2020年九年级数学中考复习专题课件和切线有关的证明和计算共24张
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见基本尺规作图3
考点 3 与圆有关的尺规作图
1. 过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段 2. 作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线
命题点 1 与切线有关的证明与计算 (必考)
1. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线于点D，连接AB，若 ∠B＝25°，则∠D的度数为( B ) A. 25° B. 40° C. 45° D. 50°
第4题解图
5. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长 线上一点，且PA是⊙O的切线． (1)求证：AP＝AB； (2)若PD＝ 5 ，求⊙O的直径．
第5题图
(1)证明：如解图，连接OA. ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.(1分) ∴∠AOP＝60°.(2分) ∴∠ABP＝∠OAB＝30°.(3分) ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA. ∴∠OAP＝90°.(4分) ∴∠OPA＝90°－∠AOP＝30°. ∴∠OPA＝∠ABP. ∴AP＝AB；(5分)
第6题图
解：(1)DE ⊥CF . 理由：如解图，连接OC， ∵CF 与⊙O相切于点C，∴CF ⊥OC，∴∠OCF ＝90°， ∵OA＝OD，OC＝OC，AC＝CD，∴△AOC≌△DOC， ∴∠A＝∠1.(3分) ∵∠A＝∠2，∴∠1＝∠2， ∵OC＝OD，∴∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2，∴OC∥DE. ∵∠OCF ＝90°，∴∠DEF ＝∠OCF ＝90°， ∴DE ⊥CF ；(5分)
第3题图
解：如解图，连接AC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴∠ABC＝90°.(1分) ∴AC是⊙O的直径．(2分) 在Rt △ABC中， 根据勾股定理得AC＝ AB2＋BC2＝ 42＋32 ＝5.(3分) ∵CF 与⊙O相切于点C， ∴AC⊥CF ，即∠ACF＝90°.(4分) ∵∠CDE＝30°，∴∠CAE＝∠CDE＝30°.(5分) ∵在Rt △ACF中，tan ∠CAF＝ CF ， ∴CF ＝CA·tan30 °＝ 3＝5 3.(C6分A )
2. 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC ＝8，则⊙O的半径为___5_____．
第2题图
考点 2 三角形的内切圆
名称
内切圆
图形
圆心 圆心位置
性质 作图步骤
三角形的内心 三角形三条___角__平__分__线_____的交点 三角形的内心到三角形三边的距离相等
人教版九年级数学
中考复习第一轮
与切线有关的证明与计算
【课标要求】 1. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关 系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2. 知道三角形的内心．
1. 性质
2. 判定方法
切线的性 质及判定
3. 切线长定理
与切线有关 的证明与计算
三角形的内切圆 与圆有关的尺规作图
考点 1 切线的性质及判定
1. 性质 圆的切线___垂__直___于过切点的半径； 2. 判定方法 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (定义)； (2)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径 与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直； (3)若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段 的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂直，证相等．
∴AO＝ 1 AB＝ 1 ×2
2
2
5＝
5，
∵OD⊥AB，
AC2＋BC2＝ 42＋22＝2 5 ，
∴∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴CB(OE) ＝AC(AO) ，
∴OE＝AC(CB·AO)＝ 2 5＝ 5 ；(3分) 42
(2)∠CDE＝2∠A.(4分) 理由如下：如解图，连接OC， ∵OA＝OC，∴∠1＝∠A， ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∴∠2＋∠CDE＝90°， ∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠3＝∠CDE， ∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A， ∴∠CDE＝2∠A.(7分)
第5题解图
(2)解：在Rt△OAP中， ∵∠OPA＝30°， ∴PO＝2OA＝OD＋PD.(6分) 又∵OA＝OD， ∴PD＝OA.(7分) ∵PD＝ 5 ， ∴2OA＝2PD＝2 5 .(8分) ∴⊙O的直径为2 5 .(9分)
6. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O直径AB异侧的两点，AC＝DC ，过点C与⊙O相切的直线CF 交弦DB的延长线于点E. (1)试判断直线DE与CF 的位置关系，并说明理由； (2)若∠A＝30°，AB＝4，求C? D 的长．
第6题解图
(2)∵OA＝OC，∴∠A＝∠4＝30°，
∴∠AOC＝180°－(∠A＋∠4)＝180°－(30°＋30°)＝120°， ?AC 的长＝ 120π×2＝4π .
