1三角形单元有限元讲解
1 三角形单元有限元
1 [(ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (1-16） 1 [(ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A u
i { } j [ui i u j j um m ]T m (1-11）
y
vm
m
um
v
u j
vj uj x
（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。 （5）位移函数中必须包含单元的常应变。 （6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。 条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收 敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必 要与充分条件。
112有限元法分析思路流程解综合方程k求结构节点位移计算结构内力和应力系统分析把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵k形成等价节点荷载p离散剖分结构为若干单元单元分析建立单元刚度矩阵k形成单元等价节点力11sysxsysxvyvxvyvx12基本力学量矩阵表示图11134单元内任意点的应变列阵156几何方程147物理方程矩阵式e弹性模量泊松比
{ } [ x y xy ]T （1-4）
qVx {qV } [qVx qVy ]T qVy
（1-6）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
有限元-用三角形单元分析
(e 1,2,3,4) 分块形式如下：
k e
(4-28)
页码: 9
材料成形数值模拟
School of Materials Science and engineering, WHUT 平面三角形单元整体分析
第4章 平面单元有限元法
2) 求各单元的贡献矩阵 K e 以单元②为例，贡献矩阵 K 2 由式(4-41)求出：
F K
F1 k11 F k 2 21 F6 k 61
分块形式
k12 k 22 k 62
k 66 6
解题步骤：先进行单元分析，得出单元矩阵； 考虑单元综合，得出整体矩阵。因此，平面问题有限元法步骤：
离散化→单元分析→整体分析
页码: 1
材料成形数值模拟
School of Materials Science and engineering, WHUT
4.4 平面三角形单元分析
第4章 平面单元有限元法
u1 1 v 1
则三角形单元结点位移向量为：
u1 v 1 1 u 2 e 2 v 2 3 u 3 v3 以 6 个结点位移分量作为基本未知量，对应的物理量是六个结点力分量， U 1 V F1 1 U 2 F e F2 V 2 F3 U 3 V3
Str 1 2 3 4 1 2 1 0 1 1 0 2 0 2 3 Et 1 0 3 1 4 4 1 2 1 3 5 0 0 2 0 1 0 1 1 6 1 2 6 0 1 1 0 0 2 1 2 0 1 2 0 3 0 1 3 E 5
ansys三角形和四边形单元
一、概述在有限元分析中，选择合适的单元类型对于模拟结果的准确性和可靠性至关重要。
在ANSYS软件中，三角形和四边形单元是常用的两种单元类型，它们在不同的工程问题中具有各自的特点和适用范围。
本文将对ANSYS中的三角形和四边形单元进行介绍和分析，以期帮助工程师和研究人员在实际工程中做出正确的选择。
二、三角形单元的特点和适用范围1. 三角形单元是由三个节点和三个自由度构成的平面单元，适用于对称轴或面对称加载条件的问题。
它具有较好的形状适应性，可以适应复杂的几何形状。
2. 三角形单元适用于轻负载和小变形条件下的结构分析，例如弹性力学问题和轻负载的非线性分析。
3. 由于三角形单元仅有三个节点，所以对于边界条件和加载较复杂的问题，可能需要引入大量的单元来进行建模，从而增加了计算量和求解时间。
4. 三角形单元在非线性分析和大变形条件下的模拟效果较差，容易产生“锯齿”效应和收敛性问题。
三、四边形单元的特点和适用范围1. 四边形单元是由四个节点和四个自由度构成的平面单元，适用于矩形和正交结构的问题。
它具有简单的几何形状和稳定的性能。
2. 四边形单元适用于大变形和非线性条件下的结构分析，例如接触问题、塑性问题和大变形的非线性弹性力学问题。
3. 四边形单元相对于三角形单元具有更好的计算稳定性和收敛性，适用于对称和非对称加载条件的问题。
4. 由于四边形单元具有较好的几何适应性和稳定性，所以在建模过程中可以减少单元数量，从而降低了计算量和求解时间。
5. 在一些规则的结构问题中，四边形单元可能出现局部变形的问题，需要适当处理。
四、结论和建议在实际工程中，选择合适的单元类型是非常重要的。
根据上述分析，对于对称轴或面对称加载条件的问题可以选择三角形单元，而对于大变形和非线性条件下的问题可以选择四边形单元。
根据实际的工程需求和计算资源，也可以选择合适的单元类型，进行合理的建模和分析。
希望本文能够为工程师和研究人员在使用ANSYS软件进行有限元分析时提供一定的参考和帮助，使得模拟结果更加准确和可靠。
1 三角形单元有限元
节点三角形单元，将矩阵位移法用到平面问题上。同时，联邦德国
斯图加特大学的J. H. Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分 析的论文，为这一方法的理论基础作出了杰出贡献。1960年美国的
R. W. Clough教授在一篇题为“平面应力分析的有限单元法”的论
文中首先使用“有限单元法（the Finite Element Method）”一 词，此后这一名称得到广泛承认。
2、位移函数设定 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍 以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位 移函数的有关问题。 v
yHale Waihona Puke 图 1-2 是一个三节点三角形 单元，其节点i、j、m按逆时针 方向排列。每个节点位移在单 元平面内有两个分量：
{ i } [ui
m m
um
vj
j
vi
i
ui
uj x
2
l/2 1、F1 3、F3
4、F4
2、F2
2
②
3
l/2 1、F1 3、F3
4、F4
（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。
1.1.2 有限元法分析思路流程
离散（剖分）结构
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵[k]e 形成单元等价节点力)
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K] 形成等价节点荷载{P} )
