：（1）经过切点 （2）垂直于半径
符号：∵直线l是⊙O的切线，点A为切点
∴ l⊥OA
１、切线和圆只有一个公共点。 ２、切线和圆心的距离等于半径。
A
T
３、切线垂直于过切点的半径。
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点. ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
下课
结束寄语 不经历风雨，怎能见彩虹！
∵直线L是⊙O的 反过切来线,，如A果是L切是点⊙。O 的切∴线L⊥,切O点A为于AA,点那 么 半径OA与直线L是不 是一定一垂定直垂直呢?
经过半径的外端并且 垂直这条半径的直线是 圆的切线
.O
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
结论
切线的性质定理
（3）若直线和圆相切于某个点时：连半径得垂直。
1.已知圆的切线时，连接切点和圆心， 利用垂直构造直角三角形解题。
2.要证切线看情况：公共点已知与未知， 已知公共点连半径证垂直， 未知公共点作垂直证半径。
我能行：
60号.（中考题）Ａ、Ｂ是⊙O上的两点，
O
ＡＣ是⊙O的切线， ∠B=70°，
Ｂ
则∠OAB=__7_0_°，∠BAC=_2_0°___ Ａ （1） C
（2）直线与这条半径垂直。
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ×）
(2)与半径垂直的直线是圆的切线。（ ×）
直径
直径 ( √ )
(3)过半径的端点且与该半径垂直的直线是
圆的切线.（ ）×
方法
小结 判定直线与圆相切有哪些方法？
九年级数学上册 24.2.4 切线长定理课件 (新版)新人教版
5
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 A 两条切线的夹角。
切线长定理
O 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B B PA = PB
P
∠OPA=∠OPB
6
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 最新中小学教案、试题、试卷、课件 等提供新的方法
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 B 出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
E
15
最新中小学教案、试题、试卷、课件
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P ·O E
C
B
16
最新中小学教案、试题、试卷、课件
再变：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。 A O F B E D P
最新中小学教案、试题、试卷、课件
B
10
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
A 16cm C 12cm A B D D C E
最新中小学教案、试题、试卷、课件
14cm 8cm
P
B
11
例题1
最新中小学教案、试题、试卷、课件
17
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
2.2切线长定理-2020春浙教版九年级数学下册习题课件(共25张PPT)
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数学·九年级·配浙教
17
解：连结 OA，OB，OP，延长 BO 交切线 PA 于点 F.∵PA， PB 切⊙O 于 A，B 两点，CD 切⊙O 于点 E，∴∠OAF＝∠PBF ＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB．∵△PCD 的周长＝PC ＋CE＋DE＋PD＝PC＋CA＋PD＋DB＝PA＋PB＝3r，∴PA ＝PB＝32r.在△OAF 和△PBF 中，∵∠FAO＝∠FBP，∠OFA ＝∠PFB，∴△OAF∽△PBF，
第2章 直线与圆的位置关系
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4
【典例】 如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，⊙O的半径是，∠APB＝ 60°，求PO，PA，AB的长．
分析：连结OB，OA，由切线及切线长的性质可得△APB是等边三角形，在△PAO 中，运用30°角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理可求得PO，PA的长，由等边 三角形的性质求得AB的长．
第2章 直线与圆的位置关系
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第2章 直线与圆的位置关系
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第2章 直线与圆的位置关系
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24
(3)解：在 Rt△AOQ 中，OA ＝OQ·cos α＝15×45＝12，∴AQ＝ OQ2－OA2＝ 152－122＝9，BQ＝OB＋OQ＝OA＋OQ＝12＋15＝27.由(2)知△QPB∽ΔQOA，∴OPBA ＝QQAB，即P1B2 ＝297，解得 PB＝36.由(1)中△AOP≌△BPO，易得 PO⊥AB，∴AB＝2AC， PO＝ PB2＋OB2＝ 362＋122＝12 10.根据△AOP 面积之间的关系，得 PA·OA＝ PO·AC，即 36×12＝12 10·AC，解得 AC＝18510，∴AB＝2AC＝36510.
