垂径定理自主学习导学案

D

垂径定理

【学习目标】

1．理解圆的轴对称性；

2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题；

3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力；

4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。

【学习重点】

理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。

【学习难点】

理解掌握垂径定理及其逆定理。

【学法指导】

通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。

【学习过程】

一、学前准备

1．我们学过哪几种对称性？

什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？ 2．叙述圆的定义。 3．圆的有关概念。 （1）圆弧：

（2）弦：

M C

O

A

B 二、活动探究

活动一：探究圆的对称性

1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？

2．结论：_______________________，_____________________________。

活动二：探究垂径定理 1．观察右图，并进行描述。

2．研究右图的对称性。并说出在已知条件下， 可以发现哪些等量关系？

并说明理由。

3．垂径定理：________________________________，________________________________。 用符号语言表述：

4．巩固练习：

（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。

（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。

活动三：探究垂径定理的逆定理

1． 如右图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分弦的直径CD ，交AB 于点M 。 （1）和上面问题相比，右图中的条件发生了什么变化？此时右图还 是不是轴对称图形？如果是，对称轴是什么？

（2）在以上条件下，你能发现图中有哪些关系？说一说你的理由。

2． 垂径定理逆定理：______________________________，____________________________。

用符号语言表述：

3．反思：

（1）仔细观察两个定理的条件和结论，你能发现其中总共涉及到的条件有________个，分别是_________________________________________________________________________，

其中______个条件作为已知，________个条件作为结论。

（2）请你用以上方法，猜想得出一个新的命题__________________________ ________________________________________________________________。

这个命题是否正确？请说明理由。

4． 巩固练习：

如右图，按图填空：在⊙O 中：

（1）若MN ⊥AB ，MN 为直径，则___________，____________，

D

D

C

D

（2）若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则_____________，____________， _____________；

（3）若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则___________，____________，__________；

（4）若¼AM ＝¼BM

，MN 为直径，则___________，____________，__________。

三、迁移拓展 变式训练

例1 如图，AB ．CD 是⊙O 的两条弦，且AB∥CD，则»AC 与»BD

是否相等，说明理由。

例2． 如图，一条公路转弯处是一段圆弧（即图中»CD ，点O 是»CD 的圆心），其中CD ＝600m ，E 为»CD 上一点，且O E⊥CD，垂足为F ，EF ＝90m ，求这段弯路的半径。

变式训练：

1．我国“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”。翻译成现在的数学语言就是：

如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸， 求直径CD 的长。

Ｒ

Ａ

Ｂ

Ｄ

ＣＯ

37.4m 7.2m

2．在半径为5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离是_______________。

四、自我测试

1．如图，OA ＝OB ，AB 交⊙O 与点C ．D ，AC 与BD 是否相等？为什么？

2．1400多年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度 (弧所对的弦长)为37．4m ，拱高(拱的中点到弦的距离，也叫弓形的高) 为7．2m ，求桥拱的半径。(精确到0.1m)。

3．在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB ＝600mm ，求油的最大深度。

【学习小结】

这节课你有哪些收获？还有什么疑惑？