•20世纪60年代有限单元法发展迅速，除力学界外，许多数学家也参与 了这一工作，奠定了有限单元法的理论基础，搞清了有限单元法与变 分法之间的关系，发展了各种各样的单元模式，扩大了有限单元法的 应用范围。
• 20世纪70年代以来，有限单元法进一步得到蓬勃发展，其应用范围
有限元实验2-三角形单元的形函数性质
实验三：三角形单元的形函数性质验证
一、 实验目的
1、加深对平面三角形单元有限元分析过程的理解；
2、掌握平面三角形单元形函数矩阵的求解过程和性质。
二、 实验要求
1、明确形函数矩阵的含义和求法；
2、根据题目要求，给出具体的计算过程；
3、编制相应的matlab 计算程序并调试运行。
三、 实验内容
用有限元法求图示平面三角形单元的形函数。
已知节点i,j,m 在xoy 平面中。
用所编程序验证形函数特性：
1、在单元任一点上，三个形函数之和等于1；
2、形函数N i 在i 点的函数值为1，在j 点及m 点的函数值为零；
3、三边上任一点的形函数与第三个顶点的坐标无关。
四、 实验提示
1、()() 21,y c x b a y x N i i i i ++∆=
，其中下标i , j , m 轮换; 2、()()m i j m i j i m m j j i y x y x y x y x y x y x ++++=∆2
1 -21; 3、j m i m m i j m m j i x x c y y b y x y x a -=-=-=;;，其中下标i , j , m 轮换。
有限元单元面的编号
有限元单元面的编号
在有限元分析中，各种不同类型的有限元单元都有各自的编号方案。
每个有限元单元的面通常也会被编号，以便在建模和分析过程中进行引用。
以下是一些常见的有限元单元（例如三角形、四边形和六面体）的面编号示例：
1. 三角形元素（2D）:
-三角形元素通常有三个节点，它们的面可以用节点编号表示。
-例如，三角形的三个顶点按逆时针方向编号为1、2、3，那么它的第一个面（边）的编号就可以表示为（1,2），第二个面的编号为（2,3），第三个面的编号为（3,1）。
2. 四边形元素（2D）:
-四边形元素有四个节点，其面可以用节点编号表示。
-通常，一个四边形的四个面可以分别由四个节点的组合来表示，例如，第一个面（边）的编号为（1,2），第二个面的编号为（2,3），以此类推。
3. 六面体元素（3D）:
-六面体元素有六个面，每个面都由四个节点组成。
-面的编号通常使用节点编号，例如，一个六面体的一个面可以由四个节点的组合表示，比如（1,2,3,4）。
需要注意的是，具体的编号方案可能因不同的有限元软件、分析类型和用户定义而有所不同。
在使用特定软件或进行特定分析时，应查阅相应的文档以了解该软件或分析方法的有限元单元和面的编号规则。
有限元2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)分析
第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x yααα==++546(,)v v x y x yααα==++(2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=mjimeddddmjjivuvuvui{}iijjmXYX(2-1-1)YXYiejmmFF FF⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++ 123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++ 546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j j m m x u A x u x u = 2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为: m m i j ia x y x y =-m ij by y =- (,,)i j m u u u u ruu u u r m i jc x x =-(,,)i j m u u u u ru u u u r表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
三角形单元数值积分
三角形单元数值积分一、引言数值积分是数值分析中的一个重要内容，它是利用数值方法来近似计算定积分的过程。
在实际应用中，很多函数都无法求出其解析式，因此需要采用数值积分方法来进行近似计算。
本文将重点介绍三角形单元数值积分的相关知识。
二、三角形单元三角形单元是有限元方法中最基本的单元之一，它由三个节点构成。
在实际应用中，我们通常采用局部坐标系来描述三角形单元。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，则可以定义局部坐标系x-y为：以AB边为x轴正方向，以C点到AB边垂线为y轴正方向。
三、三角形单元上的积分对于一个在三角形上定义的函数f(x,y)，我们需要对其进行积分。
根据高斯公式，可以将二维平面上任意闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分。
因此，在三角形内部进行二重积分时，可以将其转化为对该三角形边界上的积分。
四、高斯公式高斯公式是将一个闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分的公式。
对于一个在平面区域D上连续可微的函数f(x,y)，高斯公式可以表示为：∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，P和Q是f(x,y)的偏导数，C为D的边界曲线。
五、三角形单元数值积分在实际应用中，我们需要采用数值方法来进行三角形单元上的积分计算。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法、高斯积分法等。
其中，高斯积分法是一种比较常用和精确的方法。
六、高斯积分法高斯积分法是一种通过求解一组带权重系数和节点坐标的代数方程组来近似计算定积分的方法。
在三角形单元上进行高斯积分时，我们通常需要将其转化为在标准三角形（即顶点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)）上进行计算。
七、标准三角形上的高斯积分对于一个定义在标准三角形上的函数f(x,y)，可以采用如下公式进行高斯积分：∫∫f(x,y)dxdy=∑wi*f(xi,yi)其中，wi为权重系数，(xi,yi)为高斯积分点的坐标。
在实际应用中，通常采用2-3-4-5阶高斯积分公式进行计算。
有限元方法课件 第四章 平面三角形单元
第四章 平面三角形单元
§4–1 有限元法的基本思想 §4–2 三角形常应变单元 §4–3 形函数的性质 §4–4 刚度矩阵 §4–5 等效节点力载荷列阵 §4–6 有限元分析的实施步骤 §4–7 计算实例
§4-1 有限元法的基本思想