24.2.2第2课时 切线的判定与性质-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共28张PPT)
第二十四章 圆 24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
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经过 半径 的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线． 如图，△ ABC 的一边 AB 是⊙O 的直径，∵AB⊥BC，∴ BC 为 ⊙O 的切线．
1．下列说法中，正确的是( DD) A．AB 垂直于⊙O 的半径，则 AB 是⊙O 的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD，BD 是半圆的弦，且 ∠PDA＝∠PBD.判断直线 PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由．
7．如图，AB 与⊙O 相切于点 C，∠A＝∠B，⊙O 的半径为 6， AB＝16.求 OA 的长．
解：连接 OC. ∵AB 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥AB. ∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. ∴AC＝BC＝12AB＝8. ∵OC＝6， ∴OA＝ 62＋82＝10.
8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形 OABC，B(4，2)， 现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心 P 的坐标 为 (1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2) ．
(2)∵∠A＝30°，∴OC＝12OA. 根据勾股定理，得 OC2＋AC2＝OA2， 即(12OA)2＋AC2＝OA2. ∵AC＝6，∴OA＝4 3. ∴OC＝12OA＝2 3. ∴⊙O 的周长为 2π·2 3＝4 3π.
14．如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC⊥AB，弦 CD 与 OB 交于点 F，过点 D、A 分别作⊙O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于 点 E.求证：∠1＝∠2.
24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
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经过 半径 的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线． 如图，△ ABC 的一边 AB 是⊙O 的直径，∵AB⊥BC，∴ BC 为 ⊙O 的切线．
1．下列说法中，正确的是( DD) A．AB 垂直于⊙O 的半径，则 AB 是⊙O 的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD，BD 是半圆的弦，且 ∠PDA＝∠PBD.判断直线 PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由．
7．如图，AB 与⊙O 相切于点 C，∠A＝∠B，⊙O 的半径为 6， AB＝16.求 OA 的长．
解：连接 OC. ∵AB 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥AB. ∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. ∴AC＝BC＝12AB＝8. ∵OC＝6， ∴OA＝ 62＋82＝10.
8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形 OABC，B(4，2)， 现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心 P 的坐标 为 (1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2) ．
(2)∵∠A＝30°，∴OC＝12OA. 根据勾股定理，得 OC2＋AC2＝OA2， 即(12OA)2＋AC2＝OA2. ∵AC＝6，∴OA＝4 3. ∴OC＝12OA＝2 3. ∴⊙O 的周长为 2π·2 3＝4 3π.
14．如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC⊥AB，弦 CD 与 OB 交于点 F，过点 D、A 分别作⊙O 的切线交于点 G，并与 AB 延长线交于 点 E.求证：∠1＝∠2.
课件_人教版数学九上24切线的概念、切线的判定与性质优秀精美PPT课件
拓展提高
y
A
· C
O
B
x
拓展提高
y
A
· C
O
B
x
大显身手
解： ①当E点运动到O点时⊙C与直线OA相切， 设此时的圆心为C1，于是有OC1=CE=－3－（－10）=7
∴CC1=3 ∴t1=3÷2=1.5（秒）
y A
· C C1 O
B x
大显身手
y
A P
·· C2 O
B x
大显身手
③设当C运动到C3时圆与直线OA相切于O点，于是有OC3=7 ∴C3（7，0） ∴C3C=7－（－10）=17 t3=17÷2=8.5（秒）
P，PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
拓展提高
又 ∵ OE⊥AC 2、常用的添辅助线方法？ 2、如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。 证明：连结OC(如图)。 2、常用的添辅助线方法？ ③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点， ∴C3（7，0） ∴C3C=7－（－10）=17 ∴ AC是⊙O的切线。 于该直线。 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这 比较圆心到直线的距离与半径的大小。 证明：AB是⊙C的切线。 ∴直线AB是⊙O的切线 ∴C3（7，0） ∴C3C=7－（－10）=17 作业布置：同步相应练习 t3=17÷2=8. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
2.5 第2课时 切线的判定与性质-2020秋苏科版九年级数学上册课件(共21张PPT)
课程讲授
2 切线的性质
切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的_半__径__．
O
l A
课程讲授
2 切线的性质
例1 如图,△ABC 是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直 径，∠CAD=∠ABC.判断直线AD与⊙O的位置关系，并 说明理由.
解：直线AD与⊙O相切.
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°. ∴∠ABC+∠BAC=90°. 又∵∠CAD=∠ABC，
切线的判定
切线的判定 与性质
经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的 切线.
