材料力学第9章-压杆稳定3+第8章-能量法1汇总
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材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
《材料力学压杆稳定》PPT课件
当 s 时，就发生强度失效，而不是失稳。
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学课件 第九章 压杆稳定
对于脆性材料，将s改为b 。
2 1 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验
公式。它的破坏既有强度又有稳定性。
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算 压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。推导欧拉公式时 所用的挠曲线近似微分方程是以材料服从虎克定律为 基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。
σcr
或 令
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
关键
确定压杆的临界力 Fcr
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
失稳（屈曲）：压杆丧失直线状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 临界压力：压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的压力临界值。
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
π 2 EI Fcr ( l )2
——长度因数，代表支持方式对临界载荷的影响。 l——相当长度，压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长
度。
l物理意义是各种支承条件下，细长压杆失稳
时，相当的两端铰支细长压杆的长度，也就是挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
2 EI Fcr 2 l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆
临界力的计算公式（欧拉公式）。
2 1 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验
公式。它的破坏既有强度又有稳定性。
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算 压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。推导欧拉公式时 所用的挠曲线近似微分方程是以材料服从虎克定律为 基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。
σcr
或 令
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
关键
确定压杆的临界力 Fcr
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
失稳（屈曲）：压杆丧失直线状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 临界压力：压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的压力临界值。
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
π 2 EI Fcr ( l )2
——长度因数，代表支持方式对临界载荷的影响。 l——相当长度，压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长
度。
l物理意义是各种支承条件下，细长压杆失稳
时，相当的两端铰支细长压杆的长度，也就是挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
2 EI Fcr 2 l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆
临界力的计算公式（欧拉公式）。
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
材料力学 第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
材料力学压杆稳定PPT课件
6
工程背景 (Engineering background)
crane truck
7
问题的提出
p pcr
p pcr
p pcr
求载荷pcr是稳定问题的实质!!! 对象—压杆
方法—静力学方法
基本问题—
求pcr； 讨论支承对临界力的影响；
8
压杆稳定条件
2 细长压杆的欧拉临界压力
横向干扰力产生初始变形, P
1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高层建筑 的高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈 曲坍塌，5人死亡、7人受伤 。
1907年北美魁北克圣劳伦斯河上大铁桥施工中,珩架下 弦受压杆屈曲,就如少一杆,成变形体而坍塌.
1925年苏联莫兹尔桥试运行时，因压杆失稳而破坏。
1940年美国塔科马桥,一场大风,因侧向压杆失稳而破 坏。
解：压杆在xoy平面内，
z
l
iz
1210012.21 17 .32
压杆在xoz平面内，
y
l1
iz
1200086 .6 11 .55
1
2E p
2205109
200106
101
maxmax{y,z}121.21
18
iz
b 23
17 .32 mm
iy
a 23
1ห้องสมุดไป่ตู้ .55 mm
所以，压杆为细长杆。
Pcr2E2 A33.06kN
3
液压缸顶杆
hydraulic pressure post rod
4
Scaffold frame
脚手架中的压杆
工程背景 (Engineering background)
材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B 不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：
FP F FP P
