1三角形单元有限元讲解
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限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究 单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。
P
①
②
1
2
3
l/2
l/2
单元的
节点上 有位移 和力F
2、F2 1
①
l/2
2
4、F4
2、F2 2
②
l/2
3
4、F4
1、F1
3、F3
1、F1
3、F3
（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来 代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。
解综合方程[K]{⊿}= {P}
求结构节点位移{⊿} 计算结构内力和应力
1.2 基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
{qs}
qsx qsy
qs
[qsx
qsy ]T
·
y
j
y
i
（1-1）
j qV
·i
m
m
x
x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
{qV
}
qVx qVy
[qVx
qVy ]T
xy
u y
v x
将上式代入式(1-4），
{} [x y xy]T （1-4）
{}
u
x
y
u y
x
T
（1-6）
7、物理方程矩阵式
对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形
式可表示为：
x
y
xy
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
2
x y xy
式中 E、——弹性模量、泊松比。
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平
衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成
结构，研究离散结构的平衡和变形协调。
划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能
力来确定。
P
2
4
○
②
6
④
8
10
⑥⑧
44
①③
⑤⑦
①②
③
○
1
3
5
7
9
3
66 6
④
⑤
555
8
⑥
⑦⑧
77
单元、节点需编号 弹性悬臂板剖分与集合
➢有限元法主要优点：
（1） 概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能 量原理、数学分析）
（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有 连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、 电磁场和声学等问题）
（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算 机编程。
1.1.1 有限元法的分析步骤 （1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有
（1-2）
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u ]T
（1-3）
y
m
v
·
u
j
i
y
m
· j
i
x
x
图1-1
4、单元内任意点的应变列阵
{} [x y xy]T
（1-4）
5、单元内任意点的应力列阵
{} [ x y xy ]T
y
m
· j
i
（1-5）
6、几何方程
x
x
u , x
y
v , y
1.3 位移函数和形函数
• 1、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而
必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移 模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐 标的函数。
一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响 计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。
P
①
②
1
2
3
l/2
l/2
2、F2 1
①
l/2
2
4、F4
2、F2 2
②
l/2
3Hale Waihona Puke Baidu
4、F4
1、F1
3、F3
1、F1
3、F3
（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。
1.1.2 有限元法分析思路流程
离散（剖分）结构
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵[k]e 形成单元等价节点力)
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K] 形成等价节点荷载{P} )
2、位移函数设定 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍
以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位
移函数的有关问题。
图1-2是一个三节点三角形 单元，其节点i、j、m按逆时针 方向排列。每个节点位移在单
y
vm um
m
vj
vi
j uj
i
ui
元平面内有两个分量：
x
图1-2
{ i } [ui i ]T (i, j, m) （1-10）
结构有限元法
主讲：熊世树
• 工程结构隔震减振 • 结构试验监测 • 结构仿真分析 • Tel: 87544331-8203；13707169230 • E-mail: lab4331@163.com • 结构试验中心203
结构有限元分析
第1章 三角形常应变单元的有限元法 第2章 有限元程序设计与分析软件 第3章 平面问题高阶单元的有限元法 第4章 空间实体的有限元法 第5章 杆系结构的有限元法 第6章 板壳问题的有限元法 第7章 结构动力问题的有限元法 第8章 弹塑性问题的有限元法
一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序），
共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移 列阵为：
i
{
}
j
[ui
i
uj j
um m ]T
m
(1-11）
y
vm um
m v
vj
vi · u j uj
i
ui
本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 x 位移的关系）为简单多项式：
第1章 三角形单元的有限元法
1.1 有限元法的基本思想
有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵 分析，其基本思想是用有限个离散单元的集合体代 替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合 体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。它 避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建立和求 解偏微分方程），使大型、复杂结构的计算容易地 在计算机上完成，应用十分广泛。ANSYS, SAP2K
（1-7）
x
E
1 2
( x
y)
上式可简写为
{} [D]{}
（1-8）
其中
1
对
[D] E 1 称
1 2
0
0
1
2
(1-9）
矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）
中的E换为 ，E 换为 。
1 2
1
{} [D]{} (1-8）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
u a1 a2 x a3 y a4 a5 x a6 y (1-12）
式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、
a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是
连续函数。
x
u x
a2,
y
v y
a5,
xy
a3 a5
a2
a6
选取位移函数应考虑的问题
（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中
P
①
②
1
2
