垂径定理自主学习导学案
《垂径定理》导学案
课时：日期：学习内容：垂径定理（P74-75）学习目标: 1、学会利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2、能够运用垂径定理及其逆定理解决问题学习重点: 能够运用垂径定理及其逆定理解决问题学习难点: 能够运用垂径定理逆定理解决问题．学习过程:一、新知学习1、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2.垂径定理：“垂直于弦的直径弦，并且弧”。
3、“平分弦（不是直径）的直径弦,并且两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？二、知识梳理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．三、当堂检测1、如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A. AE=OEB. ∠AOC=60°C. CE=DED. OE=CE2、AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是.3、若⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长度范围是.4、过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。
5、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。
（结果精确到0.1米）。
6.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O到AB的距离及∠OAB的余弦值7、如图,M为圆O内一点,利用尺规做一条弦，使AB过点M，并且AM=BM8、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一直线上．你认为AC与BD的大小有何关系？说明理由9、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，求AB和CD之间的距离。
圆导学案之垂径定理
28.1.2 垂直于弦的直径（1）班级: 姓名：时间：学习目标：1．理解圆的轴对称性；２.了解拱高、弦心距等概念；３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
一、自主先学⒈叙述：请同学叙述圆的几何定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本P80页有关“赵州桥”问题。
二、展示时刻1）、动手实践，发现新知⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试.⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。
2)、创设情境，探索垂径定理⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。
⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知、求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：⒌垂径定理：推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且表达式：6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？【问题探究】D D例1．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．【练习】如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．例2．已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是cm.【练习】１．一条排水管的截面如图所示，水面宽AB=16，水深CD=4，求水管截面所在圆的直径。
例3：已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．【练习】１．如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长．三、学生展示1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC BDC．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）BA ．1mmB ．2mmmC ．3mmD ．4mm 4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______． 5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 四、当堂训练定理的应用（2013•黄冈）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，求所在圆的半径.28.1.2垂直于弦的直径（2）班级: 姓名： 时间：学习目标：熟练掌握垂径定理及其推论，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
九年级数学上册 3.3 垂径定理导学案1(无答案)(新版)浙教版
垂径定理学习目标 经历垂径定理的探索过程掌握垂径定理3. 垂径定理的简单应用重点难点 重点：垂径定理难点：垂径定理的应用【课前自学 课堂交流】一．课前自习试一试：在纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠.你能发现什么结论？我们发现: 画一画：任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ，再作一条与直径垂直的弦(不过圆心). 理一理：作一条和直径CD 的垂直的弦AB ，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点 线段、圆弧重合？结论：①EA = ②弧 与弧 重合；弧 与弧 重合 我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：_________________________________________________ 垂径定理的几何语言 ∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ）∴ ，二．课中交流1.已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点)请说出作图的理由。
