5、329 左准线为x=-59,M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为329
52935=?=ed
6、)2
1
(21>=y x 设弦为AB ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)AB 中点为(x ,y),则y 1=2x 12,y 2=2x 22,y 1-y 2=2(x 12-x 22)
∴
)(2212
121x x x x y y +=-- ∴2=222x ,21=x
将21=
x 代入y=2x 2得21=y ,轨迹方程是21=x (y>2
1
) 7、y 2=x+2(x>2)
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点M(x ,y),则
2)(),
(2,2,2212
12
1212
221222121=+?---=-==y y x x y y x x y y x y x y
∵20+-=
=x y k k MP AB ,∴
222
=?+y x y
,即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P ,即y 2<2x ,即x+2<2x ,∴x>2 8、4 2=b a 9、12±±
或 ①???=?≠-0
12k 得10、解:a 2=25,设F 1、F 2设=11,PF r PF 则??
?-+=+2122
2
1
2122r r r r r r θ ①2-②得2r 1r 2
④ ⑤ ∴1+cos θ=2
12
212224r r b r r b =
∵r 1+r 2212r r ≥, ∴r 1r 2的最大值为a 2 ∴1+cos θ的最小值为22
2a
b ,即1+cos θ2518≥
cos θ257-
≥, 257arccos 0-≤≤πθ则当2
π
θ=时,sin θ取值得最大值1, 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。
11、设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x
由题意:C 、2C 、c c
a +2
成等差数列, ∴222
24c a c c
a c c =++=即,
∴a 2=2(a 2-b 2),∴a 2=2b 2
椭圆方程为1222
22=+b
y b x ,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)
则12221221=+b y b x ①
122
2
2
222=+b y b x ② ①-②得022
22
2122221=-+-b
y y b x x ∴
022
2=?+k b
y b x m
m 即
02
2
=+-k ∴k=1 直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0, 342)218(12123
1
112221=--=
+-=b x x AB 解得b 2
=12, ∴椭圆方程为
112
242
2=+y x ,直线l 方程为x-y+3=0 12、证明:设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),AD 中点为M(x 0,y 0)直线l 的斜率为k ,则
???????=-=-112
2
222222
12
21b y a x b y a x ①-②得0222
20=?-
k b y a x ③
设),(),,(),,(002211
y x M BC y x C y x B '''''''中点为, 则???????=-=-0022
122
212
22
112211b y a
x b y a x ④-⑤得02221
021
=?-'k b
y a x ⑥
由③、⑥知M 、M '均在直线022:
22=?-'k b
y
a x l 上,而M 、M '又在直线l 上 , 若l 过原点,则B 、C 重合于原点,命题成立
若l 与x 轴垂直,则由对称性知命题成立
若l 不过原点且与x 轴不垂直,则M 与M '重合 ∴CD AB =
① ②
【学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法:
4、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”,令2x+y=b ,则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距;如“x 2+y 2
”,令d y x =+22,则d 表示点P
(x ,y )到原点的距离;又如“
23+-x y ”,令2
3
+-x y =k ,则k 表示点P (x 、y )与点A (-2,3)这两点连线的斜率…… 5、参数法
(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数,依次求出其他相关量,再列式求解。如x 轴上一动点P ,常设P (t ,0);直线x-2y+1=0上一动点P 。除设P (x 1,y 1)外,也可直接设P (2y,-1,y 1) (2)斜率为参数
当直线过某一定点P(x 0,y 0)时,常设此直线为y-y 0=k(x-x 0),即以k 为参数,再按命题要求依次列式求解等。
(3)角参数
当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。 6、代入法
这里所讲的“代入法”,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件P 1,P 2求(或求证)目标Q ”,方法1是将条件P 1代入条件P 2,方法2可将条件P 2代入条件P 1,方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设,代入P 1,P 2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。 【典型例题】
例1:已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点,求S=136422+-++b a b a 的最小值。
分析:由此根式结构联想到距离公式,
解:S=2
2)3()2(-++b a 设Q(-2,3),
则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min
5
5
35
|
1322|=
-?+- 点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为t 消元后,它是一个一元二次函数)
例2:已知点P(x,y)是圆x 2
+y 2
-6x-4y+12=0上一动点,求
x
y
的最值。
解:设O (0,0),则x y 表示直线OP 的斜率,由图可知,当直线OP 与圆相切时,x
y
取得最值,设最值为k ,则切线:y=kx,即kx-y=0
圆(x-3)2+(y-2)2
=1,由圆心(3,2)到直线kx-y=0的距离为1得
11
|23|2
=+-k k ,
∴4
3
3±=
k ∴433,433max
min +=??? ??-=
???