3
l/2
l/2
单元的
节点上 有位移 和力F
2、F2 1
①
l/2
2
4、F4
2、F2 2
②
l/2
3
4、F4
1、F1
3、F3
1、F1
3、F3
（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来 代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。
解综合方程[K]{⊿}= {P}
求结构节点位移{⊿} 计算结构内力和应力
1.2 基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
{qs}
qsx qsy
qs
[qsx
qsy ]T
·
y
j
y
i
（1-1）
j qV
·i
m
m
x
x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
{qV
}
qVx qVy
[qVx
qVy ]T
xy
u y
v x
将上式代入式(1-4），
{} [x y xy]T （1-4）
{}
u
x
y
u y
x
T
（1-6）
7、物理方程矩阵式
对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形
式可表示为：
x
y
xy
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
2
x y xy
式中 E、——弹性模量、泊松比。
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平
衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成
结构，研究离散结构的平衡和变形协调。
划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能
力来确定。
P
2
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○
②
6
④
8
10
⑥⑧
44
①③
⑤⑦
①②
③
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3
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3
66 6
④
⑤
555
8
⑥
⑦⑧
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单元、节点需编号 弹性悬臂板剖分与集合
➢有限元法主要优点：
（1） 概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能 量原理、数学分析）
（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有 连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、 电磁场和声学等问题）
（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算 机编程。
1.1.1 有限元法的分析步骤 （1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有
（1-2）
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u ]T
（1-3）
y
m
v
·
u
j
i
y
m
· j
i
x
x
图1-1
4、单元内任意点的应变列阵
{} [x y xy]T
（1-4）
5、单元内任意点的应力列阵
{} [ x y xy ]T
y
m
· j
i
（1-5）
6、几何方程
x
x
u , x
y
v , y
1.3 位移函数和形函数
• 1、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而
必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移 模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐 标的函数。
一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响 计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。
P
①
②
1
2
3
l/2
l/2
2、F2 1
①
l/2
2
4、F4
2、F2 2
②
l/2
3Hale Waihona Puke Baidu
4、F4
1、F1
3、F3
1、F1
3、F3
（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。
1.1.2 有限元法分析思路流程
离散（剖分）结构
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵[k]e 形成单元等价节点力)
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K] 形成等价节点荷载{P} )
2、位移函数设定 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍
以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位
移函数的有关问题。
图1-2是一个三节点三角形 单元，其节点i、j、m按逆时针 方向排列。每个节点位移在单
y
vm um
m
vj
vi
j uj
i
ui
元平面内有两个分量：
x
图1-2
{ i } [ui i ]T (i, j, m) （1-10）
结构有限元法
主讲：熊世树
• 工程结构隔震减振 • 结构试验监测 • 结构仿真分析 • Tel: 87544331-8203；13707169230 • E-mail: lab4331@163.com • 结构试验中心203
结构有限元分析
第1章 三角形常应变单元的有限元法 第2章 有限元程序设计与分析软件 第3章 平面问题高阶单元的有限元法 第4章 空间实体的有限元法 第5章 杆系结构的有限元法 第6章 板壳问题的有限元法 第7章 结构动力问题的有限元法 第8章 弹塑性问题的有限元法
一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序），
共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移 列阵为：
i
{
}
j
[ui
i
uj j
um m ]T
m
(1-11）
y
vm um
m v
vj
vi · u j uj
i
ui
本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 x 位移的关系）为简单多项式：
第1章 三角形单元的有限元法
1.1 有限元法的基本思想
有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵 分析，其基本思想是用有限个离散单元的集合体代 替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合 体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。它 避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建立和求 解偏微分方程），使大型、复杂结构的计算容易地 在计算机上完成，应用十分广泛。ANSYS, SAP2K
（1-7）
x
E
1 2
( x
y)
上式可简写为
{} [D]{}
（1-8）
其中
1
对
[D] E 1 称
1 2
0
0
1
2
(1-9）
矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）
中的E换为 ，E 换为 。
1 2
1
{} [D]{} (1-8）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
u a1 a2 x a3 y a4 a5 x a6 y (1-12）
式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、
a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是
连续函数。
x
u x
a2,
y
v y
a5,
xy
a3 a5
a2
a6
选取位移函数应考虑的问题
（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中