材料力学第9章-压杆稳定3+第8章-能量法1汇总

两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
临界载荷 Fcr的欧拉 公式
长度系数 = 1 0.7
= 0.5
=2
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：
cr
cr s
s A p
B
cr
a b
C
短粗杆 中长杆
cr
2E 2
02
02
12EI Fcr l 2
精确解：
Fcr
2EI
l2
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
基于式： M 2 EI dx
Fcr l
y '2 dx
l
的结果更精确。
的结果比基于式
EIy ''2 dx
Fcr l y '2 dx
l
M
x
Fcr
y
Fcr a
x
l 2
2
l 2
2
因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上 更大的偏差。
l
B
B´
M 2 EI dx
Fcr l
y '2 dx
EIy ''2 dx Fcr l y '2 dx
l
l
所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。
Fcr x
挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。
设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：
9.5 压杆的合理设计
三、改变压杆的约束条件
细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以 增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。 如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座， 都可以有效的提高压杆的稳定性。
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式
支承情况
3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可 以求出临界载荷的大小。
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，
临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能
即：
W U y
B点的轴向位移：
ds dx
l
其中：
ds A
x
dx
l
B
B´
压杆稳定性计算步骤
a、计算 、 与 :
b、由压杆类型算
，大柔度杆，
，中柔度杆， 根据有关经验 公式计算。
c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：
d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。
9.5 压杆的合理设计
影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料
性质等。 要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。
l
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
U
l
Fc2r
y2 dx
0 2EI
l 0
Fc2r a2 2EI
x
l 2
2
l 2
2
2
dx
Fc2r a2l5 60EI
Fcra2l3 6
所以有：
Fcr
10EI l2
EIy ''2 dx 如果根据式 Fcr l y '2 dx
l
则有：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U l EI y ''2 dx l EI 2a2 dx 2EIa2l
在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。
如空心杆等。
同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度 大致相等。
如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的 不同，则应该选
择 I y I z 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：
z
l
i
z
y
l
i
y
9.5 压杆的合理设计
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
D
细长杆
CB段： cr a1 b12
s
p
临界应力总图
9.4 压杆的稳定条件
一、稳定条件
F Fcr
nst
Fst
或
n
Fcr F
nst
Fst 为稳定许用压力; n为工作安全系数;
nst 规定的稳定安全系数，一般高于强度安全系数。
对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者 螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。
Fcr x
ds
dx2 dy2
1
y
'2
dx
1
1 2
y
'2
dx
所以：
1 y '2dx
2l
W
Fcr
Fcr 2
l
y '2dx
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
W
又：
Fcr
Fcr 2
l
y '2dx
U
M 2 x
dx
EI y ''2 dx
l 2EI
l2
由以上两式有：
y
ds A
x
dx
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
I
前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时 的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的 载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。
能量法的基本思路： 1、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。 2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。
y
y
a
x
l
2
l
2
解：
2 2
C
该挠曲线满足位移边界条件： A
y
y0 yl 0
则任一截面上的弯矩为：
x l
B Fx
M
x
Fcr
y
Fcr
a
x
l 2
2
l 2
2
M 2 EI dx
由：
Fcr
l
y '2 dx
有：W Fcr 2
l 0
2a
x
l 2
2dx
Fcr a 2l 3 6
cr
2E 2
一、合理选择材料
细长压杆
l
i
临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以 选用高强度钢或低碳钢并无差别。
中柔度杆
临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以 提高压杆的稳定性。
9.5 压杆的合理设计
二、合理选择截面
柔度越小，临界应力越大。
cr
2E 2
l i l A I
9.4 压杆的稳定条件
二、折减系数法
st 其中： 为许用压应力。 为折减系数，位于0和1之间。
折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。 根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：
稳定计算的三类问题
1.稳定校核 2.选择截面
3.确定许用载荷
9.4 压杆的稳定条件
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向