FP>FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下， 压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程 称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆， 由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲 （bifurcation buckling）。 稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临 界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始， 平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称 为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load）， 用FP表示。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失 效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲 失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因 此工程设计中需要认真加以考虑。
材料力学第9章压杆稳定
l
F B l C
1
2 l
i
200
A
2l
D
E F A 3 . 875 kN Ncr 2
2
2 E 99 .3 1 p
安全 n = F / F = 3.73 > n F 1 . 04 kN Ncr N st N
3 3 F l F l F l l F 2 l Fl N N N N l 3 EI 3 EI 3 EI GI EA p 3
dw 2 12 21 2 1 3 k ( lx x Cx D ) k( lx x C ) w 2 6 dx 2 12 x 0 , l w 0 D 0 , C l 3 1Fa 2 3 EI x 0 ,w 3 EIll Fcr al
1 4 1 cm I 1130 cm W 梁 梁 π 2 2 2 A D d 1178 mm 柱 4
4
3
4 3 5 ql F l F l N N 384 EI 48 EI EA
F 9 7 . 2 kN N
M/kNm
12.3
17.2
3 M 1 7 . 2 10 max s 1 22 MPa max n 1 . 9 梁 W 141
选择合理截面（I、i大） 改变约束条件（小） 各平面稳定性基本相同 合理选择材料（大柔度杆无效）
Fa M Fa 令： k 0 EIl F M / l Fa / l R 0
2
F
M Fa Fa x / l
a
l EI EI
M0 l
2 d w M Fa 2 ( l x ) k( lx ) 2 dx EIEIl
F B l C
1
2 l
i
200
A
2l
D
E F A 3 . 875 kN Ncr 2
2
2 E 99 .3 1 p
安全 n = F / F = 3.73 > n F 1 . 04 kN Ncr N st N
3 3 F l F l F l l F 2 l Fl N N N N l 3 EI 3 EI 3 EI GI EA p 3
dw 2 12 21 2 1 3 k ( lx x Cx D ) k( lx x C ) w 2 6 dx 2 12 x 0 , l w 0 D 0 , C l 3 1Fa 2 3 EI x 0 ,w 3 EIll Fcr al
1 4 1 cm I 1130 cm W 梁 梁 π 2 2 2 A D d 1178 mm 柱 4
4
3
4 3 5 ql F l F l N N 384 EI 48 EI EA
F 9 7 . 2 kN N
M/kNm
12.3
17.2
3 M 1 7 . 2 10 max s 1 22 MPa max n 1 . 9 梁 W 141
选择合理截面（I、i大） 改变约束条件（小） 各平面稳定性基本相同 合理选择材料（大柔度杆无效）
Fa M Fa 令： k 0 EIl F M / l Fa / l R 0
2
F
M Fa Fa x / l
a
l EI EI
M0 l
2 d w M Fa 2 ( l x ) k( lx ) 2 dx EIEIl
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
12 材料力学第九章 压杆稳定
令 L
i
即： cr
2E 2
i I A
26
说明：挠曲线的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因此
只有材料在线弹性范围内工作时，即只有cr≤p时，欧拉公
式才能适用。
实验表明： 粗短压杆没有失稳现象； 中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界
力并不符合； 细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。
式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔度的增大而增大。
稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一 般钢构件，其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安全系 数规定为1.5～2.2，甚至更大。
37
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。 注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因
或
2E p
E
p
p
28
二、中小柔度杆的临界应力计算
1. 直线型经验公式
①P<<S 时： crab c rabs
as
b
s
s P的杆为中柔度 界杆 应， 力其 用临 经验
②S< 时：
crs
S的杆为小柔度 界杆 应， 力其 为临 屈服
29
表9−2 一些常用材料的a、b、p、s值
材料
a (MPa) b (MPa)
固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy
h3b /12b 40
薄壁容器 失稳
浅拱失稳
17
§9–2 细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力: 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
材料力学压杆稳定PPT
面（xz平面）内两端为弹性固定，长度因数μy=0.8。试求此
压杆的临界应力；又问b与h的比值等于多少才是合理的。
b
解： 1）求临界应力
y
h
z
y
x
在xy平面内： z
iz
Iz
bh3 /12
A
bh
h 60 1.73m 2 m 12 12
z
zl
iz
1200011.55 17.32
在xz平面内：
iy
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