一、有限元法的基本思想 假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），
vi (Vi )
i ui (Ui )
m
um (Um )
o
x
图4-2 平面三角形单元
将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到
u 1 2ai源自bi x ci yuiaj
bjx cj y
uj
am bm x cm yum
(e)
其中 同理可得
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
(4-11)
也可写成矩阵形式
f
u v
Ni I
NjI
NmI e N e
(4-12)
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数， 它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简 称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的 形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍 为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则 公共边线变形后仍为密合。
f N e
（4-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e——单元的结点位移列阵；
N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐
有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵
Fξ j(2) x
l
0 1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
F i(1)
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
●二次杆单元
k22 E l2 A 0 l(421 )2d xE 3 l A 7 k33 E l2 A 0 l(4142)2d xE 3 l A 16
k 12 E l2 0 lA (42 1 )4 (2 1 )d x E 3 l A 1
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
有限元三角形单元
有限元三角形单元
有限元三角形单元是有限元分析中常用的基本构件，用于建立复杂结构的数学模型，以进行工程分析。
这些三角形单元是用来离散化连续问题的，将其转换为有限元模型，以便计算机可以进行数值求解。
在有限元分析中，三角形单元有不同类型，其中常见的包括：
1. 线性三角形单元：
- 由三个节点组成的简单三角形单元。
- 三角形的三条边都是直线。
- 这种单元的形状函数是线性的，适用于简单的结构和问题。
2. 二阶和高阶三角形单元：
- 包括更多节点以提高精度的三角形单元。
- 二阶三角形单元具有额外的中间节点，使得形状函数更复杂，从而提高了精度。
- 高阶三角形单元同样通过增加节点来提高精度，但也增加了计算复杂度。
这些三角形单元被用于建立有限元模型，将结构或物体分割成小的几何形状，每个形状都有对应的节点和单元连接关系。
通过这些节点之间的位移和边界条件来建立结构的数学模型，从而进行力学、热力学等各种工程分析。
选择适当类型和精度的三角形单元对于准确地模拟实际问题非常重要，因为它们直接影响到模型的计算精度和效率。
有限元三角形正方形单元
有限元三角形正方形单元有限元三角形正方形单元是一种常见的数值模拟方法，广泛应用于结构力学、流体力学等领域。
本文将介绍有限元三角形正方形单元的基本原理、应用和局限性。
有限元方法是一种通过将复杂的结构划分为许多小的有限元单元，然后对每个单元进行数值计算的方法。
三角形正方形单元是有限元中最简单、最常用的单元类型之一。
它可以用来描述各种结构，例如平面问题和二维问题。
三角形正方形单元的形状是由三个或四个节点构成的，这些节点在计算中用于确定单元的形状和性质。
在有限元分析中，三角形正方形单元通常用于建立结构的有限元模型。
首先，根据实际结构的形状和性质，将结构分割为许多小的三角形或正方形区域。
然后，在每个区域内选择适当数量的节点，建立有限元模型。
通过将边界条件和荷载应用到节点上，并利用力学理论和数值方法，计算每个单元的位移、应力和应变等参数。
最终，通过组合所有单元的计算结果，可以得到整个结构的应力和变形分布情况。
三角形正方形单元具有如下优点：首先，它们易于生成和操作，无论是手工建模还是使用计算机软件。
其次，由于单元形状简单，计算效率较高。
此外，三角形正方形单元适用于各种类型的结构和问题，包括线性和非线性分析等。
然而，三角形正方形单元也有一些局限性。
由于其本身的形状和节点数量限制，三角形正方形单元对特殊形状和曲线问题的描述能力可能较弱。
因此，在一些特殊情况下，可能需要使用其他类型的有限元单元来更准确地描述结构。
总之，有限元三角形正方形单元是一种常用的数值模拟方法，在结构力学和流体力学等领域发挥着重要作用。
通过合理建模和使用适当的数值方法，可以准确地模拟和分析各种工程问题，为工程设计和科学研究提供可靠的依据。
有限元平面问题三角形实例
有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。
其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。
在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。
而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。
三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。
下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。
假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。
首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。
每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。
在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。
然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。
具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。
而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。