思考：如何画弧AB 的四等分点变式题：过已知⊙O 内的一点A 作弦,使A 是该弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点2.已知⊙O 的半径是13cm,一条弦的弦心距为5cm,求这条弦的长。
3已知如图所示，在⊙O 中，弦AB ∥CD,求证： 弧AC=弧BD4一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB =10，水面宽AB =16， 求截面圆心O 到水面的距离OC ．(分析：要求OC 的长，因为OC ⊥ AB 所以可以用勾股定理来求，而OB=10已知，故求出BC 即可，根据垂径定理可知，AB=2BC).ODC B A O A C BDC BA归纳：垂径定理的运算实际上就是一个直角三角形中勾股定理的运算，两条直角边是什么？斜边是什么？课后作业反思。
北师大版9年级数学下册3.3 垂径定理导学案
*3.3 垂径定理学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．学习方法:指导探索与自主探索相结合。
学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米．三、课后练习：1、已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3、已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB于F 求证：AE ＝BF6、已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的垂直平分线，交⊙O于E 、D 两点，求证，⋂=⋂BC 21AE7、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF8、在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB9、已知如图等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求ABC 的长10、已知：⊙O 与⊙O ＇相交于P 、Q ，过P 点作直线交⊙O 于A ，交⊙O ＇于B 使OO ＇与AB 平行求证：AB ＝2OO ＇11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF。
导学案 垂径定理
B ACD O M ）课前导学学习目标在明确圆的有关概念的基础上，学习垂径定理，并能初步应用垂径定理解决实际问题。
学习要求自己制作学具：准备一个圆形纸片，通过操作理解垂径定理，不理解的用“？”标记。
学习重点垂径定理及其运用。
学习难点探索垂径定理及利用垂径定理解决一些简单的实际问题。
学法指导 阅读法 探究法 讨论法 练习法学习用具 圆规、三角尺、圆形纸片知识回顾与准备复习：1、说出圆、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、等圆、等弧的定义。
2、“弦是直径”这句话正确吗？为什么？。
指导自学自主学习（自学教材P 81----P 82）1.仔细阅读，完成81页探究。
2.结合81页探究，试完成讲学稿检测预习与助学.3．试归纳垂径定理。
4、试完成当堂检测。
检测预习与课堂助学一、动动手：阅读课本81页探究。
通过折叠，我发现： ．我是利用 方法解决圆的对称轴问题的．因此，我可以得到：圆是 图形，其对称轴是 ．二、探究进一步，还可得到：推论------平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．试一试：.填空：如上图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则AM= ，AC = .AD=思考：1、在上图中，已知⊙O 的半径与弦AB 的长度，且AB ⊥CD ，如何求出OM 的长度？2、根据垂径定理，利用尺规作图如何作出一个圆的圆心？如何作一条弧所在圆的圆心？三、实际应用：赵州桥主桥拱是圆弧形，他的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？助学：已知弦、拱高，所以做弦AB 的垂直平分线OC, D 为垂足，OC 与弧AB 相交于点C ，再任作一条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，即为圆心O思路导航：根据垂径定理，D 是AB 的 ，C 是 的中点，CD 就是拱高。
半径都相等，设OA=x 则OD= ，利用Rt △AOD 的三边关系求出半径。
写出解题过程：方法小结：当堂检测（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 （2）写出你发现的图中相等的线段、弧和角？ 相等的线段： 相等的弧： 相等的角： （3）结论 思路导航：∵直径CD 弦AB ，∴CD 平分 及 ． 这样，就得到下面的定理： 垂径定理---------垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．。
初中数学九年级3.3垂径定理(1)导学案设计
3.3垂径定理⑴导学案城南数学：周耀良学习目标：掌握垂径定理及其简单的应用。
【基础知识】试一试：在纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠•你能发现什么结论？我们发现画一画：任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，再作一条与直径垂直的弦（不过圆心）.理一理：作一条和直径CD的垂直的弦AB，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点线段、圆弧重合？结论：① EA= ______ ② AC 二_______ ; BD = ________我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：b5E2RGbCAP垂径定理的几何语言•/ CD为直径，CD丄AB （0C丄AB ）【要点知识】1•已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. （分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点请说出作图的理由。