??x y x y 例3:直线l :ax+y+2=0平分双曲线
19
162
2=-y x 的斜率为1的弦,求a 的取值范围. 分析:由题意,直线l 恒过定点P(0,-2),平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点M 与点P
的连线的斜率即-a 的范围。
解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是双曲线上的点,且AB 的斜率为1,AB 的中点为M(x 0,y 0)
则: ???????=-=-19
161
916
22
2
22
12
1y x y x
①-②得
019
16,0916002
2122212=?-=---y x y y x x 即 即M(X 0,y 0)在直线9x-16y=0上。 由
9x-16y=0 得C ???? ?
?-
-
79,7
16,D ???
?
??79,716
19
162
2=-y x ∴点M 的轨迹方程为9x-16y=0(x<-
7716或x>7
7
16) k PD =
167
297
16079
2,16729716079
2+=-
-
-=-=++
-PD k ① ②
由图知,当动直线l 的斜率k ∈???
?
??+????? ??-16729,169169,16729时,l 过斜率为1的弦AB 的中点M ,而k=-a
∴a 的取值范围为:???
?
??--????? ??-+-
16972,169169,16729 点评:此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的,由图得知,弦AB 中点轨迹并不是一条直线(9x-16y=0),而是这条直线上的两条射线(无端点)。再利用图形中的特殊点(射线的端点C 、D )的属性(斜率)说明所求变量a 的取值范围。
例4:过y 2
=x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。求证:直线BC 的斜率是定值。 分析:(1)点A 为定点,点B 、C 为动点,因直线AB 、AC 的倾斜角互补,所以k AB 与k AC 相反,故可用“k 参数”法,设AB 的斜率为k ,写出直线AB 的方程,将AB 的方程与抛物线方程联立,因A 为已知交点,则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B 坐标,同理可得点C 坐标,再求BC 斜率。
(2)因点B 、C 在抛物线上移动,也可用“点参数”法,设B (x 1,y 1),C(x 2,y 2),因x 1=y 12
,x 2=y 22
,即可设B (y 12
,y 1),C(y 22
,y 2)。再考虑k AB =-k AC 得参数y 1,y 2的关系。 解法1:设AB 的斜率为k ,则AC 的斜率为-k AB :y-2=k(x-4),与y 2
=x 联立得: y-2=k(y 2
-4),即ky 2
-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解, ∴2y B=
k
k
y k k B 21,24-=+-
x B =y B
2=,4412
2
k
k k +- ∴B ????
?
?-+-k k k k k 21,44122 ∵k AC =-k,以-k 代替k 代入B 点坐标得C ????