通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。
有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。
例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。
除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。
例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。
有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。
通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。
这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。
有限元八种三维单元介绍
有限元八种三维单元介绍有限元法被广泛应用于三维结构和材料的数值分析和设计中。
在有限元法中，三维结构或材料被划分为许多小的离散元素，称为有限元，然后对这些有限元进行数学建模和求解，以获得结构或材料的力学行为。
下面是八种常见的三维有限元单元的介绍：1. 四面体单元（Tetrahedral Element）：四面体单元是最基本的三维有限元单元之一、它由四个节点和四个三角形面组成，形状类似于一个四面体。
四面体单元简单且易于生成，适用于多种应用领域，如固体力学、热传导等。
2. 六面体单元（Hexahedral Element）：六面体单元是由八个节点和六个正方形面或长方形面组成的。
六面体单元具有较好的几何逼近能力，对于长方体型结构的分析非常有效。
在实际工程应用中，六面体单元常用于建筑结构、模具工程等领域。
3. 棱柱单元（Prism Element）：棱柱单元是由六个节点和五个四边形面组成的。
它可以看作是四面体单元和六面体单元的组合，通常用于模拟高层建筑、桥梁、矿井等结构的力学行为。
4. 改进六面体单元（Brick Element）：改进六面体单元是六面体单元的改进版，由二十个节点和十二个面组成。
改进六面体单元能够更好地逼近非六面体形状的结构，并且具有更高的计算精度。
5. 三棱柱单元（Pyramid Element）：三棱柱单元是由五个节点和五个三角形面组成的。
它常用于模拟塔楼、锥形结构等。
6. 角形单元（Wedge Element）：角形单元是由六个节点和五个三角形面、一个矩形面组成的。
角形单元适用于各种堆体力学和岩土工程中的应用。
7. 块心六面体单元（Tetrahedron with Myocardial Element）：块心六面体单元是四面体单元的进一步改进版，用于模拟心肌组织。
该单元是由十个节点和四个三角形面组成的，能够准确地捕捉心肌组织的特性。
8. 贝塞尔单元（Bézier Element）：贝塞尔单元是一种高次曲线或曲面的逼近单元。
有限元基础第五章-线性三角形单元
x3 ) y
N3
1 2A
x1 y2
x2
y1
( y1
y2 )x
( x2
x1) y
其中A是三角形的面积
1 A 1 1
2
x1 x2
y1 y2
1 x3 y3
17:57
5
平面三角形单元
u x, y N1u1 N2u2 N3u3
同理
v x, y N1v1 N2v2 N3v3
u(x, y) N(x, y)de
17:57
6
平面三角形单元
三角形的形函数可统一表示为：
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
其中
ai
x
j
ym
xm
y
j
xj xm
yj ym
1 bi yi ym 1
yj ym
k
j i
1 ci xm x j 1
xj xm
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
k k = 3, 1, 2
i = 1, 2, 3 i
j j = 2, 3, 1
17:57
7
形函数的性质
在单元任一点上三个形函数之和等于1(单位分解性)
Ni (x, y) N j (x, y) Nm (x, y)
1 2A
(ai
a
j
am )
(bi
bj
bm )x
(ci
cj
cm
) y
1
第一列与它的 第一列与第二
代数余子式乘 列的代数余子
积之和
式乘积之和
17:57
10
形函数的性质
Ni (x,
有限元作业：三角形单元求解
《有限元作业》年级2015级学院机电工程学院专业名称班级学号学生2016年05月如下图所示为一受集中力P作用的结构，弹性模量E为常量，泊松比V=1/6,厚度为I=1。
按平面应力问题计算，运用有限元方法，分别采用三角形及四边形单元求解，求节点位移及单元应力（要求三角形单元数量不少于4个，四边形单元不少于2个）图(一)图（二）三角形单元求解图（三）四边形单元求解（1）如图划分三角形单元，工分成四个分别为④（2）如图分别进行编号1、2、3、4、5、6，并建立坐标系（3）编程进行求解，得出结果，其中假设力P=2000N调用Triangle2D3Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵k1 =1.0e+06 *7.2857 -3.0000 -2.1429 0.8571 -5.1429 2.1429-3.0000 7.2857 2.1429 -5.1429 0.8571 -2.1429 -2.1429 2.1429 2.1429 0 0 -2.14290.8571 -5.1429 0 5.1429 -0.8571 0-5.1429 0.8571 0 -0.8571 5.1429 02.1429 -2.1429 -2.1429 0 0 2.1429k2 =1.0e+06 *5.1429 0 -5.1429 0.8571 0 -0.85710 2.1429 2.1429 -2.1429 -2.1429 0-5.1429 2.1429 7.2857 -3.0000 -2.1429 0.85710.8571 -2.1429 -3.0000 7.2857 2.1429 -5.14290 -2.1429 -2.1429 2.1429 2.1429 0-0.8571 0 0.8571 -5.1429 0 5.1429 k3 =1.0e+06 *2.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.14290 5.1429 -0.8571 -5.1429 0.8571 0-2.1429 -0.8571 7.2857 3.0000 -5.1429 -2.1429 -2.1429 -5.1429 3.0000 7.2857 -0.8571 -2.14290 0.8571 -5.1429 -0.8571 5.1429 02.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.1429 k4 =1.0e+06 *2.