思考：如何画弧AB的四等分点变式题：过已知O 0内的一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点2•已知O 0的半径是13cm，一条弦的弦心距为5cm,求这条弦的长。
3已知如图所示，在O0 中，弦AB // CD,求证：AC 二BD4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,求截面圆心0到水面的距离0C •(分析：要求0C的长，因为0C丄AB所以可以用勾股定理来求，而OB=10已知，故求出BC即可，根4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,据垂径定理可知，AB=2BC).归纳：垂径定理的运算实际上就是一个直角三角形中勾股定理的运算，两条直角边是什么？斜边是什么？变式：如上图,弦AB的长为8 cm,圆心0到AB的距离为3 cm,求O 0的半径.【巩固提升】★AB是OO的直径，弦CD±AB,E为垂足，若AE=9,BE= 1,求CD的长.★O 0的半径为5,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点，则线段0M的长的最小值为大值为 _____________ .plEanqFDPw★★已知O 0的直径是5 0 cm,O O的两条平行弦AB= 4 0 cm , CD= 4 8 cm , 求弦AB与CD之间的距离。
垂径定理 导学案
垂径定理 导学案 第 页 姓名：一、定理推导1、思考：在圆里怎么平分一条弦，一条弧2、垂径定理 条件： ，结论：3、垂径定理推论条件： ，结论：二、典型问题例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.A BD CE OOA EF例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.三、作业 1．下列说法：①圆的对称轴是一条直径；②经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；③与半径垂直的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直线是圆的对称轴，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图7－8，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则下面结论中错误的是（ ）．A ．CE ＝DEB ．＝C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC ＞AD图7－8 图7－9 图7－10 图7－113．如图7－9，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP ∶PB ＝1∶5，那么⊙O 的半径是（ ）．A ．6cm B ． 53cm C ．8cm D ．35cm4．如图7－10，⊙O 内接△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCD ，D 是⊙O 上的一点，则下列结论：①CD 是⊙O 直径；②CD 平分弦AB ；③＝；④＝；⑤CD ⊥AB ，其中正确的有（ ）．A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．2个 5．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是（ ）．A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．4cm6．圆的半径为2cm ，圆中的一条弦的长为32cm ，则此弦的中点到所对优弧中点的距离是（ ）．A ．1cmB ．3cmC ．3cmD ．32cm7．在下列说法中，①垂直平分弦的直线经过圆心；②直径垂直平分弦；③平行弦所夹的两条弧相等；④平分圆的两条弧的直线必过圆心，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．⊙O 的半径为12cm ，弦AB 为8cm ，则圆心到弦的距离是________．9．在半径为10cm 的⊙O 中，弦AB ＝10cm ，则∠AOB 的度数是________．10．⊙O 的半径为8cm ，弦AB 中点到所对劣弧中点距离为4cm ，则弦AB 的长为_______，∠OAB 的度数是______．11．⊙O 的半径为10cm ，弦AB 垂直平分半径OC 于D ，则AB ＝_______，∠AOB ＝_____．12．⊙O 的半径为65cm ，弦AB ＝310cm ，则弦AB 所对圆心角∠AOB ＝________．13．⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，且AB 把CD 分成4cm 和6cm 两部分，则圆心O 到弦AB 的距离是________，弦AB 的长为________．14．⊙O 中，直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，MN ＝10，AB ＝8，则MC ＝________．15．如图7－11，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，若AD ＝5cm ，AB ＝8cm ，则⊙O 的半径是________．16．如图7－12，在⊙O 中，AB 是弦，∠AOB ＝120°，OA ＝5cm ，则圆心O 到AB 的距离是________cm ，弦AB 的长是________cm ．图7－12 图7－13 图7－1517．如图7－13，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝14cm ，CE ＝8cm ，则弦AB ＝________cm ，BC ＝________cm ．20．如图7－15，⊙O 半径为5cm ，AB 和CD 是两条弦，且AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，求AB 和CD 的距离．21．如图7－16，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝15cm ，OE ∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长和AC 的长．