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的 半径．
可以看出，这时圆心O到直
O
线l的距离就是⊙O的_半__径__，直
线l就是的__切__线__.
l A
课程讲授
1 切线的判定
切线的判定定理： 经过半径的_外__端__并且_垂__直__于__这条半径的直线是圆的
切线. O
l A
课程讲授
1 切线的判定
练一练：下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
∴∠ODE=90°， ∴∠AED=90°，即DE⊥AC.
C
E D
A
B
O
课程讲授
2 切线的性质
练一练：如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A， 线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P=36°，则∠B等
于（ A）
A.27° B.32° C.36° D.54°
随堂练习
1.如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO
第2章 对称图形—圆
2.5 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的判定与性质
新知导入 课程讲授
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
2020年九年级数学中考复习专题课件和切线有关的证明和计算共24张
第6题解图
(2)∵OA＝OC，∴∠A＝∠4＝30°，
∴∠AOC＝180°－(∠A＋∠4)＝180°－(30°＋30°)＝120°， ?AC 的长＝ 120π×2＝4π .
180 3 ∵AC＝CD，
∴ ?AC ＝C? D ，
∴
C? D
的长为
4π 3
.(8分)
【提分要点】 与切线有关的证明与计算中，若题中已知切线，则连接圆心与切点，构造直角 三角形． (1)求角度或证明角相等(含证平行)：常用到的方法： ①根据圆周角定理求解； ②根据切线性质构造直角三角形，由两锐角之和等于 90°进行角度转化求解． (2)求锐角三角函数值：常包含两种情况： ①连切点后，所求角为直角三角形中的锐角，根据边角关系直接求解； ②若所求角不在已知的直角三角形中，则将所求角根据同弧 (等弧)所对的圆周 角转化到直角三角形中求解．
人教版九年级数学
中考复习第一轮
与切线有关的证明与计算
【课标要求】 1. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关 系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2. 知道三角形的内心．
1. 性质
2. 判定方法
切线的性 质及判定
3. 切线长定理
与切线有关 的证明与计算
三角形如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．OD⊥AB，与AC交于点E， 与过点C的⊙O的切线交于点D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长； (2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第4题图
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt △ABC中，由勾股定理得AB＝
∴AO＝ 1 AB＝ 1 ×2
2
2
5＝
小专题11 证明切线的两种常用方法-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共26张PPT)
1．(咸宁中考改编)如图，在△ ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，过点 D 作 DF⊥AC，垂足 为 F.求证：DF 是⊙O 的切线．
证明：连接 OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B.
又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B. ∴∠ODB＝∠C. ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°. ∴∠ODF＝∠DFC＝90°. 又∵OD 为⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线．
证明：连接 OC. ∵⊙O 的半径为 3， ∴OC＝OB＝3. 又∵BP＝2，∴OP＝5. 在△ OCP 中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2， ∴△OCP 为直角三角形，∠OCP＝90°. ∴OC⊥PC. ∵C 是⊙O 上一点， ∴PC 为⊙O 的切线．
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证 明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平 分线上的点到角的两边的距离相等．
5．(临沂中考改编)如图，△ ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中 点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D，OB 与⊙O 相交于点 E.求证：AC 是 ⊙O 的切线．
证明：连接 OA，OD，作 OF⊥AC 于点 F，垂足为 F. ∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC. ∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴OD⊥AB. 而 OF⊥AC，∴OF＝OD. ∴AC 是⊙O 的切线．
第二十四章 圆 小专题11证明切线的两种常用方法
可编辑PPT
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直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直， 得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90°的角，如直径所 对的圆周角等于 90°等．
九年级数学上册24《切线长定理》PPT课件(23张)(人教版)
O
P
C
B
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O 于点A和B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线， 分别交PA、PB于点D、E.且PA=6. 求：△PDE的周长.
温馨提示：
在这个图形中，你看出来
D
几组相等的线段呢？
解： 直线PA,PB,DE分别与圆相切于 C
DOO
点A, B,C
∴PA=PB, DA=DC, EB=EC
B
相OP等于点的C.线你又段能，得出相什等么新的的角结论？?
并给出证明.
O. C
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴OP⊥AB,AC=BC ∴OP垂直平分AB.
OP垂直平分AB.
证明2：∵PA，PB是⊙O的切线, ∴PA = PB ∴点P在AB的垂直平分线上. ∵OA=OB ∴点O在AB的垂直平分线上 ∴OP垂直平分AB.
