第十一讲 平方反比引力

第十一讲 平方反比引力

教学时间：3学时 教学目的要求：

1、使学生掌握典型的有心力——平方反比引力，并能利用总机械能讨论轨道的具体形状。

2、通过万有引力的推导，使学生进一步掌握研究理论物理的方法。 重点：质点在平方反比引力作用下的轨道及三种轨道形状。 难点：从开普勒行星运动三定律推导万有引力定律。 教学方法：理论推导。 讲授要点及内容：

平方反比引力是自然界最普遍的一种力， 是四大自然力之一，行星就是受太阳的这种引力作 用而绕日运动。本节就是以行星的绕日运动为例研究平方反比引力。 对所研究问题的近似处理

1）认为所研究的行星只受太阳的引力作用，忽略别的星体对它的作用。 2）认为太阳是绝对固定不动的。

在这样的近似处理下，行星所受太阳的引力可视为有心力，太阳为力心，行星作有心运动。 一、行星绕日运动的轨道方程（已知力，求轨道） 研究行星公转时，可将其视为质点。

以太阳中心为极点，建立极坐标系，令 , M m 分别为太阳，行星的质量，r 为太阳与行星间 的距离，则行星所受的力为 22 2 Mm

F G

k mu r

=-=- （负号表示引力） 。 2 G k ——万有引力常数， ——太阳的高速常数，与行星无关。

将其代入比耐公式，得

222

2

2

22 22

2 d u d u k h u u k u u d d h q q æö +=Þ+= ç÷ èø

（二阶常系数线形非齐次方程） 。 其解为 ( ) 2

0 2 cos k u A h

q q =-+ ， 0 , A q 为积分常数，由初始条件而定，适当选取极轴取向，

可使 0 q = ，则行星运动的轨道为 2 2 22

22 11 cos 1cos h k r k h u

A A h k

q q

=== ++ 。 1cos p

r e q

= + ——圆锥曲线。

其中： 2 2 h p k = ——圆锥曲线正焦弦长度的一半， 2 2 h

e A Ap k

== ——圆锥曲线的离心率，

决定轨道的具体形状。

当 1 e < 时——椭圆轨道，当 1 e = 时——抛物线轨道，当 1 e > 时——双曲线轨道。

说明：1）在圆锥曲线中，离力心最近的点称为近日点，椭圆轨道中离力心最远的点为远日 点，其他轨道无远日点。

2）由于 2 2 h

e A k

= 中的A 由初始条件而定 e ® 的大小由初始条件而定®行星轨道的具

体形状由初始条件而定。（人造星体进入轨道时速度不同，则轨道形状不同） 二、由动力学常数确定轨道形状

离心率e 是几何常数，但在物理学中，人们习惯于用物理常数讨论问题。由于行星绕日运动 为有心运动，总机械能为常数，因此可用总机械能的大小来判断轨道形状。

取离太阳无穷远处势能为零，则行星距离太阳为r 时的引力势能为 2 k m

V r =- ，则总机械能

为 2 222 1 2 k m m r r E r q ×× æö +-= ç÷ èø

（常数）

将 111 cos cos e u A r p p p q q ==+=+ ， sin du

r h hA d q q

× =-= ， 2

hu q × = 代入机械能守恒方程，得 (

) 22222

2

1

sin 2

m h A h u

k mu E

q +-= 2 2222

2 111 sin cos cos 2 m h A h A k m A E p p q q q éù æöæö ++-+= êú ç÷ç÷ êú èøèø ëû

2 222 2 112 cos cos 2 A k m mh A k mA E p p p

q q éù ++--= êú ëû 将 2

2 h

p k

= 代入，得

42444 222

22 42242

121 cos cos 22 k k A k m k k m

mh A k mA E mh A E h h h h h q q æöæö ++--=Þ+=+ ç÷ç÷ èøè

ø

4444222

2

424422424 2222 1 k E k k E k h k E h

A A h mh h h mh h k h m k æöæöæö Þ+=+Þ=+=+ ç÷ç÷ç÷

èøèøèø

由此得出行星初始时总机械能的大小（以后永远是这样大）决定了积分常数A 的大小。—

根据 22

24 2 1 h E h

e A k m k æö ==+ ç÷ èø ，∵ 2

2 2 h m k æö ç÷ èø

恒为正值。

当 1 , 0 p p e E ——椭 圆轨道。

E =0， e =1——抛物线轨道。 1 , 0 f f e E ——双曲线轨道。

这样，我们就可以利用总机械能的大小判断行星轨道的具体形状。太阳系的八大行星，他们

的总机械能均为负值，因此都绕太阳做椭圆轨道运动。

对总机械能为负值，则轨道为椭圆的解释：当 2 2 1 0 2 k m E mv r =-< 时， 2 2

1 2 k m mv r > 。

而 2

1 2 mv 是一个有限的正值，故r 不能为¥（否则 2 0 k m r

= ），必为封闭曲线，而在圆锥曲 线中只有椭圆线才有r 不为¥，因此，行星作椭圆轨道运行时，总机械能必小于零。 二、开普勒行星运动三定律

第一定律：行星绕太阳做椭圆轨道运动，太阳位于这些椭圆的一个公共焦点上。

第二定律：行星和太阳之间的联线（矢径）在相等的时间内扫过的面积相等，即面积速度恒 定。

dA

dt

=常数（ A ——矢径所扫的面积） ， （以上两个定律发表于1609 年） 第三定律：行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比 2

2

3

3 =ca c a

t t Þ= ，（c 与行星

无关的常数）， （此定律发表于1619 年）

注：开普勒在研究行星运动时，认为太阳绝对静止，因此在精确处理问题时，开普勒定律具 有一定的近似性。

三、万有引力定律的发现（1687 年）

牛顿在开普勒行星运动三定律的基础上，进行了大量的理论推导工作，于 1687 年提出了著 名的万有引力定律，总结出天体运动的动力学规律。下面我们沿着物理史的进程，从开普勒 定律出发进行推导。

注：这时，我们不知万有引力，但有心力，有心运动的特征及动力方程人们已经掌握了。 1、对开普勒第二定律的研究

行星的矢径r r

在时间dt 内所扫过的面积

( ) 2 11 22

dA r rd r d q q =

= 根据开普勒第二定律 2 1 2 dA r dt q ×

==常量，即

2

2

r mr q q ×

×

=Þ= 常量 常量

行星对太阳的动量矩为常数，从而得出太阳对行星的力矩为零，但太阳对行星的作用力不为

零，故F u r 与r r 共线，F u r

为有心力。

结论：开普勒第二定律说明了行星受太阳的作用力必定是有心力，太阳为力心。 2、对开普勒第一定律的研究

开普勒第一定律指出行星的运动轨道为椭圆，太阳位于一个焦点， 则以太阳为极点建立极坐 标系，行星的轨道方程为 ( ) 1 cos 1 1cos p e

r u e e p p

q q =

Þ=+< + ，

则 2 2 cos d u e d p q q =- ， 2 2 1

d u u d p

q += 2 P 1

P ( )

r t dt + r

dr r d q

( )

r t r