图7－1622．如图7－17，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，且圆心O 到AB 的距离OE ＝5cm ，大圆半径OA ＝13cm ，小圆半径为41cm ，求CD 、AC 的长．图7－1724．如图7－18，⊙O 的半径为7cm ，弦AB 的长为64cm ，则由与弦AB 组成的弓形的高CD 等于________cm ．25．在⊙O 中，半径OC 为R ，弦AB 垂直平分半径OC ，则弦AB 的长和∠AOB 的度数为（ ）．A ．R AB 23=，∠AOB ＝60° B ．R AB 23=，∠AOB ＝120° C ．R AB 3=，∠AOB ＝120° D ．AB ＝2R ，∠AOB ＝120°图7－1826．在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交成30°角，且将直径分成1cm 和5cm 的两条线段，则圆心O 到弦CD 的距离为（ ）．A ．0.5cm B ．1cm C ．2cm D ．3cm27．过圆上一点引两条互相垂直的弦，如果圆心到这两条弦的距离分别是3cm 和4cm ，则这两条弦的长度分别是（ ）．A ．5cm 和10cm B ．6cm 和8cm C ．8cm 和12cmD ．6cm 和9cm28．⊙O 的半径为20cm ，AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，则△AOB 的面积是（ ）．A ．2cm 325B ．2cm 350C ．2cm 3100 D ．2cm 3200 29．⊙O 的半径为5，P 为⊙O 内一点，OP ＝3，则经过点P 的最短的弦与最长的弦的长度的比是（ ）．A ．2∶5B ．3∶5C ．4∶5D ．3∶10。
《垂径定理》导学案 2022年最新word版
2.3 垂径定理一、知识点回忆：1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。
2．如右图，____________是直径，___________是弦，____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。
3．圆的半径是4，那么弦长x的取值范围是_______________。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。
二、新知学习：〔一〕．学习目标：1-知识目标：掌握垂径定理2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题〔二〕．自学要求：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.符号语言：∵是⊙的直径又∵∴推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧符号语言：∵是⊙的直径又∵∴三、典型拓展例题：，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2．如图，在⊙⊙的半径。
3．如图，在⊙中，、为互相垂直且相等的两条弦，于，于.求证：四边形为正方形。
4．如以下列图，两个同心圆，大圆的弦交小圆于、。
求证：5．如以下列图，在⊙中，、是弦上的两点，且.求证：四、检测与反响：1．如图，在⊙中，是弦，于.⑴假设，，求的长；⑵假设，，求的长；⑶假设，，求⊙的半径；⑷假设，OA =10，求的长。
2．如图，在⊙中，是弦，为的中点，假设，到⊙的半径.3．⊙O的半径为5，弦，弦，且.求两弦之间的距离。
五、畅所欲言对这节课的内容你有新想法的地方是：_______________________________________第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
有一年狡猾的他对慢羊羊说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？〞慢羊羊一听觉得没有吃亏，就容许了。
垂径定理
《垂径定理》导学案学习目标：1。
能对照图形说出垂径定理的相关结论，2．会运用垂径定理解决有关计算题、证明题等题型， 3．在学习的过程中，培养学生解决问题的能力。
学习过程：预习检测：1。
圆的对称性是 、 、 。
2．如图，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着CD 对折，你能得到哪些结论？尝试列举。
新知探究：垂径定理的实质如图，（1）⊙O 中，CD 是直径，若C D ⊥AB ，则有 ， ；（2）⊙O 中，CD 是直径，AE=BE ，则有 ， ；（3）若有C D ⊥AB ，AE=BE ，则有 ， ；（4）若有AE=BE ，AD=BD ，则有 ， ；尝试应用一：如图，⊙O 中，直径AB 的长是12厘米，E 是OB 的中点，求CD 的长。
一变：⊙O 中，AB 是直径，弦C D ⊥AB ，垂足为点E ，如果CD=8，E 是OB 的中点，求AB 的长。
二变：⊙O 中，弦MN 的长是8厘米，弧MN 的中点C 到MN 的距离为2厘米，求⊙O 的半径三变：⊙O 的半径为10厘米，圆内两条平行弦AB 、CD 的长为12厘米，16厘米，求两弦之间的距离。
四变：如图，⊙O 中，弦AB 的长为83厘米，∠AOB 的度数是1200，求⊙O 的直径。
练一练：1。
半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长是多少？2．在直径为650毫米的圆柱形油槽内装一些油后，截面如图，若油面宽AB=600毫米，求油的最大深度。
3．在△ABC 中，∠C=900，AC=12，BC=16，以C 为圆心，AC 为半径的圆交斜边AB 于D ，求AD 的长。
尝试应用二：如图，⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，过点C 作C E ⊥CD 交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥CD 交AB 于点F ，求证：AE=BF一变：如图，⊙O 中，AB 是直径，直线CD 交⊙O 于E 、F ，AC ⊥CD 于点C ，BD ⊥CD 于点D ，试说明：CE=DF二变：如图，弦CD 交直径AB 于点G ，过点C 作CE ⊥CD 于点C ，过点D 作DF ⊥CD 于点D ，分别交直径的延长线于E 、F ，试说明：AE=BF 。
垂径定理1导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。