??-+++k k k k k 21,44122 ∴k BC =4144144121212
2
2-=+--
++--
+-
k k
k k k k k k
k k 为定值 解法2:设B (y 12
,y 1),C(y 22
,y 2),则 k BC =
1
22
1
2
2121y y y y y y +=
--
∵k AB =
2
1
42,214222
221121+=--=+=--y y y k y y y AB 由题意,k AB =-k AC , ∴
4,2
1212121-=++-=+y y y y 则 则:k BC =4
1
-
为定值。 点评:解法1运算量较大,但其方法是一种基本方法,因k 的变化而造成了一系列的变化,最终求出BC 的斜率为定值;解法2利用点B ,C 在抛物线上设点,形成含两个参数y 1,y 2的问题,用整体思想解题,运算量较小。
例5:在圆x 2
+y 2
=4上,有一定点A (2,0)和两动点B ,C (A ,
π
求△ABC 的重心的轨迹。
分析:圆周角∠BAC=3
π可转化为圆心角∠BOC=32π
令B (2cos θ,2sin θ)则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+3
2π
))
则重心可用θ表示出来。
解:连OB ,OC ,∵∠BAC=3
π,∴∠BOC=32π
设B (2cos θ,2sin θ)(0<θ<34π),则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+3
2π
))
设重心G (x ,y ),则:
x=)]32cos(2cos 22[31πθθ+
++
y=)]32sin(2sin 20[31π
θθ+
++ 即: x=)]3cos(1[32πθ++ )3cos(123π
θ+=-x
y=)3sin(32πθ+ )3sin(23π
θ+=y
θ+)35,
3(3π
ππ∈ ∴1)23()123(22
=+-y x 。(x<21)
即)2
1(94)32(2
2<=+-x y x
点评:要注意参数θ的范围,θ+3π∈(3
π,35π
)它是一个旋转角,因此最终的轨迹是一 段圆弧,而不是一个圆。
例6、求直线3x-4y+10=0与椭圆12
22=+y a
x (a>0)有公共点时a 的取值范围
分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0可求得a 的取值范围。也可考虑另一代入顺序,从椭圆方程出发设公共点P (用参数形式),代入直线方程,转化为三角问题:asinx+bcosx=c 何时有解。
解法一:由直线方程
3x-4y+10=0
得2543+
=
x y 代入椭圆方程得1)25
43(1222=++x x a
∴0421
415)16
91(
22=+++x x a
△≥0,得0)1691(4214)415(
22≥+??-a 解得3282≥a ,又a>0,∴3
72≥a 解法二:设有公共点为P ,因公共点P 在椭圆上,利用椭圆方程设P (acos ?,sin ?)再代入直线方程得3acos ?-4sin ?+10=0
4sin ?-3acos ?=10。
16
910cos 16
93sin 16
942
2
2
+=
+-
+a a a a ??
令sin α=
16
932
+a a ,cos α=
16
942
+a ,
则sin(?-α)=
16
9102
+a ,
由1)sin(≤-α? 即sin 2
(?-α)≤1得
116
91002
≤+a ∴9a 2≥84,a 2
≥328(a>0) ∴a ≥321
2
点评:解法1,2给出了两种不同的条件代入顺序,其解法1的思路清晰,是常用方法,但运算量较大,对运算能力提出较高的要求,解法2先考虑椭圆,设公共点再代入直线,技巧性强,但运算较易,考虑一般关系:“设直线l :Ax+By+C=0
与椭圆12
222
=+b y a x 有公共点,求应满足的条件”此时,若用解法一则难于运算,而用解法二,设有公共点P ,利用椭圆,
设P (acos ?,bsin ?)代入直线方程得Aacos ?+Bbsin ?=-C 。
∴
12
222≤+-b
B a A
C 时上式有解。 ∴C 2≤A 2a 2+B 2b 2
因此,从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。
【同步练习】
1、若实数x 、y 满足x 2
+y 2
-2x+4y=0,则x-2y 的最大值是( )
A 、5
B 、10
C 、9
D 、5+25
2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x 有两个不等实根,则实数k 的取值范围是 ( ) A 、)33
,33(-
B 、)3,3(-
C 、??? ?
?-
0,33D 、???
???????? ??--33,2121,33 3、方程03)1()3(2
2
=+---++y x y x 表示的图形是( ) A 、椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、以上都不对
4、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上,且△POQ 的面积为1,(0为原点),则线段PQ 中点M 的轨迹为( ) A 、双曲线x 2
-y 2
=1 B 、双曲线x 2
-y 2
=1的右支 C 、半圆x 2
+y 2
=1(x<0) D 、一段圆弧x 2
+y 2
=1(x>
2
2
) 5、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2
=20x 上,第三个顶点在原点,则这个三角形的面积为 6、设P(a,b)是圆x 2
+y 2
=1上的动点,则动点Q(a 2
-b 2
,ab)的轨迹方程是 7、实数x 、y 满足3x 2
+2y 2
=6x ,则x+y 的最大值为
8、已知直线l :2x+4y+3=0,P 是l 上的动点,O 为坐标原点,点Q 分为1:2,则点Q 的轨迹方程为
9、椭圆
19
162
2=+y x 在第一象限上一动点P ,若A(4,0),B(0,3),O(0,0),则APBO S 四边形的最大值为 10、已知实数x 、y 满足x+y=4,求证:2
25
)1()2(2
2≥-++y x
11、△ABC 中,A(3,0)2=BC ,BC 在y 轴上,且在[-3,3]间滑动,求△ABC 外心的轨迹方程。
12、设A 、B 是抛物线y 2
=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°(O 为原点)。求证:直线AB 过定点。
参考答案
1、B
x-2y=b ,圆(x-1)2
+(y+2)2
=5,由(1,2)到x-2y-b=0的距离等于5得
55
41=-+b
,∴b=0或b=10
则b 的最大值为10,选B 。
或用参数法,令θθsin 52,cos 51+-=+=y x 代入得
)sin(55)sin 5
52cos 55(
55sin 52cos 552θαθθθθ-+=-+=-+=-y x 最大值为10。选B 2、C 作图,知当??