=69 kN
[FN BC]120kN FNBC4.5q≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度因数
π2EI
Fcr ( l )2
μ称为长度因数。
约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱， μ系数越大， 临界力Fcr越低， 稳定性越差。
2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低， 稳定
性越差。
cr
π2E
2
p
p
π2E π E
p
p
λp仅与材料有关。
对于Q235钢λp＝100。 可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
p
越是细柔的压杆， 柔度λ越大， 越可以使用欧拉
压杆的临界应力；又问b与h的比值等于多少才是合理的。
b
解： 1）求临界应力
y
h
z
y
x
在xy平面内： z
iz
Iz
bh3 /12
A
bh
h 60 1.73m 2 m 12 12
z
zl
iz
1200011.55 17.32
在xz平面内：
iy
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
=69 kN
[FN BC]120kN FNBC4.5q≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度因数
π2EI
Fcr ( l )2
μ称为长度因数。
约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱， μ系数越大， 临界力Fcr越低， 稳定性越差。
2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低， 稳定
性越差。
cr
π2E
2
p
p
π2E π E
p
p
λp仅与材料有关。
对于Q235钢λp＝100。 可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
p
越是细柔的压杆， 柔度λ越大， 越可以使用欧拉
材料力学之压杆稳定(ppt 39页)
原因：忽略了对桥梁重量的精确计算导致悬臂桁架中个别 受压杆失去稳定产生屈曲，造成全桥坍塌；
NEXT
压杆稳 定
该桥计算时疏忽了对风荷载的验算，桥建成试通车后， 发现桥面已发生扭曲，于是委托麻省理工大学进行检测，麻 省理工大学制作了一个原桥的模型，进行风荷载试验，发现 桥面扭曲的直接原因是风荷载，于是麻省理工大学用6天时 间另搞了一个完善设计，在桥主梁侧面打开一些空洞，以减 少风荷载的影响，可惜这一方案尚未实施完毕，桥面已出现 剧烈扭曲，通过桥梁的最后一辆车是一辆轿车，受桥面扭曲 影响。在桥面上已无法行驶，在相关营救人员的援助下，车 主逃脱险境，之后不久桥就全部损坏。
NEXT
（2）沪东中华造船集团有限公司
十几秒中36人丧生
• 01年7月17日上午8点，在上海市 沪东中华造船(集团)有限公司由 上海电力建筑工程公司承担的 600吨门式起重机在吊装过程中 发生特大事故。
• 36人死亡、3人受伤，同济大学9 人不幸全部遇难
• 早晨，机械学院的几位打算去沪 东造船厂指挥安装龙门起重机的 老师回机械南馆取资料，守门的 师傅替他们开了门。谁曾想，一 个多小时后，他们都在沪东造船 厂的事故中遇难。一行9人中， 有53岁的老教授，也有才30岁风 华正茂的博士后。
(a) 稳定平衡 (b) 不稳定平衡
(c) 随遇平衡
RETURN
压杆稳
定 9.1.3 压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
P Pcr
不
稳
稳
定
定
平
平
衡
衡
P Pcr
见稳定平衡.AVI
见不稳定平衡.AVI
NEXT
压杆稳 定
该桥计算时疏忽了对风荷载的验算，桥建成试通车后， 发现桥面已发生扭曲，于是委托麻省理工大学进行检测，麻 省理工大学制作了一个原桥的模型，进行风荷载试验，发现 桥面扭曲的直接原因是风荷载，于是麻省理工大学用6天时 间另搞了一个完善设计，在桥主梁侧面打开一些空洞，以减 少风荷载的影响，可惜这一方案尚未实施完毕，桥面已出现 剧烈扭曲，通过桥梁的最后一辆车是一辆轿车，受桥面扭曲 影响。在桥面上已无法行驶，在相关营救人员的援助下，车 主逃脱险境，之后不久桥就全部损坏。
NEXT
（2）沪东中华造船集团有限公司
十几秒中36人丧生
• 01年7月17日上午8点，在上海市 沪东中华造船(集团)有限公司由 上海电力建筑工程公司承担的 600吨门式起重机在吊装过程中 发生特大事故。
• 36人死亡、3人受伤，同济大学9 人不幸全部遇难
• 早晨，机械学院的几位打算去沪 东造船厂指挥安装龙门起重机的 老师回机械南馆取资料，守门的 师傅替他们开了门。谁曾想，一 个多小时后，他们都在沪东造船 厂的事故中遇难。一行9人中， 有53岁的老教授，也有才30岁风 华正茂的博士后。
(a) 稳定平衡 (b) 不稳定平衡
(c) 随遇平衡
RETURN
压杆稳
定 9.1.3 压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
P Pcr
不
稳
稳
定
定
平
平
衡
衡
P Pcr
见稳定平衡.AVI
见不稳定平衡.AVI
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材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式
支承情况
压杆稳定性计算步骤
a、计算 、 与 :
b、由压杆类型算
，大柔度杆，
，中柔度杆， 根据有关经验 公式计算。
c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：
d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。
9.5 压杆的合理设计
影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料
性质等。 要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。
9.5 压杆的合理设计
三、改变压杆的约束条件
细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以 增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。 如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座， 都可以有效的提高压杆的稳定性。
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.4 压杆的稳定条件
二、折减系数法
st 其中： 为许用压应力。 为折减系数，位于0和1之间。