E
∴CΔPDE = PD+ DE + PE = PD+ DC +CE + PE
= PD+ DA+ EB+ PE
= PA+ PB
= 2PA= 2×6 =12
二 三角形的内切圆及作法
互动探究
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的
三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才
能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 问题 如果最大圆存在，它与三角形 三边应有怎样的位置关系？
释疑——推理论证
已知：如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. A
证明：连接OA,OB
O.
初中九年级下册数学《切线长定理》PPT精品课件
切线长定理
2020/11/20
1
A
O
P
2020/11/20
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
2
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
3
A
1
O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
4
A
O
P
B
• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
2020/11/20
6
2020/11/20
7
o．
o．
2020/11/20
8
三角形外接圆
C
2020/11/20
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过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
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A
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• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
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A
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O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
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2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
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A
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• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
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三角形外接圆
C
2020年北师大版九年级数学下册课件：3.7 切线长定理 (共24张PPT)
能力提升
9．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，以 BC 为直径在矩
形内作半圆，过点 A 作半圆的切线 AE，切点为点 E，则 sin∠CBE＝
(D )
A．
6 3
B．23
C．13
D．
10 10
• 10．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分
别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连
接OD、OC．下列结论：①∠DOC＝90°；
第三章 圆
*7 切线长定理(一课时)
以练助学
名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
名师点睛
• 知识点 切线长和切线长定理 • (1)过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间
的线段长叫做这点到圆的切线长．
• (2)切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线， 它们的切线长相等．
• 核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的 两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切 线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、 角相等及垂直关系．
________ cm2.
• 14．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切 ⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝ 60°.求：
• (1)PA的长； • (2)∠COD的度数．
解：(1)∵CA、CE 都是⊙O 的切线，∴CA＝CE.同理，DE＝DB，PA＝PB，∴ 三角形 PCD 的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋DE＋CE＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA ＋PB＝2PA＝12，∴PA＝6. (2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，∴∠ACD ＋∠CDB＝360°－120°＝240°.∵CA、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ ACD．同理，∠ODE＝12∠CDB，∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180－120°＝60°．
人教版数学九级上册切线的判定与性质优秀ppt
证明：∵直线l是⊙O的切线
O
∴圆心O到直线l 的距离等于半径
l A
∴OA是圆心O到直线l的距离
∴ l⊥OA
切线的性质定理:
圆 的 切 线 垂 直 过 切 点 的 半 径. P98
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
九年级 上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质
回顾复习
点与圆的位置关系
点A在圆内，
A
· 点B在圆上， O
C
r
点C在圆外.
B
设⊙O半径为r， 点到圆心O的距离为 d
d < r 点A在圆内 d= r 点B在圆上 d> r 点C在圆外
直线和圆的位置关系
c .O
b a
点与圆的位置关系
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
探究切线的性质定理
P97思考：反过来，如图，在⊙O 中，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一 定垂直呢？
O l
A
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
判断一条直线是圆的切线，你现在有多 少种方法？
切线判定有以下方法： 1、利用切线的定义：与圆由唯一公共点的直线是 圆的切线。 2、利用d与r的关系作判断：当d=r时直线是圆的切线。 3、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线．
人教版数学九年级上册24.切线的判定和性质课件(共25张)
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径 (即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
l dr
l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角
形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
C
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
PA
O
B
第2题
第3题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
B
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.
O
A
P
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
O
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)若AP＝ 3，求⊙O的半径．
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
l dr
l
O
A
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例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角
形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
C
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
PA
O
B
第2题
第3题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
B
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.