简“半径半弦弦心距”。
（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。
垂径定理学案
探索：AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥弦 AB，垂足是点 M，除点 C,D 分⊙O 所成的两个半圆
外，你发现图中还有那些等量关系？说一说你的理由。 1.等量关系：--------------------A O 2.如何证明： D C M B
3.垂径定理：----------------------------------4.几何语言：因为：----------------- ---------------------所以：------------------
C
O
D
B
课堂总结 当堂检测 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 CD，点 O 是 CD 的圆心） ，其中 CD = 600m，E 为 CD 上一 点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90m。求这段弯路的半径。
C E F O D
垂径定理导学提纲
学习目标：1.理解掌握圆是轴对称图形。2.探索垂径定理的内容，并能进行证明定理。
3.利用定理作辅助线进行计算证明。
学习重点：探索垂径定理并证明 学习难点：做辅助线应用定理 学习方法：自学，小组合作 学具准备：学案 学时安排：1 课时
学案
课前预习 课本 P5 （1）圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ （2）你是用什么方法解决上面这个问题的？与同伴交流。 总结：圆是---------对称图形，其对称轴是---------------垂径定理的应用： 1.已知⊙O 的半径为 30mm,弦 AB=36mm,(1)求点 O 到 AB 的距离？ （2）求∠OAB 的余弦值
2.. 已知，如图在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点， 求证：AC＝BD
A 3.已知：⊙O 弦 AB∥CD，则 （1）AB 与 CD 的位置可能有几种情况？试探讨 （2）求证： 。 BD AC （3）若 AB=8，CD=6，⊙O 的半径=5，求 AB 与 CD 之间的距离
垂径定理导学案
垂径定理（第一课时）导学案【学习目标】①掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题； ②掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
【探究新知】1．观察猜想：如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？ CA EB D猜想结论 ：2．证明猜想，归纳定理：垂径定理： 几何语言： 3．巩固定理：在下列图形（如下图(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
C C C ABA B A B A E BD D(a)AB ⊥CD 于E (b)E 是AB 中点 (c)OC ⊥AB 于E (d)OE ⊥AB 于E【应用新知】1．运用定理进行计算〖例1〗如图，在⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
A E B。
O。
O。
O 。
O。
O 。
O〖变式一〗在上图中，若⊙O 的半径为10cm ，OE=6cm ，则AB= 。
思考一：若圆的半径为R ，一条弦长为a ，圆心到弦的距离为d ， C 则R 、a 、d 三者之间的关系式是 。
A E B 〖变式二〗如图6，在⊙O 中，半径OC ⊥AB ，垂足为E ， 若CE=2cm ，AB=8cm ，则⊙O 的半径= 。
思考二：你能解决本节课一开始提出的问题吗？ 2．运用定理进行证明〖例2〗证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
已知： 求证： 证明： 思考三：已知：AB 和CD 是⊙O 内的两条平行弦，AB=6cm ，CD=8cm ，⊙O 的半径为5cm ，（1）请根据题意画出符合条件的图形；（2）求出AB 与CD 间的距离。
【归纳总结】1．定理的三种基本图形——如图（1）、（2）、（3）。
2．计算中三个量的关系——如图13，222)2(ad R +=。
3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。
浙教版数学九年级上册_《垂径定理(1)》导学案1
3.3垂径定理(1)【自主卡】一、预学内容：九年级上册3.3垂径定理P76-78二、预学目标：1、经历探索垂径定理的过程；2、掌握垂径定理；3、会用垂径定理解决一些简单几何问题。
三、预学活动1、将图1沿着直径CD所在的直线对着，你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？弦AB与直径CD有何位置关系？点：线段：圆弧：垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且______弦所对的弧。
图1定理证明：如图1，已知CD是⊙O的直径，AB⊥CD，求证AE=BE,AC=BC,AD=BD。
几何语言: CD是⊙O的直径，AB⊥CD∴____________________________________________________________，叫做这条弧的中点。
2、阅读书本例一，用直尺和圆规作出⊙O的圆心O，并说说作法。
作法：3、一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm（如图）。
求截面圆中弦AB的长。
思考：①半径OD与弦AB有怎样的位置关系？②什么叫做弦心距？③弦心距、半径与弦AB的半径满足怎样的数量关系？【合作交流】点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦。