?
?
?-
∈0,33k 时,直线y=k(x-2)与半圆有两交点, 选C
3、B
方程即2
3
2)1()3(22+-?
=
-++y x y x
令F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PH ⊥l 于H 则
2=PH
PF ,由双曲线第二定义知选B 。
4、B
用“点参数”法,设P(x 1,x 1)(x 1>0),Q(x 2,-x 2)(x 2>0) 则
1222
1
21=?x x ,∴x 1x 2=1,设M(x ,y), 则2x=x 1+x 2,2y=x 1-x 2,∴(2x)2
-(2y)2
=4x 1x 2
则x 2
-y 2
=1(x>0)。选B
5、12003。
设此三角形为△OAB ,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)由OB OA =得2
2
222121y x y x +=+, ∴22
21212020x x x x +=+ (x 1-x 2)(x 1+x 2+20)=0,∵x 1>0,x 2>0 ∴x 1=x 2
则22
21y y =,y 1=-y 2,∴A 、B 关于x 轴对称,A 、B 在y=x 3
3
±上 将x y 3
3
=
代入y 2=20x 得A(60,203),∴B(60,-203) 边长为403面积为
31200)340(4
3
2=
6、x 2
+4y 2
=1
令a=cos θ,bsin θ,则Q(cos2θ,
2
1
sin2θ),设Q(x ,y) 则x 2
+4y 2
=1
7、
2
10
+1 3(x-1)2+2y 2
=3, (x-1)2
+
13
22
=y 令x-1=cos ?,y=
23sin ?,则x+y=cos ?+2
3
sin ?+1 最大值为12
10
1231+=++
8、2x+4y+1=0
设Q(x ,y),P(x 1,y 1),则2
1121
0,21121011++=++
=
y y x x ∴x 1=3x ,y 1=3y , ∵2x 1+4y 1+3=0
∴233x+433y+3=0即2x+4y+1=0
9、26
设P(4cos ?,3sin ?)(0<
2
π
)
)4
(26)cos (sin 6cos 4321sin 3421π
?????+=+=??+??=
+=??sn S S S OBP OAP APBO 四边形 当?=4π时,APBO
S 四边形的最大值为26
10、证明:设P(x,y),A(-2,1)则2
2
2)1()2(PA y x =-++
过A 作AH ⊥l 交于H ,其中l :x+y=4 则2
52
4
12=
-+-=
AH ∴2
5=
≥AH PA ,则2
252
≥
PA
当P 在H(
2
7
,21)时取等号 ∴2
25)1()2(2
2≥
-++y x 11、解:设C 在B 的上方,设B(0,t), 则C(0,t+2),-3≤t ≤1 设外心为M(x,y),因BC 的中垂线为y=t+1 ①
AB 中点为)2
,23(t ,3t k AB -
= AB 的中垂线为)23
(32-=-x t t y ② 由①、②消去t 得)22)(3
4(62
≤≤--=y x y 这就是点M 的轨迹方程。
12、解:设OA :y=kx ,代入y 2=2px 得k 2x 2
=2px 则k p y k p x 2,22== ∴)2,
2(2k p k
p A 同理由OB :y=-k
1x 可得B(2pk 2
,-2pk)
2
2
2
22111112222k k k
k k k k
k pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= ∴)2(12:22
pk x k
k
pk y AB --= 令x=2p 得y=0,说明AB 恒过定点(2p ,0)
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,
圆锥曲线常见题型与答案
圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质,如求圆锥曲线的标准方程,求准线或渐近线方程,求顶点或焦点坐标,求与有关的值,求与焦半径或长(短)轴或实(虚)轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见,解此类题应注意: (1)熟练掌握圆锥曲线的图形结构,充分利用图形来解题;注意离心率与曲线形状的关系; (2)如未指明焦点位置,应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种(或四种)情况; (3)注意2,2,a a a ,2,2,b b b ,2,2,c c c ,2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同,椭圆中 222b a c -=,双曲线中222b a c +=,离心率a c e =,准线方程a x 2±=; 例题: (1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 ( ) A .421=+PF PF B .6 21=+PF PF C .1021=+PF PF D .122 2 2 1 =+PF PF (答:C ); (2) 方程8=表示的曲线是_____ (答:双曲线的左支) (3)已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____ (答:2) (4)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值围为____ (答:11(3,)(,2)22---U ); (5)双曲线的离心率等于25 ,且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:2 214x y -=); (6)设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为 _______(答:226x y -=) 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查,与动点到定点的距离(焦半径)和动点到定直线(准线)的距离有关,有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的(两个)定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有:中垂线、角平分线的性质,勾股定理,圆的性质,解三角形(正弦余弦定理、三角形面积公式),当条件是用向量的形式给出时,应由向量的几何形式而用平面几何知识;涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理; 圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例): ①围:,a x a b y b -≤≤-≤≤; ②焦点:两个焦点(,0)c ±; ③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为 2a ,短轴长为2b ; ④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 p e c b a ,,,,
圆锥曲线解题技巧教案
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____(答2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y += 1(0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B , C 同号,A ≠B )。 如(1)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____(答: 11 (3,)(,2)22 ---) ; (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1 (0,0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A , B 异号)。 如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=) (3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口 向上时22(0)x py p =>,开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 1
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结91876
圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=-0 202y a x b ; 在双曲线22 221x y a b -=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ;在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>! 2.了解下列结论 (1)双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02 222=-b y a x ; (2)以x a b y ±=为渐近线(即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线)的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数,λ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为22b a ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为2 b c ,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ,1122(,),(,)A x y B x y ,则①12||AB x x p =++;②2 21212,4 p x x y y p ==- (7)若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1)在ABC ?中,给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; (2)在ABC ?中,给出222==,等于已知O 是ABC ?的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外 心是三角形三边垂直平分线的交点); (3)在ABC ?中,给出=++,等于已知O 是ABC ?的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (4)在ABC ?中,给出?=?=?,等于已知O 是ABC ?的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (5) 给出以下情形之一:①//;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角, (8 ) 给出=??+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)