折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。 根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：
稳定计算的三类问题
1.稳定校核 2.选择截面
3.确定许用载荷
9.4 压杆的稳定条件
3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可 以求出临界载荷的大小。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，
临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能
即：
W U y
B点的轴向位移：
ds dx
l
其中：
ds A
x
dx
l
B
B´
l
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
U
l
Fc2r
y2 dx
0 2EI
l 0
Fc2r a2 2EI
x
l 2
2
l 2
2
2
dx
Fc2r a2l5 60EI
Fcra2l3 6
所以有：
Fcr
10EI l2
EIy ''2 dx 如果根据式 Fcr l y '2 dx
l
则有：
U l EI y ''2 dx l EI 2a2 dx 2EIa2l
D
细长杆
CB段： cr a1 b12
s
p
临界应力总图
9.4 压杆的稳定条件
一、稳定条件
F Fcr
nst
Fst
或
n
Fcr F
nst
Fst 为稳定许用压力; n为工作安全系数;
nst 规定的稳定安全系数，一般高于强度安全系数。
对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者 螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
临界载荷 Fcr的欧拉 公式
长度系数 = 1 0.7
= 0.5
=2
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：
cr
cr s
s A p
B
cr
a b
C
短粗杆 中长杆
cr
2E 2
cr
2E 2
一、合理选择材料性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以 选用高强度钢或低碳钢并无差别。
中柔度杆
临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以 提高压杆的稳定性。
9.5 压杆的合理设计
二、合理选择截面
柔度越小，临界应力越大。
cr
2E 2
l i l A I
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
I
前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时 的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的 载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。
能量法的基本思路： 1、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。 2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。
y
y
a
x
l
2
l
2
解：
2 2
C
该挠曲线满足位移边界条件： A
y
y0 yl 0
则任一截面上的弯矩为：
x l
B Fx
M
x
Fcr
y
Fcr
a
x
l 2
2
l 2
2
M 2 EI dx
由：
Fcr
l
y '2 dx
有：W Fcr 2
l 0
2a
x
l 2
2dx
Fcr a 2l 3 6
02
02
12EI Fcr l 2
精确解：
Fcr
2EI
l2
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
基于式： M 2 EI dx
Fcr l
y '2 dx
l
的结果更精确。
的结果比基于式
EIy ''2 dx
Fcr l y '2 dx
l
M
x
Fcr
y
Fcr a
x
l 2
2
l 2
2
因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上 更大的偏差。
在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。
如空心杆等。
同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度 大致相等。
如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的 不同，则应该选
择 I y I z 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：
z
l
i
z
y
l
i
y
9.5 压杆的合理设计
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
l
B
B´
M 2 EI dx
Fcr l
y '2 dx
EIy ''2 dx Fcr l y '2 dx
l
l
所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。
Fcr x
挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。
设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：
Fcr x
ds
dx2 dy2
1
y
'2
dx
1
1 2
y
'2
dx
所以：
1 y '2dx
2l
W
Fcr
Fcr 2
l
y '2dx
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
W
又：
Fcr
Fcr 2
l
y '2dx
U
M 2 x
dx
EI y ''2 dx
l 2EI
l2
由以上两式有：
y
ds A
x
dx
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式
支承情况
压杆稳定性计算步骤
a、计算 、 与 :
b、由压杆类型算
，大柔度杆，
，中柔度杆， 根据有关经验 公式计算。
c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：
d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。
9.5 压杆的合理设计
影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料
性质等。 要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。