【测评卡】1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜52．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．23．如图，AB是⊙O的弦，已知∠OAB=30°，AB=4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C．D．4．小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为（）A．4m B．5m C．6m D．7m5、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．6、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD．7、如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5．求AB的长度．8、如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．9、如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米．（1）求此圆形门洞的半径；（2）求要打掉墙体的面积．。
3 3垂径定理导学案 北师大版九年级数学下册
第三章圆3.3 垂径定理【学习目标】：1．会证明垂径定理及其推论，；2．会利用垂径定理及其推论解决与圆有关的问题；【学习重点】：会利用垂径定理及其推论解决与圆有关的问题【学习难点】：理解垂径定理及其推论【学习过程】：一、预学：1、提出问题，创设情境[阅读课本P74第一段，完成下列问题]问题（1）：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.此图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？问题（2）：你能发现图中有哪些相等线段和弧? 为什么?2、目标导引，预学探究（一）问题分析：问题（1）：已知如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M 求证：AM=BM , ⌒AC=⌒BC, ⌒AD=⌒BD问题（2）:下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？问题（3）：如图,AB是⊙O的一条弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD交AB于点M，你能发现图中有哪些等量关系？为什么？问题（X）：（预学后，你还有哪些没弄懂的问题，请列举在下面）：二、研学（合作发现，交流展示）探究一：利用垂径定理求直径或弦的长度1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.2.如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB 的长是探究二：垂径定理的实际运用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.探究X：总结归纳：1、垂径定理的内容是什么？2. 垂径定理推论的内容是什么？3.涉及垂径定理时添加辅助线的一般方法和思想是什么？三、评学1、积累巩固：（1）⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .（2）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .2、拓展延伸：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 . 【课堂小结】：通过本课学习，你掌握了哪些知识？获得了哪些技能？还存在什么疑问？。
垂径定理导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）课型：新授课备课组：初三数学组主备人：吴丰华教研组长：唐善权【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。
【导学过程】一．问题情境：赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，你知道赵州桥主桥拱的半径吗？今天我们将研究如何求出赵州桥主拱桥的半径。
二、新知导学（一）活动一：（动手折一折）用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折几次，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，是它的对称轴。
（二）活动二：（小组合作探究）你能证明活动一的结论吗？说说你的方法。
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明。
解：如图，（三）活动三：（再动手折一折）请同学们拿出自己手中的圆，任意画出⊙O的一条弦AB，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．请同学们沿着CD折叠⊙O，仔细观察并回答下列问题：（1）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
由上可知：直径CD平分弦AB,并且平分弧AB及弧ACB因此：我们得到下面的定理： 垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(四)深化理解：分析下列图形是否具备垂径定理的条件？能够利用垂径定理的几个基本图形：引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线、线段或射线。
垂径定理导学案
28.4垂径定理【教材分析】垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
【教学目标】1、经历探索垂径定理过程，掌握并学会运用垂径定理解决一些有关计算、证明的问题；2、经历探索过程，发展学生的合情推理能力，有条理的表达能力；3、在学生通过观察、操作、和探究的过程中培养学生运用数学的习惯和意识。
【重点】运用垂径定理解决一些有关计算、证明的问题； 【难点】垂径定理的探索和证明；复习案【学法指导】第一步：独立思考，自主完成，巩固基础知识。
第二步：同伴互查互阅，然后交流讨论，解决自己的困惑。
1、如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，（1）如果AB ＝CD ，那么___=___，___=___， ___=___； （2） 如果=，那么 ___=___， ___=___；（3）如果∠AOB ＝∠COD ，那么___=___， ___=___；2、如图，AB 是⊙O 的弦，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD ，找出图中相等的线段，并说明理由。