专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. (Ⅱ)证明: 由题意设直线的方程为, 由消去y整理得, 设,,
要使其为定值,需满足, 解得 . 故定点的坐标为 . 点睛:解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =(0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时,弦MN 的长为15(1)求抛物线C 的标准方程; (2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1)24y x =;(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+, 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将(1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=,即可得出直线NQ 过定点.
圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型: (1) 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(小,儿),匕2,),2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。 x2 y2 如:(1) —+ —= 1(?>Z?>O)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),則有cr lr 典+卑《 = 0。 a- \r 2 2 (2) 冷一亠= l(d>0“>0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(x°,y°)則有cr Zr 算-辱0 a~ b- (3) y2=2px (p>0)与直线I 相交于A、B 设弦AB 中点为M (x。, y0),则有 2y?k=2p,即y o k=p. 典型例题给定双曲线,一斗=1。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点片及鬥,求线段片人的中点P的轨迹方程。 (2) 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点仟、竹构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 X2 y2 典型例题设P(X, y)为椭IS—+ —= 1上任一点,F](—C0),化(c,0 )为焦点, cr lr
APF}F2 =a9 ZPF占=0。 (1) 求证离心率“血3+0): sin a + sin 0 (2) 求IPFf + PFJ’的灵值。 (3) 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定艾去解。 典型例题 抛物线方程y? =p(x +1)(p>0),直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1) 求证:直线与拋物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。 (4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题 < 圆锥曲线中的有关置值(范国)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意艾,一般可用因形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于a的不等式?通过解不等式求出a的范囤,即:“求范囤,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把ANAB的面积表示为一个变董的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想二 最值问题的处理思路: 1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求心y的范國; 2、数形结合,用化曲为直的转化思想: 3、利用判别式,对于二次函数求罠值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值:
圆锥曲线方法总结
圆锥曲线考点及方法总结(江苏)1 化斜为直:利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比,然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化,然后联立直线与曲线的方程,利用韦达定理,涉及最值或范围问题时注意带塔>0; 4圆锥曲线中的最值问题:通常构造函数转化为求函数最值(导数求解),也可以保留两个变量运用基本不等式求解,当然在设点时用圆锥曲线的参数方程,这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质:角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程(与焦半径有关的题目才能用) 9参数方程(涉及最值与定值问题时可尝试) 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负(在涉及线段长度的题目中有效) 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多
设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论:k1*k2为定值(与椭圆对称点)点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧:如两直线过同一点只有K不一样,则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据(不只斜率K可以代换,点也可以代换)减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时,考虑能否整体代换,将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一;求出AB直线方程再求定点 方法二:取两个特殊位置的直线,解出交点C,验证交点C是否在直线AB上,只需算k1=k2即可 方法三,若能观察出定点在x轴上,解出AB方程令y=0,解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍:大胆设点,利用以下结论 一:点在曲线上 二:点满足一定条件(题目所给) 三:韦达定理 运用好这三点,就可以做到舍而不求
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝 对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|, 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1 (0a b >>)。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,2 2 y x +的最小值是___ ) (2)双曲线:焦点在x 轴上: 2 2 22b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴 上,离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=) (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开 口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆,则m 的取值范围是__(答:)2 3 ,1()1,( --∞) (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦 点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例): ①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长 为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =± ; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆 越圆;e 越大,椭圆越扁。 