数论基础知识

1. 倍数规律

末位系：2的倍数规律是末位数是偶数（即末位数是2的倍数），5的倍数规律是末位数是0或5（也即末位数是5的倍数）；4的倍数规律是末两位数是4的倍数（例如：28是4的倍数，则128、1128、23574335435328都是4的倍数），同样，25的倍数规律也是末两位是25的倍数；8的倍数规律是末三位是8的倍数，125的倍数规律是末三位是125的倍数。

练习：23400是上面提到的哪些数的倍数？（提示：0是任何数的倍数。）

数位和系：3或9的倍数规律是各个数位相加之和是3或9的倍数（例如：1+2+3=6是3的倍数但不是9的倍数，则123、321、213等等都是3的倍数而不是9的倍数；3+6=9既是3的倍数也是9的倍数，所以36、63也既是3的倍数也是9的倍数。） 练习：[ ]里能填哪些数可以使12[ ]34是3的倍数？9的倍数呢？

数位差系：11的倍数规律是从后往前数奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和是11的倍数。（若不够减则可通过加上11的倍数使其够减。）例：231，从后往前数，第1位是1，第2位3，第3位是2，所以奇数位的和是1+2=3，偶数位的和是3，所以奇数位和减偶数位和等于3-3=0是11的倍数，因此231就是11的倍数。6160，奇数位和等于1+0=1，偶数位和等于6+6=12，奇数位和减偶数位和不够减，但加上一个11以后就够减了，变成了1+11-12=0是11的倍数，所以6160是11的倍数。

7、11、13的倍数有个公共的规律，即将末3位与之前断开，形成两个新的数之差是7、11、13的倍数。例如：1012，把末三位断开后刚好变成了1与014（也就是12），于是这两数的差是11，因此是13的倍数，因此1014就是13的倍数。 练习：判断下列各数是不是7、11或13的倍数。

1131、25795、34177、12345

2. 分解质因数

把一个整数拆成成若干个质数（质数即只有1和本身作为因数的大于一的整数，如2、3、5、7……）相乘的形式。例：“1002255=⨯⨯⨯”就叫做把100分解质因数，而不能是1002105=⨯⨯，因为10还可以进一步分解为25⨯。

练习：把下列各数分解质因数。

36=

24=

81=

96=

3. 质因数与整除的关系

例：12223=⨯⨯，则12的倍数分解质因数后都得包含至少两个2和一个3（看上道题36和24的分解结果。）；12的因数分解质因数以后则必须包含了两个2和一个3之内，比如623=⨯、422=⨯、2、3都包含在12分解质因数的“组成”里。

练习：例如上面告诉的方法，以及36分解质因数的结果（上道题），写出36所有的因数。