第一章 一元二次方程【真题训练】(解析版)

人教版2020年第一单元《一元二次方程》真题再现
一．一元二次方程的解（共2小题）
1．（2019•兰州）x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝（ ）
A ．﹣2
B ．﹣3
C ．﹣1
D ．﹣6
【分析】先把x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0得a +2b ＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a +4b 的值．
【解答】解：把x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0得1+a +2b ＝0，
所以a +2b ＝﹣1，
所以2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故选：A ．
2．（2016•攀枝花）若x ＝﹣2是关于x 的一元二次方程x 2+
23ax ﹣a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．﹣1或4 B ．﹣1或﹣4 C ．1或﹣4
D ．1或4 【分析】把x ＝﹣2代入已知方程，列出关于a 的新方程，通过解新方程可以求得a 的值．
【解答】解：根据题意，将x ＝﹣2代入方程x 2+
2
3ax ﹣a 2＝0，得： 4﹣3a ﹣a 2＝0，即a 2+3a ﹣4＝0，
左边因式分解得：（a ﹣1）（a +4）＝0，
∴a ﹣1＝0，或a +4＝0，
解得：a ＝1或﹣4，
故选：C ．
二．解一元二次方程-配方法（共1小题）
3．（2019•南通）用配方法解方程x 2+8x +9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A ．（x +4）2＝﹣9
B ．（x +4）2＝﹣7
C ．（x +4）2＝25
D ．（x +4）2＝7
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x 2+8x +9＝0，整理得：x 2+8x ＝﹣9，
配方得：x 2+8x +16＝7，即（x +4）2＝7，
故选：D ．
三．根的判别式（共5小题）
4．（2020•自贡）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（ ）
A ．21
B ．﹣21
C ．1
D ．﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a 的值．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，
∴()⎩⎨⎧=⨯⨯--=∆≠0
24202a a ， ∴a ＝2
1． 故选：A ．
5．（2020•湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2020•铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【解答】解：当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
7．（2020•黔西南州）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得
出m 的取值范围．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2x +1＝0有实数根，
∴()⎩⎨⎧≥-⨯⨯-=∆≠-011420
12m m ，
解得：m ≤2且m ≠1．
故选：D ．
8．（2018•鄂州）已知关于x 的方程x 2﹣（3k +3）x +2k 2+4k +2＝0
（1）求证：无论k 为何值，原方程都有实数根；
（2）若该方程的两实数根x 1、x 2为一菱形的两条对角线之长，且x 1x 2+2x 1+2x 2＝36，求k 值及该菱形的面积．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到当△＝[﹣（3k +3）]2﹣4（4k +2）≥0时，方程有实数根；
（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝3k +3，x 1x 2＝4k +2，则代入所求的代数式进行求值；然后根据菱形的面积公式进行计算即可．
【解答】（1）证明：根据题意得：△＝[﹣（3k +3）]2﹣4（2k 2+4k +2）＝（k +1）2．
∵无论k 为何值，总有（k +1）2≥0，
∴无论k 为何值，原方程都有实数根；
（2）∵关于x 的方程x 2﹣（3k +3）x +2k 2+4k +2＝0的两实数根是x 1、x 2，
∴x 1+x 2＝3k +3，x 1x 2＝2k 2+4k +2，
∴由x 1x 2+2x 1+2x 2＝36，得2k 2+4k +2+2（3k +3）＝36，
整理，得（k +7）（k ﹣2）＝0．
解得k 1＝﹣7（舍去），k 2＝2． ∴
21x 1x 2＝2
1×2（k +1）2＝（2+1）2＝9． 即菱形的面积是9．
四．根与系数的关系（共5小题）
9．（2020•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（）A．﹣7B．7C．3D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
10．（2020•遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．5B．10C．11D．13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
11．（2019•遵义）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A．10B．9C．8D．7
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x 12＝3x 1﹣1，
∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3，
根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，
∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D ．
12．（2019•绥化）已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值．
【分析】（1）分k ＝0及k ≠0两种情况考虑：当k ＝0时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出k ＝0符合题意；当k ≠0时，由根的判别式△≥0可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．综上，此问得解；
（2）利用根与系数的关系可得出x 1+x 2＝
k 3，x 1x 2＝k
1，结合x 1+x 2+x 1x 2＝4可得出关于k 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）当k ＝0时，原方程为﹣3x +1＝0，
解得：x ＝3
1， ∴k ＝0符合题意；
当k ≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0，
解得：k ≤4
9． 综上所述，k 的取值范围为k ≤
49．
（2）∵x 1和x 2是方程kx 2﹣3x +1＝0的两个根，
x 1+x 2＝k 3，x 1x 2＝k
1． ∵x 1+x 2+x 1x 2＝4， ∴k 3+k
1＝4， 解得：k ＝1，
经检验，k ＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k 的值为1．
13．（2019•巴中）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根． ①求m 的取值范围．
②设x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0，求m 的值．
【分析】①根据“关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m 的不等式，解之即可，
②根据“x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】解：①根据题意得：
△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣1）＞0， 解得：4
5 ＞m ， ②根据题意得：
x 1+x 2＝﹣（2m +1），x 1x 2＝m 2﹣1，
x 12+x 22+x 1x 2﹣17
()()()
171121722212
21=---+=--+=m m x x x x 解得：m 1＝3
5，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为
35． 五．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）
14．（2020•衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）
A ．180（1﹣x ）2＝461
B ．180（1+x ）2＝461
C ．368（1﹣x ）2＝442
D ．368（1+x ）2＝442 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x ，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：180（1+x ）2＝461，
故选：B ．
15．（2020•遵义）如图，把一块长为40cm ，宽为30cm
的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后
把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【分析】设剪去小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
16．（2019•日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（）A．1000（1+x）2＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2＝3990．
故选：B ．
六．一元二次方程的应用（共3小题）
17．（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm ，宽20cm ．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm 2？
【分析】设剪去正方形的边长为x cm ，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x ）cm ，宽为（20﹣2x ）cm ，高为x cm ，根据长方体盒子的侧面积为200cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设剪去正方形的边长为x cm ，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x ）cm ，宽为（20﹣2x ）cm ，高为x cm ，
依题意，得：2×[（30﹣2x ）+（20﹣2x ）]x ＝200，
整理，得：2x 2﹣25x +50＝0，
解得：x 1＝2
5，x 2＝10． 当x ＝10时，20﹣2x ＝0，不合题意，舍去． 答：当剪去正方形的边长为2
5cm 时，所得长方体盒子的侧面积为200cm 2． 18．（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，
每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，
依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，
整理，得：x2﹣360x+32400＝0，
解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
19．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．。