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.14290 5.1429 -0.8571 -5.1429 0.8571 0-2.1429 -0.8571 7.2857 3.0000 -5.1429 -2.1429 -2.1429 -5.1429 3.0000 7.2857 -0.8571 -2.14290 0.8571 -5.1429 -0.8571 5.1429 02.1429 0 -2.1429 -2.1429 0 2.1429 调用Triangle2D3Node_Assembly函数，求出总体刚度矩阵求出的节点位移U =-0.00040.00080.00050.00100.00070.0023-0.00070.0026调用Triangle2D3Node_Stress函数，求出应力,S1、S2、S3、中求出的分别为Sx,Sy,SxyS1 =1.0e+03 *-4.4086-0.73483.5914S2 =1.0e+03 *4.4086-0.64050.4086S3 =1.0e+03 *1.8907-1.06012.1093S4 =1.0e+03 *-1.89072.10931.8907二、（1）如图划分四边形单元，工分成四个分别为（2）如图分别进行编号1、2、3、4、5、6，并建立坐标系（3）编程进行求解，得出结果，其中假设力P=2000N调用Quad2D4Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵调用Quad2D4Node_Assembly函数，求出求出总体刚度矩阵求出节点位移U =0.00120.0017-0.00120.00170.00160.0049-0.00170.0052调用Quad2D4Node_Stress函数，求出单元应力中的的S1、S2、S3分别为Sx,Sy,Sxy应力分量S1 =1.0e+03 *0.0000-0.24782.0000S2 =1.0e+07 *0.68564.1135-1.7137程序附录一、1、三角形单元总程序：E=1e7;NU=1/6;t=1;ID=1;%调用Triangle2D3Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵k1=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,0,1,0,0,1,1,ID)k2=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,0,0,1,0,1,1,ID)k3=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,1,1,1,0,2,0,ID)k4=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,2,0,2,1,1,1,ID)%调用Triangle2D3Node_Assembly函数，求出总体刚度矩阵KK = zeros(12,12);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k1,1,2,3);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k2,2,4,3);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k3,3,4,5);KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k4,5,6,3)% 边界条件的处理及刚度方程求解k=KK(5:12,5:12)p=[0;0;0;0;0;0;0;2000]u=k\p%支反力的计算U=[0;0;0;0;u] %为节点位移P=KK*U%调用Triangle2D3Node_Strain函数，求出应变SN1、SN2、SN3中求出的分别为SNx,SNy,SNxyu1=[U(1);U(2);U(3);U(4);U(5);U(6)];u2=[U(3);U(4);U(7);U(8);U(5);U(6)];u3=[U(5);U(6);U(7);U(8);U(9);U(10)];u4=[U(9);U(10);U(11);U(12);U(5);U(6)];SN1=Triangle2D3Node_Strain(0,1,0,0,1,1,u1)SN2=Triangle2D3Node_Strain(0,0,1,0,1,1,u2)SN3=Triangle2D3Node_Strain(1,1,1,0,2,0,u3)SN4=Triangle2D3Node_Strain(2,0,2,1,1,1,u4)%调用Triangle2D3Node_Stress函数，求出应力,S1、S2、S3、中求出的分别为Sx,Sy,Sxyu1=[U(1);U(2);U(3);U(4);U(5);U(6)];u2=[U(3);U(4);U(7);U(8);U(5);U(6)];u3=[U(5);U(6);U(7);U(8);U(9);U(10)];u4=[U(9);U(10);U(11);U(12);U(5);U(6)];S1=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,0,1,0,0,1,1,u1,ID)S2=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,0,0,1,0,1,1,u2,ID)S3=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,1,1,1,0,2,0,u3,ID)S4=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,2,0,2,1,1,1,u4,ID)2、求刚度矩阵程序function k=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,ID)%该函数计算单元的刚度矩阵%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)%输出单元刚度矩阵k(6X6)%---------------------------------------------------------------A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endk= t*A*B'*D*B;3、求整体刚度矩阵function z = Triangle2D3Node_Assembly(KK,k,i,j,m)%该函数进行单元刚度矩阵的组装%输入单元刚度矩阵k%输入单元的节点编号I、j、m%输出整体刚度矩阵KK%---------------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;DOF(5)=2*m-1;DOF(6)=2*m;for n1=1:6for