二次函数顶点式的教案

二次函数顶点式的教案

一．知识要点

1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求解析式。

2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。

3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标

二. 重点、难点：

重点：求二次函数的函数关系式

难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。

三. 教学建议：

求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。

典型例题

例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。

分析：设，其图象经过点C（0，－5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。

解：设所求二次函数的解析式为

因为图象过点C（0，－5），∴

又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到：

∴所求二次函数的解析式为

说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。

例2. 已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点

（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（－2，0）确定a的值即可

解：，则

∵图象过点（－2，0），

说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。

例3. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。

分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式

解：设这个二次函数的解析式为

∵图象经过（－1，0），

∴所求这个二次函数的解析式为

即：

说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。

例4. 已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。图1

分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。

方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，－1）三点

设解析式为

根据题意得：

∴所求二次函数的解析式为

方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）

设解析式为

∵图象过（0，0），∴ ，∴

∴所求二次函数的解析式为

即

方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点（0，0），（2，0）

设解析式为

∵图象过（1，－1）

∴所求二次函数解析式为：

即：

说明：依题意后两种方法比较简便。

例5. 已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式

分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式

解：∵顶点坐标为（2，4）

∴对称轴是直线x＝2

∵抛物线与x轴两交点之间距离为4

∴两交点坐标为（0，0），（4，0）

设所求函数的解析式为

∵图象过（0，0）点

∴所求函数的解析式为

例6. 已知二次函数的最大值是零，求此函数的解析式。

分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有，且顶点的纵坐标的值为零，则有：。以上两个条件都应满足，可求m的值。

解：依题意：

由①得

由②得：（舍去）

所求函数式为

即：

例7. 已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。

分析：设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物线经过平移而得到的，故a＝2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。

解：设所求抛物线的函数关系式为，则由已知可得a＝2，又它经过点A（1，1），B（2，4）

故：解得：

∴所求抛物线的函数表达式为：

说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系，得到

例8. 如图2，已知点A（－4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为－2，并且满足条件

图2

（1）求证：△PAB是直角三角形。

（2）求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。

分析：（1）中须证，由已知条件：

，应过P作PC⊥x轴

（2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式

解：（1）过P作PC⊥x轴于点C，

由已知易知AC＝2，BC＝8

∴ ，解得：PC＝4

∴P点的坐标为（－2，－4）

由勾股定理可求得：

故△APB是直角三角形

（2）解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为：

则有

∴顶点坐标（1，）

解法2：由抛物线与x轴交于A（－4，0），B（6，0），

可设，又抛物线过点P（－2，－4）可求a值

解法3：由A（－4，0），B（6，0）

可知抛物线的对称轴为

可设，将A、B点的坐标代入解析式可求a，k的值

例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A 和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米

图3

（1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式；

（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。

分析：（1）由已知可得顶点C的坐标为（0，8），B点坐标为（－8，6），从而可求其函数关系式。

（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。

解：（1）如图所示，由已知得OA＝OA1＝8，OC＝8，

故C点坐标（0，8），B点坐标为（－8，6）

设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为，

则

∴隧道拱抛物线BCB1的函数关系式为

（2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DE⊥x轴于E

当x＝2时，