O
A
P
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
O
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)若AP＝ 3，求⊙O的半径．
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见基本尺规作图3
考点 3 与圆有关的尺规作图
1. 过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段 2. 作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线
命题点 1 与切线有关的证明与计算 (必考)
1. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线于点D，连接AB，若 ∠B＝25°，则∠D的度数为( B ) A. 25° B. 40° C. 45° D. 50°
第4题解图
5. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长 线上一点，且PA是⊙O的切线． (1)求证：AP＝AB； (2)若PD＝ 5 ，求⊙O的直径．
第5题图
(1)证明：如解图，连接OA. ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.(1分) ∴∠AOP＝60°.(2分) ∴∠ABP＝∠OAB＝30°.(3分) ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA. ∴∠OAP＝90°.(4分) ∴∠OPA＝90°－∠AOP＝30°. ∴∠OPA＝∠ABP. ∴AP＝AB；(5分)
第6题图
解：(1)DE ⊥CF . 理由：如解图，连接OC， ∵CF 与⊙O相切于点C，∴CF ⊥OC，∴∠OCF ＝90°， ∵OA＝OD，OC＝OC，AC＝CD，∴△AOC≌△DOC， ∴∠A＝∠1.(3分) ∵∠A＝∠2，∴∠1＝∠2， ∵OC＝OD，∴∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2，∴OC∥DE. ∵∠OCF ＝90°，∴∠DEF ＝∠OCF ＝90°， ∴DE ⊥CF ；(5分)
第3题图
解：如解图，连接AC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴∠ABC＝90°.(1分) ∴AC是⊙O的直径．(2分) 在Rt △ABC中， 根据勾股定理得AC＝ AB2＋BC2＝ 42＋32 ＝5.(3分) ∵CF 与⊙O相切于点C， ∴AC⊥CF ，即∠ACF＝90°.(4分) ∵∠CDE＝30°，∴∠CAE＝∠CDE＝30°.(5分) ∵在Rt △ACF中，tan ∠CAF＝ CF ， ∴CF ＝CA·tan30 °＝ 3＝5 3.(C6分A )
2. 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC ＝8，则⊙O的半径为___5_____．
第2题图
考点 2 三角形的内切圆
名称
内切圆
图形
圆心 圆心位置
性质 作图步骤
三角形的内心 三角形三条___角__平__分__线_____的交点 三角形的内心到三角形三边的距离相等
人教版九年级数学
中考复习第一轮
与切线有关的证明与计算
【课标要求】 1. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关 系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2. 知道三角形的内心．
1. 性质
2. 判定方法
切线的性 质及判定
3. 切线长定理
与切线有关 的证明与计算
三角形的内切圆 与圆有关的尺规作图
考点 1 切线的性质及判定
1. 性质 圆的切线___垂__直___于过切点的半径； 2. 判定方法 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (定义)； (2)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径 与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直； (3)若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段 的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂直，证相等．
∴AO＝ 1 AB＝ 1 ×2
2
2
5＝
5，
∵OD⊥AB，
AC2＋BC2＝ 42＋22＝2 5 ，
∴∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴CB(OE) ＝AC(AO) ，
∴OE＝AC(CB·AO)＝ 2 5＝ 5 ；(3分) 42
(2)∠CDE＝2∠A.(4分) 理由如下：如解图，连接OC， ∵OA＝OC，∴∠1＝∠A， ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∴∠2＋∠CDE＝90°， ∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠3＝∠CDE， ∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A， ∴∠CDE＝2∠A.(7分)
第5题解图
(2)解：在Rt△OAP中， ∵∠OPA＝30°， ∴PO＝2OA＝OD＋PD.(6分) 又∵OA＝OD， ∴PD＝OA.(7分) ∵PD＝ 5 ， ∴2OA＝2PD＝2 5 .(8分) ∴⊙O的直径为2 5 .(9分)
6. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O直径AB异侧的两点，AC＝DC ，过点C与⊙O相切的直线CF 交弦DB的延长线于点E. (1)试判断直线DE与CF 的位置关系，并说明理由； (2)若∠A＝30°，AB＝4，求C? D 的长．
第6题解图
(2)∵OA＝OC，∴∠A＝∠4＝30°，
∴∠AOC＝180°－(∠A＋∠4)＝180°－(30°＋30°)＝120°， ?AC 的长＝ 120π×2＝4π .