探究案探究一：动手操作，观察发现：CD 是⊙O 的直径，过直径上任一点E 作弦AB ⊥CD ，将⊙O 沿CD 所在的直线对折，比较图中的线段和弧，你有哪些发现？并说明理由。
【学法指导】第一步：自己动手操作，认真观察；第二步：归纳总结所得发现，小组成员之间交流、讨论、总结；第三步：完成证明过程，并做好展示；1、发现：2、完成证明过程：已知：CD是⊙O的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，求证：证明：3、用自己的语言归纳总结所得结论：4、跟踪练习：看下列图形，能使用垂径定理的是：探究二：【学法指导】第一步：独立思考，自主完成；第二步：灵活运用垂径定理，解决实际问题；第三步：小组成员之间交流、讨论、总结，做好展示；1、如图，已知CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，CD⊥AB于点E，若AB=8厘米，圆心O到AB的距离为2厘米，求⊙O的半径。
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D
垂径定理
【学习目标】
1．理解圆的轴对称性；
2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题；
3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力；
4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。
【学习重点】
理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。
【学习难点】
理解掌握垂径定理及其逆定理。
【学法指导】
通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。
【学习过程】
一、学前准备
1．我们学过哪几种对称性？
什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？ 2．叙述圆的定义。
3．圆的有关概念。
（1）圆弧：
（2）弦：
M C
O
A
B 二、活动探究
活动一：探究圆的对称性
1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？
2．结论：_______________________，_____________________________。
活动二：探究垂径定理 1．观察右图，并进行描述。
2．研究右图的对称性。
并说出在已知条件下， 可以发现哪些等量关系？
并说明理由。
3．垂径定理：________________________________，________________________________。
用符号语言表述：
4．巩固练习：
（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。
（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。
活动三：探究垂径定理的逆定理
1． 如右图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分弦的直径CD ，交AB 于点M 。
（1）和上面问题相比，右图中的条件发生了什么变化？此时右图还 是不是轴对称图形？如果是，对称轴是什么？
（2）在以上条件下，你能发现图中有哪些关系？说一说你的理由。
2． 垂径定理逆定理：______________________________，____________________________。
用符号语言表述：
3．反思：
（1）仔细观察两个定理的条件和结论，你能发现其中总共涉及到的条件有________个，分别是_________________________________________________________________________，
其中______个条件作为已知，________个条件作为结论。
（2）请你用以上方法，猜想得出一个新的命题__________________________ ________________________________________________________________。
这个命题是否正确？请说明理由。
4． 巩固练习：
如右图，按图填空：在⊙O 中：
（1）若MN ⊥AB ，MN 为直径，则___________，____________，
D
D
C
D
（2）若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则_____________，____________， _____________；
（3）若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则___________，____________，__________；
（4）若¼AM ＝¼BM
，MN 为直径，则___________，____________，__________。
三、迁移拓展 变式训练
例1 如图，AB ．CD 是⊙O 的两条弦，且AB∥CD，则»AC 与»BD
是否相等，说明理由。
例2． 如图，一条公路转弯处是一段圆弧（即图中»CD ，点O 是»CD 的圆心），其中CD ＝600m ，E 为»CD 上一点，且O E⊥CD，垂足为F ，EF ＝90m ，求这段弯路的半径。
变式训练：
1．我国“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。
问：径几何？”。
翻译成现在的数学语言就是：
如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸， 求直径CD 的长。
Ｒ
Ａ
Ｂ
Ｄ
ＣＯ
37.4m 7.2m
2．在半径为5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离是_______________。
四、自我测试
1．如图，OA ＝OB ，AB 交⊙O 与点C ．D ，AC 与BD 是否相等？为什么？
2．1400多年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度 (弧所对的弦长)为37．4m ，拱高(拱的中点到弦的距离，也叫弓形的高) 为7．2m ，求桥拱的半径。
(精确到0.1m)。
3．在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB ＝600mm ，求油的最大深度。
【学习小结】
这节课你有哪些收获？还有什么疑惑？。