第1题图
2. 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点， 以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F ，过点F 作⊙O的切线FG ，交AB于点G，则FG 的长为_15_2______．
第2题图
3. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧 上的一点，连接AE，C? DE.过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F.若 ∠CDE＝30°，求CF 的长．
33
第3题解图
4. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．OD⊥AB，与AC交于点E， 与过点C的⊙O的切线交于点D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长； (2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第4题图
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt △ABC中，由勾股定理得AB＝
3. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角
提分必练 1. 如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，且CO ＝CD，则∠A的度数为( B ) A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 27.5°
第1题图
考点 3 与圆有关的尺规作图
1. 过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段 2. 作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线
命题点 1 与切线有关的证明与计算 (必考)
1. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线于点D，连接AB，若 ∠B＝25°，则∠D的度数为( B ) A. 25° B. 40° C. 45° D. 50°
第4题解图
5. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长 线上一点，且PA是⊙O的切线． (1)求证：AP＝AB； (2)若PD＝ 5 ，求⊙O的直径．
第5题图
(1)证明：如解图，连接OA. ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.(1分) ∴∠AOP＝60°.(2分) ∴∠ABP＝∠OAB＝30°.(3分) ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA. ∴∠OAP＝90°.(4分) ∴∠OPA＝90°－∠AOP＝30°. ∴∠OPA＝∠ABP. ∴AP＝AB；(5分)
第6题图
解：(1)DE ⊥CF . 理由：如解图，连接OC， ∵CF 与⊙O相切于点C，∴CF ⊥OC，∴∠OCF ＝90°， ∵OA＝OD，OC＝OC，AC＝CD，∴△AOC≌△DOC， ∴∠A＝∠1.(3分) ∵∠A＝∠2，∴∠1＝∠2， ∵OC＝OD，∴∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2，∴OC∥DE. ∵∠OCF ＝90°，∴∠DEF ＝∠OCF ＝90°， ∴DE ⊥CF ；(5分)
第3题图
解：如解图，连接AC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴∠ABC＝90°.(1分) ∴AC是⊙O的直径．(2分) 在Rt △ABC中， 根据勾股定理得AC＝ AB2＋BC2＝ 42＋32 ＝5.(3分) ∵CF 与⊙O相切于点C， ∴AC⊥CF ，即∠ACF＝90°.(4分) ∵∠CDE＝30°，∴∠CAE＝∠CDE＝30°.(5分) ∵在Rt △ACF中，tan ∠CAF＝ CF ， ∴CF ＝CA·tan30 °＝ 3＝5 3.(C6分A )
2. 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC ＝8，则⊙O的半径为___5_____．
第2题图
考点 2 三角形的内切圆
名称
内切圆
图形
圆心 圆心位置
性质 作图步骤
三角形的内心 三角形三条___角__平__分__线_____的交点 三角形的内心到三角形三边的距离相等
人教版九年级数学
中考复习第一轮
与切线有关的证明与计算
【课标要求】 1. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关 系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2. 知道三角形的内心．
1. 性质
2. 判定方法
切线的性 质及判定
3. 切线长定理
与切线有关 的证明与计算
三角形的内切圆 与圆有关的尺规作图
考点 1 切线的性质及判定
1. 性质 圆的切线___垂__直___于过切点的半径； 2. 判定方法 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (定义)； (2)若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径 与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直； (3)若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段 的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂直，证相等．
∴AO＝ 1 AB＝ 1 ×2
2
2
5＝
5，
∵OD⊥AB，
AC2＋BC2＝ 42＋22＝2 5 ，
∴∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴CB(OE) ＝AC(AO) ，
∴OE＝AC(CB·AO)＝ 2 5＝ 5 ；(3分) 42
(2)∠CDE＝2∠A.(4分) 理由如下：如解图，连接OC， ∵OA＝OC，∴∠1＝∠A， ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∴∠2＋∠CDE＝90°， ∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠3＝∠CDE， ∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A， ∴∠CDE＝2∠A.(7分)
第5题解图
(2)解：在Rt△OAP中， ∵∠OPA＝30°， ∴PO＝2OA＝OD＋PD.(6分) 又∵OA＝OD， ∴PD＝OA.(7分) ∵PD＝ 5 ， ∴2OA＝2PD＝2 5 .(8分) ∴⊙O的直径为2 5 .(9分)
6. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O直径AB异侧的两点，AC＝DC ，过点C与⊙O相切的直线CF 交弦DB的延长线于点E. (1)试判断直线DE与CF 的位置关系，并说明理由； (2)若∠A＝30°，AB＝4，求C? D 的长．
第6题解图
(2)∵OA＝OC，∴∠A＝∠4＝30°，
∴∠AOC＝180°－(∠A＋∠4)＝180°－(30°＋30°)＝120°， ?AC 的长＝ 120π×2＝4π .
第1题图
2. 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点， 以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F ，过点F 作⊙O的切线FG ，交AB于点G，则FG 的长为_15_2______．
第2题图
3. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧 上的一点，连接AE，C? DE.过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F.若 ∠CDE＝30°，求CF 的长．
33
第3题解图
4. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．OD⊥AB，与AC交于点E， 与过点C的⊙O的切线交于点D. (1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长； (2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第4题图
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt △ABC中，由勾股定理得AB＝
3. 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角
提分必练 1. 如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，且CO ＝CD，则∠A的度数为( B ) A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 27.5°
第1题图