n2=1:6KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;4、求应变程序function strain=Triangle2D3Node_Strain(xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)%该函数计算单元的应变%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym%输入单元的位移列阵u(6X1)%输出单元的应力strain(3X1)，由于它为常应变单元，则单元的应变分量为SNx,SNy,SNz%---------------------------------------------------------------A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);strain = B*u;5、求应力程序function stress=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u,ID)%该函数计算单元的应力%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)，单元的位移列阵u(6X1)%输出单元的应力stress(3X1)，由于它为常应力单元，则单元的应力分量为Sx,Sy,Sxy%---------------------------------------------------------------A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammam = xj-xi;B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endstress = D*B*u;二、1、四边形单元总程序：E=1e7;NU=1/6;h=1;ID=1;%调用Quad2D4Node_Stiffness函数，求出单元刚度矩阵k1= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,0,1,0,0,1,0,1,1,ID)k2= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,1,0,2,0,2,1,1,1,ID)%调用Quad2D4Node_Assembly函数，求出求出总体刚度矩阵KK=zeros(12,12);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k1,1,2,3,4);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k2,3,5,6,4)% 边界条件的处理及刚度方程求解k=KK(5:12,5:12)p=[0;0;0;0;0;0;0;2000]u=k\p%支反力的计算U=[0;0;0;0;u] %为节点位移P=KK*U%调用Quad2D4Node_Stress函数，求出单元应力中的的S1、S2、S3分别为Sx,Sy,Sxy应力分量u1=[U(1);U(2);U(3);U(4);U(5);U(6);U(7);U(8)];u2=[U(5);U(6);U(9);U(10);U(11);U(12);U(7);(8)];S1= Quad2D4Node_Stress(E,NU,0,1,0,0,1,0,1,1,u1,ID)S2= Quad2D4Node_Stress(E,NU,1,0,2,0,2,1,1,1,u2,ID)2、求刚度矩阵程序function k= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,ID) %该函数计算单元的刚度矩阵%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度h%输入4个节点i、j、m、p的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)%输出单元刚度矩阵k(8X8)%---------------------------------------------------------------syms s t;a = (yi*(s-1)+yj*(-1-s)+ym*(1+s)+yp*(1-s))/4;b = (yi*(t-1)+yj*(1-t)+ym*(1+t)+yp*(-1-t))/4;c = (xi*(t-1)+xj*(1-t)+xm*(1+t)+xp*(-1-t))/4;d = (xi*(s-1)+xj*(-1-s)+xm*(1+s)+xp*(1-s))/4;B1 = [a*(t-1)/4-b*(s-1)/4 0 ; 0 c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 ;c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 a*(t-1)/4-b*(s-1)/4];B2 = [a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4 0 ; 0 c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 ;c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4];B3 = [a*(t+1)/4-b*(s+1)/4 0 ; 0 c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 ;c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 a*(t+1)/4-b*(s+1)/4];B4 = [a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4 0 ; 0 c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 ;c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4];Bfirst = [B1 B2 B3 B4];Jfirst = [0 1-t t-s s-1 ; t-1 0 s+1 -s-t ;s-t -s-1 0 t+1 ; 1-s s+t -t-1 0];J = [xi xj xm xp]*Jfirst*[yi ; yj ; ym ; yp]/8;B = Bfirst/J;if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endBD = J*transpose(B)*D*B;r = int(int(BD, t, -1, 1), s, -1, 1);z = h*r;k = double(z);3、求总体刚度矩阵程序function