如(1)若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ,则m 的值是__(答:3或 3 25); (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 22) (2)双曲线(以22 22 1x y a b -=(0,0a b >>)为 例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等 时,称为等轴双曲线,其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤ 离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大; ⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围: 0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几 何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线: 一条准线2 p x =-; ⑤离心率:c e a =,抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0,则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________(答:)161 , 0(a ); 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x (0a b >>)的 关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>;(2) 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +=1;(3)点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交; 0?>?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0?>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0?>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0?>?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0?>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切:0?=?直线与椭圆相切;0?=?直线与双曲线相切;0?=?直线与抛物线相切; (3)相离:0?中, 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒:因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0?>! 11.了解下列结论 (1)双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ; (2)以x a b y ±=为渐近线(即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线)的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数,λ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称 轴的弦)为2 2b a ,焦准距(焦点到相应准线的距离) 为2b c ,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB , 1122(,),(,)A x y B x y ,则①12||AB x x p =++; ②2 21212,4 p x x y y p ==- (7)若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题: 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两 个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴 上). (1)若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; (2)若角A 为0 90,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程. 分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程; 解:(1)设B (1x ,1y ),C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心,所以由 2321=+x x ,得30=x ,由03421=++y y 得20-=y ,代入(1)得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x (2) 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入,得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+,222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入(2)式得 054163292 2=+--k b b ,解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点(0,)94-,设D (x,y ),则1494 -=-?+ x y x y ,即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图,已知梯形ABCD 中CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线 过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围。
(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)
)直接法:直接利用条件建立之间的关系; 和直线的距离之和等于 ),端点向圆作两条切线
的距离比它到直线的距离小于 :和⊙:都外切,则动圆圆心 代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点,定点为,分所成的比为 参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于
?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0; ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或);?120K K +=12K K = ④“共线问题” (如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); AQ QB λ= ?(如:A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等);? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);?六、化简与计算;七、细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验; 7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而
圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式: 2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点M的轨迹是( ) A、双曲线;B 、双曲线的一支;C 、两条射线;D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1) 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有
解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+ 椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02 020=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 椭圆与双曲线的对偶性质总结 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点.
圆锥曲线解题技巧
圆锥曲线:概念、方法、题型、及技巧总结 1.圆锥曲线的定义: (1)定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 (1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A . 421=+PF PF B .621=+PF PF C .1021=+PF PF D .122221=+PF PF (2)方程8=表示的曲线是_____ 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>)?{ cos sin x a y b ??==(参数方程,其中?为参数),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么? 如(1)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____ (2)若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是 ___ (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么? 如(1)双曲线的离心率等于2 5,且与椭圆14922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______ (2)设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______ (3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。