第1题图
2. 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点， 以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F ，过点F 作⊙O的切线FG ，交AB于点G，则FG 的长为_15_2______．
第2题图
3. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧 上的一点，连接AE，C? DE.过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F.若 ∠CDE＝30°，求CF 的长．
33
第3题解图
4. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．OD⊥AB，与AC交于点E， 与过点C的⊙O的切线交于点D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长； (2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第4题图
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt △ABC中，由勾股定理得AB＝
3. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角
提分必练 1. 如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，且CO ＝CD，则∠A的度数为( B ) A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 27.5°
第1题图
考点 3 与圆有关的尺规作图
1. 过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段 2. 作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线
命题点 1 与切线有关的证明与计算 (必考)
1. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线于点D，连接AB，若 ∠B＝25°，则∠D的度数为( B ) A. 25° B. 40° C. 45° D. 50°
第4题解图
5. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长 线上一点，且PA是⊙O的切线． (1)求证：AP＝AB； (2)若PD＝ 5 ，求⊙O的直径．
第5题图
(1)证明：如解图，连接OA. ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.(1分) ∴∠AOP＝60°.(2分) ∴∠ABP＝∠OAB＝30°.(3分) ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA. ∴∠OAP＝90°.(4分) ∴∠OPA＝90°－∠AOP＝30°. ∴∠OPA＝∠ABP. ∴AP＝AB；(5分)
第6题图
解：(1)DE ⊥CF . 理由：如解图，连接OC， ∵CF 与⊙O相切于点C，∴CF ⊥OC，∴∠OCF ＝90°， ∵OA＝OD，OC＝OC，AC＝CD，∴△AOC≌△DOC， ∴∠A＝∠1.(3分) ∵∠A＝∠2，∴∠1＝∠2， ∵OC＝OD，∴∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2，∴OC∥DE. ∵∠OCF ＝90°，∴∠DEF ＝∠OCF ＝90°， ∴DE ⊥CF ；(5分)
第3题图
解：如解图，连接AC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴∠ABC＝90°.(1分) ∴AC是⊙O的直径．(2分) 在Rt △ABC中， 根据勾股定理得AC＝ AB2＋BC2＝ 42＋32 ＝5.(3分) ∵CF 与⊙O相切于点C， ∴AC⊥CF ，即∠ACF＝90°.(4分) ∵∠CDE＝30°，∴∠CAE＝∠CDE＝30°.(5分) ∵在Rt △ACF中，tan ∠CAF＝ CF ， ∴CF ＝CA·tan30 °＝ 3＝5 3.(C6分A )
2. 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC ＝8，则⊙O的半径为___5_____．
第2题图
考点 2 三角形的内切圆
名称
内切圆
图形
圆心 圆心位置
性质 作图步骤
三角形的内心 三角形三条___角__平__分__线_____的交点 三角形的内心到三角形三边的距离相等
人教版九年级数学
中考复习第一轮
与切线有关的证明与计算
【课标要求】 1. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关 系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2. 知道三角形的内心．
1. 性质
2. 判定方法
切线的性 质及判定
3. 切线长定理
与切线有关 的证明与计算
三角形的内切圆 与圆有关的尺规作图
考点 1 切线的性质及判定
1. 性质 圆的切线___垂__直___于过切点的半径； 2. 判定方法 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (定义)； (2)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径 与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直； (3)若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段 的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂直，证相等．
∴AO＝ 1 AB＝ 1 ×2
2
2
5＝
5，
∵OD⊥AB，
AC2＋BC2＝ 42＋22＝2 5 ，
∴∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴CB(OE) ＝AC(AO) ，
∴OE＝AC(CB·AO)＝ 2 5＝ 5 ；(3分) 42
(2)∠CDE＝2∠A.(4分) 理由如下：如解图，连接OC， ∵OA＝OC，∴∠1＝∠A， ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∴∠2＋∠CDE＝90°， ∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠3＝∠CDE， ∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A， ∴∠CDE＝2∠A.(7分)
第5题解图
(2)解：在Rt△OAP中， ∵∠OPA＝30°， ∴PO＝2OA＝OD＋PD.(6分) 又∵OA＝OD， ∴PD＝OA.(7分) ∵PD＝ 5 ， ∴2OA＝2PD＝2 5 .(8分) ∴⊙O的直径为2 5 .(9分)
6. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O直径AB异侧的两点，AC＝DC ，过点C与⊙O相切的直线CF 交弦DB的延长线于点E. (1)试判断直线DE与CF 的位置关系，并说明理由； (2)若∠A＝30°，AB＝4，求C? D 的长．
第6题解图
(2)∵OA＝OC，∴∠A＝∠4＝30°，
∴∠AOC＝180°－(∠A＋∠4)＝180°－(30°＋30°)＝120°， ?AC 的长＝ 120π×2＝4π .
第1题图
2. 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点， 以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F ，过点F 作⊙O的切线FG ，交AB于点G，则FG 的长为_15_2______．
第2题图
3. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧 上的一点，连接AE，C? DE.过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F.若 ∠CDE＝30°，求CF 的长．
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第3题解图
4. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．OD⊥AB，与AC交于点E， 与过点C的⊙O的切线交于点D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长； (2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第4题图
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt △ABC中，由勾股定理得AB＝
3. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角
提分必练 1. 如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，且CO ＝CD，则∠A的度数为( B ) A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 27.5°
第1题图