z = Quad2D4Node_Assembly(KK,k,i,j,m,p)%该函数进行单元刚度矩阵的组装%输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j、m、p%输出整体刚度矩阵KK%---------------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;DOF(5)=2*m-1;DOF(6)=2*m;DOF(7)=2*p-1;DOF(8)=2*p;for n1=1:8for n2=1:8KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;4、求应力程序function stress= Quad2D4Node_Stress(E,NU,xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,u,ID) %该函数计算单元的应力%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度h，%输入4个节点i、j、m、p的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)%输入单元的位移列阵u(8X1)%输出单元的应力stress(3X1)%由于它为常应力单元，则单元的应力分量为Sx,Sy,Sxy%---------------------------------------------------------------syms s t;a = (yi*(s-1)+yj*(-1-s)+ym*(1+s)+yp*(1-s))/4;b = (yi*(t-1)+yj*(1-t)+ym*(1+t)+yp*(-1-t))/4;c = (xi*(t-1)+xj*(1-t)+xm*(1+t)+xp*(-1-t))/4;d = (xi*(s-1)+xj*(-1-s)+xm*(1+s)+xp*(1-s))/4;B1 = [a*(t-1)/4-b*(s-1)/4 0 ; 0 c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 ;c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 a*(t-1)/4-b*(s-1)/4];B2 = [a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4 0 ; 0 c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 ;c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4];B3 = [a*(t+1)/4-b*(s+1)/4 0 ; 0 c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 ;c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 a*(t+1)/4-b*(s+1)/4];B4 = [a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4 0 ; 0 c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 ;c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4];Bfirst = [B1 B2 B3 B4];Jfirst = [0 1-t t-s s-1 ; t-1 0 s+1 -s-t ;s-t -s-1 0 t+1 ; 1-s s+t -t-1 0];J = [xi xj xm xp]*Jfirst*[yi ; yj ; ym ; yp]/8;B = Bfirst/J;if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endstr1 = D*B*u;str2 = subs(str1, {s,t}, {0,0});stress = double(str2);。
有限元三角形单元和四边形单元
有限元三角形单元和四边形单元
有限元分析是工程应用最广泛的方法之一，它可以帮助我们了解结构内部力学行为特征。
对于有限元分析来说，有两种典型的单元：三角形单元和四边形单元。
三角形单元由三个顶点组成，四边形单元由四个顶点组成。
其基本概念是根据有限元分析的原则，将被研究的区域分解成若干个小的连续单元，单元由每个顶点表示，并且形成多边形，以此来模拟物体总体的行为。
三角形单元的特性是它的每个内角都能满足三角函数，可以极大的提高计算质量，避免出现趋势不准确的情况。
在较大范围内，一致性面积越小，他们之间的拉伸应力也就越小，更有利于精确计算。
而四边形单元则更加适合于细粒度的物体，在对细粒度物体进行研究时，可以将其细分成多个正方形小块，从而简化计算难度，提高计算效率。
在有限元分析中，三角形单元和四边形单元可以因应不同的需求而采用，只要能充分构建出更准确的结构行为模型，增加更多的灵活性和应用场景就可以得到更精准的计算结果。
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a2
a6
选取位移函数应考虑的问题
（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中
2、位移函数设定 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍
以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位
移函数的有关问题。
图1-2是一个三节点三角形 单元，其节点i、j、m按逆时针 方向排列。每个节点位移在单
y
vm um
m
vj
vi
j uj
i
ui
元平面内有两个分量：
x
图1-2
{ i } [ui i ]T (i, j, m) （1-10）
解综合方程[K]{⊿}= {P}
求结构节点位移{⊿} 计算结构内力和应力
1.2 基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
{qs}
qsx qsy
qs
[qsx
qsy ]T
·
y
j
y
i
（1-1）
j qV
·i
m
m
x
x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
{qV
}
qVx qVy
[qVx
qVy ]T
限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究 单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。
P
①
②
1
2
3
l/2
l/2
单元的
节点上 有位移 和力F
2、F2 1