9.5 压杆的合理设计
三、改变压杆的约束条件
细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以 增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。 如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座， 都可以有效的提高压杆的稳定性。
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.4 压杆的稳定条件
二、折减系数法
st 其中： 为许用压应力。 为折减系数，位于0和1之间。
折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。 根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：
稳定计算的三类问题
1.稳定校核 2.选择截面
3.确定许用载荷
9.4 压杆的稳定条件
3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可 以求出临界载荷的大小。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，
临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能
即：
W U y
B点的轴向位移：
ds dx
l
其中：
ds A
x
dx
l
B
B´
l
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
U
l
Fc2r
y2 dx
0 2EI
l 0
Fc2r a2 2EI
x
l 2
2
l 2
2
2
dx
Fc2r a2l5 60EI
Fcra2l3 6
所以有：
Fcr
10EI l2
EIy ''2 dx 如果根据式 Fcr l y '2 dx
l
则有：
U l EI y ''2 dx l EI 2a2 dx 2EIa2l
D
细长杆
CB段： cr a1 b12
s
p
临界应力总图
9.4 压杆的稳定条件
一、稳定条件
F Fcr
nst
Fst
或
n
Fcr F
nst
Fst 为稳定许用压力; n为工作安全系数;
nst 规定的稳定安全系数，一般高于强度安全系数。
对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者 螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
临界载荷 Fcr的欧拉 公式
长度系数 = 1 0.7
= 0.5
=2
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：
cr
cr s
s A p
B
cr
a b
C
短粗杆 中长杆
cr
2E 2
cr
2E 2
一、合理选择材料性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以 选用高强度钢或低碳钢并无差别。
中柔度杆
临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以 提高压杆的稳定性。
9.5 压杆的合理设计
二、合理选择截面
柔度越小，临界应力越大。
cr
2E 2
l i l A I
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
I
前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时 的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的 载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。
能量法的基本思路： 1、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。 2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。
y
y
a
x
l
2
l
2
解：
2 2
C
该挠曲线满足位移边界条件： A
y
y0 yl 0
则任一截面上的弯矩为：
x l
B Fx
M
x
Fcr
y
Fcr
a
x
l 2
2
l 2
2
M 2 EI dx
由：
Fcr
l
y '2 dx
有：W Fcr 2
l 0
2a
x
l 2
2dx
Fcr a 2l 3 6
02
02
12EI Fcr l 2
精确解：
Fcr
2EI
l2
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
基于式： M 2 EI dx
Fcr l
y '2 dx
l
的结果更精确。
的结果比基于式
EIy ''2 dx
Fcr l y '2 dx
l
M
x
Fcr
y
Fcr a
x
l 2
2
l 2
2
因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上 更大的偏差。
在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。
如空心杆等。
同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度 大致相等。
如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的 不同，则应该选
择 I y I z 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：
z
l
i
z
y
l
i
y
9.5 压杆的合理设计
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
l
B
B´
M 2 EI dx
Fcr l
y '2 dx
EIy ''2 dx Fcr l y '2 dx
l
l
所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。
Fcr x
挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。
设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：
Fcr x
ds
dx2 dy2
1
y
'2
dx
1
1 2
y
'2
dx
所以：
1 y '2dx
2l
W
Fcr
Fcr 2
l
y '2dx
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
W
又：
Fcr
Fcr 2
l
y '2dx
U
M 2 x
dx
EI y ''2 dx
l 2EI
l2
由以上两式有：
y
ds A
x
dx