①
l/2
2
4、F4
2、F2 2
②
l/2
3
4、F4
1、F1
3、F3
1、F1
3、F3
（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来 代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平
衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成
结构，研究离散结构的平衡和变形协调。
划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能
力来确定。
P
2
4
○
②
6
④
8
10
⑥⑧
44
①③
⑤⑦
①②
③
○
1
3
5
7
9
3
66 6
④
⑤
555
8
⑥
⑦⑧
77
单元、节点需编号 弹性悬臂板剖分与集合
➢有限元法主要优点：
（1-7）
x
ELeabharlann 1 2( xy)上式可简写为
{} [D]{}
（1-8）
其中
1
对
[D] E 1 称
1 2
0
0
1
2
(1-9）
矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）
中的E换为 ，E 换为 。
1 2
1
{} [D]{} (1-8）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
（1-2）
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u ]T
（1-3）
y
m
v
·
u
j
i
y
m
· j
i
x
x
图1-1
4、单元内任意点的应变列阵
{} [x y xy]T
（1-4）
5、单元内任意点的应力列阵
{} [ x y xy ]T
y
m
· j
i
（1-5）
6、几何方程
x
x
u , x
y
v , y
第1章 三角形单元的有限元法
1.1 有限元法的基本思想
有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵 分析，其基本思想是用有限个离散单元的集合体代 替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合 体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。它 避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建立和求 解偏微分方程），使大型、复杂结构的计算容易地 在计算机上完成，应用十分广泛。ANSYS, SAP2K
P
①
②
1
2
3
l/2
l/2
2、F2 1
①
l/2
2
4、F4
2、F2 2
②
l/2
3
4、F4
1、F1
3、F3
1、F1
3、F3
（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。
1.1.2 有限元法分析思路流程
离散（剖分）结构
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵[k]e 形成单元等价节点力)
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K] 形成等价节点荷载{P} )
u a1 a2 x a3 y a4 a5 x a6 y (1-12）
式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、
a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是
连续函数。
x
u x
a2,
y
v y
a5,
xy
a3 a5
xy
u y
v x
将上式代入式(1-4），
{} [x y xy]T （1-4）
{}
u
x
y
u y
x
T
（1-6）
7、物理方程矩阵式
对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形
式可表示为：
x
y
xy
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
2
x y xy
式中 E、——弹性模量、泊松比。
一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序），
共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移 列阵为：
i
{
}
j
[ui
i
uj j
um m ]T
m
(1-11）
y
vm um
m v
vj
vi · u j uj
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本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 x 位移的关系）为简单多项式：
1.3 位移函数和形函数
• 1、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而
必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移 模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐 标的函数。
一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响 计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。
结构有限元法
主讲：熊世树
• 工程结构隔震减振 • 结构试验监测 • 结构仿真分析 • Tel: 87544331-8203；13707169230 • E-mail: lab4331@ • 结构试验中心203
结构有限元分析
第1章 三角形常应变单元的有限元法 第2章 有限元程序设计与分析软件 第3章 平面问题高阶单元的有限元法 第4章 空间实体的有限元法 第5章 杆系结构的有限元法 第6章 板壳问题的有限元法 第7章 结构动力问题的有限元法 第8章 弹塑性问题的有限元法
（1） 概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能 量原理、数学分析）
（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有 连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、 电磁场和声学等问题）
（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算 机编程。
1.1.1 有限元法的分析步骤 （1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有